Matematikte akıcı hale gelmek için beynini yeniden yapılandıran bir örnek (2014)

• Okulda matematik ve fen derslerinde zorlanan bir kişinin 26 yaşından sonra telafi matematiğinden başlayarak yeniden öğrenip mühendislik profesörü olma deneyimi üzerinden, yetişkin öğreniminde tekrar ve ezberin değerini yeniden ele alıyor
• Matematik ve fen eğitiminde yalnızca kavramsal anlayış vurgulanırsa, derste anlamış gibi görünülse bile problemler çözülerek içselleştirme gerçekleşmediği için yetkinlik ve uygulama becerisi eksik kalabilir
• Japon tarzı katılımcı dersler sık sık örnek gösterilse de, Kumon gibi okul sonrası öğrenme yöntemleri ezber, tekrar ve mekanik alıştırma yoluyla konulara hâkimiyeti de geliştirir
• Dil öğrenir gibi kelimeleri, dil bilgisini ve kullanım koşullarını tekrarla öğrenme biçimi, matematikteki denklemler ve prosedürler için de geçerlidir; bu da uzun süreli bellekte örüntüler oluşturan kümeleme (chunking) ile ilişkilidir
• Karmaşık konularda derin anlayış yalnızca açıklamayla oluşmaz; tekrar, alıştırma ve ezberle kurulan akıcılık, meslek seçimini ve düşünme biçimini bile genişletebilir

---

Matematik korkusundan mühendislik profesörlüğüne uzanan dönüşüm

• Çocukken edebiyata daha yakındı, matematik ve fenden kaçınırdı; ancak daha sonra üçlü integraller, Fourier dönüşümleri, Euler denklemi gibi matematikle her gün uğraşan bir mühendislik profesörü oldu
• İlkokul, ortaokul ve lise matematik ve fen derslerini gerektiği gibi geçemedi; 26 yaşında Army’den ayrıldıktan sonra ancak telafi matematiğine başladı
• Yetişkin olduktan sonra matematik ve feni yeniden öğrenme deneyimi, yetişkin nöroplastisitesine ve yetişkin öğrenimine içeriden bakmasını sağladı
• Sistem mühendisliği doktorası ile insan düşüncesi üzerine araştırma ve yazıları, öğrenme nörobilimini ve bilişsel psikolojiyi yorumlaması için temel oluşturdu

Kavramsal anlayış tek başına matematik öğrenimi için yeterli değil

• Pek çok öğrenci, ilk ve ortaöğretimde matematiği tartışma ve açıklamalar yoluyla anlamanın öğrenmenin özü olduğunu öğrenir
• Japonya sık sık aktif ve anlayış odaklı ders yöntemlerinin örneği olarak görülür; ancak aynı zamanda Kumon yöntemi ezberi, tekrarı ve mekanik öğrenmeyi konulara hâkimiyetle birlikte vurgular
  • Bu okul sonrası programa benzer yöntemler, Japonya’da ve dünyada pek çok ebeveyn tarafından çocuklarının eğitimini tamamlayan bir araç olarak benimsenir
  • Katılımcı eğitime yeterli alıştırma ve tekrar ile akıllıca tasarlanmış ezber eklendiğinde, matematik konularında akıcılık gelişir
• ABD’de matematik ve fende kavramsal anlayış vurgusu, kimi zaman eski öğrenme yöntemlerini tamamlamak yerine onların yerini alan bir biçimde işler
• Common Core, matematikte kavramsal anlayışı, prosedürel beceri ve akıcılığı, uygulama yeteneğiyle eşit düzeyde ele almaya çalışır; ancak gerçek uygulamada kavramsal anlayışın ders saatinin merkezine yerleşmesi kolaydır
• Yalnızca anlamaya odaklanıldığında öğrenci önemli fikirlerin özünü yakalasa bile, alıştırma ve tekrar yoluyla bütünleşme olmadığı için bunu kısa sürede kaybedebilir
  • Aslında anlamadığı hâlde anladığına inanma şeklindeki yeterlik yanılsamasına düşebilir
  • Mühendislik öğrencisi örneğinde olduğu gibi, derste anladığını hissetse bile kavramları kullanarak içselleştirecek alıştırma yoksa performansı düşük olabilir

Akıcılık, tekrarla oluşturulan bilgi birimleridir

• Golf vuruşunu yıllarca tekrar ederek bedenin tek bir düşünceyle hareket eder hâle gelmesi gibi, matematik ve fende de prosedürleri her seferinde yeniden açıklamaya gerek kalmayan bir duruma ihtiyaç vardır
• 5×5=25’i her seferinde boncuklarla yeniden dizmeye gerek olmadığı gibi, aynı tabana sahip sayılar çarpılırken üslerin toplanması prosedürü de tekrarlı kullanım sayesinde bellekten doğrudan çıkarılabilir
• Prosedürler çeşitli problemlerde sürekli kullanıldığında, o prosedürlerin nedeni ve nasıl işlediği daha iyi anlaşılır
• Daha büyük anlayış, zihnin anlam örüntüleri kurmasının sonucudur; sürekli anlayışın kendisine odaklanmak ise öğrenmeyi tersine engelleyebilir

Rusça öğreniminden kazanılan strateji

• Üniversiteye gidecek parası ya da becerisi olmadığı için liseden sonra Army’ye katıldı ve Defense Language Institute’ta Rusça öğrendi
• Rusça öğreniminde basit anlamadan çok akıcılık önemseniyordu
  • понимать fiilinin “anlamak” anlamına geldiğini bilmekle yetinilmiyor, farklı zamanlarda ve cümlelerde tekrar tekrar kullanılıyordu
  • Yalnızca ilgili fiil biçiminin ne zaman kullanılacağı değil, ne zaman kullanılmaması gerektiği de birlikte çalışılıyordu
  • Kelimeleri ve yapıları hızlıca hatırlayıp dönüştürebilmek için tekrar yapılıyordu
• Kelimeleri ve dil bilgisi öğelerini teknik olarak anlasanız bile, gerçek konuşma hızla aktığında işleyemiyorsanız akıcı sayılmanız zordur
• Bu yaklaşım ders başarısına dönüştü ve daha sonra uzmanlık gelişiminin temelindeki kümelemeyi sezgisel olarak anlaması için temel oldu

Kümeleme ile uzmanlık arasındaki bağlantı

• Herbert Simon’ın satranç analizinde kümeleme, çeşitli satranç örüntülerine karşılık gelen sinirsel birimler olarak kavramsallaştırıldı
• Daha sonra nörobilimciler, satranç büyükustaları gibi uzmanların kendi alanlarına ilişkin binlerce bilgi kümesini uzun süreli bellekte depoladığını düşündü
• Satranç ustaları on binlerce satranç örüntüsünü hatırlayabilir; başka alanlardaki uzmanlar da iyi gruplanmış sinirsel alt rutinleri bilince çağırarak yeni durumları analiz eder ve yanıt verir
• Satranç ustaları, acil servis doktorları ve savaş uçağı pilotları üzerine araştırmalarda, acil stres durumlarında bilinçli analizden çok derinlemesine kazınmış sinirsel alt rutinleri hızla devreye sokan işlemenin çalıştığı görülür
• Bazı anlarda, neden öyle yaptığını bilinçli olarak anlamaya çalışma süreci akışı kesebilir ve kararları kötüleştirebilir

Dil öğrenme yöntemini matematik ve mühendisliğe uygulamak

• Yetişkin olarak matematik ve mühendislik öğrenirken, Rusça öğrenirken kullandığı stratejinin aynısını kullandı
• Newton’un ikinci yasası f = ma örneğinde, her harfin anlamını duyusal olarak kavradı
  • f kuvvet, m iten kuvvete karşı ağır direnç, a ise ivmelenme hissi olarak ele alındı
  • Denklemi ezberleyip zihnine yerleştirdi; m ve a büyük olduğunda f’nin nasıl değiştiğine, f büyük ve a küçük olduğunda m’nin nasıl değiştiğine, iki taraftaki birimlerin nasıl uyuştuğuna baktı
• Denklemle oynama süreci, fiil çekimi yapmaya benziyordu; basit bir formülün etrafında, uzun süreli bellekten kolayca çağrılabilen kümelenmiş alt rutinleri her gün biriktirme biçimine dönüştü
• Matematik ve fen profesörleri, alıştırma ve tekrarla iyi yerleşmiş uzmanlık kümeleri oluşturmanın başarı için çok önemli olduğunu söyleyegeldi
• Anlayış akıcılığı yaratmaz; akıcılık anlayışı yaratır ve karmaşık konulardaki gerçek anlayış akıcılıktan doğar

Eski akıcılık yeniden canlanabilir

• Elektrik mühendisi ve mühendislik profesörü olduktan sonra Rusça kullanımı uzaklaştı; ancak 25 yıl sonra ailesiyle Trans Sibirya trenine binince Rusçayı yeniden kullanması gerekti
• Trene ilk bindiğinde Rusçayı iki yaşındaki bir çocuk gibi konuşuyordu; kelime bulamıyor, hâl değişimleri ve fiil çekimlerinde hata yapıyor, telaffuzu da kötüleşmişti
• Yine de temel kalmıştı; Rusçası her gün gelişti ve yolculuk sırasında günlük ihtiyaçları halledebilir hâle geldi
• Sonrasında rehberlerin diğer yolcular için çeviri yardımı isteyeceği seviyeye kadar toparlandı
• Moskova’da bir taksi şoförü dolaştırarak daha fazla ücret almaya çalıştığında, onlarca yıldır söylemediği Rusça kelimeler birden ortaya çıktı; bilinçli olarak bildiğini hissetmediği kelimeler de gerektiği anda ağzından çıktı
• Akıcılık, anlayışı derine yerleştirir ve gerektiğinde yeniden ortaya çıkmasını sağlar

Matematik ve fen eğitimi için kalan dersler

• Matematik ve fen mezunlarının az olduğu durum ve mevcut öğrenme yöntemlerinin gidişatı düşünüldüğünde, öğrenenler daha iyi yöntemler kullanabilir
• Ebeveynler ve öğretmenler, anlayışı derin ve esnek kılan basit ve erişilebilir yöntemlerden yararlanabilir
• Matematik, dans, fizik, dil, kimya, müzik gibi fazla zor olduğu düşünülen alanlarda da yeniden denemeye teşvik edebilirler
• Matematik ve fende temel ve derin akıcılık, basit anlayıştan daha önemlidir ve ilgi çekici mesleklere açılan kapıları aralayabilir
• Edebiyatı ve dili sevdiren akıcılık gücü, nihayetinde matematik ve feni sevdiren aynı güçtü; hayatı değiştirdi ve zenginleştirdi

[GN⁺]

Hacker News yorumları

• Bu yazıyı gerçekten çok beğendim; özellikle “anlayış akıcılığı doğurmaz, akıcılık anlayışı doğurur” cümlesi çok etkileyiciydi.
  Matematiği severdim ve üniversitede de alanım buydu; ama ailem bilimsel düşünceye yatkın olsa da matematiğin kendisi onlara opak ve tehditkâr gelmiş gibi. Keşke o zaman, Pisagor teoreminin sezgisel gelmesi için Öklid uzayına dair derin bir kavrayış gerekmediğini; dik üçgeni gördüğün anda aklına hemen üç farklı kanıt gelecek kadar çok pratik yapman gerektiğini söyleyebilseydim. Yazarın kendinden çokça söz etmesi de yerinde. Matematik korkusundan matematik ustalığına geçişteki öznel bilişsel deneyimi anlatmak için arka planı ve iç süreçlere dair farkındalığı anlatmaktan başka yol yok.

  • Grant Sanderson’ın (3blue1brown) şu konuşmasını hatırlattı: https://youtu.be/z7GVHB2wiyg?si=jcUtUo-TT3ycpTpD
    Yüzeyde matematikte benlik algısıyla ilgili bir hikâye gibi, ama zeki görünme isteğinin, asıl yazıda anlatılan şekilde matematik becerisine yardımcı olduğunu düşünüyorum. Zeki görünmek istiyorsan, bunu kendin mi düşündün yoksa bir kitaptan mı okudun önemli olmuyor; önemli olan bildiğini göstermek ve problemleri kolayca çözebilmek. Böylece çok okuyup ezberliyorsun; övünebileceğin devasa bir zihinsel veritabanı biriktirdikçe de sonunda gerçekten iyi oluyorsun.
  • “Bir dik üçgen gördüğünde Pisagor teoreminin üç kanıtı hemen aklına geliyorsa, o zaman sezgisel olarak doğru hâle gelir” sözü, nihayetinde matematiğin uzayı içinde yön bulmak anlamına geliyor gibi.
    Yol gösterici işaretler olan kanıtlarla da yol bulunabiliyor, uzayın kendisine dair derin bir anlayışla da yol bulunabiliyorsa; matematiksel sezgiye giden iki yol var gibi: pratik ve akıcılık yolu, derin içgörü ve anlayış yolu.
  • “Genç adam, matematikte bir şeyi anlamazsın. Sadece ona alışırsın.”

• “Matematik” denilen şeyin kabaca iki kategoriye ayrıldığını düşünüyorum. A, bu yazıda sözü edilen matematik: sıradan insanların matematik dediği, mühendislerin ve çoğu bilim insanının kullandığı şey. B ise matematik bölümü öğrencilerinin ve matematikçilerin kullandığı matematik; soyut ve adı çoğu zaman “teori” ile biten alanlardan oluşuyor.
  Yazıdaki yaklaşımla Matematik B öğrenilebilir mi merak ediyorum. Birkaç kez denedim ama başarısız oldum; diferansiyel denklemler, lineer cebir, sembolik manipülasyon, geometri ve bunları gerçek problemlere uygulama gibi Matematik A konularında iyiyim. Buna karşılık Matematik B ulaşılması zor görünüyor; programlamada Haskell ya da saf fonksiyonel programlama gibi, elde tutulur gelmiyor. Bunun bir kısmı genetik mi, bir kısmı çocukken öğrenilmesi gereken bir şey mi, yoksa düzenli bir öğrenme yoluna mı ihtiyaç var merak ediyorum.

  • Bence burada bir de Matematik C var. Gündelik zihinden hesap yapma; mühendislik derecem olup Matematik A’da iyi olsam da bunda berbatım.
    Matematik C’nin bir başka unsuru da sayı hissi: bir tahminin ya da hesap makinesi ekranındaki değerin mantıklı mı yoksa bariz biçimde yanlış mı olduğunu fark etmeyi sağlıyor. Zihinden hesapta zayıf olmamın nedeni kısmen çarpım tablosunu doğru dürüst ezberlememiş olmam, kısmen de yön duygusunun kötü olması gibi beyinde eksik kalan bir taraf olduğunu düşünüyorum. Ama sayının en sona kadar önemli olmadığı sembolik manipülasyon konusunda iyiyim.
  • Lisede ilk dönem kalkülüs dersinden D alınca “matematik benim için bitti” demiştim. O zamana kadar hesap makinesini koltuk değneği gibi kullanıyordum, ama kalkülüs kaçamak yapılamayacak sembolik manipülasyon gerektiriyordu.
    Sık sık “matematikte kötü” olduğunu söyleyen babamın etkisi büyüktü ve bu kolay bir kaçış yoluydu. Sonra programlamayı ciddiyetle öğrenip birkaç dil öğrendim ve doğrudan web geliştirme işine başladım; ama birkaç yıl sonra sıkılıp mühendisliği denemek için community college’a kaydolunca bütün mühendislik derslerinde matematik önkoşulları olduğunu gördüm. İlk kez gerçekten çaba gösterince, aslında doğuştan matematikte kötü olmadığımı, yalnızca motivasyon eksikliğim olduğunu anladım. Özel ders merkezinde çalışırken üniversiteye yatay geçiş yaptım; giderek daha fazla matematik önkoşulu aldım ve sonunda matematik bölümüne geçip şimdi matematik doktoru oldum. 20’li yaşlarımın ortasına kadar Matematik A yapabileceğime bile inanmıyordum; ama mühendislik için bunda iyi oldum ve hemen ardından Matematik B’ye geçtim. Programlama bana titiz ve soyut düşünmeyi öğretti; Matematik B’ye ancak 25 yaşımdan sonra geçtiğim için bunun doğuştan geldiği ya da mutlaka çocukken öğrenilmesi gerektiği fikrine karşıyım. Yine de örgün eğitimin avantajı, birlikte çalışan bir öğrenci grubu, ödev teslim tarihleri ve sınavlar gibi dışsal pekiştirmeler olmasıydı.
  • Matematik A’yı sevdiğim için bu alanda okudum; ama bölümde derinleştikçe bu Matematik B’ye dönüştü.
    O zamanlar Matematik B’den hoşlanmıyordum ama ortalamanın üzerinde notlarla dayanabildim. Şimdi geriye dönüp bakınca, aksine hoşuma gidiyor ve o dersleri bugünkü bakış açımla yeniden almak isterdim. Başta sevmememin büyük nedeni, sevdiğim ve iyi olduğum bir şeyi bölüm olarak seçmişken bunun birdenbire bambaşka bir şeye dönüşmesi; bir tür yemle ve değiştir gibi hissettirmesiydi.
  • Saf fonksiyonel programlamayı anlamak aslında çok kolay. Programlamayı duruma dokunmak ya da onu değiştirmek değil, girdiden çıktı üretmek olarak düşünmek yeterli.
    Analog elektronik de büyük ölçüde saf fonksiyonel alanda çalışır. Bir yükselteç giriş sinyalini değiştirmeye çalışmaz; girişin biçimini izleyen daha güçlü bir çıkış sinyali üretir. Bir müzik aletinin ses kaynağı da tuşu titreştirmez, basılan tuşa göre bir ses sinyali üretir. Pratik saf fonksiyonel programlamayı en basit şekilde denemek için Unix süreçlerini pipe ile bağlamak yeterli: cat somefile.py | egrep '^def \w+' | wc -l. Bu, noktasız stilde bir map-reduce pipeline’ı ve saf fonksiyon bileşimidir; bir Python dosyasındaki üst düzey fonksiyonları sayar. Güncelleme, çıktı değerini tekrar girdi olarak döndürüp hesaplama bitince “sonraki sürüme” geçmekle yapılır. Conway’in Hayat Oyunu da yerinde güncelleme gibi görünür; ama yeni harita durumu önceki harita durumundan tamamen hesaplanır ve o yeni harita geçerli harita olur. Genel olarak evren de bir sonraki durumun geçmiş durumların fonksiyonu olduğu, geçmişin değişmez kaldığı saf fonksiyonel hesaplama olarak görülebilir.
  • Sır şu: Matematik B’nin çoğunu terim yeniden yazma sistemi kurallarına dönüştürürsen, Matematik A gibi ele alabilirsin.
    Bir kanıtın her adımını, matematiksel ifade denen terimi değiştiren bir kural olarak görmek yeterli. Bunu tamamen açık biçimde ortaya koyan bir kitap görmedim; ama sekant hesabını ele alan kitaplar seni yolun yarısına kadar götürüyor. Matematik B’nin geri kalanı ise yeni varsayımlar kurmayı ve varsayımlardan kanıtlamak istediğin önermeye verimli biçimde giden yolu tahmin etmeyi sağlayan sezgidir.

• Bilgisayar bilimleri lisans ve yüksek lisansından sonra tıp fakültesine girdiğimde, ezberin değeri konusunda benzer bir sonuca vardım.
  CS’de aslında ezber çok vurgulanmadığı için büyük ölçekli ezberi bir öğrenme tekniği olarak kabul etmem zaman aldı; ama zaman geçtikçe hızlı hatırlamanın kavramsal anlayışın yerine geçmediğini, aksine onu güçlendirdiğini fark ettim. Birkaç yıl önce bununla ilgili yazdığım bir yazı da var: https://samrawal.substack.com/p/on-the-relationship-between-...

  • Nicholas Carr’ın The Shallows kitabından çıkardığım sonuç da benzer. Bilgiyi nasıl türeteceğini ya da nerede bulacağını bilmek ile o bilgiyi bilmek farklı şeyler; zihinde daha üst düzey bağlantılar kurmak için o bilgiyi gerçekten bilmek gerekiyor.
  • İlgili tartışma: “Learning Is Remembering”: https://news.ycombinator.com/item?id=32982513

• Yazar kendi hikâyesini gerçekten seviyor gibi. Okumaya devam ettim ama yazının tamamı, karşılığı olmayan uzun bir giriş gibi hissettirdi.
  Matematikte daha iyi olmayı ve beyninizi matematiğe uygun şekilde değiştirmeyi öğrenmek istiyorsanız, bu yazıyı okuduktan sonra pek de daha bilge hale gelmeyeceksiniz gibi.

  • Salt biyografik paragrafları atladım; önemli kısım kabaca şu:
    Ezber ve tekrarlı alıştırma öğrenme için önemlidir; o dönem moda olan yalnızca “anlama” yaklaşımı yeterli değildir. Bu temel sayesinde formülleri anlama ve uygulama gibi daha üst düzey şeylere odaklanabilirsiniz. Uzmanlar, bir satranç ustasının binlerce geçmiş oyunu, açılışı ve varyasyonu çekip kullanması gibi hafıza parçaları oluşturur.
  • “Beyni yeniden kablolamak” tam olarak ne anlama geliyor, emin değilim. Basitçe uzun süre çalışmak gerekiyor.
    Yetişkinler için zor olan kısım zaman ayırmak; özellikle iş zaten zihinsel olarak yorucuysa bu daha da zor.
  • Bence bu yazı tek cümleye indirgenebilir: “İçselleştirmek istediğiniz kavramları yalnızca ezbere dayandırmayın; onlarla oynayın, onları manipüle edin.”
    f=ma gibi bir şeyi sadece ezberlemenin, teorik ve pratik uygulama girişimleri olmadan anlam taşımayacağı zaten açık görünüyor. Yabancı dil öğrenimi ile STEM’i ilişkilendirme çabası da tuhaftı; sonuçta vardığı yer, her şeyin bir zanaat olduğu ve mükemmelleşmek için pratik yapmak gerektiği sonucuna yakın.
  • “Matematikte akıcı olmak için beynini nasıl yeniden kabloladığını” bilmek istiyorum; şimdiye kadar gördüğüm şey ise yazarın ne kadar harika olduğundan bahsetmesi. Bu yazı pek iyi değil.
  • Hayal kırıklığı yarattı. Çünkü yazarın A Mind For Numbers kitabını beğenmiştim.

• İlgili bağlantılar:
  I Rewired My Brain to Become Fluent in Math - https://news.ycombinator.com/item?id=33890921 - Aralık 2022
  I Rewired My Brain to Become Fluent in Math (2014) - https://news.ycombinator.com/item?id=13674101 - Şubat 2017
  The building blocks of understanding are memorization and repetition - https://news.ycombinator.com/item?id=12508776 - Eylül 2016
  How I Rewired My Brain to Become Fluent in Math - https://news.ycombinator.com/item?id=8402859 - Ekim 2014
  How I Rewired My Brain to Become Fluent in Math - https://news.ycombinator.com/item?id=8400837 - Ekim 2014

• Matematik eğitiminde tarih ve felsefeye daha fazla yer verilse iyi olurdu. Okulda matematikte iyi olmamamın nedeni yetenekten çok, dersin fazla sıkıcı olması ve çocukken ilgi duyduğum şeylerden kopuk kalmasıydı.
  Yıllar sonra matematik bilgisini yavaş yavaş kapatmaya çalışırken, en çok matematikçilerin yaşamları, olayların araştırmalar üzerindeki etkisi ve matematik felsefesiyle ilgili konular ilgimi çekiyor. Okuldaki matematik dersleri yalnızca hesaplara ve formüllere odaklanıyordu; bunlar yoktu. Muhasebe de aynıydı. Ayrı tutulduğunda sıkıcıydı; ama İtalya’daki çift taraflı kayıt muhasebesinin tarihiyle ya da 1500’lerden sonraki dünya ticaretiyle bağlantı kurulduğunda ilginç hale geldi.

  • Ben de benzer hissediyorum. Yıllarca yazılım mühendisliği yaptıktan ve matematik ile yazılım mühendisliği arasındaki ortak noktaları görmeye başladıktan sonra matematiği ancak şimdi sevmeye başladım.
    Matematik bana “sayılar için bir yazılım sistemi kurmak, üstelik aynı anda derleyicinin de ben olmak” gibi geliyor. Entelektüel açıdan matematiğe nicel felsefe demek istiyorum; felsefeyi de seviyorum.
  • Bu her alan için geçerli. Kamu eğitimi genel olarak pek iyi değil; çocukları 20 yıl boyunca günde 8 saat kutulara doldurup çeşitli konuları en kuru biçimde öğrenmeye zorluyor.
    Kişisel ilgi alanlarının peşinden gitme özgürlüğü olmadığı gibi, tarih, matematik ve biyoloji gibi ana dersler bile ders kitabına konup çoktan seçmeli sınavlarla ölçülebilecek olgu yığınlarına indirgeniyor.
  • Belki de gerçekten sevdiğiniz şey muhasebe ya da matematik değil, tarihtir.
  • Matematik eğitimindeki büyük yalan, bugün bilinen her şeyin matematiksel düşünmeye doğuştan yatkın matematikçilerin zihninde tamamlanmış halde birdenbire belirdiği şeklinde öğretilmesi.
    Gerçekte matematikteki tüm ilerlemeler, genellikle mühendislik uygulamaları için, insanların daha eski matematik biçimleriyle onlarca yıl boyunca sayılarla uğraşmasının sonucunda gelişti. Öğrenciler, matematik yenilikçilerinin de uzun süre aynı şekilde takıldığını bilirse kendi yeteneklerine daha fazla güvenebilir diye düşünüyorum.
  • Böyle yapınca matematik değil de felsefe ve tarih öğretiyor olmaz mıyız, diye düşünüyorum.
    Bir konuya başlamak için harika bir hikâye kancası olabilir; ama nihayetinde matematik hesap, formül ve kanıtlarla ilgili değil mi?

• Alt başlıktaki “Eğitim reformcularına kusura bakmasınlar ama bize hâlâ ezber ve tekrar gerekiyor” ifadesine eğitim reformcularının ne diyeceğini merak ediyorum
  Gereksiz yere çatışmacı geliyor ve yazının ana noktasından da biraz sapıyor gibi. Yazı, matematikte alıştırmanın ve tekrar tekrar kullanmanın önemli olduğunu söylüyor; ama 40 yıl önceki Amerikan tarzı matematik eğitimine dönelim demek istemiyor gibi. Lisede matris çarpımını ne kadar hızlı yaptığımızla değerlendiriliyorduk ve matrisleri aptalca buluyordum; ama üniversitede lineer cebir ve bağlı osilatörleri öğrenince bunun harika olduğunu hissettim. Bu yüzden eğitim reformunun anlamsız tekrar işlerini azaltıp gerçekten kullanıldığı bağlama odaklanmak olduğunu düşünüyordum; yanlış mı biliyorum acaba

  • Birleşik Krallık’ta charter school benzeri bir iş yapan bir kadının, başarısı düşük görülen öğrencilerle elde ettiği başarıya dair bir röportajını dinlemiştim
    Ana fikir alıştırma, çok alıştırma, daha da çok alıştırmaydı. Öğretmenler not vermesi sıkıcı olduğu için sevmez, öğrenciler eğlenceli olmadığı için sevmez; ama tekrarlı alıştırma işe yarar. Super Mario Bros.’ta aynı bölümü zıplama zamanlaması tutana kadar tekrar etmekten farkı yok. Matematik gerçekleri gibi şeyleri öğretmek istiyorsak alıştırmayı oyunlaştırmanın iyi olacağını sık sık düşündüm; ama Amerikan eğitim sisteminin bu yaklaşıma alerjisi var gibi. Bunun yerine Amerikan eğitim sistemi, paranın aktığı yeri izleyerek abartılmış bir modadan diğerine atlamaya bağımlı görünüyor
  • Bu, eğitim dünyasında oldukça tartışmalı bir pozisyon olduğu için biraz mücadeleci bir dille söylemek için sebep var
    Eğitimin büyük kısmı öğrencinin mevcut seviyesine uyum sağlamayı vurgularken, bazen bir bilgiyle kavramsal olarak karşılaşırken kaçınılmaz olan karmaşıklığın kendisini örtbas edebiliyor. Bazen büyük ve delinmesi zor bir soyutlamayı önce ezberleyip, uygulama yoluyla anlamı inşa etmek daha iyi olabilir. Pek çok bilgi, söylenenleri yalnızca bulanık biçimde anlarken bile ilerledikçe; deneme özgüveni ve isteği, özellikle de bir geri bildirim mekanizması olduğunda daha netleşir
  • Ben de benzer durumdaydım ama sanat okulunda cebir yoktu. Bilgisayarların nasıl çalıştığını anlamaya çalışırken matematiğin neden ilginç olduğunu öğrendim
    Büyük boşluklarım olduğunu biliyorum ama gerektiği kadar matematik kullanabiliyorum. Şimdi matematiğin kendisinden kaçınıp yalnızca matematiğin biçimini kullanmaya çalışıyorum
  • Birleşik Krallık öğretmen Twitter’ında gürültülü ama nazikçe tartışan iki kamp var: gelenekçiler ve ilerlemeciler
    İki taraf da eğitim psikolojisi araştırmalarını dayanak gösteriyor; ilerlemeciler daha çok büyük kurumlara ve uluslararası araştırmalara yaslanırken, gelenekçiler çoğu kez kendi sınıflarında araştırma yapıyor. Birleşik Krallık’ın resmi sınavlarında gelenekçi öğrenciler daha iyi görünüyor; ama bu sınavların bir ürünü de olabilir. Ayrıca öğretmenlerin yarısı 5 yıl içinde mesleği bırakıyor. 40 yıl, yaklaşık sekiz kuşak öğretmenin kendi önyargılarıyla eğitilip, sınıfta düşüncelerini rafine ettikten sonra sonraki kuşağı eğitmesine yetecek bir süre. Buna eğitim psikolojisi ekollerinin moda döngüleri ve hükümet politikası değişiklikleri de eklenince, 40 yıl önceki eğitim pratiği tarihten çok arkeolojiye yaklaşıyor
  • Üniversitede matematik öğretirken hızlı matris çarpımı bir yana, hızlı çarpma bile yapamayan çok öğrencim vardı
    Kaçınılmaz olarak öğrenmeye çalıştığımız yüksek soyutlama düzeyinden sürekli aşağı inip aritmetik denen düşük soyutlama düzeyiyle uğraşmak zorunda kalıyorduk; bunun sonucunda da yüksek soyutlamayı öğrenemiyorduk. Nesne yönelimli bir dilin türlü soyutlamalar kurabildiğini ama sayıları çarpamadığını hayal edin. Algoritmada çarpma gerektiği her seferinde aynı işi yapan birkaç satır assembly’yi elle yazmak zorunda kalsanız verim ne kadar düşerdi? Basitçe çarpma alıştırması yapmak gerekiyor

• Üniversitede matematik dersleri alırken, anladığımı sandığım şeylerle gerçek problemlerin ne kadar kafa karıştırıcı olduğu arasında her zaman büyük bir uçurum görürdüm. Yazarın bu olguyu dile getirmesine sevindim
  Konuyu gerçekten anlamış az sayıdaki öğrenci için problemler basit tekrar işidir; ama anlamayan öğrenci için öğrenme sürecinin en önemli parçasıdır. Matematiği anlamanın tam olarak tek yolu vardır: gerçekten matematik yapmak. Bunun yöntemi çeşitli olabilir ama problem çözmek önemlidir. Problemlerin ilginç olması gerektiğine inanıyorum; ancak tekrarlı hatırlama da önemlidir

  • Kodlama da aynı. Bir probleme çok iyi hazırlanmış şekilde girip ne yapılacağını bildiğinizi sansanız bile, çoğu zaman o problemi akıllıca çözecek bilgiye ancak birçok tekrarlı deney ve birden fazla denemeden sonra sahip olursunuz

• Yazarın nerede profesör olduğunu görünce bağlantıyı ancak kurdum. Coursera’daki Learning How To Learn eğitmenlerinden biri: https://www.coursera.org/learn/learning-how-to-learn

• FAANG mülakatlarına hazırlanıp elendikten sonra bakınca, geçmek için LeetCode’u tarayıp grafik arama kalıplarını, ağaçlarda genişlik öncelikli arama ve derinlik öncelikli aramayı, özyineleme kalıplarını vb. ezberlemekten başka yol yok gibi görünüyor.
  Doğal problem çözme yöntemiyle çözmeye kalkınca tek bir LeetCode problemi saatlerden günlere kadar sürebiliyor. Yazıya ve teknoloji sektörü standartlarına göre zekâ dediğin şey ezber demek oluyor. Hayatım boyunca konuları anlamaya çalıştım, ezberden kaçındım; şimdi ise ağır bir sahtekârlık sendromu yaşıyorum. Mülakatları geçen daha zeki insanların arasında bulunmayı hak etmiyor olabilir miyim diye mevcut teknoloji işimden kendi isteğimle ayrılmayı bile düşünüyorum. Teknoloji sektöründeki mülakat yöntemi doğru mu? Yardıma ihtiyacım var

  • Teknoloji sektöründe çok uzun süredir çalışıyorum ama FAANG tarzına yakın bir mülakata hiç girmedim; mülakattan teklife kadar sürecin bir haftadan uzun sürdüğü de olmadı.
    FAANG seviyesinde para kazanmıyorum ama ABD’de üçüncü kademe bir metropol bölgesinde, kendi yaş grubumdaki yerel medyan gelirin 2,5 katından fazlasını düzenli olarak kazandım. FAANG mülakatı bir oyundur. Bu kadar berbat ve hazırlığın şart olmasının nedeninin aday havuzunu uygun kişilere doğru yanlı hâle getirmek, yeterince çaresiz ya da çok zamanı olan kişileri seçmek, benzer seviyedeki şirketlere geçişi zorlaştırarak ücretleri düşük tutmak ve son olarak bir tür kabul töreni gibi işleyip aidiyet duygusu yaratmak olduğunu düşünüyorum. Kişisel algılamaya gerek yok
  • LeetCode problemlerinin çoğu, ders kitabı olarak CLRS kullanan bir dersi yakın zamanda almış yeni mezun bir CS öğrencisinin öğrenmiş olacağı içeriklere dayanır.
    Bu arka planın olduğu varsayılırsa başarının anahtarı problem çözme becerisini geliştirmektir. Yakın zamanda CLRS temelli bir ders almadıysanız, bu kavramları daha çok ezberleyip pratik yapmanız doğal
  • Apple’da mülakata girdim ve çalıştım, ama ekipten ekibe fark çok büyük olduğu için bunu sadece referans olarak görmek gerekir.
    Temelde iyi olmanız gereken şey, başlıca veri yapılarının çalışma zamanı karmaşıklığını hatırlamak ve kod yazacağınız platformun sunduğu temel yapılara aşina olmaktır. Java merkezli ekiplerde çeşitli Map türlerini, PriorityQueue’yu, Stack’i, dizileri ve Java referans davranışını hatırlamak önemliydi. Bu yapıların ne zaman işe yaradığına dair bir miktar sezginiz varsa algoritma kısmı o kadar zor değildi. Örneğin mülakatta LRU cache’i, özellikle de tüm işlemleri sabit zamanda olan bir LRU cache gerçekleştirimini sevdikleri anlaşılıyordu. En kolay yol, çift bağlı bir liste oluşturup bu listenin düğümlerinin hashmap içindeki bir sarmalayıcı türe işaret etmesini sağlamaktır. Çok zor değil ama hangi veri yapısının işe yaradığını bilmeye alışık olmanız gerekir; bu durumda yeni başlayanların sık yaptığı hata bunu min-heap ile yapmaya çalışmaktır
  • Derinlik öncelikli arama, adından da anlaşılacağı gibi önce derinliği aramaktır. Orada neyi “ezberlemek” gerektiğini pek bilmiyorum; ama kısaltmayı ezberlemek gerekiyorsa, bunun önemli olduğunu düşünürüm