Matematik Öğrenme Yöntemi (2017)
(math.uh.edu)- Üniversite matematiği, lise matematiği gibi belirli durumlara algoritma uygulanan bir ders değil; tanımlar, teoremler ve ispatlar temelinde uygun yöntemi seçme muhakemesini de gerektirir
- Tanımlar sezgiyle geçiştirilemez; mantıksal yapı ve uygulanma kapsamı kavranmalı, örnekler ve karşı örneklerle kontrol edilmeli, ardından tam ifadeleri öğrenilmelidir
- Teorem, önerme, lemma ve sonuç gibi adlar, sonucun rolünü ve önem derecesini gösterir; varsayımlar ve sonuç, kullanım örnekleri ve varsayımların gerekliliği birlikte anlaşılmalıdır
- İspat, üniversite matematiğinde isteğe bağlı değildir; teoremin ifadesini önce anlamak, büyük stratejiyi görmek ve atlanan ayrıntı adımlarını doldurmak, onu doğru uygulamak için gereklidir
- Problem çözme becerisi yalnızca tekrar alıştırmasıyla yeterince gelişmez; birden çok çözüm denemek, rastgele problemler çözmek ve hangi tekniğin kullanılacağını seçme muhakemesini geliştirmek gerekir
Üniversite matematiğinin lise matematiğinden farkı
- Lise matematiği zamanın büyük bölümünü algoritmalara ve işlem tekniklerine ayırır; öğrenciden bunları belirli durumlarda uygulaması beklenir
- Yalnızca bu çalışma alışkanlıklarıyla üniversite matematiğini takip etmek zordur ve bu hem öğrenciler hem de hocalar için hayal kırıklığı yaratabilir
- Üniversite matematiğinin ilk büyük farkı, öğrencilerin genellikle teori dediği kısma çok daha fazla vurgu yapmasıdır
- Tanımları ve teoremleri doğru biçimde ifade eder
- Teoremin geçerli olmasını sağlayan mantıksal süreci ele alır
- Tanımın neden uygun olduğunu gösteren örnekleri ve teoremi pratikte nasıl kullanacağınızı birlikte ele alır
- Ders açıklamasında
rigorousifadesi varsa, bu tanım ve teoremlerin çok dikkatli biçimde ifade edildiği ve teoremler için kulağa makul gelen açıklamalar değil ispatlar sunulduğu anlamına gelir - Teoriyi kabaca okuyup hemen problemlere geçmek, üniversite matematiğinde zorluk çıkarır
- İkinci fark, tekniklerin ve uygulama problemlerinin ele alınış biçimidir
- Lisede çoğu zaman bir seferde tek bir teknik öğrenilir
- Üniversite matematiğinde bir problem için birden fazla yaklaşım mümkün olabilir ve bunlardan hangisinin daha iyi olduğu seçilmelidir
- Bu yüzden teknik ustalığın yanı sıra problem çözmede muhakeme geliştiren çalışma alışkanlıkları gerekir
Tanımları çalışma yöntemi
- Matematikte tanım, bir kavramı daha önce tanımlanmış kavramlarla ya da
number,setgibi tanımsız kavramlarla ilişkilendirerek onu kesin sınırlarla belirleyen ve adlandıran bir ifadedir - Sezgisel his gereklidir, ancak üniversite düzeyinde yeterli değildir; tanımın resmi ifadesi ve anlamıyla doğrudan uğraşmak gerekir
-
Tanımın ne söylediğini tam olarak anlamak
- Tanımlar hızlı okuma çalışması yapılacak yer değildir
- Yerleşik tanımlarda genellikle boşa kullanılan sözcükler ya da gereksiz semboller yoktur;
and,or,if ... then,for all,there isgibi küçük sözcükler mantıksal yapıyı gösterir - Önce tanımın hangi genel kategorideki nesnelerden söz ettiğini kavramak gerekir
- Polinom tanımı belirli türde bir cebirsel ifadeden söz eder
- Sürekli fonksiyon tanımı belirli türde bir fonksiyondan söz eder
- Vektör uzayının baz tanımı belirli türde bir vektör kümesinden söz eder
- Ardından, o genel kategorideki bir nesnenin tanımı sağladığını göstermek için ne yapılması gerektiğini yorumlamak gerekir
-
Örneklerle tanımın kapsamını kontrol etmek
- Standart örnekler yararlıdır, ancak tüm örneklerin standart örneklere benzeyeceğini beklemeye yol açabilir
- Bir tanımı anlamak için kendi örneklerinizi üretmelisiniz
- Tanımı sağlayan ama birbirinden mümkün olduğunca farklı 3 örnek oluşturun
- Aynı genel kategoriye ait olup tanımı sağlamayan 2 örnek oluşturun
- Bu 5 örneğin gerçekten amaçlandığı gibi çalıştığını ispatlayın
- Bu tür ispatlar genellikle kısadır ve tanımın yapısını neredeyse aynen izler
- Kendi yazdığınız örnekler, tekrar ederken kitaptaki ya da hocanın verdiği örneklerden daha anlamlı olur
-
Tam ifadeyi ezberlemek
- Bir tanımı kullanmak için tanımın tam olarak ne söylediğini bilmek gerekir
- Sınavda bir tanımın ifadesini soran bir soru çıkabilir
- Tanımlara ilişkin sağlam bilgi, tüm öğrenmenin büyük bir bölümünü oluşturur; buna harcanan zaman boşa gitmez
Teorem, önerme, lemma ve sonuçlarla çalışma
- Tanımlar birbirine bağlandığında ve genel problemlerle ilişkilendirildiğinde gerçekten işler; bunu yapan şey teoridir
- İspatlanan sonuçlara verilen adlar, göreli önemlerini ve amaçlanan kullanım biçimlerini bir ölçüde gösterir
- Teorem, kavramın problem çözmede nasıl kullanıldığına ya da dersin nasıl işlediğine dair temel bir içgörü veren önemli bir sonuçtur; ispatı çoğu zaman derin ve karmaşıktır
- Önerme, daha küçük bir sonuçtur; çoğu zaman farklı tanımları birbirine bağlar ya da bir tanımın başka biçimlerini verir ve ispatı genellikle teoreminkinden daha az karmaşıktır
- Lemma, bir teoremin ispatında kullanılan teknik bir sonuçtur; aynı yöntem birkaç kez kullanıldığında ayrı tutulur ve tekrarlı ispatlardan kaçınmayı sağlar
- Sonuç, bir teoremin doğrudan sonucudur; özel bir durum verir ya da teoremin ilginçliğini ve önemini ortaya koyar
- Yazar ya da hoca bu adları özenle kullanmışsa, neyin önemli olduğunu anlamaya yardımcı olur
-
Teoremin ifadesini anlamak
- Teoremler tanımlanmış terimleri kullanır; bu yüzden teoremin sözcüklerini anlamak için ilgili tanımlara yeniden bakmak gerekebilir
- Teoremin mantıksal yapısında varsayımları ve sonucu ayırt etmelisiniz
- Birden çok varsayımın hepsinin gerekli olup olmadığını, bazılarının tek başına yeterli olup olmadığını kontrol etmelisiniz
- Çoğu teorem, tüm varsayımlar sağlandığında uygulanır
- Varsayımları sağlamayan durumlar hakkında teorem hiçbir şey söylemez
- Varsayımlar, belirli bir örneğe teoremi uygulamak için neyi göstermeniz gerektiğini; sonuç ise teoremin o örnek hakkında ne söylediğini gösterir
-
Teoremin nasıl kullanıldığını kontrol etmek
- Teoremin yanıtı bulmak için bir teknik sağladığı problem örnekleri aramalısınız
- Kendi probleminizi üretmeli ve teoremin nasıl yardımcı olduğunu göstermelisiniz
- Bunları yazmak, teoremin zihninizde daha sağlam yer etmesini ve tekrarın kolaylaşmasını sağlar
-
Varsayımların rolünü kontrol etmek
- Her bir varsayımı kaldırdığınızda sonucun yanlış olabileceğini gösteren örnekler bulmak yararlıdır
- Kalkülüsteki birçok teorem, fonksiyonun sürekli olduğu varsayımına sahiptir; bu varsayım kaldırıldığında teoremin neden başarısız olduğunu örnekler daha açık gösterebilir
- Bu tür örnek listeleri yararlıdır;
Counterexamples in AnalysisveCounterexamples in Topologygibi kitaplar örnek olarak verilir - Bazı durumlarda bir varsayım, sonuç için özsel olduğundan değil karmaşık ispatı kolaylaştırmak için konmuş olabilir; bu yüzden her varsayımın zorunlu olduğunu gösteren bir örneği her zaman bulmak mümkün değildir
-
Teoremin ifadesini ezberlemek
- Bir teoremi kullanmak için onun tam olarak ne söylediğini bilmek gerekir; özellikle varsayımlara dikkat edilmelidir
- Teoremin ispatını ezberlemeye çalışmak yerine, onu kendi başınıza ispatlayabilecek kadar anlamak daha iyidir
Dersin genel yapısını yerine oturtmak
- Matematik, dağınık teknikler koleksiyonu değil; bir düşünme biçimi ve bütünlüklü bir derstir
- Çalışmanın bir parçası, çeşitli tanım ve teoremleri birbirine doğru biçimde bağlamaktır
- Bu iş özellikle dönem sonunda önemlidir, ancak öğrenme sırasında da genel örgüyü akılda tutmak dersin içeriğini ve sıralanışını anlamaya yardımcı olur
-
Geriye doğru iz sürmek
- Önemli bir sonuca ulaştığınızda, ispatında daha önceki hangi sonuçların kullanıldığına bakmak yararlıdır
- Bu önceki sonuçların da hangi daha eski sonuçlarla ispatlandığını izlerseniz sonunda tanımlara geri dönebilirsiniz
- Ancak kalkülüste ara değer teoreminin ispatının atlanması gibi bazı teoremler ispatsız verilebilir
- Bu bilgiyi sonuçların soy ağacı gibi düzenlemek, teorinin nasıl birbirine geçtiğini bir bakışta görmenizi sağlar
- Ortalama değer teoremi örneğinde Rolle teoremi, aday lemma, türev işaretinin anlamı, türev tanımı, maksimum ve minimum tanımları, kapalı aralık tanımı, en küçük üst sınır aksiyomu, süreklilik tanımı vb. birbirine bağlanır
-
Tanım-teorem taslağı oluşturmak
- Her ana teoremden tanımlara doğru geriye iz sürerseniz, hangi sonucun diğerinden önce gerekli hale geldiğini anlayabilirsiniz
- Bazı tanımlar, belirli bir teorem ispatlanmadan anlam kazanmakta zorlanır
- Vektör uzayının boyutu, söz konusu sayının tekil olduğunu bilmeden adlandırılamaz; bunun için bir teorem gerekir
- Tanım-teorem taslağı, her sonucun ispatta gerekli hale gelmeden önce tanıtılacak şekilde düzenlenmiş halidir
- Bu taslakta tüm tanım ve teoremlerin tam ifadeleri ile her teoremin ispat eskizi bulunmalıdır
- İspat eskizi, hangi önceki sonuçların kullanıldığını ve nasıl birleştirildiğini gösterir; hesap sadeleştirmeleri ya da varsayım kontrolü gibi rutin adımlar genellikle atlanır
- Böyle bir taslak, tekrara başlamak için iyi bir yol ve daha sonra başvurmak için yararlı bir kaynaktır
İspatı anlama yöntemi
- Üniversite düzeyinde matematik çok sayıda ispatı takip etmeyi gerektirir; bu, lise matematiğinde ispatların olmamasından ya da isteğe bağlı olmasından farklıdır
- İspatları takip etmek alışılmadık ve zor bir iş olduğu için sevilmeyebilir
-
Önce teoremin ifadesini bilmek
- Varsayımlarla sonucu karıştırırsanız neyi varsayabileceğinizi ve sonuç olarak neye ulaşmanız gerektiğini bilemezsiniz
- İspatı anlamanın ilk adımı, ilgili teoremin tam olarak ne söylediğini bilmektir
-
İspatın büyük çerçevesini yakalamak
- Önce hangi önceki sonuçların kullanıldığına ve ispatın temel stratejisinin ne olduğuna bakmalısınız
- İlk geçişte ayrıntıları atlamalısınız ki genel yönü kaçırmayasınız
- Çoğu teorem çıkarım biçimindedir; en kolay ispat yapısı, varsayımları kabul edip önceki sonuçları birleştirerek sonuca ulaşmaktır
- Karşıt tersle ispat, olmayana ergi, matematiksel tümevarım ve seçim aksiyomunun bir biçimi olan Zorn lemmması gibi yöntemler de strateji olarak kullanılabilir
-
Atlanan ayrıntı adımlarını doldurmak
- Stratejiyi anladıktan sonra taktiklere odaklanmalısınız
- Lisans ders kitaplarındaki ispat açıklamaları ve daha yüksek düzeydeki tüm ispat açıklamaları birçok rutin adımı atlar
- Bir ifade sadeleştirilmişse satır aralarındaki hesapları doldurmalısınız
- Bir teorem alıntılanıp uygulanmışsa tüm varsayımların gerçekten sağlandığını kontrol etmelisiniz
- Bazı kısımlar okuyucuya bırakılmışsa bu ayrıntıları kendiniz tamamlamalısınız
- Bitirdiğinizde her adımın önceki adımdan neden çıktığını bilmelisiniz; o ispatın nasıl akla geldiğini mutlaka bilmeniz gerekmez
-
Neden ispat öğrenmeliyiz
- Matematik bölümü öğrencileri için yanıt açıktır, çünkü matematiğin büyük bölümü ispatlardan oluşur
- Matematiği uygulamak isteyen öğrenciler için de ispat gereklidir
- Başka alanlardaki uygulamaların, matematik ders kitaplarındaki uygulama problemleriyle birebir aynı olmaması çok muhtemeldir
- Bir matematik dersi bilinen tüm uygulamaları ele alamaz; matematik literatüründe her iki haftada yaklaşık 500 uygulama makalesi yayımlandığı söylenir
- Teoremin varsayımlarını bilmek, teoremi çalışmadığı bir yerde yanlış uygulamamanızı sağlar
- Gerektiğinde başarısız olan varsayımın etrafından nasıl dolaşılacağını görmek için ispatı bilmek yardımcı olur
- Uygulamalı matematiğin büyük tuzaklarından biri, matematiksel modelin varsayımlarını kolaylık olsun diye yok saymaktır
- Matematikçi olmayanlar uygulamalı matematik yaptığında bu risk özellikle vardır
- Matematikçiler uygulamalı matematik yaptığında ise gerçekle ilgisi olmayan modeller kurma tuzağına düşme olasılıkları daha yüksektir
- Birçok uygulama, başka alanların terimleriyle ifade edilmiş matematiksel kavramların tanımlarını tanımaktan ibarettir
- İspatlar, tanımların ince farklarını ve beklenmedik eşdeğer biçimlerini net biçimde gösterebilir
- Matematikte ispat, geçerliliğin nihai sınavıdır
- İspatın mantıksal sürecini kabul ettiğinizde, sonraki gözlemler ya da eğilim değişiklikleri matematiksel sonucun geçerliliğini değiştirmez
- Matematikte ispat yoksa ciddi bir eksiklik vardır; hatta bunun matematik olmadığı söylenebilir
Problem çözme tekniklerini geliştirme yöntemi
- Matematik derslerinin yaklaşık üçte biri ile yarısı tekniklerle ilgilidir
- Teknik, teoremin yalnızca genel biçimde kalmayıp belirli durumlarda işlemesini sağlayan süreçtir
- Bazı durumlarda ispat açık bir inşa verdiği için bunu özel durumlarda takip etmek yeterlidir
- İntegral teknikleri gibi bir probleme birden çok yaklaşım ve birden çok püf noktası uygulanabildiğinde muhakeme gerekir
-
Önce teoremleri ve örnekleri okumak
- Problem çözmeyi dersin diğer içeriklerinden bağımsız bir süreç gibi ele almak öğrenmeyi zorlaştırır
- Problemler çoğu zaman önceki ana teoremlerin ispatlarında açıkça verilen kalıpları izler
- Genel kalıbı önceden bilmek, onu deneme yanılmayla bulmaktan daha kolaydır
-
Yeterince problem çözerek tekniği öğrenmek
- Tek bir tekniğin zihninizde sağlam yer etmesi için yeterince çok problem çözmelisiniz
- Eğitimin nihai sorumluluğu öğrencidedir; bu yüzden verilen ödevlerden daha fazla probleme ihtiyacınız varsa kendi başınıza alıştırma yapmalısınız
-
Aynı problemi birden fazla yolla çözmek
- Bir tekniği çalışırken bir probleme yalnızca tek bir yaklaşım olduğunu düşünmek kolaydır
- Bazı yaklaşımlar kolay, bazıları karmaşık olabilir; ancak birden fazla çözümün benzer derecede iyi çalıştığı durumlar da çoktur
- Karmaşık bir yaklaşım, çok adımlı ve birden çok teknik gerektiren problem çözme pratiği sağlar
-
Rastgele problem seti oluşturmak
- Birden fazla teknik öğrenirken zorluk, çözüme başlamadan önce hangi tekniği kullanacağınıza karar vermektir
- Ders kitabı problemleri genellikle hemen önce öğrenilen tekniği kullanacak şekilde gruplandığından bu zorluğu artırabilir
- Her problem setinden 2-3 problem seçip 3×5 kartlara yazar ve karıştırırsanız, hangi tekniği kullanacağınıza karar verme alıştırması için bir problem seti oluşturabilirsiniz
Son çalışma alışkanlıkları
- Matematik cümlelerinde tekrar çok azdır ve matematik çok birikimli bir derstir
- Bir kez tanıtılan kavramlar nadiren tekrar edilir ve daha sonra zaten bilindiği varsayılır
- Problem çözmeden önce kitabı okumaya yeterli zaman ayırmalısınız
- Çoğu öğrenci, ders sırasında eksiksiz ve okunaklı not tutacak kadar hızlı yazamaz
- Dersten hemen sonra notları yeniden gözden geçirmek ve tanımlarla teoremlerin açıkça yazıldığı temiz bir son kopya oluşturmak yararlıdır
- Bu süreç, anlamadığınız kısımları bulup hocaya zamanında soru sormanıza da yardımcı olur
- Geri kalmamalısınız
- Matematik kesinlik, açık düşünme alışkanlıkları ve pratik gerektirir
- Sınavdan hemen önce son dakika çalışması istenen sınav sonucunu getirmemekle kalmaz; matematiği anlamak yerine ezberle yapmaya dönük kötü alışkanlığı da pekiştirir
- Son dakika ezberinden çok, yeterli uyku ve açık bir zihin daha faydalıdır
1 yorum
Hacker News yorumları
Matematik doktoram var ve birkaç makale de yayımladım, ama benim önerim tek bir meta ilke: matematikten keyif almak gerekir
Benjamin Finegold’un satrancın sırrının her hamleden keyif almak olduğunu söylemesine benziyor. Kişisel olarak matematikte hiç zorlanmadım; bunun sebebinin de semboller yazmayı, yeni teoriler öğrenmeyi ve kendim bir şeyler üretmeyi gerçekten sevmem olduğunu düşünüyorum
Herkes baştan matematikten keyif almaz, ama bunun en az yarısının matematikten keyif almaya giden belirgin bir yol bulamamış olmaktan kaynaklandığını düşünüyorum. Lise matematiği çoğu zaman harika sanatsal ve mantıksal bir keşif olarak öğretilmiyor
Bu yüzden o yolu zaten bulmuş bir mentor ile tanışıp ondan matematikten keyif almayı göstermesini istemek iyi olur. Gerçekten matematiği sevmeyen ve zor bulan pek çok öğrenciye ders verdim; birkaç dersten sonra gözlerinde “Bu bayağı havalıymış?” bakışını sık sık görürdüm
Mantık, çalışma yöntemleri, sıkıcı verimlilik teknikleri uygulamadan önce keyif almanın bir yolunu bulmak gerekir
Onlar matematiği acı bir ilaç içmek ya da karmaşık, katı bir beceriyi çalışmak gibi görüyor; bu yüzden öğretme biçimleri de beceriksiz ve otoriter oluyor, öğrenciler pasif ya da isyankâr hale geliyor
Yakın zamanda Kanada’da Manitoba hükümeti matematik öğretmenlerinin üniversitede matematik dersleri almasını zorunlu kılmayacak şekilde değişiklik yaptı; eğitim fakültelerinin bunu güçlü biçimde desteklemesi, bence matematik öğretmenlerinin matematikten ne kadar nefret ettiğini gösteriyor
Pek çok kişi bir şeyi sevmekle, onu iyi yapıp bundan iyi hissetmeyi karıştırıyor. Bu yüzden bir alan artık doğal biçimde çözülebilir olmaktan çıktığında, daha sonra bölüm değiştirip güçlü yanlarının işe yaradığı bir yere geçiyorlar
Sorun çok erken pes etmek; bunu engellemek için başta özgüven inşa etmek önemli. İnsan kendini yapamıyor gibi hissederse keyif alması neredeyse imkânsızdır, bu yüzden temel düzeyde ustalık keyfin ve sonraki başarının ilk adımı olur
Doktora sahibi değilim ama küçük öğrencilere epey matematik özel dersi verdim ve matematiğin eğlenceli ve hayranlık uyandırıcı olduğu duygusunu geliştirecek yeni yolları hep arıyorum
Birçok öğrenci için matematik neredeyse anlamsız bir acı gibi derinlere yerleşmiş durumda ve yetersizlik ya da utanç duygusuyla da güçlü biçimde bağlantılı; bu yüzden kolay değil
İnsan kendini matematikten keyif almaya nasıl ikna edebilir ki?
Lisans döneminde tüm matematik derslerindeki sırrım problem çözmekti
Ders kitabındaki her bölümün sonundaki tüm problemleri çözdüm; kütüphanede başka ders kitapları bulup onların bölüm sonu problemlerinin de hepsini çözdüm
Yüksek lisansta bunu daha da ileri götürdüm: ders kitabının bütün bölümlerini yeniden yazarak ispatların ara adımlarını doldurdum. Yazarın “dolayısıyla …” ya da “açıktır ki …” diye geçiştirdiği kısımları bile tamamladım
20 yıl sonra bağlam olmadan okuyan bugünkü ben içinse hiç de aşılabilir değiller
Temel tanımları tekrar tekrar çalıştım ve aralıklı tekrar ile gözden geçirdim; Cornell not alma yöntemi derste düzenleme ve tekrar için rahattı
Çözemediğim ya da çözdüğüm problemleri, neden takıldığımı, neyin işe yaradığını vb. kaydettiğim bir düşünme günlüğü tuttum; bu tür üstbiliş yeni problemlere transferde işe yaradı
Birbirine bol bol açıklama yapan çalışma grupları da çok yardımcı oldu
İnsanlar için en iyi strateji olduğunu düşünmüyorum. Öğrencilerin analitik ve kavramsal olarak öğrenmesine yardımcı olan matematik materyalleri üretmeliyiz
Tıpkı biyoloji öğrenme biçimi gibi
Soracak bir şeyin olmasa bile o saatte ödevini yapıp başkalarının sorularını dinleyebilirsin
Sadece daha çok öğrenmekle kalmazsın; asistanın çabanı fark edip kısmi puanlarda ya da not sınırındayken lehine değerlendirme ihtimali de artar
Örneğin CLRS’deki tüm problemleri çözmenin imkânsız olduğunu düşünüyorum. Hocam evrensel hashing hakkında bir problem vermişti; doğru ispatın kilit içgörüsünü elde etmek bile saatler sürdü
Birçok rakip önceliğin olduğu bir durumda, gerçekten yetenekli az sayıda kişi dışında herkesin tüm problemleri nasıl çözebileceğini hayal edemiyorum
Okuldan üniversiteye geçerken ilk alışılması gereken şey, tamamen kaybolmuş ve yenilmiş hissetme hâli
Lisenin sonunda her şeyi çözebiliyordum; IB sınavlarında bolca zamanım kalıyordu ve resmi müfredattaki problemler arasında çözemediğim bir şey görmeyeli aylar olmuştu
Üniversiteye gidince, az önce dinlediğim dersle problem kâğıdının ne ilgisi olduğunu bile anlayamadığım problemler çıktı. “Bu dersi dinledim ve bu bilgiyle bu problemi çözmem gerekiyor, ama problemin kendisinin ne anlama geldiğini bilmiyorum” hissi
Öğrenme tam da o sinir bozucu şekilde kafanı duvara vurma sürecinde gerçekleşir. Okur, daha çok okur, notlarını işe yaramaz türetmelerle doldurursun; sonunda bir biçim ortaya çıkar
Üniversitede materyal miktarı o kadar büyüktür ki sınırlı zamanda kimse sana hepsini açıklayamaz. Öğrencinin temel fikirleri kapması, geri kalanını ise kendi zamanını harcayarak doldurması gerekir
Benim gittiğim üniversitede dönem öncesi matematik tekrarı kursu vardı ve doğal sayıların toplanmasından başlıyordu. İki gün içinde okulda 13 yıl boyunca öğrendiğimiz her şey tekrar edildi
Beklentileri acımasızca sıfırlayan bir süreçti, ama artık okulda olmadığımızı ve farklı türde bir çalışma ile odaklanma gerektiğini herkese net biçimde gösterdi
İlgili bağlantılar:
How to Study Mathematics (2017) - https://news.ycombinator.com/item?id=26524876 - Mart 2021, 73 yorum
How to Study Mathematics (2017) - https://news.ycombinator.com/item?id=16392698 - Şubat 2018, 148 yorum
Bonus: Ask HN: How to Study Mathematics? - https://news.ycombinator.com/item?id=23074249 - Mayıs 2020, 31 yorum
Ask HN: How to self-study mathematics from the undergrad through graduate level? - https://news.ycombinator.com/item?id=18939913 - Ocak 2019, 227 yorum
Ask HN: How to self-learn math? - https://news.ycombinator.com/item?id=16562173 - Mart 2018, 211 yorum
İlginç biçimde bu rehber, sezgisel kavrayışın okul düzeyi matematik için uygun olduğunu ama üniversite düzeyi için uygun olmadığını söylüyor.
Buna karşılık David Bessis, yakın tarihli “Mathematica: A Secret World of Intuition and Curiosity” kitabında sezginin matematiksel kavrayışın her düzeyinde “sır” olduğunu savunuyor.
Buradan nasıl bir sonuç çıkarmak gerektiğini bilmiyorum ama eski üniversite matematiği deneyimime göre sezgi, konuyu anlamayı geliştiren güçlü bir araçtı.
Bir lise öğrencisi lise matematik problemi gördüğünde, K-12 matematik deneyiminin tamamına dayanarak çözüm sezgisini çıkarır. Lisans matematiğine geçildiğinde mevcut deneyim artık yeterli olmadığı için zorlanır.
Daha soyut problemler ve çok daha yüksek bir kesinlik gerekir; problemler de çoğu zaman lise matematiğine kıyasla Bloom taksonomisinde [1] daha yüksek düzeylerde işler. Ortalama bir lise öğrencisinin neredeyse hiç deneyimi olmayan bir alan olduğu için sezgi kolay oluşmaz.
Deneyim biriktikçe lisansın ilerleyen yıllarında, yüksek lisansta ve sonrasında sezgi geri gelir; ama özünde farklı türde bir sezgidir. Lisede daha çok görsel ve geometrik sezgi varken, ileri matematikte soyutlamalara ve problemi ele almak için kullanılacak araçlara dair sezgiye dönüşür.
Bir programcının bir probleme bakıp “hash map gerekiyor; o zaman bu problem önemsizleşir” demesinden farklı değil.
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Bloom's_taxonomy
Çünkü gündelik hayatta geometrik nesnelere ya da iki boyutlu kalkülüs eğrileri gibi şeylere dair bir his vardır.
Üniversite düzeyinde nesneler daha soyut olduğundan gündelik sezgi artık geçerli olmayabilir. Yeni bir tür sezgi oluşabilir; ama biçimsel prosedürlere ve hesaplamalara çok zaman ayırmayı, o zamana dönüp bakmayı ve sezgiyi doğuracak yeni metaforları etkin biçimde kurmaya çalışmayı gerektirir.
Örneğin bir profesörün, karmaşık düzlemde holomorf fonksiyonlarda yerel bir özelliği kanıtladığınızda bunun küresel davranış için de doğru olmasını açıklamak için Cat's Cradle’daki Ice-9 metaforunu kullandığını hâlâ hatırlıyorum.
Gerekli olmadığı anlamında değil; yeter koşul olmadığı anlamında.
Tao’nun ifadesiyle, teknik beceriyi yeterince geliştirdikten sonraki kesinlik-sonrası aşamada sezginin değeri çok daha artar.
https://terrytao.wordpress.com/career-advice/theres-more-to-...
Bessis gerçekten de sezgi ile tekniklerin birbirini iyi tamamladığı örnekler de veriyor.
Gian-Carlo Rota’nın The Lost Cafe’sinden alınan Sitzfleisch alıntısı etkileyici.
Almanca Sitzfleisch, masanın başında sonsuz saatler geçirerek zorlu işleri yapabilme yeteneği anlamına geliyor; matematikçiler de bunu, psikologların zaman zaman ortaya attığı çekici yetenek tanımlarından daha iyi bir başarı ölçütü olarak görüyorlarmış.
Ama Stan Ulam, Sitzfleisch olmadan da ayakta kaldı. Ensefalit geçirdikten sonra zarar görmemiş hayal gücüyle fikirler üretiyor, teknik destek içinse başkalarının Sitzfleisch’ine yaslanıyordu.
İçgörülerinin güzelliği ve önerilerinin potansiyeli sayesinde genç işbirlikçiler kendi zamanlarını seve seve ödünç veriyor, bazen boşa harcama riskini bile göze alıyordu.
Kaynağı burada bulunan bir alıntı: http://www.romanpress.com/Rota/Rota.php
Benim durumumda, tüm ispatları kendim yapmaya çalıştığımda tamamen yeni bir seviyeye ulaştığımı hissettim.
Eskiden konuyu birkaç kez okuduktan sonra tanımlara ve ispatlara tek tek bakar, önce önermeyi hatırlamaya çalışır, ardından onu kendim ispatlamaya uğraşırdım. Böyle yapınca yazıda söylenen şeylerin neredeyse tamamı dolaylı olarak gerçekleşiyor.
İlginç olan şu ki, bunu yaptıktan sonra eskiden karmaşık gelen alıştırmaların çoğu doğrudan çözülebilir problemlere dönüşüyordu. Neredeyse alıştırma çözmeye gerek bırakmayan bir hile kodu gibiydi.
Üniversitede farklı seviyelerde ders verirken her yıl, evde teoremlerin ispatını aklından geçirmeyi deneyen biri olup olmadığını sorardım; hiç kimse çıkmazdı. Bunu yapmaları gerektiğini söylediğimde de her zaman şaşırırlardı.
Bu yazıda matematik çalışmanın metası eksik.
Nasıl öğrendiğinize dair yaratıcı bir öz değerlendirme, üniversitenin ortalarından itibaren gerçekten karşılığını vermeye başlıyor.
Geleneklerle kurulan ilişki, tekniklerle kurulan ilişki kadar önemli hale geliyor. Bir şeyin “bütününü” anlamak için, şu anda baktığınız sunum biçiminin hangi önyargılarla şekillendiğini de anlamalısınız. Muhtemelen o önyargıları soyup atmak isteyeceksiniz.
Matematiği değiştirmek isteseniz de sadece öğrenmek isteseniz de aynı şey geçerli. Başkalarının istediği gibi yapmaya yönelik pasif tutum, hayal kırıklığına giden yoldur.
HN’de görüp MathAcademy.com’a kaydoldum; son deneyimim beni çok hoş bir şekilde şaşırttı.
50’li yaşlarımda, 35 yıl önceki lise matematiğini yeniden öğrenmek istediğim için Foundations serisini hızlıca ilerlettim; şu anda Foundations 3’ün yaklaşık yarısındayım ve 9 hafta boyunca günde 2 saat çalışarak yaklaşık 9000 XP biriktirdim.
2025’te daha yavaş bir tempoyla üniversite düzeyinde 1–3 ders denemeyi planlıyorum.
Kendi kendine öğrenen biri olarak öğrenme tarzıma iyi uydu. Keyifli, ölçülebilir, zorluk seviyesi ayarlanıyor; “duvarlara” ya da “karşılanmamış bağımlılıklara” çarpmıyorum ve çözemediğim problemlerin açıklamaları da kapsamlı.
En büyük farkındalığım, tekrar ve ezber için çok fazla not bırakmadan da öğrenilebildiğiydi. Deneyim ve aralıklı tekrar yeterliydi. Noel tatili, öğrenmenin gerçekten oturup oturmadığını görmek için bir sınav olacak.
9 haftada 9000 XP gerçekten etkileyici bir hız.
“Geri kalmayın” cümlesi beni çok etkiledi.
Ben, birinci sınıftaki bazı konularda zorlanıp ne yardım isteyen ne de yeterince zaman ayıran, sonunda da toparlayamayan tembel matematik lisans öğrencilerinden biriydim.
Öğretimin de yer yer çok kötü olduğunu düşünüyorum. “Sadece inanın” diye geçiştirmek ya da “bu açık, tamamlamasını size bırakıyorum” demek gibi; 18 yaşındaki biri için açıkçası berbat.
“Analiz 1”den %30 almış birini bir sonraki dönem doğrudan “Analiz 2”ye itip kendi başına aklını başına toplamasını bekleyen bir sistemin düzgün bir sistem olduğunu düşünmüyorum.
Üniversitede matematikle geçirdiğim zaman gerçekten eziyetliydi; belki de mühendislik ya da bilgisayar bilimi gibi daha uygulamalı bir şey yapmalıydım.
Birisi “Okulda biyolojiyi seviyorsan üniversitede psikoloji, kimyayı seviyorsan biyoloji, fiziği seviyorsan kimya, matematiği seviyorsan fizik, felsefeyi seviyorsan matematik oku” demişti; keşke dinleseydim.
Yine de tamamen olgun bir yetişkin olduktan sonra, saçma zaman sınırları ve not baskısı olmadan matematiğe istediğiniz zaman yeniden bakabilirsiniz.
Bence matematik zaman baskısına pek uygun değil. Matematik, fikirlerle uzun süre birlikte olmak, onlarla oynamak, risk almak ve aptalca tahminler de yapmaktır. Özünde oyundur; zaman baskısı kimseye yardımcı olmaz.
İlginiz varsa her zaman geri dönebilir, isterseniz dersleri yeniden alabilirsiniz. Kendi kendine öğrenenler için iyi kitaplar ve birlikte öğrenen topluluklar da çok.
Ancak meselelerin en temeline inip her şeyi anlamak ve bilimin temel sorularını çözmek istiyorsanız, bunu tersine çevirmek isteyebilirsiniz.
Biyolojiyi sevdiyseniz, yaşam süreçleri elektrokimyasal süreçler olduğu için kimya çalışmak; kimyayı sevdiyseniz, moleküller ve atomlar, oluşumlar ve tepkimeler fiziksel süreçler olduğu için fizik çalışmak gibi.