Herkes matematiksel düşünebilir ve bunun faydasını görebilir
(quantamagazine.org)- Matematikçi David Bessis, matematiği sembol manipülasyonu değil, sezgi ile mantık arasındaki diyalog olarak görüyor; insanlar da bunu gündelik yaşamlarında zaten yapıyor
- Mathematica: A Secret World of Intuition and Curiosity, matematikçinin zihninde olan bitenler üzerinden matematiği insanın içsel deneyimiyle ilişkilendiriyor
- Bill Thurston, Alexander Grothendieck ve René Descartes örnekleri, matematiksel yeteneğin doğuştan gelen bir özden çok sezgiyi sorgulayıp inceltme pratiğine yakın olduğu fikrini destekliyor
- Okul matematiği mantık ve biçimselliğe ağırlık verse de insanlar daireleri ve sayıları zihinlerinde işleyerek soyut sayı sistemlerini zaten içselleştiriyor ve derin matematik yapıyor
- Matematiksel düşünmeyi geliştirmek, problem çözmenin ötesinde sevinç, berraklık, özgüven, yaratıcılık ve duygusal yaşama katkı sağlayan bir kendini geliştirme tekniği olabilir
Matematik, görünen sembollerden çok görünmeyen bir sürece yakındır
- David Bessis’in matematiğe çekilme nedeni, birçok insanın matematikten uzak durma nedenine de temas ediyor
- Müzik duyulur, resim görülür; ama matematik büyük ölçüde içsel bir süreçtir, bu yüzden dışarıdan görünmez
- O, bu görünmeyen süreçte büyüleyici bir sihir hissediyor
- Bessis, 1990’ların sonlarında Paris Diderot University’de matematik doktorasına başladı ve ardından yaklaşık 10 yıl boyunca geometrik grup teorisi üzerine çalıştı
- 2010’da araştırma matematiğini bırakıp bir makine öğrenmesi girişimi kurdu
- O, problem çözmekle yetinmeyip matematikçilerin gerçekte nasıl düşündüğünü ve çalıştığını sorgulamayı sürdürdü
Mathematica’nın anlattığı matematiksel düşünme
- Bessis, 2022’de Mathematica: A Secret World of Intuition and Curiosity kitabını yayımladı
- Amaç, matematik yapan bir kişinin beyninde neler olup bittiğini açıklamak
- Aynı zamanda insanın içsel deneyimini ele almak
- Fransızca özgün baskı 2024’te İngilizceye çevrildi
- Temel fikir, insanların farkında olmasalar bile sürekli matematik yapıyor olması
- Bessis, insanların kendi matematiksel yeteneklerini düşündüklerinden çok daha fazla geliştirebileceğine inanıyor
- Bill Thurston ve Alexander Grothendieck gibi matematikçilerin yeteneklerini de yalnızca doğuştan gelen dehayla açıklamak zor
- Bu kişiler kendi sezgilerini durmadan sorgulayıp rafine ediyor
- Yeni fikirler üretip bunları mantık ve dille sınayarak geliştiriyorlar
Sezgi ile mantık arasında gidip gelmek
- Bessis’e göre matematik, dışsal biçimlerle içsel temsilleri birbirine uydurma faaliyetidir
- İçsel temsiller sezgiye karşılık gelir
- Dışsal temsiller ise mantıksal ve biçimsel ifadelerdir
- Biçimsel sistemler tuhaf ve katı görünebilir, ama sezgiyi sınamak, yeniden ayarlamak ve güçlendirmek için araç işlevi görür
- Okul matematiği bu sürecin daha çok mantık temelli kısmını öne çıkarır
- Bessis’e göre daha önemli unsur sezgidir
- Matematik, akıl ile içgüdü arasındaki diyalogdur
- Aynı zamanda dil ile soyutlama arasındaki diyalogdur
- O, matematiği yoga ya da dövüş sanatları gibi, çalışarak gelişebilen bedensel bir pratike benzetiyor
- Bunun için çocuk benzeri bir hale girmek gerekir
- Hayal gücünü ve süreçte ortaya çıkan hataları kabul etmek gerekir
Herkesin zaten yaptığı matematik
- Bessis, insanların kendi matematiksel eğitimlerinin farkına varması gerektiğini düşünüyor
- İnsan zihninde bir daire canlandırıp onu büyütebilir, küçültebilir ya da hareket ettirebilir
- Bu yalnızca basit bir görselleştirme gibi görünse de aslında soyut bir işlemdir
- “1 milyardan 1 çıkarırsak ne olur?” sorusuna da çoğu insan anında cevap verir
- Bunu söze dökmek için düşünmek gerekebilir, ama sonucun kendisi zihinde belirir
- Görsel algı olmasa bile sonuca dair güçlü bir his vardır
- Bessis buna matematiksel sezgi diyor
- Bu yetenek tarih boyunca kendiliğinden var olan bir şey değildi
- 2.000 yıl önce Roma rakamları kullanan insanların aynı soruya kolayca cevap veremeyeceğini söylüyor
- Modern insanın kolay bulduğu aritmetik, soyut sayı sistemlerini içselleştirmiş olmasının sonucu
- Kolay görünen matematik bile aslında derin bir matematik; insan da bunu kendi içinde adeta kablolamış durumda
Deha, özden çok bir duruma yakındır
- Bessis, matematikte çok iyi olan insanların varlığını inkâr etmiyor
- Hatta 5 yaşında bile dahi matematikçi gibi görünen çocuklar olduğunu söylüyor
- Ama bunu doğuştan gelen bir öz olarak görmüyor
- Deha bir öz değil, bir durumdur
- Belli şeyleri yaparken inşa edilen bir duruma daha yakındır
- Matematik bir yolculuktur ve plastisiteyle ilgilidir
- Bunun anlamı matematiğin kolay olduğu değil
- Bessis, matematiğin zor olduğunu açıkça söylüyor
- Aynı zamanda hayatta ne yaparsanız yapın bunun da çok zor olduğunu düşünüyor
- “Thurston gibi matematik yapabilir misiniz?” sorusuna olumsuz yanıt veriyor
- Thurston, küçük yaşlardan itibaren bu tür bir öz-eğitimi her gün uygulamaya karar verdiğini ayrıntılı biçimde yazmıştı
- Bessis, o seviyeyi yakalayabileceğini düşünmüyor
- Lise öğrencilerinin matematikten mutsuz olmasının nedenlerinden biri, kendilerinde olmayan doğuştan bir yeteneğe ihtiyaç duyduklarına inanmaları
- Oysa gerçek matematik, gündelik hayatta kullandığımız sezgiyle aynı türden yeteneklere dayanıyor
Matematiksel düşünme nasıl geliştirilir?
- İçgüdüsel his ile akla uygun görünen şey arasında bir uyumsuzluk fark edilirse, bu yeni bir anlayış fırsatına dönüşebilir
- O noktadan sonra gidip gelme süreci başlayabilir
- Kendi sezgini söze döküp dökemediğine bak
- Bunu rasyonel bir tartışma içine yerleştirip yerleştiremeyeceğini gör
- Hâlâ uyumsuzluk varsa bunun nedenini görselleştirmeye çalış
- Bu süreç tekrarlandıkça hayal gücü yavaş yavaş yeniden yapılandırılır
- Israrla devam edilirse içgüdü ile aklın hizalanabileceğini ve insanın daha akıllı hale gelebileceğini düşünüyor
- Bessis bu sürece matematiksel düşünme adını veriyor
Matematik, bir kendini geliştirme tekniği olabilir
- Bessis, matematiksel düşünmeyi geliştirmenin sevinç, berraklık ve özgüven getirebileceğini düşünüyor
- Çocuklar bu süreci zaten sürekli yaşadıkları için hızlı öğrenir
- Dünya onlara anlaşılır gelmediğinden sürekli yeni farkındalıklar edinmek zorundadırlar
- Bebeklerin gün boyu keşif yaşadığı için mutlu olduğunu düşünüyor
- Yetişkinler için bu düşünme biçimi çok yavaş olabilir
- Yine de vazgeçilmezse, sezginin yapabilecekleri beklentilerin çok ötesine geçebilir
- Bessis, kitabını yalnızca matematik kavramlarını öğrenmek isteyenler için değil, tüm yaratıcı insanlar için bir hayat dersi olarak görüyor
- Ona göre bu sadece bir kişisel gelişim kitabı değil; matematiğin kendisi bir tür kendini geliştirme tekniği
Dürüstlük ve yaratıcılık eğitimi
- Matematikçi, neyi anlamadığını ve ne düşündüğünü kendine karşı çok dürüst biçimde görmek zorundadır
- Bu tür bir dürüstlük çeşitli yargılara yol açar
- Bir nesnenin yanlış tanımlandığını fark edebilir
- Başka bir tanımın teoriyi daha sade hale getireceğini görebilir
- Önemli kavramlarla önemsiz olanları ayırt edebilir
- Gerçekte hissettiğin şeyi ifade etmek çok zordur ve pratik gerektirir
- Matematik yapılırken insan düşüncesinin süreci çok saf bir biçimde ortaya çıkar
- Matematik sadece anlamak değil; bir çocuğun yaptığı gibi derin, saf, berrak ve apaçık biçimde anlamayı çalışmaktır
- Bessis için matematik, yaratıcılık eğitimi ve hayal gücü için bir sıçrama tahtasıdır
- Kişisel zorluklarını aşarken matematiksel düşünme becerisinin kendisine yardımcı olduğunu söylüyor; duygusal açıdan da herkesin matematiğe ihtiyacı olduğunu düşünüyor
1 yorum
Hacker News yorumları
Bu duyguya katılıyorum. Doğuştan gelen matematik yeteneği ve dehaya takıntılı kültürün, bir şey öğrenmek için gereken gelişim odaklı zihniyete zarar verdiğini düşünüyorum.
Yetişkin olduktan sonra matematik becerimi epey geliştirdim; eskiden “zor geliyorsa zaten sınırına dayanmışsındır ve zamanını boşa harcıyorsundur” diye düşünürdüm. Ama gerçekte bunun neredeyse tersi doğru; kolay geliyorsa, zaten bildiğin bir şey olduğu için zamanını boşa harcıyor olabilirsin.
Kitabın yazarı sadece ilgi duyduğu matematiği seçmiş; bu ilke aslında her alana uygulanır. Bazı insanlarda doğuştan yetenek varmış gibi görünse de, bence bu çoğu zaman matematik olsun, Star Trek olsun, dinozorlar olsun, 1980’lerin eski konsol oyunları olsun, tek bir konuya aşırı odaklanma becerisine daha yakındır.
Çocukları, yaşıtlarından bazılarının sadece “doğuştan yetenekli” olduğuna ikna etmek, denemeye devam etme isteklerini kırar. Çocuklara öğretilmesi gereken şey nasıl öğrenileceğidir; “matematik öğretirsen matematik öğrenirler, öğrenmeyi öğretirsen her şeyi öğrenirler” gibi düşünmek gerekir.
Matematiğin çaba gerektirdiği ve kavrayışın yerine oturması için belli ölçüde ön bilgi gerektiği doğru. Ama “X, okuyucuya alıştırma olarak bırakılmıştır” gibi bir tavır, hiçbir sebep yokken okuyucunun hayatını zorlaştırmaktan keyif alan bir zihniyettir.
Sıkça sözü edilen “fildişi kule”deki kule unsuru, kendini tanıtma ve kendini savunma mekanizması olarak da işler. Çünkü “rolümüz vazgeçilmez; bir şeyi bilmek isteyen herkes hedefine ulaşmak için mutlaka bizden geçmeli” fikrini satar.
Örneğin lineer cebir onlarca yıllık bir konu olmasına rağmen, başlangıçtan ileri seviyeye kadar ders materyalleri çoğu zaman gereğinden fazla anlaşılmaz ve çözmesi zor haldeydi. Ama makine öğrenmesi alanı yükselince, boyut indirgeme ve altuzay ayrıştırması gibi ileri konuları bile açık ve önemsizmiş gibi anlatan materyaller birden arttı. Değişen tek şey, konuyu ele alan insanların türüydü.
Psikoloji öğrencilerine matematik öğrettim; gerçekten anlamadıkları durumlar vardı. “Karekök nedir?” sorusuna bölüm başkanının hayal kırıklığına uğradığını da hatırlıyorum. Herkesin kapasitesi vardı da “öğretmenin suçu”ydu diye bakamayız; zorlanan öğrencilerle kolayca başaran öğrenciler arasındaki farkı da açıklamak gerekir.
Müzik de aynı. Konservatuvar öğrencileri çok çalışsa da bazıları daha iyidir, çok azı gerçekten parlar. “Herkes Rachmaninov çalabilir” demek inandırıcı gelmiyor. Matematiksel yetenek standardını epey düşük tutmadıkça ya da sağlam bir dayanak olmadıkça, “herkes yapabilir” sözü saçmalık kokuyor.
Günlük iş, kolay becerileri diri tutabilir; ama bir süredir kullanmadığın bir beceriyse, onu başka becerilerle zor bir şekilde birleştirmeden önce kolay tekrarlar yapmak da fena değildir.
Yazarın Mathematica kitabını okuyorum ve gerçekten çok iyi. Bu yazının başlığı tek başına kitabın güçlü yanlarını pek göstermiyor.
Yazar, matematik becerisinin bilgi yeteneğinden çok spor yeteneğine daha yakın olduğunu gösteriyor. Çünkü insanların, zihinde döndürülmüş şekiller, slot makineleri, origami gibi yollarla matematiksel nesneleri nasıl manipüle edeceklerini öğrenmeleri gerektiğini savunuyor. Bir tür hayal gücü sporu gibi.
Bu sayede MathAcademy.com’da temel matematiğin büyük kısmını yeniden öğreniyorum; çok eğlenceli ama stresli de. Artık polinomlarla Tetris etkisi yaşamaya başlamış gibiyim.
Akışa girince her fonksiyonun kendine özgü bir şekli ve havası varmış gibi geliyor. Temiz küçük kutu fonksiyonlar, büyük ve çirkin, öfkeli deniz kestanesine benzeyen fonksiyonlar, hiçbir işe yaramayan küçük daireler gibi fonksiyonlar görüyorsunuz; sonra da bunları daha sonra silmek için not alıyorsunuz. Verinin akış biçimiyle tüm grafiğin bir ölçüde birbirine bağlı olduğu görülüyor.
MathAcademy’nin iyi olup olmadığını da merak ediyorum. Bir ay kadar denemeyi düşünüyorum; “stresli” derken yazım hatası mıydı, değil miydi emin olamadım.
Mathematica’yı yerel kütüphaneye sipariş ettirdim; bir gün geldiğine dair SMS gelene kadar unutabilirim. Okumaya değer olduğuna dair teyit aldığım için teşekkürler.
Kitap bu açıdan daha iyiyse okumak isterim; çok fazla hikâye ve gereksiz ayrıntı varsa pas geçmek isterim. Kitaptan gerçekten ne aldığınızı, ne kadar pratik ve uygulanabilir hissettirdiğini merak ediyorum.
Matematiğin zor gelmesinin nedeni, insanların uzun manipülasyon süreçlerini zihinlerinde tutmakta zorlanması. Özellikle yüzlerce adım boyunca yavaş yavaş değişen büyük nesneleri manipüle ederken böyle oluyor; bu, insanların yetersiz olmasından değil, insan zihninin zaten böyle çalışmasından kaynaklanıyor.
Matematiği temel aksiyomlar ve manipülasyon kuralları, ayrıca bu kurallarla aksiyomların nasıl geliştirileceği olarak öğretmek daha doğru. Bir seferde tek bir geçerli değişiklik yapmayı öğrenmek gerekir; elbette bu da çokça kâğıt üzerinde çalışma ve sabır gerektirir. Matematik, doğrular ve kurallarla yeni doğrular ve kurallar üretme işidir.
Çocuğuma böyle öğretiyorum ve sık sık “Hepsi bu mu? Sadece zahmetli kâğıt işi mi?” diye tepki veriyor. Bu günlerde bu yöntemi ve LLM yardımını kullanarak algoritmalar ve veri yapıları öğreniyor. Temel koşullardan başlayıp üstüne koyduğunuzda, yeni icatların alanı gibi görünen algoritmalar bile elle yapılan adımlardan doğal biçimde ortaya çıkıyor ve sonra bunları programa aktarıyorsunuz.
Gereksiz süsleri kaldırınca matematikte geriye yalnızca sabır ve kâğıt üzerinde çalışma kalıyor.
Matematikte aceleci biçimselleştirmenin, insanların matematikten dışlandığını ve gaslighting’e uğradığını hissetmesinin başlıca nedeni olduğunu düşünüyorum. Kavramları sembollere ve onların manipülasyonuna indirgemek daha sonra yapılması gereken bir şey; bunu en baştan böyle tanıtmak yanlış
İnsanlar önce kolay doğal dille konuşmalı. “İngilizce yeterince kesin değil” diyen matematikçilere defolup gitmelerini söylemek istiyorum. Koşmadan önce yürümeyi öğrenmek gerekir
Motive edici örnekler matematiksel yöntemden önce gelmeli; formüller ve ispatlar 1. sayfada değil, ekte olmalı. Burada İngilizce, doğal dil anlamına geliyor
STEM’e komşu alanlarda çalışmayan insanların basit cebir ve geometri, biraz da finansla ilgili kavram ve formüller dışında pek kullanacağı bir şey yok. Geometri de çoğunlukla el işi hobileri ya da ev tamiri projelerinde işe yarıyor
Bu gidişle ölene kadar integral almam için bir neden bulamayacakmışım gibi geliyor. Bu yüzden matematiğe yeniden dönmeye çalışsam da gerçek bir ihtiyaç motivasyon olmuyor. Uygulama alanı olmadığından sıkıcı olmayan tek şey eğlence amaçlı matematik problemleri gibi; onda da kitap okumak ya da başka bir şey yapmak daha iyi olur diye düşünüyorum
Birçok öğrencide, en azından bende, matematiğe ilgi ilk kez lisede geometride ispatlarla ve lise fiziğinde gerçek uygulamalarla karşılaşınca başladı. Matematiğin bir gerçekten başka bir gerçeğe ilerleyip yeni bir gerçek bulmanın yolu olabileceğini görmek vahiy gibi gelmişti
Ne yazık ki birçok öğrenci, bitmek bilmeyen matematik tekrar alıştırmalarının sıkıcılığı yüzünden bundan önce kopuyor. Bilgide boşluklar oluşunca, o boşluklar doldurulmadıkça ilerlemek zorlaşıyor. Birçok öğrenci için iş kesirlerde bitiyor, başkaları için cebirde bitiyor, üniversiteye gidenler içinse kalkülüste bitiyor
Yalnızca matematik bölümü öğrencileri ile bazı mühendislik, fen ve bilgisayar bilimi öğrencileri üniversitenin “standart matematik kursu”nun ötesine geçiyor ve sonrasında gelen gerçekten ilginç şeyleri tanımaya başlıyor
Modern matematiğin günahı, bu meta dilin yeterince iyi tanımlanmamış olması ve çelişkisiz ele alınabilmesi için bir yazılım kulesi gerektirmesidir. Hepsini S-expression olarak yeniden yazmak ve bunun altına sıralı hesaplama altında ispat için bir terim yeniden yazma sistemi koymak, erişilebilirliği artırmak için harika bir ilk adımdır
Matematiğin ne hakkında konuştuğunu değil de nasıl konuştuğunu görmek istiyorsanız, pul koleksiyonculuğu yapın
Lisansüstü seviyeye kadar matematik çalışmış biri olarak lise matematiği ve derslerin çoğu bana gerçekten sıkıcı gelmişti. İlk ve ortaöğretimde eksik olan şey bağlam; bu yüzden sıkıcı oluyor. Matematiğin kolay gelmesi özel olarak iyi olduğumdan değil, formülleri körlemesine takip edip temel mantığı uygulama düzeyinde kaldığı içindi
İlk ve ortaöğretim düzeyindeki matematiğin çoğu temel mantıktır; o kadar eğitim almış biri “matematikte iyi değilim” ya da “matematiği anlamıyorum” diyorsa, çok temel mantık ve akıl yürütme becerisinin eksik olduğu anlamına gelir
Matematik yalnızca uygulamalarla değil, bağlam içinde öğretilmeli. Akıl yürütme ve keşfetme deneyimi zenginleştirilmeli; uygulamalar da dahil edilmeli ama yalnızca uygulamalara bağlanmamalı. Bazen keyfî uygulama ölçütlerine bağlanmadan sadece öğrenmek ve düşünmek gerekir
Yeni ders kitaplarını sevmiyorum; anlık tatmine fazla uyarlanmışlar. Çözümü nasıl inşa ettiklerini göstermeden doğrudan problemi nasıl çözeceğini söylüyorlar. Daha sonra nasıl çalıştığını biraz açıklasalar bile sıralamanın tamamen ters olduğunu düşünüyorum. Kendi kendine düşünüp taşınma, sonunda nereye bağlanacağını tahmin etme ve arada “aha” anları yaşama fırsatını elinden alıyorlar
Bu yaklaşım, matematiği sembol manipülasyonuna indirgeme eğilimini de güçlendiriyor. İlk paragrafta formül verilirse, sonraki açıklamaların tamamı o formüle sabitleniyor. Matematiksel gösterim, zaten bir ölçüde anlaşılmış kavramları pekiştiren bir biçimselleştirme aracı ve hafıza destekleyicisi olduğunda en iyisidir; ana iletişim kanalı olarak kullanıldığında ise en kötüsüdür
Güzel bir duygu, ama birçok insanın temel matematiksel düşünmeyi bile öğrenemediği ve ciddi şekilde kafasının karıştığı da açık. Bunların kolayca öğrenilebileceği iddiasını destekleyen bilimsel bir araştırma var mı, yoksa matematik popüler bilim kitaplarına yakışacak eşitlikçi bir argüman mı uyduruluyor, merak ediyorum
Genel zekâ da 1970’lerden bu yana düşüş eğiliminde görünüyor. Buna ters Flynn etkisi[3] deniyor ve ABD ile Avrupa’da ölçülmüş
Eğitim sistemi ve başka etkenlerin rol oynadığı doğru, ama “herkes X yapabilir” fikrinin yanlış ve zararlı olduğunu düşünüyorum. “Kimsenin tekerlekli sandalyeye ihtiyacı yok” ya da “herkes kusursuz görebilir” demek gibi. İnsanlar farklıdır; birçok nerd de yalnızca nerd’lerle takıldığı için toplum algısı çarpıtılmış oluyor
[1]: https://www.thenationalliteracyinstitute.com/post/literacy-s...
[2]: https://leo.blogs.uni-hamburg.de
[3]: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S016028962...
Bir insanın teorik olarak yapabilecekleri ile gerçekte başardıkları arasında çok büyük bir uçurum var
Matematik öğretmeni değilim ama matematikten keyif alıyorum; ailem ve arkadaşlarımın matematik derslerine birçok kez yardım ettim
Uzun zamandır neredeyse herkesin kabaca lise düzeyinde matematiği öğrenebilecek kapasitede olduğunu düşünüyorum. Sadece bazı insanlar için daha fazla çaba gerekiyor. Sürekli çabayı korumanın anahtarı motivasyon; matematikten nefret eden ya da kendini bu konuda berbat sanan birçok kişi yalnızca doğru motivasyonla karşılaşmamış oluyor
Bir kez motivasyon oluşup konu anlaşılmaya ve problemler çözülebilmeye başlayınca her şey çok daha kolaylaşıyor. Kişisel olarak, özellikle tümevarım ve düşük düzeyli ispatlara kadar giren biraz daha ileri matematik öğrenirken, matematik dışındaki alanlarda da düşünme biçimimin geliştiğini hissettim
Aileme ve arkadaşlarıma yardım ederken, insanların yeni bir konuyu anlamaya başlama yaklaşımlarının oldukça farklı olabildiğini de öğrendim. Bazıları geometri ya da grafik açısından daha kolay yaklaşır; bazıları ise en baştan formüllerin içine girince daha iyi uyum sağlar. Tek bir yöntem herkese uymaz
Pedagojik açıdan bakınca, çoğu insanın matematikte takıldığı başlıca engelin karmaşıklık değil, kuru öğretim biçimi olduğunu düşünüyorum. Dil kuralları da en az o kadar karmaşık, ama çok daha fazla insan lise düzeyinde dil becerisi öğreniyor. Bunun birçok nedeni var; en bariz olanı dilin günlük hayatta daha çok kullanılması
Kesinlikle ciddi bir matematikçi sayılmam, ama bu hedefi ciddiye aldığım son birkaç yılda, onlarca yıl boyunca kendimi yetersiz görüp kenara ittiğim döneme kıyasla çok daha fazlasını öğrendim
Beni zorla da olsa denemeye çeken çok cömert mentorlardan biri şöyle demişti: “Kötü matematik öğrencisi yoktur. Yalnızca kötü matematik öğretmenleri vardır; onlar da kötü matematik öğretmenleriyle karşılaşmıştır”
Böyle insanlarla çok fazla karşılaşırsanız, hele bu tür insanlar bu alanda yaygınsa, insanların neden hevesini kaybedip vazgeçtiğini anlamak kolay
Eğitim sürecinin bir noktasında pek çok genç soyut matematiksel düşünme ile karşılaşıyor ama sonunda anlayamayıp kopup gidiyor. İşlerin burada ters gitmesi ve sonrasında aranın daha da açılması üzücü.
Semboller ve denklemlerle uğraşmak çok daha geniş kitleler için erişilebilir olmalıymış gibi geliyor. Neredeyse oyun gibi bir etkinlik; bu yüzden dışlanmışlık hissi vermemeli.
Eğitimcilerin, beynin daha soyut temsil ve işlem biçimlerini benimsemesini sağlayan yolları doğru tespit edememesinden kaynaklanan bir başarısızlık olabilir.
Bu arada matematikçiler bu sorunu çözmekle pek ilgilenmiyor gibi görünüyor; birçoğu da matematiği mümkün olduğunca dışlayıcı hâle getirmekten çocukça bir haz alıyor sanki. Örneğin görsel temsiller kesin olmasa da sezgi geliştirmeye yardımcı olduğu hâlde kimi zaman reddediliyor.
Çarpanlara ayırma da bizim sınıftaki birçok kişiyi kaybettirmişti. Tamamen işe yaramaz görünmesine rağmen sürecin çok fazla tahmin içermesi büyük bir hayal kırıklığı yaratmıştı; bazı sınıf arkadaşlarım da kendilerinden kaşıkla hendek kazıp sonra tekrar doldurmaları istenmiş gibi “o zaman matematik sonsuza kadar batsın” tepkisi vermişti.
[0] https://en.wikipedia.org/wiki/Do_Not_Erase:_Mathematicians_a...
Bana göre sorun, çoğu insanın işin eğlenceli kısmına hiç ulaşamaması. Üniversitede ilk dönemde küme kuramı öğrenip sayı sistemlerini en baştan tanımladıktan sonra monoid, grup, halka vb. konulara geçene kadar matematiği pek sevmediğimi hatırlıyorum.
O en baştan tanımlama kısmı gerçekten tatmin ediciydi.
Biraz zaman aldı ama şimdi durum çok daha iyi. Bunu, kurallarını bir ölçüde bildiğim küçük bir oyun gibi görmeye başladım. Artık matematikçilerin çoğu zaman azami soyutlamayı ya da tuhaf patolojik köşe durumlarını dert ettiğini kabul ediyorum. Bu sayede eskisi gibi bunalmadan karmaşıklığın içinden geçebiliyorum.
Bir şeyi anladıktan sonra, onu anlamadığınız zamanki düşünme biçimine geri dönüp fikrin “yerine oturmasını” sağlayacak açıklamayı bulmak gerçekten zor. Matematiğin büyük kısmı göründüğünden çok daha kolay ama çoğu zaman temel fikri kolayca kavratacak açıklama eksik oluyor bence.
Örneğin herhangi bir tam sayı tabanındaki konumsal sayı sistemini, saati okuyabilen bir çocuğun takip edebileceği şekilde anlatan bir explorable[0] yazmak istemiştim. Çarpma da bununla birlikte öğretilebilir gibi.
Temel fikir, analog saate benzeyen bir sayaç hayal etmek. Üzerinde 0’dan 9’a kadar rakamlar ve +1, -1 düğmeleri var; 0’dan 9’a kadar sayabiliyor. 9’a 1 eklerseniz tekrar 0’a döner; bunu çözmek için ikinci bir sayaç eklersiniz. İlk sayaç her tam tur attığında ikinci sayacı 1 artırırsınız. İlk sayacın bir turu 10 adım olduğundan, ikinci sayacın bir adımı 10 adım anlamına gelir. İkinci sayaç da 10 adım sayabilsin istiyorsanız üçüncüyü eklersiniz.
O zaman doğal soru şu olur: 0’dan 9’a kadar olandan daha az rakam varsa ne olur? 0’dan 7’ye kadarsa sekizlik sistem, 0 ve 1 ise ikilik sistem; daha fazla rakam gerekiyorsa alfabe harfleri eklenir.
Bu, onluk konumsal sayı sisteminin çok fiziksel bir temsilidir ve saymayı, takip etmeyi kolaylaştırır. “Taban” ya da “üs” gibi ileri kavramlar gerekmez; ama sonradan bunların üzerine inşa edilmesi kolay bir soyutlama hâline gelir.
Çocuğu olan arkadaşlarıma sorduğumda genellikle 4-6 yaşlarında saati okuyabildiklerini, 8 yaş civarında da hepsinin 100’e kadar sayabildiğini söylediler. Teorik olarak bu yaklaşımla o yaşta ikilik ve onaltılık sistem fikrini de anlayabileceklerini düşünüyorum.
İlginç biçimde yazıda da, konumsal sayı sistemi sayesinde neredeyse tüm yetişkinlerin “1 milyar eksi 1 kaçtır?” sorusuna anında cevap verebildiği söyleniyor.
[0] https://explorabl.es/
https://softwarefoundations.cis.upenn.edu/
Limitler ve türevler de düzgün tanımlara kavuşunca lisede kullanılan tüm formül ve teoremleri oldukça kolay türetebiliyorsunuz. Lisede çoğunlukla hesap ve basit akıl yürütme yapıyorduk; üniversitede ise her şeyi kanıtladık. Bakış açısının değişmesi hoşuma gitmişti.
Ön koşulu biçimsel olarak almıştım ama gerçekte bu, temel bilgisayar bilimi mantığı dersiydi ve tamamen zorlayıcıydı. Yine de üniversitede aldığım en eğlenceli derslerden biriydi.
Final sınavı sorularının tam metnini birkaç hafta önceden almıştık ve başka öğrencilerle iş birliği yapmak ya da başka profesörlere sormak dahil hazırlanmak için her şeyi yapabiliyorduk. Diğer profesörler de çoğunlukla pek fikir yürütemiyordu. Hedef 10 sorudan 1-2’sini cevaplamaktı; yapamasanız bile en az B+ alıyordunuz.
Hafızam daha iyi olsaydı keşke, ama başarıyla cevapladığım sorulardan biri Turing makineleri kullanarak Post teoremini kanıtlamaktı sanırım. O dersteki bilgiyi bir daha hiç kullanmadım ama hâlâ aklıma geliyor. Felsefe ile bilgisayar biliminin kesiştiği o büyüleyici noktayı yeniden öğrenmek isterim.
En sevdiğim yanı, zor matematik ile birçok uygulayıcının kendi çalışmalarını zayıflattığını düşündüğü için hoşlanmadığı matematiğe dair çetrefilli metafizik soruların birleşmesiydi. O kadar derine inince daha baş ağrıtıcı konulara temas etmemek mümkün değilmiş, bunu anlıyorsunuz.
Lisede aslında uygulamalı matematikte, özellikle de kalkülüste iyi olma eğitimi aldık. Onun bile büyük kısmı “yerine koyma”ydı; bu tür işler Mathematica ile kolayca otomatikleştirilebilir
Üniversiteye gidip sayılar teorisi ve soyut cebir dersleri aldığımda, matematiğin anlatması zor derecede güzel olduğunu fark edip sarsıldım. Reel analiz dersini aldıktan sonra ancak kalkülüsün de zaman kaybı gibi görünmeyen bir yanı olduğunu gördüm
Bir gün liseye geri dönüp o zamanki bilgisayar bilimi mentorum Andrew Merrill’e neden beni grup teorisi ile tanıştırmadığını tutkuyla sordum. Cevap SAT idi. Böyle konular SAT’de çıkmadığı için öğretmek için bir gerekçe yoktu
Kalkülüsün öğretilme nedeni mühendislik ve fiziğin önkoşulu olmasıydı; uzay yarışı sonrasında bu önemli hâle gelmişti
[0] https://en.wikipedia.org/wiki/SAT_Subject_Tests
Kanada’da da üniversite birinci sınıfa kadar benzer, kalkülüs merkezli bir müfredat vardı; içine biraz lineer cebir de karışmıştı. Nedeni, mühendislik, fizik, kimya ve biyolojinin bazı alanları, istatistik, ekonominin bazı alanları vb. için kalkülüs gerekmesiydi
Toplumda matematik her şeyden önce bir araçtır. Bunu, saf matematik okuyup cebir ve sayılar teorisine odaklanmış biri olarak söylüyorum. Öğrencilerin büyük çoğunluğu için pratik yarar gerçekten de esastır. Matematik, bilimden ya da beşerî bilimlerden farklı olarak, bilinçli bir çerçeve kurulmadıkça keyif alması zor bir soyutlama katmanına sahiptir
“Aptal, mesele ekonomi” demek istiyorum. Zihinsel ferahlık da bir kaynaktır. Çoğu insanın matematik çalışmamasının nedeni istememesi değil, yapamamasıdır
Tüm harcamaları ve ihtiyaçları karşılayan bir temel gelir verilse ne yapardınız diye anket yapılsa, birçok kişinin kendini gerçekleştirmeyi ya da sanatı seçeceğini düşünüyorum. Matematik pratiği yapmak ve öğrenmek de bu ikisine dahildir
Bu noktada vipassana gibi farkındalık odaklı pratiklere yoğunlaşmak çok yardımcı olabilir. Ancak farkındalık entelektüel bir eğitim değil, gerçekten yaşanması gereken bir şeydir. Günde birkaç saat meditasyon yaparsanız birkaç ay içinde iyi bir yere varırsınız
En azından çevremdeki anekdotlara göre, bunun yerine daha çok çocuğu olan birçok kişi oldu
Bu bir rekabet olmadığı için matematikte başkalarından daha iyi olmam gerekmiyor; ama kriptografi, daha iyi algoritmalar, fiziği anlama gibi başka uğraşlarım, ilkel düzeydeki matematik anlayışımla sınırlanıyor
Milyoner olsaydım, sahil kenarındaki bir evde dinlenip boş zamanlarımda bol bol matematik öğrenmek, peşinden gideceğim şeylerden biri olurdu