Her Şey Logaritmadır

• Logaritma bir sayısal fonksiyon olarak değil, tabanı olmayan logaritma adlı soyut bir nesnenin oranı olarak görülürse, (\log_b N = \log N / \log b) ifadesi birim dönüşümü gibi okunur
• (\log 2) bit, (\log e) ise nat gibi bir ölçü birimi haline gelir; taban değiştirme formülü de aynı niceliğin farklı birimlerle yazılmasına benzer
• (p)-adic valuation, sıfır ve kutupların mertebesi, türevde bileşen çıkarımı gibi kavramların tümü logaritmik bileşenlerin izdüşümü olarak yorumlanabilir
• Vektörleri taşıma operatörünün logaritması olarak, boyutu sonlu cisim üzerindeki vektör uzayının büyüklüğünün logaritması olarak ve tabanı logaritmanın döndürdüğü nesne olarak gören çeşitli eşleştirmeler art arda gelir
• Tüm tartışma, sıkı bir birleşik teoremden çok gösterim ve yapı tekrarlarını izleyen bir keşif niteliğindedir; koordinatlar ile birimleri ayıran matematiksel bakış bu desenleri düzenlemeye yardımcı olabilir

---

Tabanı olmayan logaritma ve birim dönüşümü

• Genel logaritma, (\log_b x) biçiminde taban (b)'yi açıkça belirterek (b^y=x) denkleminin çözümünü ifade eder
• Taban değiştirme formülü (\log_b x = \log_a x / \log_a b), birim dönüşümü gibi yorumlanabilir
  • Yapı, (2 \text{ km} = 2000 \text{ m} / (1000 \text{ m}/1 \text{ km})) ifadesiyle aynıdır
  • “(x)'in içinde kaç tane (b) var?” sorusu, “(x)'in içindeki (a) sayısı”nın “(b)'nin içindeki (a) sayısı”na bölünmesi olarak görülebilir
• (\log N) bir sayı değil de soyut bir nesne olarak alınırsa, tabanlı logaritma tabanı olmayan iki logaritmanın oranı olur
  • (\log_2 N = \log N / \log 2)
  • (\log 2), “bit” adlı bir birim gibi ele alınır
  • (\log e), “nat” adlı bir birim gibi ele alınır
• Bu bakışta (\log N) doğrudan sayısal bir anlam taşımaz; ancak (\log b)'ye bölündüğünde belirli bir birimde sayısal değer olur
• Tabanı olmayan üs ((*)^{\log N}) gibi karşılıkların anlamlı hale getirilemeyeceği düşünülür
  • Mevcut (\log_b N), (\log N) ile (\log b) adlı iki boyutsuz nesnenin oranı olarak düzenlenir

Logaritma ile vektör arasındaki benzerlik

• Koordinatsız geometrik vektör ile belirli bir koordinat sistemindeki koordinat vektörünü nasıl ayırıyorsak, (\log N) de belirli bir taban seçilmeden önceki bir nesne olarak görülebilir
• Vektör (\mathbf{v})'nin bileşenlerini referans vektörü (\mathbf{x})'e bölerek ölçen alışılmadık gösterim ile, (\log N / \log 2) üzerinden bit cinsinden değer elde etme biçimi aynı yapıya sahiptir
  • (\mathbf{v}/\mathbf{x}=v_x)
  • (\log N / \log 2=\log_2 N)
• Aynı logaritmayı farklı birimlerle yazmak, aynı vektörü farklı bazlarla yazmaya karşılık gelir
  • (\log N = \log_2(N)\text{ bits} = \ln(N)\text{ nats})
  • (\mathbf{v}=v_x\mathbf{x}=v_{x'}\mathbf{x'})
• Taban değiştirme formülü, vektörlerdeki koordinat dönüşümü ile aynı rolü oynar
  • (\log_2 N = \log_2(e)\ln N)
  • (v_x = (\mathbf{x'}/\mathbf{x})v_{x'})

Logaritmik bileşenleri çıkaran işlemler

• Genel logaritmada, kısmi türevde olduğu gibi yalnızca belli bir bileşeni ayıklayan bir kısmi izdüşüm gösterimi yoktur
  • (N=2^a3^b) iken (\log N/\log 2 = a + b\log_2 3) ifadesinde tüm nicelik tek bir birimle ölçülür
  • (\log 2) bileşeni ile (\log 3) bileşenini ayrı ayrı çıkaran standart bir logaritma gösterimi yoktur
• Sayı teorisindeki p-adic valuation, doğal sayının asal çarpanlara ayrımında (\log p) bileşeninin katsayısını çıkaran bir işlem gibi yorumlanabilir
  • (\log n = n_2\log2+n_3\log3+n_5\log5+\cdots)
  • (\nu_p(n)=n_p)
  • (\nu_p(m/n)=\nu_p(m)-\nu_p(n)) gibi logaritmik özdeşlikler de korunur
• Rasyonel sayılar ya da köklü ifadeler içeren sayılara genişletildiğinde katsayılar tam sayı veya rasyonel olur; ortaya çıkan nesne de gerçek bir vektör uzayına daha çok benzer
• Karmaşık analizde sıfır ya da kutup mertebesi de benzer bir logaritmik oran limiti ile ifade edilir
  • (\text{ord}a f(z)=\lim{z\to a}\log f(z)/\log(z-a))
  • Laurent serisindeki en baskın terimin mertebesini çıkarır
• (p)-adic valuation, kısmi türev ve karmaşık analizde mertebe çıkarımı birbirine benzer; ancak bunları bir araya getiren birleşik bir kuram henüz net değildir

Vektörlerin de logaritma olarak görülebildiği durumlar

• Diferansiyel geometride vektörler, kısmi türev operatörlerinin bazı olarak kullanılır ve bunların üssü alınırsa taşıma operatörü elde edilir
  • (T^{\mathbf{v}}=e^{v_x\partial_x+v_y\partial_y})
  • (e^{v_x\partial_x+v_y\partial_y}f(x,y)=f(x+v_x,y+v_y))
• Düz uzayda taşıma operatörü, koordinat bazlı taşımaların çarpımına ayrışır
  • (T^{\mathbf{v}}=T_x^{v_x}T_y^{v_y})
  • Eğri uzaylarda farklı koordinatlardaki taşımalar değişmeli olmayabilir; bu yüzden yapı daha karmaşıktır
• Bu durumda vektör, taşıma operatörünün logaritması olarak yazılabilir
  • (\ln T^{\mathbf{v}}=v_x\partial_x+v_y\partial_y)
• Doğal logaritmanın tabanı (e)'ye bağlı kalmak yerine, genel taşıma tabanı (T) üzerinden (\mathbf{v}=\log_T T^{\mathbf{v}}) biçiminde yazmak daha uygun görünebilir
• Genel çarpma işlemi de (\ln a) koordinatındaki bir taşıma gibi görülebilir; ancak bu yorumun gerçekten ne kadar faydalı olduğu açık değildir

Logaritma ile türev arasındaki ilişki

• Doğal logaritma (\ln x=\lim_{a\to0}(x^a-1)/a) biçiminde tanımlanabilir
  • (x^a=e^{a\ln x}) ifadesi Taylor açılımına sokulduğunda (\ln x) ortaya çıkar
• Yerine ((1+x)) konursa (\ln(1+x))'in Taylor serisi yeniden elde edilir
  • (x-\frac12x^2+\frac13x^3-\cdots)
• Bu ifade türev gibi görünür ve (\ln x=\partial_y x^y|_{y=0}) olarak yazılabilir
• (\ln x), birçok bakımdan (x^0) gibi davranır
  • (\ln x\sim (x^0-1)/0)
  • Biçimsel olarak (\partial_x\ln x=\partial_x((x^0-1)/0)=1/x) gibi görünür
• Bu bölüm yazının diğer tartışmalarıyla doğrudan bağlantılı değildir; ancak logaritmayı (x^0) çevresindeki birinci dereceden değişim olarak görme bakışı ekler

Boyut logaritma gibi davranır

• Sonlu boyutlu vektör uzaylarında (\dim_K), logaritmaya benzeyen özdeşlikler taşır
  • (\dim_K K^n=n)
  • (\dim_K(U\oplus V)=\dim_KU+\dim_KV)
  • (\dim_K(U/V)=\dim_KU-\dim_KV)
  • (\dim_K(U\otimes V)=\dim_KU\times\dim_KV)
• Sonlu cisim (K) üzerindeki sonlu boyutlu vektör uzayı (V\simeq K^n) için, büyüklük ile boyut arasında gerçekten bir logaritmik ilişki vardır
  • Vektör, bazın her elemanına (K)'nin bir katsayısını atayan bir fonksiyon olarak görülebilir
  • (|V|=|K|^{\dim_K V})
  • Dolayısıyla (\dim_K V=\log_{|K|}|V|)
• Sonsuz boyutta veya sonsuz cisimlerde bu yorum daha az sağlamdır; cardinality yerine numerosity) gibi başka büyüklük kavramları gerekebilir
• Tabanı olmayan boyut gösterimi kullanılırsa (\dim K^n=n\dim K), (\dim_K V=\dim V/\dim K) gibi yazımlar elde edilir
• Tensör çarpımında yalnızca boyutları çarpmak (\dim K)'yi bir kez daha ürettiği için, (K) üzerindeki tensör çarpımı (\otimes_K), skaler katsayıların bölümünü alarak bu çarpanı kaldırıyor şeklinde yorumlanır

Baz ve span'i logaritma ile üs alma gibi görmek

• Boyut bazın cardinality'si ise, logaritma cardinality'yi değil bazın kendisini döndürüyor gibi düşünülebilir
  • (V\simeq K^3) uzayının bazı ((\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z})) ise, (\log_K V=(\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z})) gibi yazılabilir
  • (\dim_KV=|\log_KV|)
• Belirli tek bir bazı seçme sorunu bulunduğundan, (\log_KV)'yi (V)'nin tüm olası bazlarını birlikte gösteren bir nesne olarak görmek daha uygun olabilir
  • Rastgele bir referans çerçevesi (X_0) ve (\Lambda\in GL(V)) için (X={\Lambda X_0\mid \Lambda\in GL(V)})
  • Bu nesne bir (GL(V))-torsor olarak görülebilir
• Logaritmanın ters yönlü işlemi, vektör uzayını bazdan yeniden kuran span olarak yorumlanır
  • (\span_K(X)=K^X=V)
• Bu yorum çok sayıda gösterimsel esneme içerir ve en iyi yaklaşım olup olmadığı belli değildir; ancak (\dim) ile (\span)'i lineer cebirin (\log) ve (\exp) benzerleri olarak düşünmeyi sağlar
• Tabanı olmayan logaritma bakışından (\log K)'nin kendisini de “(K)'nin bazı” gibi yorumlama ihtimali vardır; ancak bu kısım daha soyut bir devam tartışmasına bırakılır

Fonksiyonlar ile logaritma arasındaki ilişkiye dair tahmin

• Aritmetik işlemleri küme işlemleri düzeyine yükseltme süreci, “setification” benzeri bir şey olarak ele alınır
  • Doğal sayıların toplama, çarpma ve üs alma işlemleri sırasıyla ayrık birleşim, çarpım ve fonksiyon kümesi ile eşleşir
  • Sonlu kümelerde cardinality bu işlemleri iyi korur
• Örneğin (A={a,b}), (X={x,y}) iken ((a+b)^{x+y}) açıldığında, (X\to A) olan 4 fonksiyon terimler halinde listelenebilir
  • (a^xb^y), (x\mapsto a), (y\mapsto b) fonksiyonu gibi yorumlanır
  • Bazı değişkenler (0) ya da (1) yapılırsa, bu işlem fonksiyon değerlendirmesi veya kısıtlama gibi davranır
• Faktöriyel ve kombinasyonlar da benzer biçimde permütasyon ve kombinasyonları terim terim sıralayabilir
• Normalde bir fonksiyon (f:X\to A), ({(x,f(x))\mid x\in X}) bağıntısı ile modellenir; ancak (a^xb^y) ifadesinin kendisi tek bir fonksiyon olduğundan cardinality'si 1'dir
• (\log f ? x\log a+y\log b) ifadesi fonksiyonun bağıntı gösterimine benzer; fakat bu bölümün açıklaması henüz yeterince oturmuş değildir

Genel kovaryans ve sonuç

• Tüm tartışma, logaritmayı çarpımsal ifadeyi toplamsal ifadeye çeviren bir izomorfizm olarak görmenin basit durumuna odaklanır
  • Karmaşık logaritma veya matris logaritması gibi daha karmaşık örnekler tartışmanın dışında bırakılır
• (\dim), (\nu_p), toplam türev gibi çeşitli matematiksel işlemler logaritmayla aynı ya da çok yakın bir yapıya sahiptir
• Bu bağlantılar bir ölçüde “numerology” gibi görünse de, fazlasıyla düzenli oldukları için görmezden gelmek zordur görüşü savunulur
• Fiziğin matematiğinde, özellikle kuantum mekaniğinin operatör biçimciliğinde de benzer yapılar ortaya çıkar; fizik, matematiksel gösterim ve koordinat seçimi üzerinde kısıtlar koyar
• general covariance, bir nesnenin özelliklerinin koordinat seçiminden bağımsız olması gerektiği fikridir; tabanı olmayan logaritma da çarpımsal ve toplamsal ifadeler arasındaki izomorfizmi birim seçiminden ayırma girişimi olarak görülebilir

[GN⁺]

Hacker News görüşleri

• Buradaki tabansız logaritma aslında sadece bir torsor [0]
  Konum, para birimi değeri ve takvim tarihi gibi şeyler de torsor olarak görülebilir. Değerin kendisi keyfidir; belli bir miktar ötelenmesi ya da ölçeğinin değiştirilmesi işlevsel olarak fark yaratmaz. Torsor kullanmak, bu tür keyfi seçimleri baştan yapmadan nesneden söz etmeyi sağlar
  Tabansız logaritmada alttaki küme “bilgi birimleri”dir. log 2 bit, log e nat, log 10 digit gibidir ve dönüşüm katsayıları torsorun grubunu oluşturur. Belirli bir birimi özel olarak seçmek, sadece torsoru trivialize etmektir
  Vektör bölme gösterimi de uzunluk birimleriyle tamamen aynı şekilde bir g-torsor’u encode eder
  Şimdiye kadarki örneklerin hepsi Abel grubu torsorları, ama bir konumu belirtmek için hem bir başlangıç noktası hem de bir uzunluk birimi seçmek gerekir. Bu torsorun grubu, öteleme ile ölçeklemenin uygun bir yarı-doğrudan çarpımıdır; dolayısıyla Abel olmayan bir grup olur
  Çoğu kişi trivialization’ı örtük olarak seçip kullanır ve bu yüzden nesne ile o nesne üzerindeki işlemleri özdeşleştiren bir karışıklık ortaya çıkar. Örneğin vektörü hem konum hem de öteleme olarak birbirine karıştırırlar. Yazarın geometri cebiri sorunuyla ilgili yazısı [1] bu noktaya da değiniyor
  [0]:https://math.ucr.edu/home/baez/torsors.html
  [1]:https://alexkritchevsky.com/2024/02/28/geometric-algebra.htm...

  • Bu matematiksel kavrama torsor adını vermek çok kötü bir seçimdi. Sözcüğün özgün anlamıyla ilişkisi açık değil ve klasik mekanikte zaten uzun zamandır bambaşka bir kavramı, yani rijit bir cismin dengede kalması için sıfır olması gereken niceliği (bileşke kuvvet ile bileşke tork çifti) ifade etmek için kullanılıyordu
    Ne yazık ki matematikte, sıradan sözcükleri özgün anlamlarıyla hiç ilgisi olmayan kavram adları olarak yeniden kullanma geleneği uzun süredir var. Bu yüzden önemsiz bir şeyi anlatan matematik kitapları ya da makaleler bile, o alt alandaki terminolojiye aşina değilseniz cümleleri opak hale getiriyor
  • torsor’u biliyordum ama oradan bu bağlantıyı kurmak aklıma gelmemişti. Aslında bu terimi çok faydalı bulduğumu söyleyemem; torsor’un ne olduğunu bilsem de hâlâ düşünmesi zor geliyor. Yine de bu kavrama daha çok alışmam gerekiyor gibi görünüyor
    Buradaki başka bir yorumda benim tabanlı logaritmalarımı “GL(V)-torsor” diye ifade eden kişi, benim elle zorlayarak uzun uzun açtığım ifadeden çok daha özlüydü
    Terimden bağımsız olarak, logaritmayı bu şekilde düşünmeyi daha önce görmemiştim; ilginçti

• Logaritmalar müthiştir. Bir süre önce 1920’lerden kalma matematik ders kitaplarına bakmaya başladım ve bütün hesapların tablo halindeki logaritmalara dayandığını gördüm. Sayıları tablodan logaritmaya çevirip işlemin mertebesini düşürdükten sonra tekrar normal gösterime geri dönüyorlardı
  Küpkök bulmak gibi işlemler bile bölmeye indirgenebiliyor, bunu log-log’a çevirince tekrar çıkarmaya kadar düşürüp sonra yeniden özgün gösterime dönebiliyorsunuz. Elle yapınca sanki sihirli bir solucan deliği kullanıyormuşsunuz gibi hissettiriyor; gerçekten harika

  • O sihirli solucan deliğinin fiziksel sürümü sürgülü cetveldir
  • PDF’i olsa güzel olurdu. Böyle eski kitapları seviyorum
  • Kitabın adını paylaşabilir misin diye merak ediyorum
  • Daha 2010’lara kadar okul sınavlarında elde hesap ve logaritma cetveli kullanıyorduk. Çünkü hesap makinesine izin verilmiyordu
    Sınav sırasında bir iki kez logaritma cetveli gerektiren sorular çıkardı. Mesela bölme işlemi lookup(a)-lookup(b) şeklinde yapılıp, sonra sonuç antilog yani exp tablosunda bulunurdu

• Charles Petzold’un The Lost Art of Logarithms yazısı akıcı bir okuma sunuyor. Hâlâ yazım aşamasında olan bir çalışma
  https://www.lostartoflogarithms.com/

  • Charles Petzold’un yazıları her zaman çok açık ve derinlikli olur

• Aynı fikir fizikte de ortaya çıkıyor. Kuantum fiziğinde etki S, e^iS/(h^bar) genliğinin arkasındaki logaritmik nicelik gibi belirir
  İstatistiksel mekanikte entropi, mümkün mikro durumların sayısı Omega’nın logaritmasıdır: S = log(Omega)
  Farklı fizik alanlarından gelen kavramlar olsalar da, ikisi de çarpımsal ilişkileri toplamsal ilişkilere dönüştürmek için logaritma kullanma ilkesini yansıtıyor

• “Tabanı olmayan bir log(N) varsa ‘tabanı olmayan üstel’ de var mı?” sorusuna, saf cebirle bakınca mümkün görünüyor
  log(x,base) içinden base çıkarılabiliyorsa pow(base,x) içinden de base çıkarılabilir. bits=log(2) olduğuna göre pow(bits)=2 olur. Bunun integral gibi ters yönlü kavramlarla da ilişkilendirilebileceği düşünülebilir
  Eğlencesine gösterimle oynarsak:
  log(freq) = pitch
freq = pow(pitch)
octave = log(2)
400*Hz = 100*Hz*4 // 400 Hz frekansı 100 Hz'in 4 katıdır
log(400*Hz) = log(100*Hz) + log(4)
log(400*Hz) = log(100*Hz) + 2*log(2)
log(400*Hz) = log(100*Hz) + 2*octave
log(400*Hz) = log(100*Hz) + 2*octave // 400 Hz'in perdesi 100 Hz'den 2 oktav yukarıdadır
cent = log(2)/1200
A4 = log(440*Hz)
B4 = A4 + 200*cent // B4 perdesi A4'ten 200 cent yukarıdadır
B4 = log(440*Hz) + 200*log(2)/1200
B4 = log(440*Hz) + log(2^(2/12))
B4 = log(440*Hz * 2^(2/12))
pow(B4) = 493.883 Hz // B4 frekansı 493.883 Hz'dir
  Tabanı olmayan log gösteriminin verdiği sezgiyi seviyorum ve belirli bir referans noktası seçme gereğini de ortadan kaldırabiliyor. İstenirse keyfi bir taban seçip doğrudan da hesaplanabilir:
  pow(log(440*Hz) + 200*log(2)/1200)
exp(ln(440) + 200*ln(2)/1200)

  • Bunu kullanınca desibele de gerçek bir birim verilebilir gibi görünüyor
    dB_P = log(10)/10
dB_F = log(10)/20
log(10*V) = log(V) + 20*dB_F // 10 V seviyesi, 1 V'nin güç seviyesinden 20 dB daha yüksektir
SPL = 20*10^-6 * Pa
hearing_damage = log(SPL) + 90*dB_F // işitme hasarı, SPL'nin 90 dB_F üzerindeki seviyelerinde başlar (A-weighting göz ardı edilmiştir)
pow(hearing_damage) = pow(log(SPL) + 90*dB_F))
pow(hearing_damage) = pow(log(SPL) + 90*log(10)/20))
pow(hearing_damage) = SPL*pow(90*log(10)/20))
pow(hearing_damage) = SPL*31622.7766 // işitme hasarı basıncı SPL'nin 31622 katından fazladır
pow(hearing_damage) = 0.632455532 Pa // işitme hasarı basıncı 0.632 Pa'nın üzerindedir
    Gerçekten kullanışlı. Desibel soneklerinin o gülünç listesini tekdüze bir gösterimde birleştirdiğini hayal etmek mümkün. Önce log yazılınca + ya da - konumu da aynen korunuyor
    log(reference_unit) + value*dB_F (or dB_P)
log(reference_unit) - value*dB_F (or dB_P)
    https://en.wikipedia.org/wiki/Decibel#List_of_suffixes
  • Evet. Üs alma işlemini basitçe currying yapıp buna tabanı olmayan üs alma denebilir. Ama düzgün bir gösterim bulamadım

• Bu yazının bir tip sistemine ihtiyacı var. Her log yazıldığında, neyin log'u olduğu ve nereye giden bir log olduğu belirtilmeli
  Bu, seste insanların sadece “dB” deyip de şu soruları cevaplamış gibi davranmasına benziyor: neye göre relatif olduğu, nasıl ölçüldüğü, kime göre ağırlıklandırıldığı eksik kalıyor
  Yazarın https://en.wikipedia.org/wiki/Lie_theory konusuna tekrar bakması gerekiyor

  • Log'un önemli özelliği yapısal olmasıdır. Gerçek sayısal hesap yapmadıkça genelde birimler ya da tabanla pek ilgilenilmez
    Yazıda gayriresmî ama yeterince geliştirildiği gibi, taban değiştirme formülü taban seçiminin çoğunlukla önemli olmadığını gösterir. Farklı tabanlardaki logaritmalar sabit bir çarpana kadar denktir
    exp'in Taylor açılımı, üstel fonksiyona daha içsel ve daha genel bir tanım verir. Bu nedenle uygun yakınsama koşulları sağlandığında exp, çeşitli cebirsel ortamlara yapısal olarak genellenebilir. Örneğin karmaşık üstel, onun olası çeşitli logaritmaları ve matris üstel fonksiyonu vardır
  • Seste dB'nin neden negatif olduğunu hâlâ anlamıyorum. Neye göredir? 0 dB'de ne olur?
  • İlk bölümde yazar, tabanı olmayan “log N” ifadesini bir sayı değil soyut bir nesne olarak düşündüğünü ayrıntılı biçimde açıklıyor. Yoksa başka bir kısmı mı kastediyorsunuz?

• Karmaşık logaritmada olan biten şey, bir vektör uzayının mümkün olan tüm baz kümelerini üreten logaritmayla temelde aynı görünüyor
  Karmaşık logaritma bir Z-torsor, baz logaritması ise bir GL(V)-torsor oluşturur. Dal kesimi seçmeyi, karmaşık logaritmada taban seçiminin bir parçası olarak ifade etmenin bir yolu varmış gibi geliyor; aynı şekilde belirli bir baz seçmeyi de vektör uzayı baz logaritmasında taban seçiminin bir parçası olarak görmek mümkün olabilir

  • İlginç. İkisinin aynı olgunun iki örneği olduğunu düşünmemiştim. Yine de karmaşık analiz tarafı hâlâ düşünmesi zor geliyor

• “Tabanı olmayan logaritma” diye bir terim gerçekten anlamsız; kullanmak büyük bir hata olur
  Yine de asıl yazarın haklı olduğu nokta şu: logaritma, uzunluk, alan, hacim gibi tek bir fiziksel büyüklüktür ve sözde “tabanı” seçmek, aslında logaritmanın ölçü birimini seçmektir
  Logaritma, birçok türetilmiş fiziksel büyüklüğün boyut ifadesinde yer alır. Örneğin bir dalga yayılırken zayıflamayı ya da yükseltmeyi açıklamak için birim uzunluk başına logaritma, birim zaman başına logaritma gibi nicelikler kullanılır
  Logaritmanın “tabanı” değiştirildiğinde, tüm türetilmiş fiziksel büyüklüklerin sayısal değeri, uzunluk ya da zaman gibi temel ölçü birimleri değiştirildiğinde olduğu gibi tam olarak aynı şekilde değişir
  Herhangi bir fiziksel büyüklükte logaritmanın tam değeri ölçü biriminden bağımsızdır. Çünkü sayısal değer ile ölçü biriminin çarpımıdır. Ölçü birimi değiştiğinde sayısal değer ve birim birlikte değişir, çarpım ise aynı kalır. Yani sayısal değer hangi tabana göre hesaplanırsa hesaplansın, logaritma aynı orana karşılık gelir
  Günümüzde logaritmanın birimi genellikle oktav (ikili logaritma), neper (hiperbolik logaritma), bel (onluk logaritma) arasından seçilir
  Logaritmanın ölçü birimi tabanın kendisi değil, tabanın logaritmasıdır. Bu yüzden örneğin hiperbolik logaritmanın tabanı olan “e” sayısının değeri hiçbir hesaplamada gerekli değildir. Gerekli olan yalnızca “ln 2” ya da onun tersi olan “log2 e”dir; bunlar ikili logaritma ile hiperbolik logaritmaya (diğer logaritmalardan daha “doğal” olduğu anlamına gelmeyen, sözde doğal logaritma) karşılık gelen ölçü birimleri arasında logaritmik sayısal değerleri dönüştürmekte kullanılır

  • “Tabanı olmayan logaritma” anlamsız değildir. Şu verildiğinde:
    d(logₐx)/dx = 1/(x log(a))
    tabanı olmayan logaritma, benzer özelliklere sahip fonksiyonlardan oluşan bir aileden ibarettir. Yazar “tabanı olmayan logaritma” yerine “logaritma özelliği” gibi bir ifade kullansaydı daha açık olabilirdi, ama buna takılmak biraz kusur aramak olur ve tartışmalıdır
    Taban değişince sayının değiştiği meselesine gelince, ileri lineer cebir ya da daha özel olarak tensor öğrenip öğrenmediğini merak ediyorum. Tensorların özü, nesne üzerinde bazdan bağımsız olarak aynı şekilde etkili olmalarıdır. Başka bir deyişle, a ve b farklı bazlarda aynı nesneyi temsil ediyorsa, T(x) bir tensor olduğunda T(a) ile T(b) denktir
    Asıl nokta, her sayının keyfi bir seçim olması ve alttaki yapıyı tanımlamamasıdır. Burada yazar logaritmik yapıdan söz ediyor
    Bu yüzden lineer cebirde farklı bazları ve aralarındaki dönüşümleri öğreniriz. Lisede öğrenilen kutupsal koordinatlar ile Kartezyen koordinatlar da aynı şekildedir. Bunlar, yapıyı öğrenmeye hazırlık sürecidir. Grup teorisine gelindiğinde ise, A ve B grupları izomorfikse aynı matematiksel yapıya sahip olduklarını öğrenirsin
    Yani sayılar değişse bile durum böyledir

• Sıradan logaritmaya “based” denmesine inanamıyorum

• Bütün bunlar gerçekten yeni bir matematiksel olgu göstermeye yardımcı olsaydı çok daha ilginç olurdu. Şu anda daha çok gösterim oyununa benziyor

  • Yeni olguların, teoremlerin ve ispatların epey abartıldığını düşünüyorum. Yeni bir olgu bulsan bile, yalnızca işe yaramadan birikmiş devasa olgu yığınına bir tane daha eklemiş olursun. Matematikte yararlı ilerleme, nesneleri daha basit ve daha sezgisel hale getiren refactoring çabasından gelir
    Bunun mutlaka bu yazı için geçerli olduğunu söylemiyorum, ama şu an bulunduğumuz durumun daha çok, aşırı fazla olguya sahip olup bunları yararlı ve erişilebilir kılacak basit bakış açılarından yoksun olma yönünde olduğunu düşünüyorum
    Elbette bu kişisel görüşüm
  • Bu tür yazıları, yeni fikirlerin oluşma sürecinin bir parçası olarak okuyorum. Geniş ölçekli örüntü eşleştirmesi yapıp birbirine benzeyen birçok örneği yan yana koymak ve bu benzerliğin özündeki temeli aramak gibi
    Böyle örüntüleri paylaşmak düşünme sürecini dağıtabilir. Başka biri o içgörüyü görebilir