Hız arttığında kinetik enerji neden doğrusal değil de karesel olarak artar? (2011)
(physics.stackexchange.com)- Dönmeyen bir cismin kinetik enerjisi $\frac{1}{2}mv^2$, yalnızca ezberlenecek bir formül değil; neden $0\to1\ \mathrm{m/s}$ yerine $1\to2\ \mathrm{m/s}$ hızlanmasının daha fazla enerji gerektirdiğini soran bir sezgi meselesidir
- Temel açıklama Galile değişmezliği ve enerjinin korunumu ile verilir; aynı çarpışma farklı bir referans çerçevesinde incelendiğinde $E(2v)=4E(v)$ elde edilir ve böylece hızın karesi bağımlılığı ortaya çıkar
- Momentum $p=mv$ hızla doğrusal artar, ancak aynı kuvvetle durdurulurken hızı 2 kat olan bir cismin hem süresi hem de ortalama hızı 2 kat olduğundan fren mesafesi ve yapılan iş 4 kat olur
- Düşme ve fırlatma örnekleri, yükseklik/potansiyel enerji ile hız arasındaki ilişkiyi gösterir; 2 m'den düşen bir topun hızı, 1 m'den düşen topun hızının 2 katı olmaz
- $\frac{1}{2}mv^2$, düşük hızlardaki Newton mekaniği yaklaşımıdır; özel görelilikte ise $K=mc^2(1/\sqrt{1-v^2/c^2}-1)$ olur ve yalnızca düşük hızlarda yaklaşık aynı değeri verir
Sorunun özü
- Klasik mekanikte dönmeyen bir cismin kinetik enerjisi $\frac{1}{2}mv^2$ ile verilir
- Sorunun odağı formülün kendisinden çok, bunun neden hıza göre doğrusal değil karesel arttığının sezgiyle çelişiyor görünmesidir
- Temel örnek, bir cismin $0\ \mathrm{m/s}$'den $1\ \mathrm{m/s}$'ye hızlanmasına kıyasla $1\ \mathrm{m/s}$'den $2\ \mathrm{m/s}$'ye hızlanmasının neden daha fazla enerji gerektirdiğidir
Galile değişmezliğiyle karesel ilişki
- Bir açıklama, kinetik enerjiyi “kütlesi $m$ olan bir kil topunun $v$ hızıyla duvara çarpıp oluşturduğu ısı miktarı” olarak ele alır
- Aynı kütlede iki kil topu yan yana çarptırılırsa ısı 2 kat olur; dolayısıyla enerji kütleyle orantılıdır
- $E(m,v)=mE(v)$
- Aynı kütlede $m$ olan iki kil topu ayrı ayrı $v$ hızıyla kafa kafaya çarpışırsa, simetri nedeniyle ikisi de durur ve toplam ısı miktarı $2mE(v)$ olur
- Toplardan biriyle birlikte hareket eden trenin referans çerçevesinde aynı olay farklı görünür
- Birinci top başlangıçta durmaktadır
- İkinci top $2v$ hızıyla yaklaşmaktadır
- Çarpışmadan sonra iki topun birleşik sistemi $v$ hızıyla hareket eder
- Bu referans çerçevesinde başlangıçtaki kinetik enerji $mE(2v)$, çarpışmadan sonra ise $2mE(v)$ ısı ve iki kat kütleli kütlenin kinetik enerjisi olarak $2mE(v)$ kalır
- Enerjinin korunumu uygulanırsa şu ilişki çıkar
- $mE(2v)=2mE(v)+2mE(v)$
- $E(2v)=4E(v)$
- Hız 2 katına çıktığında enerji 4 katına çıktığı için, kinetik enerji hızın karesiyle orantılıdır
Momentum ile enerji arasındaki fark
- Bu soru, momentum ile enerjiyi ayırt ederken özellikle önemlidir
- Hızla doğrusal orantılı olan kinematik büyüklük momentuma aittir
- $p=mv$
- Momentum değişimi impulsla orantılıdır
- $F\Delta t=\Delta p$
- Bu da Newton'un ikinci yasası $F=ma$ ile bağlantılıdır
- Aynı kuvvet $F$ ile A ve B cisimlerini durdurduğumuzu varsayalım:
- A'nın hızı $v$
- B'nin hızı $2v$
- B'nin momentumu A'nın 2 katıdır
- Aynı kuvvetle yavaşlatılırsa B'nin durması için gereken süre A'nın 2 katı olur
- B'nin başlangıç hızı ve ortalama hızı da 2 kat olduğu için fren mesafesi $2 \times 2=4$ kat olur
- İş, kuvvet ile mesafenin çarpımıdır: $W=Fs$; dolayısıyla aynı kuvvette fren mesafesi 4 kat ise gereken iş de 4 kat olur
- Kinetik enerji bu işi temsil eden büyüklük olduğundan, hız 2 kat olduğunda kinetik enerji 4 kat olur
Düşme ve yerçekimi üzerinden sezgi
- Soru, “kinetik enerji neden hıza göre doğrusal değil de karesel?” yerine “hız neden kinetik enerjinin karekökü gibi artıyor?” diye yeniden sorulabilir
- Bir top 1 m yükseklikten bırakıldığında yere çarptığı andaki hızı $v$ olsa bile, 2 m yükseklikten bırakılan topun hızı $2v$ olmaz
- Bunun nedeni, ikinci 1 m'lik bölümde topun zaten hareket ediyor olması, bu bölümü daha kısa sürede geçmesi ve ek hız kazanmak için daha az zamanının kalmasıdır
- Yeryüzüne yakın bölgede kütleçekim potansiyel enerjisi yükseklikle orantılıdır ve bir cisim düşerken düşme yüksekliği hızın karesiyle orantılıdır
- Enerjinin korunması için kinetik enerji de $v^2$ ile orantılı olmalıdır
- Yukarı fırlatma durumu da aynı sonuca götürür
- Aynı yerçekimsel yavaşlamada başlangıç hızı 2 kat ise, durana kadar geçen süre de 2 kat olur
- Ortalama hız da 2 kat olur
- Ulaşılan yükseklik 4 kat olur
- Potansiyel enerji $mgh$ ile ilişkilendirildiğinde, başlangıçtaki kinetik enerji durduğu andaki potansiyel enerjiye eşit olur ve $\frac{1}{2}mv^2$ biçimi ortaya çıkar
İş-enerji teoremi ve korunan nicelikler
- Matematiksel olarak kinetik enerjinin biçimi, Newton'un ikinci yasası ile iş tanımından çıkar
- Newton'un ikinci yasası:
- $\sum \vec F=m\vec a$
- İşin tanımı:
- $W=\int d\vec s\cdot \vec F$
- Yol boyunca integral alınırsa şu ilişki elde edilir
- $\sum W=m\int d\vec s\cdot \vec a$
- $=m\int dt,\vec v\cdot \frac{d\vec v}{dt}$
- $=\frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)$
- Dolayısıyla iş tanımı, hıza göre karesel bağımlılıkla doğrudan bağlantılıdır
- Korunumlu kuvvetlerde $\int d\vec s\cdot\vec F$ ifadesi yola değil yalnızca uç noktalara bağlıdır ve bir potansiyel fonksiyonla gösterilebilir
- Sürtünme gibi korunumsuz kuvvetler yoksa, kinetik enerji ile potansiyel enerjinin toplamı değişmeyen bir korunum niceliği olarak kalır
Neden yalnızca “tanım” yeterli değil?
- Klasik mekanikte kinetik enerji $\frac{1}{2}mv^2$ olarak tanımlanır ve fizik yasaları zaman bakımından sabit olduğunda bu nicelik ile konuma bağlı terimin toplamı korunduğu için kullanışlıdır
- Yerçekimi yasası, Coulomb yasası, Hooke yasası gibi ivmenin konumun bir fonksiyonu olduğu ve zamana göre sabit kaldığı durumlarda, bir konumdaki hız bilinirse başka bir konumdaki hız enerji korunumu ile hesaplanabilir
- “Çünkü öyle tanımlandı” demek, bu tanımın neden yararlı olduğuna dair soruyu yanıtsız bırakır
- Çeşitli açıklamalar bu yararlılığın korunan nicelikler, simetri ve Galile değişmezliği ile bağlantılı olduğunu söyler
Lagrangyen ve simetri perspektifi
- Uzayın homojenliği, zamanın homojenliği ve uzayın izotropisi kullanılırsa, serbest bir parçacığın Lagrangyeni konuma ya da zamana açıkça bağlı olmamalıdır
- Uzay izotropikse Lagrangyen, hız vektörünün yönüne değil hızın büyüklüğüne ya da onun kuvvetlerine bağlı olmalıdır
- Serbest parçacığın Lagrangyeni $\mathcal{L}=\alpha v^n$ biçiminde alınır ve momentum $p=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial v}$ olarak hesaplanırsa $p=\alpha nv^{n-1}$ elde edilir
- Göreli olmayan sınırda momentumun hızla doğrusal olduğu koşulu eklenirse $n=2$ olur; böylece kinetik enerji $v^2$ ile orantılı olur
- Momentumun hızla doğrusal olduğu ifadesi yalnızca göreli olmayan sınırda doğrudur
Görelilik sınırı ve skaler olma koşulu
- Kinetik enerji tam olarak her zaman $v^2$ ile orantılı değildir; özel görelilikte şu ifade kullanılır
- $K=mc^2(1/\sqrt{1-v^2/c^2}-1)$
- Düşük hızlarda bu ifade pratikte $\frac{1}{2}mv^2$ ile aynıdır
- Kinetik enerjinin bir skaler, hızın ise bir vektör olması da doğrusal bağımlılığı dışlayan nedenlerden biridir
- Kinetik enerji hızla doğrusal olsaydı, $\mathbf{v}$ yerine $-\mathbf{v}$ konduğunda değer değişir ve yön bağımlı hale gelirdi
- Newton mekaniğindeki $v^2$ terimi ile göreli düzeltme terimleri $v^4$, $v^6$ vb., kinetik enerjinin skaler olması ve $\mathbf{v}\to-\mathbf{v}$ dönüşümüne göre değişmez kalması koşulunu sağlar
Düşünce deneyleri ve gündelik örnekler
- Yay ve iki kutu kullanan düşünce deneyi, sıkıştırılmış yayın potansiyel enerjisinin iki cismin kinetik enerjisine dönüştüğü bir durumu kullanır
- Bir referans çerçevesinde yay bir kutuyu durdurur ve diğerini $2v$ hızına çıkarır; başka bir referans çerçevesinde ise iki kutu zıt yönlerde $v$ hızlarıyla hareket eder
- Potansiyel enerji Galile dönüşümüne göre değişmezse ve kinetik enerji kütle bakımından toplanabiliyorsa $KE(m,2v)=4KE(m,v)$ sonucu çıkar
- Araba çarpışması örneği, yavaşlamanın ilk yarısında toplam durma mesafesinin 3/4'ünün alınmasına dikkat çekerek, hasarın zamandan çok kat edilen mesafe ile orantılı olduğunu açıklar
- Tekrarlı olarak yay kullanıp bir topun hızını $0,1,2,3,4$ seviyelerine çıkaran düşünce deneyi, kinetik enerjinin $0,1,4,9,16$ şeklinde arttığını gösterir
1 yorum
Hacker News yorumları
Bunu potansiyel enerjinin dönüşümü olarak düşünmek en kolay anlaşılır yol
20 ft’lik bir merdivenin üzerindeki top, 10 ft’lik bir merdivenin üzerindeki topun 2 katı potansiyel enerjiye sahiptir; yere çarptığında da bu kadar enerji kinetik enerjiye dönüşür
Ama 2 kat daha yüksekten düşen topun çarpma hızı 2 katın epey altında kalır. Yerçekimi, serbest düşüşte hızdan bağımsız olarak sabit ivme veren bir kuvvettir; hız artışı “mesafe başına” değil, “zaman başına” gerçekleşir
Diyelim ki 10 ft’den düşen bir top 1 saniye sonra 10 kinetik enerjiye ve 100 hıza ulaşıyor. 20 ft’den düşen top da ilk 10 ft’yi geçtiği anda aynı şekilde 10 kinetik enerjiye ve 100 hıza sahiptir
Kritik nokta kalan 10 ft’lik bölümdür. Top bu bölüme zaten 100 hızla girdiği için, ilk 10 ft’ye göre daha kısa sürede geçer; yerçekiminin eklediği hız da o kadar daha az olur. Bu yüzden ilişkinin doğrusal olmadığını görebilirsiniz
Gerçek hesap veya deney yaparsanız, bir topun başka bir topa göre yere 2 kat daha yüksek hızla çarpması için 4 kat yükseklikten düşmesi gerektiğini, kinetik enerjisinin de 4 kat olduğunu görürsünüz
Sorunun kendisi de kinetik enerjinin hızla doğrusal artacağı sezgisinden yola çıkıyor, ama gerçekte bu yanlış bir sezgi
https://www.omnicalculator.com/physics/free-fall
Ama sonuçta bu, hangi birimleri ve büyüklükleri ölçmeye karar verdiğimizle de ilgili. Örneğin “Squenergy”yi Sqoules cinsinden ölçüp 1Sq² = 1J olarak tanımlarsak, squenergy birden hızla doğrusal artar
Tabii o zaman potansiyel Squenergy sqrt(MgH) olur, toplanamaz hale gelir vb.; başka taraflar karmaşıklaşır
1 ft’den 10 kez düşürmek, 10 ft’den bir kez düşürmek kadar enerjik ya da yıkıcı değildir
Bana en sezgisel gelen açıklama şu: kuvvet = zamana göre momentum değişimi, enerji = kuvvet × mesafe
Belirli bir v hızında, küçük bir dx mesafesi boyunca küçük bir momentum değişimiyle ne kadar enerji sönümlenebilir diye bakarsak, dE = Fdx = (dp/dt)dx = m(dv/dt)dx = mdv(dx/dt) = mv*dv olur
Bir mesafe boyunca kuvvet uygulamak için cismin hızını dv kadar değiştirmek gerekir; ama bu arada kat edilen mesafe de mevcut hız v’ye bağlıdır. Bu yüzden toplam enerji basitçe hızla orantılı değildir
Hız değişimini başlangıç hızından 0’a kadar küçük dE’ler halinde toplarsanız kinetik enerji formülü ortaya çıkar
Yine de bu sezgi en nihayetinde “kuvvet = zamana göre momentum değişimi”nden başlar. “Kuvvet”, “momentum” ve “enerji” tanımları matematiksel olarak net olsa ve paylaştığımız bir gerçeklik bulunsa bile, sinir bozucu derecede döngüsel gelebilir
“2 kat hızlı” demek momentumun 2 kat olduğu anlamıyla iyi oturuyor; ama kinetik enerji momentum × hız olduğu için daha soyut
Küçük bir anekdot var
Mavi araba 70 hızla gidiyor, aynı model kırmızı araba ise 100 hızla ona yetişiyor. İkisi yan yana geldiğinde virajın ötesinde iki şeridi kapatan bir engel beliriyor ve iki araba aynı şiddet ve yavaşlamayla fren yapıyor
Mavi araba engelin hemen önünde duruyor. Kırmızı araba daha hızlı gittiği için aynı oranda frenlese de duramıyor. Peki engele hangi hızla çarpar?
Mavi araba ½mv²’ye göre kabaca 70² = 4900 birim enerji kaybeder. Kırmızı arabanın başlangıçta 100² = 10000 birim kinetik enerjisi vardı; aynı 4900’ü kaybederse geriye 5100 kalır. Dolayısıyla çarpışma hızı √5100 ≈ 71 olur
Numberphile: https://www.youtube.com/watch?v=i3D7XYQExt0
F1 araçlarının frenlemede 4G elde etmesinin nedeni bu. Ken Block’un son canavar gibi özel aracı veya Valkyre gibi araçlar aktif aerodinamik frenlemeyi daha fazla kullanır
Bu tür temel sanal otomobil deneyleri için BeamNG.drive oldukça iyi bir fizik simülatörü. Yerleşik araçları açıp fren testini kendiniz çalıştırabilirsiniz
İki araç aynı yavaşlamayla, yani ivme açısından fren yapabilir; ya da aynı şiddetle, yani kinetik enerjiyi ısıya çevirme oranı açısından fren yapabilir. Ama hızları farklı olduğu için bu iki değer aynı anda eşit olamaz
Yukarıdaki hesap şiddet ölçütüne göredir, kuvvet ya da ivme ölçütüne değil. Kinetik enerji formülündeki kare yüzünden fark abartılır. Kuvvet ölçütüyle hesaplarsanız daha yumuşak, doğrusal bir fark çıkar
“Aynı oranda frenledi” ifadesi de kurnazca. Normalde “oran” kuvvet ya da ivme anlamına gelir; burada ise kinetik enerjiyi ısıya çevirme oranı ile hesap yapılıyor
Enerji dönüşüm oranının aynı olması, hızlı arabaya gerçekte çok daha az fren kuvveti uygulandığı anlamına gelir. Düşük hızla yokuş aşağı inerken aynı kuvvetle sorun yaşamazken, yüksek hızda aynı kuvveti uygularsanız frenlerin pişmesiyle aynı matematiktir bu
Esasında kamyonların yokuş aşağı inerkenki hesabı—yani sınırın sürtünme değil, frenlerin ısıyı ne kadar atabildiği olduğu hesap—otomobilin durması problemi olarak yeniden kurgulanıp tuzak soru haline getirilmiş
Ron Maimon, tamamen simetriye dayanan bir argüman yazıyor. Bu başlıktaki birçok standart açıklamayı dolanan bir yaklaşım; anladığım kadarıyla Noether teoreminin basitleştirilmiş bir versiyonu gibi.
Bir yan not olarak, Ron Maimon’un hesabının, moderatör seçiminde oy isteyen birinin karakterini sorun ettiği için askıya alındığını biliyorum. Onun görüşü, seçilmiş bir göreve aday olan biri hakkında karakter tartışmasının yapılabileceği yönündeydi.
Stack Overflow ailesindeki sitelerde, soruyu eleştir ama kişiyi eleştirme şeklinde katı bir politika vardı; moderatörler de buna dayanarak kalıcı yasak verdi.
O dönem Ron’un, SO sitelerinin politikaları yüzünden yozlaştığını ve yakında değer sunamaz hâle geleceğini yazdığı yazıları gördüğümü hatırlıyorum. 2000’lerin sonları ya da 2010’ların başları civarıydı; geriye dönüp bakınca epey ileri görüşlüymüş gibi geliyor.
Şimdi, yapay zeka SE’yi tamamen işe yaramaz hâle getirmeden önce ondan olabildiğince para koparmaya çalışan giderek tuhaflaşan yönetim kararları da buna eklendi; ama saldırganlık ve düşmanlık en başından beri dayanılması zor bir düzeydeydi.
StackOverflow’da bir şeye sadece 10 saniye bakıp çıkacakken, insanların birbirine davranış biçimine inanamadığım için yorumlara dakikalarca boş boş baktığım onlarca kez oldu.
Birkaç yanıtı okudum ama hâlâ sezgisel bir cevap görmüş gibi değilim. Neden 0’dan 1’e gitmektense 1’den 2’ye gitmek çok daha fazla enerji gerektiriyor?
Hareketsizken, bir duvarı itmek gibi çevreyi kullanarak hız kazanabilirsiniz.
Zaten hızınız varsa, çevre size göre ters yönde hareket ediyormuş gibidir; bu yüzden her bir hız birimi daha kazanmak için daha fazla çaba gerekir.
Varsayımı değiştirmek yardımcı olur.
Sabit bir kuvvet uygulanan bir cismin katettiği mesafe zamanla ikinci dereceden artar.
Enerji, kuvvet × mesafedir. Bir cismi kaldırmak için gereken enerjinin, kaldırılan yüksekliğe orantılı olduğu sezgisiyle aynıdır.
Dolayısıyla sabit bir kuvvet uygulamak sabit bir ivme üretir ve bunun sonucunda mesafe ikinci dereceden artar.
Enerjinin kuvvet × mesafe olduğunu kabul ederseniz, bu durumda cismi hareket ettirmek için gereken enerji de ikinci dereceden artar.
Yani F kuvvetini 1 saniye boyunca uyguladığınızda, bu kuvvetin aktardığı enerji miktarı cismin hâlihazırda ne kadar hızlı hareket ettiğine bağlıdır. Zaten hızlı olan bir cisme kuvvet uygulamak çok daha fazla enerji gerektirir. Sezgi şu: önce hareket eden cismin hızına kadar çıkmak için enerji harcamanız gerekir; ancak ondan sonra kuvvet uygulamaya başlayabilirsiniz.
Karşı-olgusal bir varsayımla bakınca anlaşılabilir.
Kinetik enerjinin hızın |v| değerine doğrusal bağlı olduğunu, E = m|v| olduğunu varsayalım. O zaman evren nasıl olurdu?
Geleneksel Lagrangian L = 1/2 mv^2 - V(x)’tir. Bu kinetik enerjiyi kullanırsak farklı bir formül elde ederiz: L = m|v|ln|v|-V(x)
Buna karşılık gelen hareket denklemlerini türetirsek p = m(1+ln|v|)sgn(v), ma = |v|F çıkar.
Bu formüllerden birkaç şey görülebilir. Birincisi, Galilei göreliliği bozulur; boost değişmezliği yoktur. Evrenin durgun olduğu ayrıcalıklı bir referans çerçevesi, yani eter mutlaka olmalıdır ve tüm dinamikler bu çerçeveye göre anlaşılmalıdır.
İkincisi, Newton’un birinci yasası bu referans çerçevesiyle ilişkili olarak patolojik bir yoruma sahip olur. ma = |v|F ve |v| = 0 ise, hangi F kuvvetini uygularsanız uygulayın a = 0’dır. Etere göre durgun olan bir cisim, hangi kuvveti alırsa alsın hareket edemez.
Etere göre hareket eden bir cisim dış kuvvet yoksa hareket etmeye devam eder ve Newton’un üçüncü yasası da hâlâ doğrudur; ama böyle bir evren pratikte anlamsızdır.
Antropik ilke açısından bakarsak, böyle bir evrenin dinamiklerinin yaşamı mümkün kılamayacak kadar patolojik olduğunu, bu yüzden bizim onu gözlemleyemeyeceğimizi söyleyebiliriz.
StackExchange’teki argüman “Galilei göreliliği verilirse ikinci dereceden ölçek yasası çıkar” ise, bu argüman bunun karşıtı olarak “ikinci dereceden ölçek yasası yoksa görelilik de yoktur” der.
Karşı-olgusalın amacı, Richard Feynman’ın “neden” argümanına benzer: https://www.youtube.com/watch?v=36GT2zI8lVA
Bu tür dinamiklerin var olamaması için temel bir neden yoktur. Açıklamayı ancak yaşadığımız evrene ilişkin daha temel sezgilere, örneğin kinetik enerjinin ölçek yasasından Galilei göreliliğine doğru indirebiliriz. Alternatifin ilkece de çelişkili olduğuna dair matematiksel bir kanıt yoksa, farklı dinamiklere sahip alternatif bir evren hayal etmek tamamen geçerlidir. Sadece bizim evrenimiz değildir.
Hileli cevap: Hız bir vektördür, bu yüzden negatif olabilir; ama kinetik enerji skaler olduğu için pozitif olmalıdır. Bu nedenle eksi işaretini yok etmek için v’nin karesini almak gerekir.
Mutlak değer kullanılamaz mı derseniz, doğa böyle şeyleri sevmez. Muhtemelen 0’da türevi tanımlı olmadığı içindir. Bu yüzden kare olur.
Pürüzsüz parabolik bir kâse ile doğal olmayan sivri bir koni ucu arasındaki fark gibi. Standart sapma gibi yerlerde de ortaya çıkar.
Bu arada, karmaşık değerli sinir ağlarında aktivasyon fonksiyonunu sum(inputs)*conj(sum(inputs)) yapıp eşiği sqrt(num_inputs) ile normalize etmenin en genel yaklaşım olup olmayacağını merak ediyorum. Tutarsız girdilerin mutlak değer ortalaması sqrt(N) olur, tutarlı girdiler ise lazer gibi N olur. Kare genlik, düzeltilmemiş topluluk ile korelasyonlu topluluk arasında N’e karşı N^2 olur.
Ayrıca 0’daki tekilliğin nasıl ele alındığı, o etkileşimin yapısı açısından çok önemlidir.
Hızı 2 katına çıkarırsanız aynı süre içinde 2 kat daha uzağa gidersiniz. Sadece 2 kat hızlı olmak değil; bu ikisi birlikte işi etkiler.
Michael Spivak’ın Physics for Mathematicians kitabında, buradaki en üst yanıtta olduğu gibi klasik mekaniğin matematiğinin neden bu biçimde olduğuna dair birçok argüman yer alır.