Harika Bir Tesadüf mü, Yoksa Beklenen Bir Bağlantı mı: Neden π² ≈ g

Gizemli bir çakışma

• π²'nin neden g ile neredeyse aynı olduğuna dair soru
• π boyutsuz bir sayı, g ise fiziksel bir niceliktir
• İki değer tam olarak eşit değildir

Basit olmayan bir sorun

• g'nin değeri m/s² birimiyle ifade edilir
• Farklı birimlerle ifade edilirse bu çakışma ortadan kalkar
• Metre ve saniyenin tanımını anlamak gerekir

Metrenin tanımı

• Metre, ışığın vakumda 1/299,792,458 saniye boyunca kat ettiği mesafedir
• Bu tanımın içinde π yer almaz

Standartların tarihi

• Geçmişte uzunluk, insan vücudunun parçaları temel alınarak ölçülüyordu
• Standardizasyon ihtiyacı ortaya çıkınca doğal sabitleri kullanan tanımlar önerildi

Standardizasyon hayali ve yerçekimi

• 17. yüzyılda Christiaan Huygens, sarkacın uzunluğunu kullanarak metre tanımı yapmayı önerdi
• Sarkacın uzunluğunun Dünya üzerindeki konuma göre değişmesi sorunu ortaya çıktı

Şaşırtıcı denklem

• Sarkacın periyodunu veren formülde π ortaya çıkar
• Huygens'in sarkaç parametreleri yerine konduğunda π² = g elde edilir

Fransız Devrimi ve metrenin değişimi

• 1791'de Fransız Bilimler Akademisi metre tanımını değiştirdi
• Paris meridyeninin kırk milyonda biri olarak tanımlandı

Gerçek metre

• Metre, Paris meridyeni gerçekten ölçülerek tanımlandı
• Dünyanın basıklığı hesaba katılmadığı için küçük bir hata oluştu

Sonuç

• π² ile g arasındaki fark yaklaşık 0.06'dır
• Metrenin tanımı değiştirilmemiş olsaydı π² = g gibi zarif bir denklem geçerli olacaktı

# GN⁺ Özeti

• Bu yazı, π² ile g arasındaki ilişkiyi incelerken tarihsel arka planı ve bilimsel ilkeleri açıklar
• Metre tanımının birkaç kez değiştirilmesiyle ortaya çıkan hatayı ele alır
• Matematik ile fiziğin ilginç bağlantısını anlamaya yardımcı olur
• Benzer bir konu olarak 'Doğal sabitlerin ve birimlerin tarihi' önerilir

[GN⁺]

Hacker News görüşleri

• İlginç ama şu kısma itiraz etmek istiyorum: “Başka birimlerle ifade edince büyü anında kaybolur. O halde tesadüf değildir”
  Normalde bu, daha çok tesadüfün güçlü bir işareti olur. Tesadüf olup olmadığına bakmak için bir kestirme arıyorsak, doğru ölçüt “birimleri değiştirince de korunuyor mu” olurdu
  Yine de bu durum, o kestirmenin başarısız olduğu istisnai bir örnek gibi görünüyor

  • Şart değil. Astronomi öğrenirken, gözlemlerde 1 yıl ya da 1 güne benzer periyodiklik çıkarsa bunun genelde tesadüf değil, Dünya’nın yörüngesini ya da dönüşünü doğru düzgün düzeltmemiş olmak anlamına geldiğini öğrenmiştim
  • Doğru değil. Denklemin tamamı sonuçta metrenin tanımına, daha doğrusu eski tanımlarından birine dayanıyor
  • Bu karşı çıkışa katılmayan çok kişi olmasına şaşırdım. Ben de tam olarak aynı şeyi düşündüm
    Eğer π², g’ye tam olarak eşit olsaydı ve başka birimlerde “büyü” kaybolsaydı, o zaman “o halde tesadüf değildir” deyip bunun birimin kendisiyle ilgili olduğu sonucuna varabilirdik
    Ama π², g’ye sadece yaklaşık olarak eşit ve başka birimlerde büyü kayboluyor; bu yüzden yazıyı okumadan önce görsem muhtemelen tesadüf derdim
  • Katılıyorum. Hikâye sonra nasıl gelişirse gelişsin, görünüşte tesadüfü göstermenin hemen ardından “o halde tesadüf değil” diye yazmak afallatıcı
  • Katılıyorum. Yalnız “so” çıkarılırsa çelişki kalmıyor. Yazar bunu “dolayısıyla” anlamında değil, nispeten anlamsız bir söylem işaretleyicisi gibi kullanmış olabilir

• Bir fizikçi olarak gayet mantıklı. π = 3, π² = 10, o da g işte
  Herkesin neden şaşırdığını anlamıyorum
  Aa, bir de 1 yılın π*10e9 saniye olduğunu hatırlıyorum

  • Bir bilgisayar bilimci olarak da şaşırtıcı değil. Sonuçta sadece 0, 1, n diye üç sayı var
  • Fizikçi olarak mı? Okulda fizik yaparken problemleri çözdüğümüzde cevap her zaman bir sayı ve birimle birlikte olurdu. π² saf bir sayı, yani 10 olabilir; ama g ivme gibi fiziksel bir nicelik, dolayısıyla asla sadece 10 olamaz, belli bir birimde 10 olmak zorunda
  • π ile g arasındaki bağlantının, vakumda ivmelenen ineğin küresel olmasından kaynaklandığını sanmıştım
  • π saniye bir nanoyüzyıldır. O yüzden 1 yıl = π*10^7 saniye
  • Bir makine mühendisi olarak doğrulayabilirim. e ≈ π ≈ 3

• Bir başka “güzel tesadüf” de mil-kilometre dönüşümünde 1.609344 sabitinin çıkması: kilometers = miles * 1.609344. Buna “km” sabiti diyelim
  Meğer km, altın oran (sqrt(5)+1)/2 = 1.618033989... değerine çok yakınmış. Fark sadece yaklaşık %0,5 (100 * (gr/km - 1) = 0.54%)! Orijinal yazıdaki ifadeyle, “başka birimlerle ifade edince büyü anında kaybolur. O halde tesadüf değildir...” şey... bir dakika?
  Bir tane daha var. π(3.141592654...), 4 / sqrt(gr)(3.144605511...) değerine neredeyse eşit; buna da “almost pi” için “ap” diyelim. Bu da π’yi altın oranla bağlıyor ve fark %0,096 (100 * (pi/ap - 1)) kadar. Kesin bir anlamı olmalı, değil mi?
  Son olarak en sevdiğim: 111111111^2 = 12345678987654321. Bu da ... şey ... bir dakika ...

  • Mil fit ile bağlantılı, fit de yerçekimiyle altın oran üzerinden mi bağlantılı? 6 fit biraz 2π gibi mi duruyor?
  • 1 yıl, π * 1e7 saniyeye çok yakın; hata %0,5’ten küçük
  • ln(5) ~ 1.6094379 çok daha yakın ve fark bir yüzde puanın %0,5’i kadar
  • En iyisi sum(1, 36)

• Metrenin uzunluğu saniye sarkacının boyu olarak tanımlansaydı, g tam olarak π² olurdu. Sarkaç denkleminden:
  T = 2π√(L/g)
  T = 2 s ve L = 1 m koyarsak:
  2 s = 2π√(1 m / g)
  Buradan g çözülürse:
  g = π² m/s²
  Bu, yerçekiminin şiddeti ne olursa olsun geçerli olurdu; ama buna göre metrenin uzunluğu farklı olurdu
  [1]. Aslında Talleyrand bunu 1790’da önermişti. Bunun gerçek olduğu bir dünyayı düşünün

  • Yazı, Huygens’in bunu 17. yüzyılda önerdiğini açıklıyor ve aynı türetmeyi de gösteriyor :)

• Bununla bağlantılı olarak sevdiğim bir şey daha var. Avogadro sayısı ile Boltzmann sabiti neden birbirinin tersi gibi, yani N ~ 1/k? Boyutlar uymadığı için cümlenin kendisi anlamsız, ama MKS birim sisteminde doğru
  Çünkü ikisinin çarpımı yaklaşık 1 olan gaz sabitini veriyor. İkisi de mikroskobik birimlerden insan ölçeğindeki birimlere geçişi sağlayan sayılar ve insan ölçeğinde deneyimlediğimiz gazı tanımlayan gaz sabitinde birbirlerini götürüyorlar

  • İlginç olan, Avogadro sabitinin aslında gerçekten 1 olması. Avogadro sayısıyla molün çarpımı olarak tanımlanıyor; çünkü molün kendisi, Avogadro sayısının tersi olan boyutsuz bir nicelik
  • Yine de tesadüf değil mi? Nk=8.31, 1 mol gaz için basınçhacim/sıcaklık demek
    Sıcaklık aralığı nispeten dar (100~1000); metre, saniye ve kilogramı farklı tanımlasaydık P*V aralığının 0.01~0.1 gibi bambaşka bir yerde olmaması için de bir neden yok

• Bunu bundan daha kötü açıklamak zor olurdu galiba
  Bu yazı hangi okur için? Fizik bilmeyen biri için fazla uzun ve kafa karıştırıcı. Bir birimin başka bir birime bağlı olmasının ve metrik sistemi kendi başına yeniden üretebilme yeteneğinin neden önemli olduğunu anlatmak, uzunluk standardının uzun aktarımından çok daha önemli
  Cevaplanmamış çok soru da var. Saniye neye göre tanımlandı? Zaman sarkaçla ölçülmüyor muydu? Astronomik tanım neden daha güvenilirdi?
  Fizik bilen biri için çok daha kısa ve net yazılabilirdi. Mesela: “Metrenin evrensel tanımı, yerçekimi gibi doğada görülen bir sabit gerektirir. Bir cismin belli bir sürede düştüğü mesafe ölçülebilir ama sarkaç kullanmak daha kolaydır. Sarkacın periyodu yaklaşık olarak 2πsqrt(ip uzunluğu/yerçekimi) şeklindedir. Yerçekimini π² alırsanız karekökün dışındaki π sadeleşir ve T = 2*sqrt(Length) olur. 1 metrelik bir sarkaç gidiş-dönüşte 2 saniye, tek salınımda 1 saniye sürer; bu yüzden kullanışlıdır. O dönemde saatler oldukça hassastı ve saniye gökbilim gözlemleriyle yeniden üretilebiliyordu. Bu yüzden bir sarkaç getirip tam her 1 saniyede bir salınacak şekilde uzunluğunu ayarladıktan sonra, o ip ya da çubukla her şeyi ölçebilirdiniz. Hoş göründüğü için yerçekimi sabitini π² (9.87 m/s²) olacak şekilde değiştirdiler. Metreyi küçültürseniz diğer her şey daha uzun hale gelir. Sonrasında Dünya yüzeyinde yerçekiminin değiştiği ve kusursuz matematiksel sarkacı yeniden üretmenin zor olduğu anlaşıldı; bu yüzden Dünya’nın boyutuna dayalı astronomi temelli bir tanıma geçildi. Bunun da sorunları vardı, bu yüzden Paris’te 1 metrelik fiziksel bir çubuk sakladılar. Birkaç yıldır fizikçiler, ölçülebilen en küçük mesafe olan Planck sabitini kullanmaya başladı.”

  • Metre şu anda (2019’dan beri) atom saatinin N çevrimi boyunca ışığın vakumda kat ettiği mesafe olarak tanımlanıyor[1]. Genel görelilik etkilerini hesaba katmak için Dünya’nın neresinde ölçüm yapıldığını da belirtmek gerekiyor. Çünkü yerçekimi saatin hızını etkiliyor
    Artık ışık hızı ölçülen bir değer değil, tanımlanmış bir değer. Bu oldukça derin bir durum; çünkü birim sistemimiz artık özel görelilik teorisinin geçerliliğine dayanıyor
    1 - https://en.wikipedia.org/wiki/Metre

• Metre tanımının tarihinden çıkan hoş bir ters köşe ve harika bir yazıydı
  Okurken Ramanujan gibi matematikçiler aklıma geldi. Rastgele sayılarla oynayıp bağlantılar bulmak için epey zaman harcayan insanlar yani. Yine de bu durumda yazarın en baştan tarihi biliyor olması muhtemel
  Her halükârda, matematik diploması bu tür sayı ilişkilerini keşfetme eğlencesini bir ölçüde öldürmüş gibi geliyor. Küçükken tuhaf karalamalar gibi bağlantılar kurmayı ve bulmayı severdim; ama diplomayı bitirmeye yaklaşınca, öğrendiğim daha soyut temel öğeler arasındaki bağlantıları düşünmek istemeye başladım
  Yine de başarılı matematikçiler arasında hâlâ bu şekilde çalışan çok kişi var gibi görünüyor. Garip bir bağlantıyı fark edip sonra nedenini teoriyle dolduruyorlar ve bazen bu gerçekten ilginç sonuçlara götürüyor

• Bununla bağlantılı olarak, metrik sistemin kökenleri ile ilk bilimsel konferansı ele alan Ken Alder’ın The Measure of All Things kitabını tavsiye ederim. Beklenmedik derecede sürükleyici bir okuma
  https://www.simonandschuster.com/books/The-Measure-of-All-Th...

• İçeriğin kendisiyle tamamen alakasız, sitenin kendisiyle ilgili bir şey
  Siteye girince tamamen bozuluyor. Araştırınca, Stylus (CSS enjekte eden eklenti) herhangi bir kural etkin olduğunda, hatta sadece global bir kural olsa bile, sitenin kullanılamaz hale geldiğini gördüm. React framework’ü ile yapıldığı için sadece tuhaf görünmüyor, resmen kırılıyor
  Ticket açtım ve Stylus geliştiricisinden hızlıca yanıt aldım; görünüşe göre bu web sitesi ve caseme.io ile yapılmış tüm siteler, `` içine enjekte edilen düğümleri algılarsa hata fırlatıp çöküyor
  [1] https://github.com/openstyles/stylus/issues/1803

  • Ben şu an Stylus kullanmıyorum ama bende de bozuk. Hiç CSS uygulanmıyormuş gibi görünüyor; büyük bir logo görseli ve varsayılan yazı tipiyle metin çıkıyor. Hangi eklentinin sebep olduğunu bilmiyorum ama muhtemelen Dark Reader’dır. Yine de okunabildiği için büyük bir sorun değildi

• “Daha fazla kumaş almak gerekirse, kasabadaki en uzun adamı çağırıp kumaşı onun kübitiyle ölçtürürlerdi” stratejisinin gerçek kumaş satıcılarında işe yarayıp yaramayacağı oldukça şüpheli
  Resmî ölçü birimleri olmayabilirdi ama aptal değillerdi

  • Günümüzdeki bariz shrinkflation örneklerini görünce bu yorum komik biçimde ironik geliyor