İçteğet Kare Probleminden Topoloji Öğrenmek [Video]
(youtube.com)- 1911’de Toeplitz tarafından ortaya atılan içteğet kare problemi, her kapalı sürekli eğrinin üzerinde mutlaka bir karenin dört köşesi bulunup bulunmadığını soran çözülmemiş bir problemdir; daha kolay olan dikdörtgen sürümüne ise topolojiyle yaklaşılabilir
- Bir dikdörtgen, iki nokta çiftinin aynı orta noktaya ve aynı uzaklığa sahip olması durumunda oluşur; bu nedenle eğri üzerindeki tüm nokta çiftlerini 3 boyutlu uzaydaki noktalara gönderirsek, öz-kesişimler içteğet dikdörtgenlere karşılık gelir
- Sırasız nokta çiftlerinin tamamı doğal olarak bir Möbius şeridi oluşturur; aynı noktanın iki kez seçildiği nokta çiftleri ise bunun sınırı olarak, özgün eğrinin bulunduğu düzlem üzerinde yer alır
- Bu Möbius şeridi düzlemin altındaki yansımasıyla birleştirilirse bir Klein şişesi oluşur; bunun 3 boyutta öz-kesişim olmadan temsil edilememesi, dikdörtgenin varlığını kanıtlamanın anahtarıdır
- Kare problemi, nokta çiftlerinin açısını da izlemeyi gerektirdiği için daha zordur; 2020’de Joshua Andrew Lobb’un düzgün eğriler için elde ettiği sonucun aksine, fraktal benzeri pürüzlü eğriler zorlu bir problem olarak kalır
İçteğet kare problemi ve daha kolay dikdörtgen problemi
- Kapalı sürekli eğri, kalemi kaldırmadan çizilebilen ve başlangıç noktasına geri dönen bir döngü olarak görülebilir
- Eğri üzerindeki dört nokta bir karenin köşeleri olursa, bu kare eğrinin içteğet karesidir
- Her kapalı sürekli eğrinin mutlaka içteğet bir kareye sahip olup olmadığı, 1911’de Toeplitz tarafından ortaya atılmış çözülmemiş bir problemdir ve genellikle inscribed square problem olarak adlandırılır
- Bir adım daha kolay soru, her kapalı döngünün mutlaka içteğet bir dikdörtgene sahip olup olmadığıdır; bu kanıt Herbert Vaughan’ın fikrine dayanır
- Bilinen uygulamalar aramaktan ziyade, saf bir bulmacayı çözerken problem çözme yapısının nasıl kurulduğunu göstermeye odaklanır
Dikdörtgeni 3 boyutlu dönüşümün öz-kesişimine dönüştürmek
- Dört noktanın bir dikdörtgen oluşturma koşulu, iki doğru parçasının aynı orta noktaya ve aynı uzunluğa sahip olması koşuluna dönüştürülebilir
- İki doğru parçasının merkezi aynı ve uzunluğu aynıysa, dört uç nokta bir dikdörtgen oluşturur
- Eğri üzerindeki her nokta çifti için şu bilgiler kaydedilir
- Nokta çiftinin orta noktasının x, y koordinatları
- İki nokta arasındaki uzaklık d
- Bu üç değer, 3 boyutlu uzayda bir nokta olur ve eğri üzerindeki tüm nokta çiftlerinden 3 boyutlu uzaya giden sürekli bir dönüşüm oluşur
- Birbirinden farklı iki nokta çifti aynı 3 boyutlu noktaya giderse, bu iki nokta çifti aynı orta noktaya ve aynı uzaklığa sahip olduğundan içteğet dikdörtgen oluşturur
- Olası tüm çıktı noktaları 3 boyutlu uzay içinde karmaşık bir yüzey oluşturur ve bu yüzeyin öz-kesişimleri içteğet dikdörtgenlere karşılık gelir
- Çember durumunda birçok nokta çifti kubbenin tepesindeki tek bir noktada toplanır ve çemberin sonsuz sayıda içteğet dikdörtgeni vardır
- Elipse doğru ezildiğinde, birden çok kesişim dikey bir doğru gibi görünür
- Burada öz-kesişim, görünen şekil değil, “farklı nokta çiftlerinin aynı çıktıya gittiği durum” anlamına gelir
Nokta çiftleri uzayının Möbius şeridine dönüşme süreci
- Döngünün her noktasına 0’dan 1’e kadar bir koordinat verilirse, 0 ve 1 aynı döngü noktasını temsil ettiğinden iki ucun birleştirilmesi gerekir
- Sıralı iki nokta çifti, birim karenin bir noktasıyla temsil edilebilir
- x koordinatı birinci noktadır
- y koordinatı ikinci noktadır
- Sol-sağ kenarlar ve alt-üst kenarlar ayrı ayrı birleştirilirse tüm yapı bir torus olur
- Dikdörtgen kanıtında nokta çiftinin sırası önemli değildir
- a,b ile b,a’yı farklı şeyler olarak görürsek, aynı orta nokta ve aynı uzaklık koşulunda anlamsız tekrar ortaya çıkar
- Bu nedenle x,y ile y,x aynı nokta çifti olarak görülmelidir
- Birim kare köşegene göre katlanıp, kenar özdeşleştirmeleri hesaba katılarak kesilip yapıştırıldığında sonuç bir Möbius şeridi olur
- Bu Möbius şeridi rastgele bir oyuncak şekil değil, döngü üzerindeki tüm sırasız nokta çiftlerini sürekli biçimde temsil eden doğal bir uzaydır
- Şeridin her noktası, döngü üzerindeki bir sırasız nokta çiftine karşılık gelir
- Döngü üzerindeki her sırasız nokta çifti de şeridin bir noktasına karşılık gelir
- Bir taraf biraz hareket ederse diğer taraf da yalnızca biraz hareket eder; ani bir sıçrama yoktur
- x,x köşegeninden gelen kırmızı sınır, aynı noktanın iki kez seçildiği tüm nokta çiftleridir ve önceki 3 boyutlu dönüşümde özgün döngünün bulunduğu xy düzlemi üzerine gitmelidir
Klein şişesinin kanıttaki rolü
- Möbius şeridinden 3 boyutlu bir yüzeye giden sürekli bir dönüşüm düşünüldüğünde, şeridin sınırı özgün döngünün bulunduğu düzlem üzerinde olmalıdır
- İlk bakışta “Möbius şeridinin sınırını düzlemde tutup onu 3 boyuta öz-kesişim olmadan yerleştirmek mümkün değildir” sezgisine ihtiyaç var gibi görünür, ancak bu cümle olduğu haliyle doğru değildir
- Matematikçi Asimov, Möbius şeridini 3 boyuta gömerken sınırının düzlem üzerindeki bir çember olmasını sağlayan bir yapı kurmuştur
- Bu yapıda şeridin iç kısmı çemberin hem üstünden hem altından geçer
- Döngü nokta çiftlerinden oluşturulan yüzey, uzaklık d’yi yükseklik olarak kullandığından tüm iç noktalar xy düzleminin üstündedir
- Bu yüzden gereken koşul, “sınırı düzlemde olan ve iç kısmı düzlemin üstünde bulunan bir Möbius şeridi, öz-kesişim olmadan yerleştirilemez” biçimini alır
- Bu yüzey düzlemin altına yansıtılıp özgün yüzeyle sınır boyunca birleştirildiğinde, iki Möbius şeridinin birleştirilmesinden oluşan kapalı bir yüzey elde edilir
- İki Möbius şeridinin sınırlarının birleştirildiği yüzey bir Klein şişesi olarak görülebilir
- Klein şişesi, iç ve dış tarafın açıkça ayrılamadığı başlıca yönlendirilemez yüzeylerden biridir
- 3 boyutta öz-kesişim olmadan doğru biçimde temsil edilemez; daha yüksek boyutlarda daha rahat var olabilir
- Klein şişesi 3 boyutta öz-kesişimden kaçınamadığı için, döngü nokta çiftleri yüzeyi ve onun yansıması da öz-kesişime sahip olmalıdır
- Bu öz-kesişim, birbirinden farklı iki nokta çiftinin aynı orta noktaya ve aynı uzaklığa sahip olduğu anlamına gelir; dolayısıyla içteğet dikdörtgen vardır
Kare problemi, düzgünlük ve topolojinin rolü
- Kare elde etmek için iki nokta çiftinin orta noktası ve uzunluğunun yanı sıra doğru parçasının açısını da izlemek gerekir
- İki doğru parçası aynı orta noktaya ve aynı uzunluğa sahipse ve aralarında 90 derece açı farkı varsa bir kare oluştururlar
- Bilgi sayısı dörde çıktığından, 4 boyutlu uzayda Möbius şeridi ve Klein şişesi gömülmelerini düşünmek doğal hale gelir
- 2020’de Joshua Andrew Lobb bu sonucu düzgün eğriler için genişletti
- Düzgün eğrilerde kare varlığı zaten biliniyordu
- Lobb’un sonucu, bu özel durumda mümkün olan tüm en-boy oranlarına sahip dikdörtgenlerin bulunabileceğini gösterir
- Bu tartışmada belirli bir 4 boyutlu uzay içindeki Möbius şeridi ve Klein şişesi gömülmeleri yer alır
- Düzgün eğrilerde her noktada iyi tanımlı bir teğet vardır
- Nokta çiftleri birbirine yaklaştığında orta nokta ve uzaklık temiz bir limit davranışı gösterir
- Açı da izlense, iki nokta yaklaştıkça doğru parçasının açısı o noktadaki teğet açısına yaklaşır
- Fraktal benzeri pürüzlü eğrilerde açı böyle bir limit davranışına sahip olmayabilir
- İçteğet kare probleminin zor olmasının nedeni, tüm pürüzlü eğrileri de kapsamak zorunda olmasıdır
- Topolojide Möbius şeridi, Klein şişesi gibi şekiller tuhaf nesneler olmanın ötesinde, sürekli karşılıklar altında neyin mümkün ve neyin imkânsız olduğunu değerlendiren mantıksal araçlar olarak işlev görür
1 yorum
Hacker News görüşleri
Bu video gerçekten çok iyiydi. Cebirsel topoloji alanında doktora yaptım ve topolojiyi de epey çalıştım, bu yüzden içerik tanıdıktı; ama bu tür kavramları bu kadar açık anlatabilir miydim ya da topolojinin o çetin dünyasını böyle “pratik” bir problemle ilişkilendirerek açıklayabilir miydim, emin değilim.
Doktoradan sonra çeşitli işlerde çalıştım, şimdi ise AI tarafında araştırma yazılımı mühendisi olarak çalışıyorum. Saf matematiği sık sık özlüyorum ve akademiden ayrıldığıma biraz pişmanlık da duyuyorum, ama akademik matematiğe geri dönmek neredeyse imkânsız görünüyor. 3B1B videoları bana hep matematiğin herkese açık olduğunu ve üniversitede matematikçi olarak çalışmasanız bile matematiğin tadını çıkarabileceğinizi, öğrenebileceğinizi ve yeni şeyler keşfedebileceğinizi hatırlatıyor
Belirli bir alanın araştırma cephesinde kalmak için muhtemelen profesyonel bir matematikçi olarak çalışmak gerekir; ama onun dışında, matematiğin temelleri değişmediği için yeterli ilgi ve tutkusu olan herkesin erişebileceğini düşünüyorum
Eski bölümlerimi de özlüyorum, gençken üniversitede olduğum günleri de
3B1B, matematik eğitiminde nelerin mümkün olduğunu gösteriyor. Bu alanın geleceği beni heyecanlandırıyor, ama bu yaklaşımın matematik eğitimine yerleşmesinin çok uzun sürecek olması üzücü
Bir de biz bu videoyu öğrenmek istediğimiz için izliyoruz. Oynat düğmesine bastığımız anda zaten konuya angaje olmuş oluyoruz. Buna karşılık lise ya da üniversite derslerinde çoğu kişi istediği için değil, almak zorunda olduğu için derste bulunuyor ve başlangıçta bir bağlılık oluşmuyor. Üstelik bir öğretim üyesi, arka tarafta üçüncü sırada uyuklamaya başlayan öğrenciyi bir videonun yapabildiği gibi anında fark edip ona göre tepki veremez.
Öğrenmek isteyen insanlar için son derece iyi işliyor, ama o içeriği gerçekten öğrenmek istemeyenleri daha da geride bırakma ihtimali de var
Sonuçta, şu anda küçümsenen geleneksel eğitim biçimlerinden öğrenilen karmaşıklık ve gösterim olmadan, bu kadar büyük ölçüde sadeleştirilmiş açıklamalar üretmek zor olurdu. Öte yandan yetenekli öğrencilerin kafasında zaten bu tür imgeler bulunur ve sezgileri çoğu zaman nettir; daha az aşina ya da daha az yetenekli öğrencileri de sürece katmak için bu yaklaşım çok yerinde
Bu problemin yeniden ele alınmasına sevindim. Birkaç yıl önce bu konudaki ilk video beni doğrudan 3B1B hayranı yapmıştı
Möbius şeridini çocukluğumdan beri biliyordum ve ergenliğimin ilk dönemlerinde de sürekli fonksiyonların mutlaka bir yerden geçtiği türden varoluş ispatı fikirlerini biliyordum.
Ama Möbius şeridinin işe yaramaz, tuhaf bir nesneden fazlası olabileceğini hiç düşünmemiştim; şimdi de onu fazla hafife aldığım için sanki ondan özür dilemem gerekiyormuş gibi hissediyorum. Bu ispatta oynadığı rol şaşırtıcı ve zihni hoş bir şekilde kıpırdatıyor
https://www.youtube.com/watch?v=SXHHvoaSctc&list=PLTBqohhFNB...
Matematikte en temel düzeyin ötesinde neredeyse hiçbir şey bilmiyorum ama bu konu büyüleyici ve anlamak için görsellere ihtiyaç duyuyorum. Gerçekten harika bir video.
Videoda 2 boyutu 3 boyuta eşlemenin bir yolu tanıtıldığında aklıma ilk gelen şey, “Bu da 3 boyutu 4 boyuta eşlemenin bir yolu mu?” oldu. Sonradan 4 boyuttan da bahsetti. Bunu ne görselleştirebiliyorum ne de tam olarak anlayabiliyorum
3 boyutta bile “iki cisim aynı yer ve zamanda var olamaz”, “paralel doğrular sonsuzda kesişir”, “paralel doğrular asla kesişmez” gibi biçimlerde düşünebiliriz. Sadece 3 boyutta görselleştirme ve sezgiye sahip olduğumuz için her şeyi her seferinde formel olarak parçalamıyoruz
Lobb’dan bahsedildiğini görmek hoşuma gitti. Birkaç yıl önce, hatta epey uzun zaman önce Lineer Cebir 1 dersini Lobb’dan almıştım. Harika bir hocaydı; bizim bir şeyi anlamadığımızda yüzünde beliren o umutsuz ifadeyi hâlâ gülümseyerek hatırlıyorum
Videonun 4:15 noktasından itibaren bir sorun olduğunu hissettim. Her orta nokta için yalnızca tek bir mesafe olduğu sonucuna atlanmış gibi görünüyordu. Ama o orta nokta, sınır üzerindeki iki noktanın seçilmesinin sonucu; aynı orta noktaya sahip ama mesafeleri farklı olan başka iki noktayı seçmek de kolayca mümkün
O noktaya doğrudan değinilmedi ve sonraki 2 dakika boyunca bu düşünce kafamın içinde dönüp durdu. Aynı yönde ilerlemeye devam edip de açıklamayınca ya benim bir şeyi kaçırdığımı, ya da benden daha matematiksel izleyicilerin bu açık soruyu birkaç saniyede çözdüğünü ve benim hedef izleyici olmayacak kadar yetersiz matematik eğilimim olduğunu düşünüp videoyu durdurdum
İyi bir eğitim videosunun, deneme izleyicilerinin bu tür noktaları gündeme getirmesi ve videonun sürekli inceltilmesi sonucunda, her noktadan şüphe duyan biri için bile iyi bir nihai videoya dönüşen bir süreçten çıktığını düşünüyorum
Burada tekillik gerekmiyor. Hatta asıl mesele, içte çizilmiş bir dikdörtgen bulma işini aynı orta noktaya ve aynı mesafeye sahip iki nokta çifti bulma işine dönüştürmek; bunu da senin işaret ettiğin andan yalnızca 1 dakika 15 saniye sonra açıkça söylüyor
Ama bunu görsel olarak tanımlayınca, senin yaptığın türden bir yanlış anlama çok doğal. Çünkü şekil, sanki girdisi orta nokta olan ve o orta noktaya karşılık gelen mesafeyi döndüren bir fonksiyonun grafiği gibi görünüyor; ama senin de belirttiğin gibi bu iyi tanımlı değil. Böyle anlarsan videonun geri kalanı tamamen raydan çıkıyor. Çünkü videonun geri kalanı, bu fonksiyonun tanım kümesinin sırasız nokta çiftleri {A, B} olarak görüldüğünde bir Möbius şeridi olduğunun açıklanmasına ayrılmış
Sonuçta, bir önermenin %100 biçimsel bir sürümü verilmezse bazı insanlar kaçınılmaz olarak amaçlanandan farklı yorumlar yapar. Bunun dinleyicinin ne kadar zeki olduğu ile ilgisi yok. 3Blue1Brown da bunun farkında gibi görünüyor ve alternatif biçimleri deniyor; bu video ayrıca fonksiyonun açıkça “f(A, B) = (x, y, z)” diye yazıldığı ve değişkenlerin de açıklandığı etkileşimli bir blog yazısı olarak sunuluyor: https://www.3blue1brown.com/lessons/inscribed-rect-v2
“Yeterince büyük bir dinleyici kitlesinde, yalnızca çok zeki insanları seçsen bile, her gayriresmî açıklama farklı yorumlar üretir” gerçeği matematik eğitiminin temel zorluklarından biri. Etkileşimli bir ortamda dersi durdurup soru sorabilirsin, ama bu da daha fazla biçimciliğe odaklanma yönünde bir teşvik yaratır ve görselleştirme ile sezgiyi açıklamaya ayrılan zamanı azaltabilir
Somut soruna gelirsek, her orta nokta için tek bir mesafe olduğunu hiç varsaymıyor. Bunu ne söylüyor ne de görselleştirme bunu ima ediyor
Topolojiye bakmanın başka bir yolu da John L. Kelley'nin General Topology, D. Van Nostrand, Princeton, 1955 kitabında bulunabilir
Gerçel sayılar kümesi R üzerinde, x, y ∈ R ve x < y ise (x,y) = { z | x < z < y } açık bir kümedir; x <= y ise [x,y] = { z | x <= z <= y } kapalı bir kümedir. R'nin bir altkümesi hem kapalı hem de sınırlıysa kompakttır; bu da Riemann integrali gibi konularda güçlü bir özelliktir
Bu tür kavramlar, gerçel doğru ve açık-kapalı aralıkların çok ötesindeki daha genel topolojik uzaylara genişletilir. Sanırım kitap başlığındaki “General” da buradan geliyor. Üniversitede matematik bölümünün son yılında Kelley'yi okuyup hocaya bu konuda ders de anlatmıştım, ama bugünlerde topoloji için başka tanımlar da var
Bu video sayesinde topolojinin ne olduğunu anladım
Bunu izlerken kaygılanan başka biri var mı? Sanki başarısızlık korkusu ya da aşırı başarı odaklı olmanın kalıntı kaygısı hâlâ duruyor gibi
Matematik alanında doktora derecem var ve akademik uğraşlardan büyük ölçüde uzaklaştım. Beni o dereceye kadar taşıyan şey başarı ya da akademik kazanım arzusu değil, yolculuğun kendisine duyduğum sevgiydi. İşe girdikten sonra matematik bir süre karanlık ve korkutucu bir şeye dönüştü; bu video ise temiz hava gibi geldi
Kendini adayabileceğin bir sevinç kaynağı bulmanı dilerim. İnsan böyle köklerden beslenerek gelişebilir. Bunun iş olması da şart değil. Hatta kaygının dibinde tehlikeli bir iş piyasasının yattığını düşünüyorum. Benim köklerim kariyerim değil, seçtiğim ailem. Böyle bir güven duygusu olunca zihin daha rahat dolaşabiliyor ve bunun gibi açık problem türü bulmacalara da uzanabiliyor. Başlangıç noktası merak
Bir zamanlar bir konferansta John H. Conway, kariyerinin başlarında seninkine çok benzeyen duygular yaşadığını bana bizzat itiraf etmişti
Başarısızlıktan söz etmişken, bu açık probleme yaklaşmak için aklıma bir fikir geldi ve bunu Koch kar tanesine uygulayan kodu alelacele yazdım. Yazarken yaklaşımın bariz bir sorununu fark ettim; bağlamdan kopuk şekilde yalnızca sonucu söylersem, o satır kodu yazmadan önce sıfıra bölmeyi yakalamış oldum. Başarılı olması için hiçbir neden olmadığından, başarısızlık eğlenceliydi; ayrıca bug'ı daha yazmadan fark etmek her zaman tatmin edicidir