Genç matematikçiler, hayranlık uyandıran bir fraktalin içinde tüm düğümleri buldu

• Toronto Üniversitesi'nde yüksek lisans öğrencisi olan Malors Espinosa, lise öğrencilerinin de kanıtlamaya çalışabileceği bir araştırma problemi ararken, tüm düğümlerin Menger sponge içine yerleştirilip yerleştirilemeyeceğini sordu
• Menger sponge, bir küpün tekrar tekrar oyulmasıyla oluşan bir fraktaldir ve Karl Menger, 1926'da bu yapının tüm eğrileri barındıran bir evrensel eğri olduğunu kanıtladı
• Joshua Broden, Noah Nazareth ve Niko Voth, düğümleri arc presentation ile ızgara biçiminde ifade edip, sponge içindeki deliklerden kaçınmak için Cantor kümesi koordinatlarını kullanan bir yöntem geliştirdi
• Haftalık Zoom toplantılarıyla geçen birkaç ayın sonunda üç öğrenci, tüm düğümlerin Menger sponge içine sığabileceğini kanıtladı ve makale arXiv'de yayımlandı
• Tetrahedral versiyonda ise trefoil knot ve daha geniş pretzel knot ailesinin de yerleştirilebildiğini gösterdiler, ancak bunun tüm düğümlere genişletilip genişletilemeyeceği hâlâ açık bir soru

---

Lise öğrencileri için bir araştırma probleminden doğan düğüm-fraktal teoremi

• 2021 sonbaharında Malors Espinosa, lise öğrencilerinin doğrudan kanıtlayabileceği ama aynı zamanda araştırma değeri de taşıyan bir matematik problemi arıyordu
• Bölgedeki lise öğrencilerine yönelik yaz atölyelerinde matematiksel araştırmanın temel fikirlerini ve kanıt yazımını öğretiyordu; bazı öğrenciler artık çözüm anahtarı olmayan problemlerle uğraşmaya hazırdı
• Kaos teorisi üzerine bir ders kitabında Menger sponge ile yeniden karşılaşınca, bu fraktali düğüm teorisiyle birleştiren bir soruya yöneldi

Menger sponge ve evrensel eğri

• Menger sponge, bir küpü Rubik küpü gibi parçalara ayırıp ortadaki küçük küp ile altı yüzün merkezindeki küçük küpleri çıkardıktan sonra, kalan 20 küçük küpün her birine aynı işlemi sonsuza kadar uygulayarak elde edilir
• Yineleme sürdükçe deliklerin sayısı geometrik olarak artar; sonsuz yineleme sonunda hacim 0'a inerken yüzey alanı sonsuza gider
• Karl Menger, 1926'da bu sponge'ı tanımlarken herhangi bir eğrinin deforme edilip sponge üzerinde bir yere kendini kesmeden yerleştirilebileceğini kanıtladı
  • Basit doğrular ve çemberler
  • Ağaç ya da kar tanesi gibi görünen yapılar
  • Fraktal toz benzeri eğriler
• Menger bu özellik nedeniyle sponge'a universal curve adını verdi

Çembere homeomorphic olan tüm düğümler de sığabilir mi?

• Malors'un sorusu, Menger'in teoreminin homeomorphic eğriler arasında ayrım yapmamasından yola çıkıyordu
• Matematiksel bir düğüm, dolanmış ve bağlanmış bir ipin iki ucunun birleştirilmesiyle oluşan kapalı bir halkadır; üstünde yürüyen bir karınca açısından, bir çember gibi başladığı noktaya geri döner
• Bu anlamda tüm düğümler çembere homeomorphic'tir, ancak Menger'in kanıtı yalnızca çemberin sponge içine yerleştirilebildiğini garanti eder
• Amaç, düğümün halkalarını ve dolanıklığını koruyarak tüm düğümlerin Menger sponge içinde bulunabileceğini göstermekti

Düğümleri arc presentation ile ızgaraya dökmek

• Üç öğrenci, Joshua Broden, Noah Nazareth ve Niko Voth, problemi düğümleri düzlemsel bir ızgara üzerindeki arc presentation ile ifade ederek ele aldı
• Arc presentation, düğüm ipliklerinin birbirinin önünden ve arkasından geçme bilgisini, ızgara üzerindeki nokta dizilimlerine dönüştürür; her satır ve sütunda tam olarak iki nokta bulunur
• Noktalar yatay ve dikey çizgilerle birleştirilir; iki parça kesiştiğinde dikey olanın yatayın önünden geçtiği kabul edilir
• Her düğüm bu tür bir ızgara temsiliyle gösterilebildiğinden, düğümün önemli özelliklerini incelemek kolaylaşır

Cantor kümesi koordinatlarıyla sponge'ın deliklerinden kaçmak

• Öğrenciler, arc presentation'daki yatay parçaları Menger sponge'ın bir yüzüne, dikey parçaları ise karşı yüzde yerleştirme fikrini kullandı
• En zor kısım, arc presentation'ın her köşesinde iki yüzü sponge'ın içinden birbirine bağlarken yolun deliklere düşmemesini sağlamaktı
• Bunun için tek boyutlu bir fraktal olan Cantor set'ten yararlandılar
  • Bir doğru parçası üç eşit parçaya bölünür ve ortadaki üçte birlik kısım çıkarılır
  • Kalan iki parçada da aynı işlem sonsuza dek tekrarlanır
  • Sonuçta dağınık bir nokta kümesi kalır
• Menger sponge ile Cantor set'in aynı sayıda çıkarma adımından geçtiği düşünülürse, sponge yüzeyi üzerinde her iki koordinatı da Cantor set içinde olan noktalarda delik bulunmaması gerekir
• Sponge'ın yinelemeli yapısı nedeniyle, bu noktaların hemen arkasında da delik olmaması gerekir; böylece düğüm, sponge'ın malzemesinin dışına çıkmadan içinden geçebilir

Tüm düğümleri Menger sponge içine yerleştiren kanıt

• Geriye kalan görev, herhangi bir düğümün arc presentation'ının sıkıştırılıp genişletilerek tüm köşelerinin Cantor set koordinatlarına uydurulabileceğini göstermekteydi
• Bu sıkıştırma ve genişletme işlemleri arc presentation'ın genel yapısını değiştirmediği için, temsil ettiği düğüm de değişmez
• Broden, Nazareth ve Voth, dikey ve yatay çizgilerin kesiştiği noktaların Cantor set içine gelecek şekilde herhangi bir arc presentation'ın dönüştürülebileceğini kanıtladı
• Bu sonuç, daha fazla sayıda köşenin de Cantor set'e hizalanabileceğini güvence altına aldı ve sonunda verilen düğümün Menger sponge'ın bir yineleme aşamasına yerleştirilebilmesini sağladı
• Üç öğrenci, tüm düğümlerin Menger sponge içine sığabildiğini gösterdi

Problemi tetrahedral sponge'a genişletmek

• İlk soruyu çözdükten sonra öğrenciler, tüm düğümlerin Menger sponge'ın tetrahedral versiyonuna da sığıp sığamayacağını araştırmaya başladı
• Bu durumda, birbirine tam karşı bakan yüzleri kullanan önceki yöntem artık işlemediği için problem daha zor hâle geldi
• Malors bir ara trefoil knot'un tetrahedron içine sığamayacağını düşünmüştü, ancak üç öğrenci buna karşı çıktı ve yeni bir yerleştirme yöntemi buldu
• Daha sonra trefoil'in ait olduğu daha genel bir düğüm ailesi olan pretzel knot için de aynı şeyin mümkün olduğunu kanıtladılar
• Başka düğüm türlerinin tetrahedral sponge içine yerleştirilip yerleştirilemeyeceği ise hâlâ açık bir problem olarak duruyor

Fraktal karmaşıklığı düğümler üzerinden görme olasılığı

• Malors, öğrencilerin yönteminin fraktallerin karmaşıklığını daha geniş biçimde ölçmenin bir yolu olabileceğini düşünüyor
• Her fraktal her düğüm türünü barındıramayacağı için, hangi düğümleri barındırabildiği ve hangilerini barındıramadığı, fraktal yapıyı anlamak için bir ölçüt olabilir
• 2014'te matematik meraklıları, MegaMenger adlı küresel bir projede kartvizitler kullanarak 200 pound ağırlığında sonlu bir Menger sponge inşa etmişti
• Allison Moore, bu sonucun fiziksel malzemelerle üretilecek yeni bir matematik sanatına kapı açabileceğini düşünüyor
• Üç öğrencinin tamamı artık liseden mezun oldu; yalnızca Broden, üniversite dersleriyle birlikte tetrahedron problemi üzerinde çalışmayı sürdürüyor ve üçünün de matematik alanında kariyer düşüncesi var

[GN⁺]

Hacker News yorumları

• Düğüm teorisi temel alınarak yapılmış bir tarayıcı bulmacası; oynarken ne öğrendiğimi bilmiyorum ama eğlenceliydi
  https://brainteaser.top/knot/index.html

  • Nedense bana https://www.jasondavies.com/planarity/ oyununu hatırlattı

• Quanta gerçekten harika bir dergi gibi görünüyor. Bu vesileyle ilk kez duydum

  • Birkaç iyi podcast'leri de var; ben özellikle Joy of Wh(y)'ı epey seviyorum

• “Tüm düğümler bir çembere **homeomorphic (homeomorfik)**tir” ifadesinin açıklaması burada var
  https://math.stackexchange.com/questions/3791238/introductio...

  • Bu doğru değil. Düğüm bir topolojik uzay değil, bir **embedding (gömme)**dir; yani K:S^1 -> S^3, daha genel olarak da S^n -> S^n+2. Bu yüzden homeomorfizm kavramı doğrudan uygulanmaz
    Orijinal yazının kastettiği şey, görüntüye kısıtlandığında çemberden onun görüntüsüne bir homeomorfizm elde edildiğidir. Çünkü bu, çemberin bir gömmesidir
    Topolojik uzaylar arasındaki bir dönüşüm olarak bakarsak, ve genelde smooth kategori ya da piecewise linear kategori seçildiği için daha da kısıt gelir; “eşdeğerliğe” en doğal yakın yorum, Kf=gK koşulunu sağlayan bir homeomorfizm çifti f:S^1 -> S^1, g:S^3 -> S^3 olmasıdır. Yani bu, bir natural transformation ya da komütatif kareye karşılık gelir
    Böylece neredeyse istenen şeye ulaşırsınız ama homeomorfizmle uzayın yönünü ya da düğümün yönünü tersine çevirmek mümkündür ve bu fiziksel düğüm olgusuyla uyuşmaz. Bu yüzden uzaya bir yön vermek gerekir; bunun için de piecewise linear/smooth kategoriye gidilir ya da homotopi/izotopi kullanılır
  • Sezgisel olarak, çember ve düğüm üzerinde birer başlangıç noktası seçip farklı hızlarla yürüdüğünüzü, ama aynı anda tekrar başlangıç noktasına döndüğünüzü düşünebilirsiniz
    Gerçekte düğüm, çemberden o dönüşümün görüntüsüne, yani düğüme giden bir sürekli birebir ve örten dönüşümdür. Bağlantı verilen yanıtta da bu söyleniyor
    Düzeltme: Makaleye tekrar bakınca, bu sezgisel açıklamanın zaten karınca benzetmesiyle verildiğini gördüm

• Quanta'yı gerçekten seviyorum. Keşke basılı bir sürümü olsa

  • Katılıyorum. Basılı abonelik ücretini memnuniyetle öderim, hatta yakındaki bir liseye fazladan bir kopya bağışlayabilirim
    Gerçi günümüzde gençler kütüphaneye gitmiyor olabilir; dergiyi tuvaletlere, koridorlara ve kafelere dağıtmak gerekebilir
  • Bana MIT'nin Leonardo dergisini hatırlattı. İkinci sınıfta bir süre takıntı hâline getirdiğim şeylerden biriydi: https://direct.mit.edu/leon
  • Buna karşılık, animasyon gibi şeyler eklenebildiği için modern medya tarafını daha çok tercih ediyorum

• “Menger sponge'ın tetrahedral versiyonu” genelde Sierpiński tetrahedron olarak daha iyi bilinir ve Sierpiński triangle'ın 3 boyutlu versiyonudur

• Neden özellikle fraktal kullanıldığını anlamadım. Düz bir 3 boyutlu ızgara kullanılamaz mıydı? Uygun çözünürlükte bir ızgara aynı işi görmez miydi?
  Yoksa amaç, böyle kısıtlı bir 3 boyutlu ızgaranın alt kümesi içinde bile her şeyin yapılabildiğini göstermek mi?

  • 3 boyutlu ızgara sonucu iyi biliniyor ve neredeyse apaçık denebilir. Hatta bir boyutta, yalnızca 2 katmanı bırakıp gerisini atabilirsiniz
    Dediğiniz gibi Menger sponge, 3 boyutlu ızgaranın bir alt kümesi; dolayısıyla öğrencilerin deliklerden kaçınan bir kurgu bulması gerekiyordu. Sonuç bana kişisel olarak şaşırtıcı gelmiyor ama hoş görünüyor
    Yine de makaledeki asıl harika kısmın sondaki açık problem olduğunu düşünüyorum. Tüm düğümler Sierpiński tetrahedron içine gömülebilir mi?

• Kanıtın temel ve anlaşılması kolay olması hoşuma gitti. Neredeyse Pisagor teoreminin ispatlarını hatırlatıyor ama aynı zamanda oldukça anlamlı olma potansiyeli de var gibi

• Çok hoş. Sierpiński gasket için bunu nasıl çözdüklerini de benzer bir görselleştirmeyle göstermelerini isterdim