12 Yıldır Duvarımda Asılı Olan O Fraktal

• Yazarın ortaokul yıllarındaki bir karalamasından yola çıkan fraktal şekil ("wallflower"), alışıldık yöntemlerden farklı biçimde üretilmiş benzersiz bir yapı
• Bu fraktalın oluşum sürecinde L-sistemi ve matris tabanlı konum kodlama üzerinden özelliklerinin matematiksel olarak nasıl açıklanabileceği inceleniyor
• Determinantı ±5 olan belirli matrisler kullanıldığında şeklin ölçek değişimi ve dönüşü, ayrıca uzaydaki yinelemeli yerleşimi etkili biçimde açıklanabiliyor
• Yalnızca 2 boyutta değil, 3 boyutlu ve 4 boyutlu genelleme olasılıkları da deneniyor; yüksek boyutlarda simetri ve paketleme verimini gözeten matris tasarımı önem kazanıyor
• Fraktal, lineer cebir ve sayı sistemlerinin birbiriyle bağlantılı olduğu görülüyor; bu araştırma sürecinin kendisi de yaratıcı problem çözmenin değerini gösteriyor

---

Giriş: Duvarda Asılı Fraktalın Sırrı

• Yazar, ortaokul yıllarında kareli kâğıt üzerinde kareleri kopyalayıp döndürerek doldurduğu bir karalamayı (sonradan buna “wallflower” adını veriyor) keşfediyor ve buna uzun yıllar ilgi duyuyor
• Yapının sıra dışı olması nedeniyle matematiksel olarak derin bir anlam taşıdığını düşünüyor, ancak o dönemde bunu analiz edemiyor
• Daha sonra matematik bilgisi arttığında, geçmişteki kendisinin bıraktığı bu soruyu ciddi biçimde araştırmaya başlıyor

Fraktalı Çizme Yöntemi

1. Tek bir kareyle başlanır
2. Mevcut şekil sola, sağa, yukarı ve aşağı birer kez kopyalanıp yerleştirilir
3. Ardından mevcut durum yaklaşık 27 derece saat yönünde hafifçe döndürülür ve yine dört yöne kopyalanıp yerleştirilir
4. 2. ve 3. adımlar tekrarlanarak kâğıt tamamen doldurulur

• Bu şekilde çiçek gibi yayılan bir fraktal oluşur
• Bu süreç de Gosper Curve benzeri biçimde sonsuza dek yinelendiğinde tüm düzlemi kaplayabilir

L-sistemi ile Fraktal Sınırının Oluşturulması

• L-sistemi (karakter dizisi yer değiştirme kuralları) yaklaşımı da uygulanabilir: yalnızca R (sağ) veya L (sol) 90 derece dönüşleri kullanılır
• Başlangıç kuralı: RRRR ile başlanır, yer değiştirme ise R→RLR, L→RLL olarak ilerler
• L-sistemiyle oluşturulan sınır ile ortaokul dönemindeki yöntemle elde edilen sınır arasında 4. terimden itibaren belirgin farklar ortaya çıkar
  • Sürükle-bırak yönteminde her kopyanın yerleşimi farklıdır
  • L-sistemi yaklaşımında diyagonal yönde kopyalama öne çıkar

Görselsiz wallflower'ın Özellikleri

• Sürükle-bırak yöntemiyle üretilen wallflower internette yaygın biçimde görülen bir yapı değildir
• L→RLR, R→LLR yer değiştirme kuralı nedeniyle yönün tekrar tekrar tersine dönmesi gibi bir özellik vardır
• Kopyaların yerleşim açısı (“27 derece”), matris yapısı ve L-sistemi yer değiştirme kuralları arasında bağlantı bulunur

Sayı Verme Yöntemi (Fraktalın Konum Kodlaması)

• Cantor eşleme fonksiyonu gibi, fraktal içindeki her kareye bir sayı vererek uzayı verimli biçimde takip etmek mümkündür
• Her yineleme 5'in katları, 5'in kuvvetleri gibi kavramlarla yakından ilişkilidir; verimli kodlama için 5 tabanı kullanılır
• Sol ve sağ kopya desenlerine bakıldığında, “200 eklemek” gibi geometrik hareket ile toplama arasındaki bağlantı fark edilir

Matrislerin ve Fraktalın Uzamsal Anlamı

• Konum vektörleri matris çarpımıyla ifade edilir; böylece her basamak değeri için matrix power uygulanır
• Örnek matris M=[−2 1; 1 2] için determinant det(M)=-5 olduğunda yön tekrar tekrar tersine döner
• M′=[2 1; -1 2], det(M′)=5 olan matrisle üretildiğinde daha klasik Gosper türü fraktallara benzeyen bir yapı oluşur
• Determinantın mutlak değeri, fraktalın ölçek büyüme oranı ve uzay doldurma verimiyle tam olarak örtüşür
  • Determinant büyükse uzayda boşluk kalır, küçükse çakışma olur
  • Her matrisin sütun vektörlerinin tam sayı olması gerekir; ancak bu sayede tüm yapı koordinat ızgarasına tam oturur
• |1,2| vektörünün açı hesabı arctan(2/1) ≈ 63.43 derece → eksenden “27 derece” sapmasının nedeni budur

Fraktal Üzerinden Toplama Yapısının İncelenmesi

• Yalnızca basit vektör toplamıyla tüm konumları tahmin etmek mümkün değildir (ör. →2+→2≠→4)
• 1’den 4’e kadar olan değerler her yön (yukarı, sağ, aşağı, sol) olarak yorumlanır ve 2 boyutlu bir “elde” yapısı ortaya çıkar
• generalized balanced ternary gibi yapılarla bağlantı kurularak 2B/yüksek boyutlu sayı sistemleri ve sabit noktası olmayan yapılar elde edilebilir

Yüksek Boyutlarda (3B, 4B) Genelleme Olasılığı

3 Boyuta Genişletme Denemesi

• 3x3 matriste her sütun vektörünün tam sayı olması, Hamming uzaklığının 3 olması ve determinantın ±7 olması gerekir
• Ancak görselleştirildiğinde bazı bölgelerin boş kaldığı görülür ve kusursuz bir dizilim mümkün olmaz
• Ek kopyalarla (yeni bir konumda “artı şekli” oluşturarak) kısmen telafi edilebilir, fakat tam simetri zordur

4 Boyuta Genişletme

• 4x4 matriste her sütun vektörü tam sayı olmalı; üç hanesi ±1, bir hanesi 0 olmalıdır
• 4 boyutta “orthotopeflower” adlı yeni bir fraktal yapı mümkün olur
• Tüm yapı, düzlem üzerinde 7x7 ızgaranın 7x7 ızgarası şeklinde etkili biçimde görselleştirilebilir

Yüksek Boyutlu Genellemenin Sınırları

• Matrisler, ölçek büyüme koşulları ve tam sayı arası vektörler gibi kısıtlar birlikte ele alındığında bu yapının yalnızca 1, 2 ve 4 boyutta geçerli olduğu görülür
• Bunun üzerindeki boyutlarda tüm koşulları sağlayan tam sayılı matrisler kurmak mümkün değildir

Diğer Sayı Sistemleriyle Bağlantılar

• Quater-imaginary base (tabanı sanal 2i olan sayı sistemi) gibi örneklerde olduğu üzere, matris tabanlı sayı sistemleri karmaşık sayılara ve kuaterniyonlara kadar genişletilebilir
• 4B matris üzerinden quaternion kodlama fikri (taban: i+j+k) araştırılmıştır; ancak tam anlamıyla katı doğrulama gelecekteki kendisine bırakılır

Sonuç

• Bir kişinin uzun yıllara yayılan fraktal, sayı sistemi ve lineer cebir araştırması, güzel matematiksel keşiflere dönüşebilir
• Yaratıcı küçük bir karalama ve merak, gerçekten de derin ilkeleri açığa çıkaran bir başlangıç olabilir
• Araştırma sürecindeki rastlantılar, deneme-yanılma ve ısrar sayesinde yeni matematik ve bilgisayar fikirleri ortaya konmuştur
• Kusursuz olmayan görselleştirmelerin veya kurallardaki hataların da araştırmanın bir parçası olarak kabul edilmesi gerektiği vurgulanır

[GN⁺]

Hacker News görüşleri

• Harika bir çalışma ve keyifli bir okuma

  • Cliff’e, Numberphile videolarının çocukken matematiğin güzelliğini keşfetmede büyük ilham verdiği için içten bir teşekkür

• Oldukça içgörülü ve dikkatle yazılmış bir yazı gibi hissettirdiği, özellikle 3D görselleştirmenin çok beğenildiği belirtiliyor; birkaç yıl önce recursive decimation kullanarak herhangi bir görüntüden fraktale benzer efektler üretmeyi sağlayan bir projeyi hatırlattığı söyleniyor. https://jsfiddle.net/nicobrenner/a1t869qf/ bağlantısından doğrudan denenebileceği, Blursort 2x2’ye birkaç kez basıp ardından Animate’e tıklayarak animasyon oluşturulabileceği, görsel kopyalama/yapıştırmanın da desteklendiği, ayrı bir backend olmadan yalnızca tarayıcıda çalıştığı ve mobilde tavsiye edilmediği paylaşılıyor.

  • Bunun 3D’de de çalışıp çalışamayacağı merak ediliyor

• Hafif bir okuma beklenirken yazının epey uzun çıktığı, bu yüzden iş arasında hızlıca göz gezdirildiği; daha sonra geri dönüp çeşitli şeyler denemeyi planladığı ve yazının gerçekten çok iyi hazırlandığı söyleniyor

• Yazının çok iyi kaleme alındığı, "middle out" numaralandırma sisteminin nasıl tasarlandığının paylaşılmasının istendiği; matematik problemlerini tek başına çözerken böyle ilham verici fikirlerin kolay gelmediğine dair bir hayıflanma

  • Yazıda sıra biraz ters anlatılmış olsa da, fraktalin 5 kat büyüme biçimi, 5 tabanlı sayı sistemi ve yazıda anılan "spiral"in bir noktada doğal biçimde birbirine uyduğunu fark ederek fikrin oluştuğu açıklanıyor. Fraktali programatik olarak nasıl çizeceği üzerine de epey düşündüğü, doğal olarak merkezden başlayıp dışa doğru genişleyen bir yaklaşım düşündüğü belirtiliyor. Richard Feynman’ın çeşitli problemleri zihninde taşıyıp yavaş yavaş keşif biriktirdikten sonra dramatik çözümlere ulaştığına dair bir anekdottan söz edilerek, kendisinin de bir problemde buna benzer bir deneyim yaşadığı ama henüz o seviyeden çok uzak olduğunu alçakgönüllülükle ekliyor

• İlginç biçimde içine çekerken "wallflower" fraktalini çizen bir L-system düşündüğü, https://onlinetools.com/math/l-system-generator?draw=AB&skip... bağlantısından görülebileceği belirtiliyor; ama tekrar düşününce muhtemelen başka bir fraktal üretiyor olabileceğini itiraf ediyor

• Harika bir yazı olduğu söyleniyor; duvara fraktalin gerçekten yerleştirilmiş hâlinin bir fotoğrafı olmasının beklendiği, Knuth videosu bağlantısının da çok iyi olduğu ama buna kadar haberdar olunmamasına şaşırıldığı ifade ediliyor

  • Son görselin sol tarafında onun yer alıp almadığı soruluyor

• Benzer bir yöntemin, ayrıntı düzeyi ayarlanabilen dithering desenleri üretmeye de uygulanıp uygulanamayacağı merak ediliyor

• Güzel bir yazı bulunduğu ve Jurassic Park ile tanınan Heighway dragon’un da epey etkileyici olduğunun önerildiği, https://en.m.wikipedia.org/wiki/Dragon_curve bağlantısının paylaşıldığı belirtiliyor

• Bunun biraz pervaneye benzediği söyleniyor

  • Dört kolun da aynı yöne kıvrıldığı biçimin ne yazık ki türlü türlü gamalı haç çağrışımlarına açık olduğu belirtiliyor

• Eğlenceli bir deneyim olduğu söyleniyor