a^2 – b^2 = (a + b)(a – b) için görsel kanıt

 (futilitycloset.com)
1 puan yazan GN⁺ 2024-12-16 | 1 yorum | WhatsApp'ta paylaş
  • Kareler farkı formülü a^2 – b^2 = (a + b)(a – b)yi bir diyagramla doğrulayan kısa bir matematik notu
  • Temel nokta, iki kare ifadenin farkını toplam ile farkın çarpımına dönüştüren çarpanlara ayırma özdeşliği
  • Diyagram, a^2 – b^2 alanının (a + b)(a – b) ile nasıl eşleştiğini gösteriyor
  • Sophie Germain’in sözündeki gibi, cebir ve geometrinin aynı ilişkiyi farklı biçimlerde ifade edebileceğini vurguluyor
  • Yalnızca formül olarak ezberlemek yerine, alanın yeniden düzenlenmesiyle özdeşlik sezgisel olarak doğrulanabiliyor

Kareler farkını diyagramla görmek

  • Görsel materyal, a^2 – b^2 = (a + b)(a – b) için görsel bir kanıt içeriyor
  • Kanıtlanan şey, kareler farkını iki terimin toplamı ile farkının çarpımı olarak ifade eden özdeşlik

Cebir ile geometrinin bağlantısı

  • Sophie Germain, “Cebirin yazıya dökülmüş geometriden, geometrinin de diyagramlaştırılmış cebirden ibaret olduğu söylenegelmiştir” demiştir
  • Bu alıntı, formüllerin ve diyagramların aynı ilişkiyi farklı yollarla gösterebildiğini anlatan bağlamda yer alıyor

İlgili okumalar

1 yorum

 
GN⁺ 2024-12-16
Hacker News yorumları

  • Böyle şeyleri seviyorsanız yalnızca görsel ispatları derleyen bir kitap var: https://www.amazon.com/Proofs-without-Words-Exercises-Classr...; Wikipedia’da da ilgili bir madde var: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Proof_without_words
    Birkaç yıl önce doktora danışmanım ve bir meslektaşımla birlikte bunların birçoğunu LaTeX’te yeniden çizmiştik: https://www.antonellaperucca.net/didactics/proof-without-wor...; Pi Day etkinliğinde poster olarak bastırıp asmayı planlıyorduk, ama pandemi yüzünden etkinlik yapılamadı

    • Bu çalışma gerçekten harika. PDF’e kaynak veya atıf eklemeyi de düşünebilirsiniz.
      İnsanlar dosyayı indirdikten sonra nereden aldıklarını unutsalar bile, hakkı teslim edilmesi gereken yere teslim edebilseler iyi olur

  • Görsel ispatlara bakarken neden dikkatli olmak gerektiğini anlatan şu video aklıma geldi: https://www.youtube.com/watch?v=VYQVlVoWoPY
    Burada π’nin tam olarak 4 olduğuna dair bir “ispat” da var. Bu durumda da aşağıda birinin işaret ettiği gibi gerekçelendirilmemiş bir varsayım var; en azından b < a varsayılıyor

      1. sınıfta geometri öğretmenim, şekilde açıkça belirtilmemiş uzunluk ve açıları asla varsaymamamız gerektiğini özellikle vurgulardı.
        Özellikle şeklin ölçekli çizildiğini düşünmememiz gerektiğini söylerdi; bir dörtgen kare gibi görünse bile, kare olduğu yazmıyorsa ya da bunu belirlemek için yeterli bilgi yoksa onu bilinmeyen bir dörtgen olarak ele almamız gerekirdi. Sınavda böyle yapmazsak “soru puanından daha fazlasını kıracağını” söylerdi; gerçekten de uçurtma gibi görünen bir şekil verip açı koşullarını yalnızca uçurtma olmayan bir paralelkenarda mümkün olacak şekilde koymuş, uçurtma sanan öğrencilerden ek puan kırmıştı
    • O ispatın sorunu yalnızca limitteki değerin sonsuzdaki değer ile aynı olduğunu varsayması.
      pi(n)’i N ∪ {inf} üzerinde tanımlı bir fonksiyon olarak alıp, sürecin n’inci adımında “pi”nin aldığı değeri versin ve pi(inf)’i de gerçek çemberdeki değer olarak tanımlayalım; bu durumda basitçe lim n→inf pi(n) ≠ pi(lim n→inf) olan bir fonksiyon olur. Tüm sonlu n’ler için 4’tür, sonsuzda ise 3.1415... olur.
      “Sonsuz” kullanmayacak şekilde yeniden ifade etmek de mümkün, ama böyle düşünmek en açık olanı. t=0’da 1, diğer yerlerde 0 olan Kronecker delta fonksiyonu delta(t)’den pek farklı değil. lim t→0 delta(t) ≠ delta(lim t→0 t).
    • b < a varsayımı genelliği kaybetmeden yapılabilir
    • Doğru, ama bu çevre ayarlamasını sonsuz kez tekrarlamaya dayanıyor. Burada birkaç kutuyu yeniden düzenlemek sonsuzluk içermiyor
    • Negatif alanlı dikdörtgenler sizi rahatsız etmiyorsa hâlâ geçerli

  • Pisagor teoremi için görsel bir ispat burada: https://www.dbai.tuwien.ac.at/proj/pf2html/proofs/pythagoras...
    Pisagor teoremi bana anında sezgisel gelmediği için bu çok daha “yararlı” hissettiriyor. Orijinal yazıdaki ispat a(b+c)=ab+ac’den doğrudan çıktığı için epey gereksiz tekrarlı görünüyor. Çarpmanın dağılma özelliği için sezgi oluşturmak matematik eğitiminde çok önemli, ama bunun neden doğru olduğuna dair sezginin geometriye yaslanmadan daha iyi kurulabildiğini düşünüyorum

    • Bir doğruyu 3 eşit parçaya bölerseniz bir noktadan çizgi çekerek 60 derecelik açıyı da 20’şer dereceye üçe bölebileceğinize bir zamanlar gerçekten emindim, ama aslında öyle değilmiş
    • O görsel ispat tam görünmüyor. Sağdaki şekildeki dörtgenin kare olduğunu da ispatlamak gerekir
    • Pisagor teoreminden daha fazla gereksiz tekrarlı olduğunu düşünmüyorum. Çünkü Pisagor teoreminin de iç çarpımın tanımından doğrudan çıktığı söylenebilir

  • Dikkatli olmak lazım. Görsel “ispatlara” inanırsanız şuna da inanabilirsiniz: https://en.wikipedia.org/wiki/Missing_square_puzzle

    • Bu, insanı kandırmak için yapılmış gibi görünüyor.
      Problemi düşünerek çizim yapan biri, böyle bir çizimde iki açının eşit olmasının amaçlandığını belirtirdi ya da bir üçgenin 8/3, diğerinin 5/2 olduğu için eğimlerinin açıkça farklı olduğunu gösterirdi.
      İyi bir görsel ispat, semboller yerine çizgiler ve şekillerle gerçek cebiri anlatır; sonuç da bir anlamda hâlâ cebirsel olmalıdır. Bağlantıdaki örnek ya da ünlü Pisagor ispatı da böyledir. Cetveli çıkarıp ölçmeye başladıysanız zaten yolunuzu kaybetmişsinizdir. Tüm sonuçlar görsel değil cebirsel olmalı; fakat o cebiri harfler yerine çizimlerle ifade etmek sorun değil
    • “İnanırsınız” derken ne kastedildiğini bilmiyorum. Verilen örneğin doğru olmadığını mı ima ediyor? O tamamen doğru.
      Bakan kişi açısından başta kafa karıştırıcı olabilir. 3/8 ile 2/5 arasındaki farkı ayırt etmek zordur ve iki üçgenin eğiminin aynı olduğu varsayılır. Ama o görsel ispat aslında ikisinin aynı olmadığını dürüstçe gösteriyor

  • Benzer bir yöntem, karelerle ilgili zihinden hesap için de işe yarar. Örneğin 1005², 1000²’ye iki adet 5×1000 blok ekleyip küçük 5² bloğunu da eklemek demektir; sonuç 1.010.025 olur.
    Tersine 995², 1000²’den aynı iki adet 5×1000 bloğu çıkarıp 5²’yi eklemek demektir; sonuç 990.025 olur

  • Geometride zayıf, cebirde iyi biri olarak bu gerçekten şaşırtıcı. Bu görselin, hatta bu belirli kutular için bile, formülün geçerli olduğunu nasıl gösterdiğini anlamaya başlayamıyorum bile.
    Ama cebirin işlemesini sağlayan çarpmanın bağlantısı çok net hissediliyor. Örneğin kötü ya da iyi olduğunu söylemiyorum; insanların ne kadar farklı düşündüğünün şaşırtıcı olduğunu söylüyorum.

    • Soldaki ilk görselde büyük karenin eninin ve boyunun a olduğunu, dolayısıyla alanının a×a, yani a² olduğunu görebilirsin.
      İçindeki küçük karenin eni ve boyu b, dolayısıyla alanı b². Esasen küçük kareyi büyük kareden çıkarıyoruz; bu da a² - b² oluyor. Sağdaki son görselde bir kenarın uzunluğu (a-b), üst kenar ise (a+b) olduğundan alan (a-b)(a+b). Dolayısıyla a² - b² = (a + b)(a - b) olur; aradaki adımlar da alanın görsel olarak nasıl taşındığını gösteriyor.
    • Beş görselin hangi noktasında kopuyorsun, merak ettim.
    • Hangi kısmı anlamak zor?

  • Bu, sadece eşitliğin geçerli olduğu bazı a ve b değerlerinin var olduğunu gösteriyor gibi. Tüm a ve b için geçerli olduğunu göstermiyor.

    • Pozitif olma koşulu dışında, bu ispat a ve b üzerinde hangi kısıtları gerektiriyor?
    • Gerçekten mi? a=0 veya b=0 olsa da doğru.

  • Futility Closet'ın çok çekici ve ilginç bir podcast’i vardı. Özlüyorum. Yine de hâlâ blog yazıyor olmaları sevindirici.

    • O podcast’i gerçekten keyifle dinlerdim. Yerini tutacak bir şey hâlâ bulamadım.

  • Mathologer’ın birkaç YouTube videosunu keyifle izliyorum; sık sık harika görsel ispatlar çıkıyor.
    https://www.youtube.com/watch?v=DjI1NICfjOk (Fermat’nın iki kare toplamı)
    https://www.youtube.com/watch?v=rr1fzjvqztY (Ptolemy teoremi)
    https://www.youtube.com/watch?v=yk6wbvNPZW0 (irrasyonel sayılar)

  • https://www.matematicasvisuales.com/english/index.html de bakmaya değer.
    Çok sayıda güzel görselleştirme var; bunların arasında en sevdiğim Pisagor teoremi ispatı da bulunuyor.
    https://www.matematicasvisuales.com/english/html/geometry/tr...