İleri Matematikte Eğitim Sorunları
(susam.net)- İlk ve ortaöğretim matematiğinde yetersiz açıklamalar, öğrencileri matematikten uzaklaştırabilir ve geriye yalnızca güçlü motivasyona sahip öğrencilerin kalmasına yol açabilir
- İleri matematik ders kitaplarındaki birçok ispat, tam bir ispattan çok üst düzey bir genel bakışa yakındır; bu da öğrencinin her satırın gerekçesini kendisinin tamamlamasını gerektirir
- Stewart'ın Galois Theory kitabında belirli bir özel durumdaki akıl yürütmeyi açımlamak iki gün sürdü ve ara adımlar uzman matematikçiler için bile belirsizdi
- Tüm ayrıntılar eklense 200 sayfalık bir ders kitabı 2000 sayfaya çıkabileceğinden, atlamalar kaçınılmazdır; ancak bu atlamaların sayısı ve büyüklüğü acı verecek kadar fazladır
- İyi üniversitelerin ek notlarında olduğu gibi, zor akıl yürütmeleri titiz ispatlar ve sezgiyle genişleten kaynaklara ihtiyaç vardır; bazı konulardan başlayarak yardımcı notlar hazırlama planı vardır
İleri matematik eğitiminde ortaya çıkan açıklama boşlukları
- İlk ve ortaöğretim matematik eğitimindeki yetersiz açıklamalar, öğrencinin hayat boyu matematikten uzak kalmasına yol açabilir ve yalnızca güçlü motivasyona sahip öğrencilerin devam etmesine neden olabilir
- Matematik; akıl yürütmenin titizliği, düşüncenin açıklığı ve argümanları birinci ilkelerden kurma eğitimi sunan bir ders olarak ele alınır
- Benzer bir sorun ileri matematikte de sürer; birçok lisansüstü düzey ders kitabındaki ispatlar, tam bir ispattan ziyade üst düzey bir genel bakışa daha yakındır
- Ders kitabı ara adımları yeterince göstermediğinde, öğrenci her satırı anlamak ve gerekçelendirmek için büyük çaba harcamak zorunda kalır
- Bazı ders kitaplarındaki 10 satırlık bir akıl yürütme, ikna edici bir ispat olarak yeniden yazıldığında 10 sayfa tutabilir
Ders kitaplarındaki atlamalar ve tamamlama ihtiyacı
- Uzman matematikçilerle birlikte ders kitaplarındaki ara aşamalar netleştirilse bile, bazı ispatların ara süreçleri uzman matematikçiler için dahi belirsizdi
- Stewart'ın Galois Theory kitabında belirli bir durumdaki karmaşık bir akıl yürütmeyi açımlamak iki gün sürdü ve ortaya çıkan metin; doğruluk, bütünlük ve yeterince motive olmuş öğrenciler için erişilebilirlik ölçütlerinin tümünü karşılamak zorundaydı
- 'proof by obviousness' ve 'proof by intimidation' gibi şakaların geçerli olmasının nedeni, gerçek ders kitaplarında bu tür durumların sıkça görülmesidir
- Sorun, grup teorisi ya da cisim teorisi gibi lisans temel sonuçlarının atlanması düzeyinde değildir; lisans içeriğinin tamamı biliniyor varsayılsa bile, lisansüstü ders kitaplarındaki ispatların neden çalıştığı yeterince açık ortaya konmaz
- Öğrenciler konuları sınırlı teslim süreleri içinde öğrenmek zorunda olduğundan, ders kitabındaki açıklamalar yetersizse her 10 satırlık akıl yürütmeyi kendileri 10 sayfalık bir ispata dönüştürmeye zaman bulamayabilir ve sonunda doğru gerekçeyi hiç öğrenemeyebilirler
- Araştırma makalelerinde sorun daha da ciddidir, ancak burada odak ders kitaplarıdır
- İleri düzey ders kitaplarının tüm akıl yürütmeleri gerekçelendirememesi gibi büyük bir pratik kısıt da vardır
- Tüm ayrıntılar eklenirse 200 sayfalık bir ders kitabı 2000 sayfaya çıkabilir
- Ne öğrencilerin ne de öğretmenlerin, ilgi çekici olmayan teknik akıl yürütmelerle dolu binlerce sayfayı okuyacak zamanı ya da sabrı vardır
- Yazarlar ilgi çekici bölümlere odaklanır ve atlanan kısımları öğrencinin tamamlamasını bekler
- Yine de sıradan ders kitaplarında bulunan atlamaların sayısı ve büyüklüğü acı verecek kadar fazladır
- Birçok iyi üniversite, zor akıl yürütmeleri açarak titiz ispatlar ve sezgiyi destekleyen ek notlar sunar; bu yaklaşım iyi bir uygulama gibi görünür
- Lisansüstü düzey ders kitapları, konuları dünyaya tanıtma açısından hiç olmamalarından çok daha iyidir; ancak kaynakların sık sık erişilmesi zor olması gibi bir sınırlılık da vardır
- Zaman sınırsız olsaydı, söz konusu ders kitaplarındaki tüm akıl yürütmeleri ayrıntılı biçimde açan yardımcı kaynaklar hazırlamak istenirdi; ancak bu gerçekçi değildir
- Buna rağmen, açıklama kalitesinin özellikle önemli olduğu düşünülen konulardan başlayarak yardımcı notlar hazırlama planı vardır; örnek olarak grafın s-arc transitivity konusu ve cisim genişlemeleriyle ilgili başlıklar verilir
1 yorum
Lobste.rs görüşleri
Ah, bu can yakıyor. Kişisel bir anekdot ve yakınma olarak, matematik/bilgisayar bilimi yerine yazılım mühendisliğine yönelmemin nedenlerinden biri, sınıfta sözlü olarak karşılaştığım matematik ile tek başıma kitaptan baktığım matematiği anlama düzeyim arasındaki farkın çok büyük olmasıydı.
Yazılı bir teoremi anlamam alışılmadık derecede uzun sürüyor ve sonunda dönüp baktığımda aslında kolay olan bir şeyin benim zevkime göre berbat açıklanmış olduğu hissi yüzünden çok tatminsiz kalıyorum.
Yine de benim teşhisim biraz farklı. Sorun ayrıntı eksikliği değil; aksine, motivasyon ve genel bakışın eksikliği bence asıl sorun. Bütün ispatlar sanki tam tersinden yazılmış gibi görünüyor. İnsan problemi uzun süre düşünüp ispatı buluyor, sonra da o düşünce sürecini silip son adımdan başlayarak ispatı yazıyor.
Örneğin ispat genelde “ɛ = n^2 / 36 seçelim” diye başlıyor; önce bu epsilonun neden mekanik olarak gerekli olduğunu anlamak için bir kez okumak gerekiyor, sonra o teknik düzeneğin arkasındaki fikri kavramak için bir daha düşünmek gerekiyor, ardından o fikirle kafada gayriresmî bir ispat kurup son olarak da bu fikir akıldayken ispatın doğru biçimselleştirme olup olmadığını tekrar okumak gerekiyor. Biçimselleştirme yararlıdır ama anlayışın kendisi değildir.
Reed-Solomon da buna örnek. Wiki “N dereceli bir polinom N+1 noktadan enterpole edilebilir. K noktayı fazladan gönderirseniz, bir kısmı kaybolsa bile katsayıları geri kazanabilirsiniz” diyebilirdi; onun yerine uzun ve anlaşılması güç bir açıklama geliyor (previously).
Yakın tarihli bir örnek olarak Tao’nun Analysis kitabındaki Teorem 1.5.8 var; kompakt bir kümede her açık örtünün sonlu bir alt örtüsü olduğunu söylüyor. Hemen “y seçelim, V_a seçelim, bir top var, yarıçap r var…” diye başlıyor; yanlış değil ama neden öyle yapıldığını anlamak zor.
Ancak biçimi sindirdikten sonra temel fikir görünüyor. Sonlu bir alt örtü gerektiğine göre “en büyük” kümeleri açgözlü biçimde seçmek doğal, ama en büyük olmanın ne demek olduğunu tanımlamak gerekiyor. Bir noktayı sabitlersek, o noktaya göre en büyük kümeyi seçebiliriz ve topu büyüterek örtünün yalnızca bir elemanının kaldığı bir duruma gelebiliriz. Toplar sonsuza kadar küçülemez; sonra kompaktlığı kullanarak yarıçapı 0 olan bir topa sahip bir nokta seçmiş oluruz. Demek ki topların en az ɛ kadar genişliği var ve henüz örtülmemiş noktalar için en büyük kümeleri seçmeye devam edebiliriz. Sonlu sayıda adımda biterse başarıdır; bitmezse birbirinden ɛ kadar uzak noktaların bir dizisini elde ederiz ve bu da kompaktlıkla çelişir.
Temel fikir her zaman biçimselleştirmeden çok daha basittir ve bir kez onu yakalayınca, eşitsizlikleri yeterince incelttiğinizde bir biçimselleştirmenin mutlaka doğru çıkacağı hissi oluşur. Biçimselleştirme yine de gereklidir; yanlışlıkla seçim aksiyomuna falan dayandığınızın farkında olmayabilirsiniz. Ama fikir aktarma aracı olarak berbattır. Adeta quicksort’u assembly kodundan tersine mühendislikle çıkarmak gibidir.
Matematiği sunmanın doğru yolu bence teoremi başlangıç noktası değil sonuç olarak koymak ve “bunu nasıl keşfetmiş olabiliriz?” modunda anlatmaktır.
Elbette bazen “bunun gerçekten ispat olduğuna ikna olana kadar sarsman gereken” argümanlar da olduğunu inkâr etmiyorum; ama benim karşılaştığım görece yumuşak matematikte bu tür durumlar nadir.
Ders kitaplarındaki teoremler, yemek kitabındaki bitmiş kek fotoğrafları gibi; ispatlar da tarifler gibi. Keki yaparken çıkan dağınıklık ise pek görünmez.
Eksik olan şey, aynı keki pişirmek için hâlâ fırıncılık anlayışı ve becerisi gerektiği. Tarif, hamurun kıvamı ya da işler ters giderse nasıl düzeltileceği gibi şeyleri atlayabilir. Ayrıca fırıncılığın “birinci ilkelerini” bilmek sizi otomatik olarak fırıncı yapmaz. Temel fikirler vardır ama bunları birleştirip gerçekten keki pişirmeniz gerekir.
Matematiğin de diğer modern disiplinler gibi olduğunu düşünüyorum. Vitrin keklerle dolu ve en iyi fırıncılara daha fazla kek pişirsinler diye araştırma fonu veriliyor. Kendiniz fırıncı olmak istiyorsanız bir pastanede çıraklık yapıp püf noktaları öğrenmeli, patronun tariflerini kullanmakla yetinmeyip kendi keklerinizi yapmaya başlamalısınız. Bunun için zaman, emek ve biraz da şans gerekiyor.
https://betterexplained.com/articles/…
DNA dizisi bir kedinin son derece ayrıntılı bir tanımı olabilir ama sadece ona bakarak o hayvanı zihninizde canlandıramazsınız.
Bu biçimle doğrulama ve düzeltme daha verimli olur; buna R-S’nin BCH bakış açısı denir. Ama BCH aynı zamanda bütün bir kod sınıfının adıdır.
Yine de bunu uygularken bu konuyu gerçekten çok okumuş biri olarak, R-S ve BCH hakkındaki Wikipedia maddelerinin genel olarak anlaşılmaz olduğuna katılıyorum. Güzel bir literate programming tarzındaki gf256 kütüphanesi, özellikle gf256::rs, olmasaydı muhtemelen hiç ilerleyemezdim.
Yine de deneyimime göre bazı teoremleri ispatlamak bazılarına göre daha kolay. Algebra I dersimde sınavlardan biri, hocanın o anda seçtiği rastgele bir teoremi ispatlamaktı. Kulağa göz korkutucu gelebilir ama önceden ispatlanmış şeyleri uzun süre ispatlaya ispatlaya örüntüler görmeye başlıyorsunuz. Üstelik diğer ispatlarda kullanılan daha çok teoremi ezberlemiş oluyorsunuz.
Kolay demiyorum ama o seviyede matematik çalışınca sanki zihinde bir şey açılıyor ve bu mümkün hâle geliyor. Biçimselleştirme aşırı gibi görünebilir ama matematikçilerin başkalarının göremediği sonuçlara ulaşmasını sağlayan şey de budur.
Fizik bilimleri tarafındaki kişisel deneyimime göre bunun büyük kısmı akademik makalelerin yazılma, yayımlanma ve değerlendirilme biçiminden kaynaklanıyor.
Makale yazma ve yayımlama süreci aslında bilimi açıklamaya teşvik etmiyor; onun yerine ayrıntılara çok fazla zaman “harcamadan” makul ve biraz ikna edici görünen şeyler söylemeye teşvik ediyor. İspatlarda görülen bu tür yanlılıklar da bana çok benzer görünüyor.
Yayıncıları bilimden çıkarmak gerekiyor.
“Bunu nasıl bulduklarını” açıklamak için tam gerekçelendirilmemiş, tam kesin olmayan, muğlak ve kaba ifadeler kullanmak gerekir. Hakemler, ister kendi kendine yayımlanan ama indekslenen konferans bildirileri olsun ister overlay journal olsun, biraz da olsa yanlış sayılabilecek cümlelerin nihai kabul edilen sürümde kalmasından hoşlanmaz.
Bu yüzden ilk gönderimde sezgisel açıklama olsa bile sonunda çıkarılabiliyor.
Daha kötüsü de var. Giriş yazımında ve makaleyi kabul alma açısından optimize etmede iyi olan ortak yazarım, önerme sürümünü seçerken genellikle bir takas olduğunu söyler. En kolay kabul alacak sürüm, çoğu zaman o makaleyi beğenecek ve atıf yapacak kişiler için en kötü sürümdür. Bütün sürümler doğru olsa ve aynı düzeyde ispat kalitesiyle ispatlanabilse bile.
Bu yüzden teşvikler uyumlu değil. Ama bu kez sorun yayıncılardan çok, akademisyenlerin gerçekten yapmaları gereken iş üzerinden değil de yayın metrikleri üzerinden ödüllendirilmesi olabilir.
Ders kitapları konusunda yazının iddiasına tam katılmıyorum. İyi yapılmış kısaltmalar bir ispatı daha okunabilir kılabilir ve okuru düşünmeye teşvik edebilir. En kötü durumda başka ders kitaplarına ya da özgün kaynaklara bakarsınız. Ama araştırma makalesinde eksik bir ispatla karşılaşmak çok sinir bozucu olabilir. O noktada birden, gerçekten tam ispatın kimin elinde olduğu konusunda kuşku sızmaya başlar ve bir bakarsınız bir hafta/bir ay/bir yıl geçmiş.
Matematik yüksek lisans öğrencisi olarak bu sorunun iki tarafı olduğunu düşünüyorum. Bazen sunulan ispat oldukça üst seviyede oluyor ve belirli bir adımı gerçekten bilmediğinizde sinir bozuyor; ama tersine, boşlukları doldurma süreci her şeyin size hazır verilmesinden daha faydalı olabiliyor.
İspat önerme 1’den önerme 2’ye geçiyor ve bunu hemen anlamıyorsanız, bu ilk olarak yazarın ve daha geniş anlamda o alanın matematik topluluğunun neyi apaçık saydığına dair bir sezgi veriyor. Bu değerli, çünkü hangi sonuçları sezgisel olarak derinden özümsemeniz gerektiğini gösteriyor.
İkincisi, ara adımı kendiniz doldurup argümanın sağlam olduğuna kendinizi ikna ettiğinizde, onu sayfada hazır okuduğunuzdan çok daha iyi hatırlıyorsunuz.
Benim için “sweet spot”, ispatın bir adımını gerekçelendirmenin 30 saniye ile 5 dakika arasında sürmesi. Daha uzun sürerse insan daha kolay hayal kırıklığına uğruyor ve daha az iyi öğreniyor.
Bir de gerçek makalelerdeki ispatları görene kadar bekleyin.
Daha ciddi söylemek gerekirse, elbette kötü yazılmış ve pedagojik olmayan matematik kitapları var. Ama ortalama bir lisansüstü düzey ispatta bütün ayrıntıları yazmanın mümkün olmadığını düşünüyorum. O zaman okuması zahmetli ve aşırı derecede sıkıcı olurdu.
Matematikçilerin kafalarında ispatın boşluklarını doldurması beklenir ve bu öğrenilmesi gereken bir beceridir.
Boşluk doldurmaya dair birkaç kişisel anım var.
Lisede, gereken ayrıntı düzeyi üzerine tartıştıktan sonra ispatları mümkün olduğunca az atlamayla yazmam konusunda anlaşmıştık. Eğer boşlukları doldurabildiğimi gösterebilirsem, beklediğimden çok daha taslak düzeyde yazılmış pek çok metnin de gerekli anlayışı kanıtlamak için yeterli kabul edilmesine razı olunmuştu.
En az üç kat iç içe geçmiş “aslında burada açık bir ispat gerekmiyor ama söz verdik” parantezleri kullandığımı hatırlıyorum. En içteki parantezlerden birinde “2^n>0 olduğunu tümevarımla ispatlayalım” vardı. En üst düzey önerme galiba limitlerle ilgiliydi. Ekleyeyim, en alttaki o aşırı ispatların gerçekten aşırı olduğu konusunda ikimiz de hemfikirdik.
Lise ve üniversitede not alırken, bir sonraki söylenecek bariz şeyin özünü önceden yazıp, ardından gelen daha ayrıntılı notlar için kendime zaman kazanırdım. Daha sonra doktora sonrası araştırmacıyken bir meslektaşımın bir problemi açıklamasını dinlerken, “o kısmı geçebilirsin, hangi yardımcı teoremi söylemek istediğini ve nasıl ispatlayacağını görüyorum” diye araya girmiştim.
Meğer yanılmışım. Onlar sonucu ileri sürmüyor, soru soruyorlarmış. Yine de benim tahmin ettiğim taslaktan çıkan ispat sonunda makaleye girdi.
Bizim gibi somut matematik yapan insanlar arasında, Lean, Agda, Coq gibi ispat yardımcıları ile ayrıntı sorununu çözmeye çalışan ayrı bir dünya var. Ama “genel” matematik öğretiminde ispat yardımcıları kullanan pek az kişi var gibi görünüyor. Neden?
Sürekli matematikte ise standart ifade biçimi ile yüksek dereceden mantık kullanan ispat yardımcıları arasında bir miktar ifade uyumsuzluğu var. Birinci dereceden küme kuramı biçimselleştirmesiyle yeterince ileri gidebilmek için gereken tanımlar var ama bunlar henüz tutarlı bir bütün hâlinde toparlanmış görünmüyor.