Başka bir evrendeki π

• π, bir çemberin çevresinin çapına oranıdır; ancak “mesafe”yi nasıl tanımladığınıza bağlı olarak aynı yarıçapa sahip çemberler farklı şekiller alabilir ve π değeri de değişebilir
• Matematikte metrik (metric), bir mesafe fonksiyonunun sağlaması gereken 4 koşulu belirler; böylece Öklid mesafesinin dışında da geometri, kalkülüs ve topoloji bazı değişikliklerle ele alınabilir
• Manhattan mesafesi ve maksimum mesafe kullanıldığında çember sırasıyla döndürülmüş bir kare ve kare gibi görünür; çevre hesabının sonucu olarak π her ikisinde de 4 olur
• p-norm, Manhattan, Euclidean ve maximal distance’ı kapsayan sonsuz bir metrik ailesidir; p=2 olan normal Öklid mesafesindeki π=3.14159… bu ailede mümkün olan en küçük değerdir
• Tüm metriklere genişletildiğinde π, 3 ile 4 arasında yer alır; belirli bir altıgen metrikte yarıçapı 1 olan çemberin çevresi 6 olduğundan π=3 olur

---

π değerinin neden değiştiği

• Genellikle π, bir çemberin çevresi C ile yarıçapı r arasındaki C = 2πr ilişkisinde karşımıza çıkar
• Matematiksel olarak çember, merkezden aynı mesafe kadar uzaktaki noktaların kümesidir
• Dolayısıyla π, çemberin çevresini ve yarıçapını ölçen mesafe tanımına bağlıdır
• Aynı “maliyete” sahip noktaların şekli her zaman Öklid çemberi olmak zorunda değildir
  • Merkezden aynı süre boyunca koşarak ulaşılabilen noktalar, zaman temelli mesafenin çemberi olabilir
  • Aynı yakıtla araba sürerek ulaşılabilen noktalar da yakıt temelli mesafenin çemberi gibi görülebilir
  • Rüzgârın güçlü olduğu bir günde yelken açıldığında, aynı çabayla ulaşılabilen noktalar rüzgâr yönüne bağlı olarak bir tarafa kaymış bir elips oluşturur

Hangi mesafe fonksiyonu metrik olur?

• Matematikte metrik, bir fonksiyonun mesafe fonksiyonu sayılabilmesi için gereken koşulları belirler
• Bir metrik şu kuralları sağlamalıdır
  • Bir noktadan kendisine olan mesafe her zaman 0’dır
  • Birbirinden farklı iki nokta arasındaki mesafe her zaman pozitiftir
  • a’dan b’ye olan mesafe, b’den a’ya olan mesafeye eşittir
  • a’dan c’ye doğrudan gitme mesafesi, a’dan b üzerinden c’ye gitme mesafesinden uzun değildir
• “Yelken açmak için gereken çaba”nın metrik olması zordur
  • Rüzgârı arkaya alarak gitmekle karşı rüzgâra karşı gitmek için gereken çaba farklı olduğundan 3. koşulu sağlamaz
• Öklid mesafesi d = sqrt(x² + y²), Antik Yunan geometrisinde ve Newton’un kalkülüsünde de kullanılan geleneksel mesafe tanımıdır
• 20. yüzyılın başlarında matematikçiler, temel gereksinimleri sağlayan fonksiyonların mesafe fonksiyonu olarak kullanılabileceğini ve pek çok matematiksel sonucun bazı değişikliklerle uygulanabileceğini fark etti

Manhattan mesafesinde π

• Manhattan mesafesi, ızgara biçimli bir şehirde çapraz hareket edemeyip x yönündeki ve y yönündeki hareketleri toplayan mesafedir
• Mesafe formülü d = x + y olarak ifade edilir
• Örneğin iki şehrin nüfus değişimi tahmin hatalarını x ve y eksenlerine yerleştirirseniz, toplam hatanın 1.000 kişi olduğu noktalar tek bir “çember” oluşturur
• Bu metrikte çember, 45 derece döndürülmüş bir kare gibi görünür
• Yarıçap 1.000 ise her kenarın Manhattan mesafesiyle uzunluğu 2.000’dir ve 4 kenarın çevresi 8.000 olur
• 8,000 = 2π(1,000) olduğundan bu mesafe sisteminde π=4 olur

Maksimum mesafede π

• Maksimum mesafe, x ve y değerlerinden büyük olanı mesafe olarak kullanan metriktir
• Mesafe formülü d = max(x, y) olarak ifade edilir
• Birden fazla işi paralel yaparken toplam sürenin en uzun süren kalem tarafından belirlendiği durumlarla örtüşür
• Örnek olarak, bir yemek yarışmasında iki malzemenin paralel hazırlanması ve iki malzemenin de 55 ila 65 dakika arasında tamamlanması gerekliliği verilebilir
• Bu mesafe sistemindeki çember kare şeklindedir
• Yarıçap 5 olduğunda her kenarın mesafesi 10’dur ve 4 kenarın çevresi 40 olur
• 40 = 2π(5) olduğundan maksimum mesafede de π=4 olur

p-norm ailesinde π

• p-norm metric, d = (x^p + y^p)^(1/p) ile tanımlanan sonsuz bir metrik ailesidir
• p, 1 veya daha büyük bir değer olabilir
• p-norm önceki mesafeleri genelleştirir
  • p=1 ise Manhattan distance
  • p=2 ise Euclidean distance
  • p=∞ ise maximal distance
• p değerine göre “çember”in şekli de değişir
• Genel p değerlerinde çevreyi bakarak hemen hesaplamak zor olduğundan, bilgisayarın çemberin çevresi boyunca hareket edip kat edilen mesafeyi izlemesiyle hesaplanabilir
• Mevcut makaledeki sonuçlara göre p-norm’lara göre π değerleri şöyledir
  • p=1: π=4
  • p=1.1: π=3.757…
  • p=2: π=3.141…
  • p=2.25: π=3.155…
  • p=3: π=3.259…
  • p=11: π=3.757…
  • p=∞: π=4
• Söz konusu makale, tüm p-norm ailesinde 3.14159… değerinin mümkün olan en küçük π değeri olduğunu da kanıtlar

Tüm metriklerde π aralığı

• p-norm’lar sonsuz sayıda olsa da p-norm olmayan metrikler onlardan çok daha fazladır
• Sahoo’nun makalesi, tüm metriklerde π’nin 3 ile 4 arasında olduğunu kanıtlar
• π=4 üreten metrikler Manhattan distance ve maximal distance’ta görülebilir
• π=3 üreten örnek ise StackExchange yanıtında yer alan altıgen metrikten elde edilebilir
• Söz konusu mesafe formülü şöyledir

d = 1 / (2√3) * Σ(n=1..6) | x sin(πn/3) + y cos(πn/3) |

• Bu formülde kullanılan π, Öklid trigonometrisinden gelen alışılmış π’dir
• Bu metriğin çemberi altıgen olur
• Mesafe formülüyle altıgenin her kenarının uzunluğu hesaplandığında her kenar 1’dir ve toplam çevre 6 olur
• Yarıçap 1 için 6 = 2π(1) olduğundan bu metrikte π=3 olur

π-day yerine π-month

• 14 Mart’taki π-day, alışılmış π=3.14… değerine göre belirlenmiştir
• Tüm metriklerde π, 3 ile 4 arasında olabildiğinden, her tarihe uygun bir metrik bulunursa mart ayının tamamı π-month gibi kutlanabilir

[GN⁺]

Hacker News yorumları

• Matematiği “varsayımlardan yola çıkıp mümkün mantıksal sonuçları bulma oyunu” olarak gören ifade, bir süredir aklımda dolaşan düşünceyi gerçekten çok iyi toparlıyor

  • Lean4 ve mathlib’in ilginç olmasının nedeni de burada
    İnsanlar biçimsel olarak doğrulanmış ispatları mathlib’e eklemeyi sürdürdükçe, bunun üzerine daha fazla teoremi biçimsel olarak ispatlamak kolaylaşıyor
    Sıfırdan başlandığında basit bir ispat bile çok fazla yeniden yazım ve ayrıntı belirtme gerektirdiği için neredeyse saf emek gibi; ama mathlib’de simp veya linarith gibi araçlar tekrarlı ağır işlerin çoğunu üstleniyor gibi görünüyor
    Kartopu etkisi gerçekten ilginç, ancak benim anlayabildiklerimin zaten eklenmiş olma ihtimali yüksek olduğu için anlamlı katkı yapmak zor görünüyor
  • Matematik ve mantığı dev bir hücresel otomat gibi düşünmek şaşırtıcı
    “Aksiyomlar”ın mutlaka “hakikat”e karşılık gelmesinden ziyade, karmaşıklık üreten keyfi kısıtlar gibi olduğunu; bazen de ortaya çıkan sistemin yararlı hâle geldiğini düşünmek mümkün
  • Matematik, insanlığın en uzun süredir oynadığı, kapsamı en geniş ve en karmaşık oyun
    Yararlı da olabilir ve bu yararlılık üzerine felsefi olarak derine inilecek çok şey de vardır; ama ben bunu oyunun kendisinden ayrı bir özellik olarak görüyorum
    Bir yemek kitabını eğlence olsun diye onaltılı sisteme çevirmek gibi işe yaramaz, bilgiyi artırmayan, hatta faydası negatif olsa bile yine de yapılabilen şey bu oyun
    İkiz asal varsayımını ispatlamaya çalışmak çok daha zor bir seviye; bu oyun yaş ve beceri düzeyinden bağımsız olarak oynanabilir ve zihinde, kâğıt-kalemle ya da dünyanın en büyük hesaplama kümesiyle, neyle istersen yapılabilir
    Teknik olarak diğer tüm oyunlar da bu oyunun bir alt kümesidir; güzel resimler boyayarak da, atomları çarpıştırarak da, mümkün olan en büyük sayıya kadar sayarak da herkes istediği şekilde oynayabilir
  • Aynı ilke programlamaya da uygulanır
    Argümanları hakkında ne kadar az şey bilen bir fonksiyonsa, o kadar genel amaçlı kullanılabilir
  • Bunun iyi bir örneği, seçim aksiyomunun ölçü kuramı ve olasılık kuramı üzerindeki etkisidir
    Seçim aksiyomu, Lebesgue ölçümü mümkün olmayan kümelerin varlığını ima eder; ancak bu tür ölçülemez kümelerin somut bir örneği verilemez, yalnızca varlıkları kanıtlanabilir
    Buna karşılık belirlenim aksiyomunu ekleyen alternatif bir kuramda, reel sayıların tüm alt kümeleri ölçülebilir hâle gelir
    https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice
    https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_determinacy
    https://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_measure

• Başka bir evrenin geometrisinde π farklı olsa bile, bizim π’mizle aynı değere sahip önemli bir sabit yine de olacaktır
  Örneğin x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ... serisiyle tanımlanan fonksiyonun sıfır noktaları, tam sayı n için nπ’dir; buradaki π bizim π’mizdir
  Üstel fonksiyonda da bizim π’miz ortaya çıkar ve periyodu 2πi’dir

  • Doğru. Daha somut örnekler olarak, aşağıdaki değerler geometriden bağımsız biçimde hâlâ bizim π ile bağlantılıdır
    4(1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + …) serisinin toplamı π’dir: https://en.wikipedia.org/wiki/Leibniz_formula_for_%CF%80
    (1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + …) serisinin toplamı π²/6’dır: https://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem
    Dolayısıyla [1…N] aralığından eşit olasılıkla seçilen iki sayının aralarında asal olma olasılığı, N büyüdükçe 6/π²’ye yaklaşır
    2(4/3)(16/15)(36/35)(64/63)(100/99)… çarpımı da π’dir: https://en.wikipedia.org/wiki/Wallis_product
    n büyüdüğünde (n!/(√n (n/e)^n))²/2 çok yavaş biçimde π’ye yaklaşır: https://en.wikipedia.org/wiki/Stirling%27s_approximation örnek: https://www.wolframalpha.com/input?i2d=true&i=N%5C%2891%29Di...
    Geometrik olmayan daha pek çok sonuç da var: https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=List_of_formulae_...
  • Bana kalırsa tam tersi değil mi?
    Benim anladığım kadarıyla Avrupa uygarlığındaki insanlar tarihsel olarak karmaşık üstel fonksiyonu, zaten tanımlı olan sin ve cos fonksiyonlarının periyoduyla uyumlu olsun diye periyodu 2πi olacak şekilde tanımladı
    Başka bir periyotla da tanımlanabilirdi. Örneğin “360 derece”yi 2π değil 1 kabul edip sin0=0, sin0.25=1, sin0.5=0, sin0.75=-1, sin1=0 diye tanımlasaydık, e^ix’in periyodunu da 1 olarak tanımlamış olurduk
    Onluk sistem de benzer. Tarihsel olarak on parmağımız olduğu için onluk sistemi kullandık; uzaylıların da on parmaklı olması için bir neden yok
  • π’nin her yerde aynı sayı, yani 3.14... olduğunu söylemek daha iyi
    Sadece başka bir evrende çemberin çevre formülünde π kullanılmayabilir
    Manhattan mesafesinde (L_1) C = 8 R, Öklid mesafesinde (L_2) C = 2π R, maksimum mesafede (L_infinity) ise C = 8 R olur
  • Birim mesafeyi, örneğin 2 ile 3 ya da 5 ile 6 arasındaki mesafeyi onların mesafe fonksiyonu ile tanımlarsak, onların π’sinin yeniden ortaya çıkıp çıkmayacağını merak ediyorum
    Sayı sisteminde tabanı değiştirmeye benziyor

• p-norm birim çemberi için π’ye benzer bir sabit tanımlamanın birçok yolu var ve p != 2 durumunda bunlar birbiriyle çakışmayabilir
  π’yi birim çemberin alanı olarak tanımlarsanız bambaşka değerler çıkar; bu tanım, p-çemberleri için doğal trigonometrik fonksiyonlar kümesinin periyot sabiti olmak gibi güzel özellikleri de sağlar
  Daha da ileri gidersek pi(p) = 2 Beta(1/p,1/p)/p... olur
  Buna karşılık çevre/yay uzunluğuna dayalı π tanımı, eşlenik p, q için pi(p) = pi(q) gibi ilginç bir özelliğe sahiptir
  “Squigonometry: The Study of Imperfect Circles” bu konuları ele alan eğlenceli bir başvuru kaynağıdır

  • Hilbert uzayı olmamasının geometri üzerinde tuhaf etkiler yaratıp yaratmadığını merak ediyorum
    Muhtemelen polarizasyon özdeşliğinden vazgeçmek gerekir; bu da paralelkenarları etkiler gibi, ama tam olarak bilmiyorum

• pi = 3.14159… analizde ve onun uzantısı olan istatistikte de karşımıza çıktığı için geometriden bağımsızdır
  Başka bir evrendeki uzaylılar da bu değeri bilecektir; yalnızca çember için farklı bir sabitleri olacaktır
  Zaten Yunanca harfler kullanmayacaklarına göre çeviri gerekecek; onların 3.757… değerini “π” diye eşlemektense 3.14159… değerini π olarak görmek daha az tuhaf
  Elbette 3.14…(π), 6.28…(2π), 0.785…(π/4) arasından hangisinin temel sabit sayılması gerektiği tartışmalı; uzaylılar farklı düşünebilir
  Yazı, başka bir evrendeki çember sabitini açıklamak için mesafe fonksiyonu kavramını devreye sokuyor, ama keyfî bir mesafe fonksiyonu doğrusal ölçeklemeyi ya da öteleme değişmezliğini garanti etmez
  Çember sabitini anlamlı biçimde tanımlamak için mesafe fonksiyonundan daha güçlü varsayımlar, örneğin normlu vektör uzayı gerekir; verilen örnekler de aslında basit birer metrik uzay değil, normlu vektör uzayı gibi görünüyor

  • İlk nokta şaşırtıcı değil
    Bizim π’miz, birim çemberi tamamen sürekli ve türevlenebilir olan tek mesafe fonksiyonuyla bağlantılı
    2-norm birçok nedenle çok özel; bir noktadaki mesafe ile o noktaların oluşturduğu yol boyunca bir sabitin integralini alma sonucunu birbirine bağlayan sabitin diğer sabitlerden daha sık bulunması da doğal görünüyor
    Bu mesafe fonksiyonunun birim çemberi her yerde süreklilik ve türevlenebilirlik özelliğine sahip değilse, birçok başka şey domino taşları gibi yıkılabilir
    Nokta, mesafe ve yol arasındaki yalın ilişkide benzersiz biçimde merkezi bir şey var
  • İlk nokta ilgimi çekiyor
    Başka bir yorumda açıklandığı gibi π’nin 3.14159 değeri yalnızca saf sayı teorisi ile de türetilebilir, ama sihirli bir şekilde bildiğimiz fiziksel dünyayı şekillendirmede büyük rol oynar
    Başka bir evrende farklı bir sayı teorisi olabilir mi, yoksa sayı teorisi evrenden bağımsız olarak doğru mudur? Alternatif bir sayı teorisinin neye benzeyeceğini çok merak ediyorum
  • https://tauday.com/tau-manifesto#table-quadratic_forms
    Buzzfeed gibi duyulmak istemem ama Tablo 3 oldukça mantıklı
  • Doğru. Örnekte de aslında 2pi sürekli tekrar tekrar kullanılıyor

• Bu kişi yelkenciliği bilmiyor gibi
  Rüzgâra dik seyretmek olan beam reach, yelkenin kaldırma kuvveti nedeniyle en hızlı seyirler arasındadır

  • Böyle bir itiraz geleceğini biliyordum
    Bu kadar spesifik, doğru ve aynı zamanda yanlış bir benzetme yüzünden tüm yazıyı dismiss etmeyen bu tür ince itirazlar nedeniyle HN’yi seviyorum
  • Yelkencilik hakkında hiçbir şey bilmiyordum; bu yorum sayesinde point of sail’e baktım ve hayatım boyunca gizem olan “bir yelkenli rüzgâra karşı nasıl net ilerleme sağlayabiliyor?” sorusu benim için açıldı
    Bu gerçekten şaşırtıcı ve yelkencilik harika bir bilim
  • Bu şekilde gövde hızını aşınca kendi baş dalganızın üzerinde sörf yapmaya başlamanız da ilginç
  • Beam reach illa en hızlı seyir biçimi değildir
    Tekneye, yelkenlerin verimine, salma/omurga verimine, yani kaldırma/sürükleme oranına bağlıdır; genel olarak bir tür reach’in en hızlı olma ihtimali yüksek olsa da gerçek rüzgâr yönüne tam dik olmayabilir
    Rüzgâr hızı, dalga yüksekliği, ağırlık dağılımı vb. etkenlere göre de değişir
  • Doğru varsayımlar konduğunda o “çemberin” nasıl bir şekil alacağını merak ediyorum

• Bu örneklerin hepsi arka plandaki mesafe fonksiyonunun Öklidyen olduğunu varsayıyor
  Arka plandaki 2B mesafe fonksiyonu eğri bir 3B uzayın izdüşümüyse, çemberin merkezini çekiştirerek π’yi istediğiniz kadar büyük yapabilirsiniz

  • Burada “arka plan mesafe fonksiyonu” diye bir kavram yok
    Yarıçap ve çevrenin ikisi de tanımlanan mesafe fonksiyonunun kendisiyle ölçülüyor
    Öklid mesafesiyle karşılaştırıldığında orijini çekiştiren bir mesafe fonksiyonuysa, bu eşlemenin sürekli olması gerekir ve sonuçta o mesafe fonksiyonunda yarıçap ile çevre birlikte uzar
    Aslında tüm mesafe fonksiyonları için π değerinin her zaman uçlar dahil 3 ile 4 arasında olduğunu kanıtlayan bir yazıya bağlantı vermiştim, ama trafik yükünü kaldıramamış gibi; o yüzden alternatif bağlantı bırakıyorum: https://www.researchgate.net/publication/353330827_Extremal_...
  • Arka plan mesafe fonksiyonu değil, uzay geometrisinin Öklidyen olduğu varsayılmış
    Öklid dışı geometride bir çemberin çevresinin çapına oranı sabit olmayıp çapa göre değiştiği için, böyle bir durumda baştan “π” tanımlanamaz
  • Biraz konu dışı ama π hakkında anladığım neredeyse her şeyi okulda görmediğim 3D GIF modelleri sayesinde anladım
    Bu tür materyaller, öğrenme eğrisinin çok daha erken bir aşamasında, 3B1B’den bile önce temel yere konmalı

• Çocukken böyle ilişkiler hayal etmeyi severdim
  Evreni yaratan bir tanrı olduğunu ve benim gibi sıkılmış bir çocuğun okul ödevi olarak bir evren yapıyor olabileceğini hayal ederdim
  O tanrı π ya da e’nin düğmesini rasyonel sayılara çevirmiş olsaydı —tabii tanrının evreninde düğmenin tam irrasyonel değerlere de çevrilebildiğini varsayalım— hayatımız daha mı kolay olurdu, daha mı zor; muhtemelen daha kolay olurdu
  Dünya’dan görülen Dünya/Ay/Güneş’in görünür boyutları nasıl olurdu? Bu harika bir ipucu, ama o tesadüf olmasaydı astronomiyi belki daha fazla öğrenmiş olurduk
  Evrenin kuantum mekaniksel tuhaflıkları ya da kelimenin tam anlamıyla karanlık madde gerektiren dengesizlikleri, aslında aceleyle yapılmış bir çocuk ödevindeki bug’lar olduğu için en baştan anlamlı olmayabilir
  Ama beni en uzun süre düşündüren şey irrasyonel sayılardı

• HN yazı akışını doğru okuduysam, Terence Tao’nun ölçü kuramına girişi eksik kalamaz
  https://news.ycombinator.com/item?id=38064211
  Ama ciddi olarak, ücretsiz 260 sayfalık bir ölçü kuramı kitabını kim okur ya da şöyle bir gözden geçirir ki?
  https://en.wikipedia.org/wiki/Measure_(mathematics)

  • Tao’nun ders notları öyle okunup göz gezdirilecek türden değil
    Üniversitede ön koşul dersleri atlamak için onunla ölçü kuramını kendi kendime çalışmıştım ve gerçekten zordu
    Neredeyse her iki sayfada bir alıştırma çıkan bir düzeyde; bunları çözmeye zaman ayırmazsanız pek bir şey öğrenilecek gibi değil
    Üstelik o alıştırmalar zor
  • 260 sayfalık bir kitabı okumanın neden bu kadar inanılması güç olduğunu bilmiyorum
    İnsanlar sürekli 260 sayfalık kitaplar okuyor
    Benim ilgi alanım değil, bu yüzden bu kitabı okumam; ama başka konularda 100 sayfayı aşan kitapları okumakla meşgulüm

• p-adik sayılarla oluşturulmuş ilginç bir uzay var; üzerinde basit bir mesafe tanımlayınca çember garip özelliklere sahip oluyor
  Örneğin çap, yani birbirine en uzak kenarlar arasındaki mesafe ile yarıçap, yani kenardan merkeze olan mesafe birbirine eşit hale geliyor
  Diskin alanı ve çevresinde de tuhaf şeyler oluyor; açık disk aynı zamanda kapalı da olabiliyor
  Oradaki π’ye karşılık gelen şey tamamen tuhaf
  Ne yazık ki ayrıntıları hatırlamıyorum. 2000 civarında bir matematik dersindeki alıştırma sorusuydu
  https://en.wikipedia.org/wiki/P-adic_number#Topological_prop...

• Gemi benzetmesi özellikle kötü görünüyor
  Rüzgârlı bir gündeki yelkenliyle, örtük olarak rüzgârsız bir gündeki yelkenliyi karşılaştırıyor; oysa rüzgâr yoksa en başta çember de olmazdı
  Gemi uzmanı değilim ama rüzgâr X knot ise tekne, rüzgâr yönünde X knot’a kadar gidebilir; yazının iddiasının aksine yan rüzgâr yönünde ise X’in birkaç katı hızla bile gidebilir
  Bu durumda çizime benzer bir elips ortaya çıkabilir, ama yönü ters olurdu
  Ayrıca tekneler tramola ve kavança ile rüzgâr “yönüne doğru” da ilerleyebilir