Maxwell Denklemleri İçin Sezgisel Kılavuz (2020)
(photonlines.substack.com)- James Clerk Maxwell’in 1865 tarihli makalesi, elektromanyetik alandaki değişimleri matematiksel olarak ele alıyor ve elektromanyetik dalgaların yayılma hızının ışık hızıyla aynı olduğunu ortaya koyan bağlantıyı sunuyordu
- Özgün teori, 20 denklem ve karmaşık fizik dili nedeniyle 20 yıldan uzun süre geniş ölçekte anlaşılamadı; Oliver Heaviside ile Hertz, Lorentz ve Einstein kuşakları boyunca bugünkü 4 denklem biçiminde düzenlendi
- Elektrik alanı ve manyetik alan, mekanik aygıtlar olarak değil; uzay ve zamana yayılan skaler alanlar ve vektör alanları olarak okunabilir; diverjans kaynak ve yutakları, curl ise dönmeyi ifade eder
- Dört denklem, yükün, manyetik akının, zamana göre değişen alanların ve akımın birbirinde ne tür diverjans ve dolaşım oluşturduğunu sıkıştırılmış biçimde ifade eder
- Vakumda ve yüksüz uzayda elektrik alanı ile manyetik alan dalga denklemini sağlar ve ışık hızıyla yayılan tek bir elektromanyetik dalga olarak birleşir
Maxwell teorisinin neden geç fark edilen bir öneme sahip olduğu
- James Clerk Maxwell, 1865’te Royal Society’nin Philosophical Transactions dergisinde “A dynamical theory of the electromagnetic field” makalesini yayımladı
- Bu makale, elektromanyetik alandaki değişimleri tanımlıyordu ve günlük yaşamda deneyimlenen kuvvetlerin çoğunun yerçekimi hariç elektromanyetik kökene sahip olması nedeniyle fizik açısından büyük önem taşıyordu
- Maxwell denklemleri, elektromanyetik dalgaların varlığını öngördü ve yayılma hızının ışık hızıyla aynı olması üzerinden elektromanyetik dalgalar ile görünür ışığı aynı olgu altında birleştirdi
- Ancak Maxwell’in çalışması hemen kabul görmedi
- İlk biçimi, bugün alışık olunan 4 denklem değil, 20 denklemden oluşuyordu
- Dönemin fizikçileri için cebirsel karmaşıklık yüksekti; matematikçiler içinse Maxwell’in fiziksel açıklama dili erişmesi zordu
- Dönemin dünya görüşü, alanlardan (field) ziyade onların altında yatan mekanik “çarklar ve dişliler” benzeri yapıları daha temel görmeye eğilimliydi
- Oliver Heaviside denklemleri sadeleştirdi; ardından Hertz, Lorentz ve Einstein kuşaklarıyla birlikte alan denklemleri ve matematik yasaları evrenin temel açıklaması olarak yerleşti
Alanları okumak için temel sezgi
- Alan (field), uzay ve zamanın tamamı boyunca çalışan bir fonksiyon olarak düşünülebilir
- Alanlar, gündelik madde ya da mekanik benzetmelere tamamen indirgenmesi zor yapılardır
- Değiş tokuş parçacıkları, sanal parçacıklar ve uzay-zaman eğriliği gibi açıklamalar da sonuçta matematiksel soyutlamalar olarak ele alınabilir
- Alanları anlamanın temel arayüzü, uzay ve zamana yayılmış matematiksel fonksiyonlar sezgisidir
- Skaler alan, uzaydaki bir noktayı girdi olarak alıp tek bir sayı üretir
- Dağa tırmanırken yüksekliğe göre sıcaklığın değiştiği örnekte
T(x, y, z), konumu sıcaklık değerine eşler - Bir metal plakanın sıcaklık dağılımını zamanı da ekleyerek
T(x, y, t)ya da daha gerçekçi biçimdeT(x, y, z, t)olarak ele alırsak, ısı denklemi sıcaklık alanındaki değişimi modeller
- Dağa tırmanırken yüksekliğe göre sıcaklığın değiştiği örnekte
- Kısmi diferansiyel denklemler, birden fazla değişken ile onların değişim oranları arasındaki ilişkiyi ifade eder
- Metal plakanın sıcaklığında yalnızca konuma göre değişim
dT/dxdeğil, zamana göre değişimdT/dtde birlikte dikkate alınmalıdır - Her türev toplam değişimin yalnızca bir bölümünü gösterdiği için buna kısmi türev denir ve alanların zamansal evrimini ele almakta kullanılır
- Metal plakanın sıcaklığında yalnızca konuma göre değişim
- Vektör alanı, uzaydaki bir noktayı girdi olarak alıp büyüklük ve yön taşıyan bir vektör üretir
- Akışkan hız alanında her konumdaki vektör, akışkan elemanının hız yönünü ve büyüklüğünü gösterir
- Yerçekimi alanı ve manyetik alan da vektör alanları olarak modellenebilir
- Elektromanyetik alanda gerçek bir akışkan akmasa da akı, kaynak ve yutak gibi akışkan akışı terimleri mecazi olarak kullanılır
Diverjans ve curl ile denklemlerin dilini okumak
- Diverjans, bir noktanın çevresinde alanın bir kaynak gibi dışarı mı aktığını, yoksa bir yutak gibi içeri mi aktığını gösterir
- Bir noktanın çevresine küçük bir çember çizildiğinde dışarı giden oklar daha fazlaysa diverjans pozitiftir
- İçeri gelen oklar daha fazlaysa diverjans negatiftir
- Hiçbiri değilse diverjans 0’dır ya da 0’a yakındır
- Elektrik alanında pozitif yük bir kaynak, negatif yük ise bir yutak gibi düşünülebilir
- Gauss’un elektrik alanı yasası, bir noktadaki elektrik alanı diverjansının o noktadaki yük yoğunluğu ile orantılı olduğunu söyler
- Curl, alanın bir nokta çevresinde ne kadar döndüğünü gösterir
- Saat yönünün tersine dönüş pozitif curl, saat yönündeki dönüş negatif curl olarak düşünülebilir
- Bir noktaya hayali bir su çarkı koyduğunuzda alanın bu çarkı ne kadar hızlı döndürdüğü, curl büyüklüğünü sezgisel olarak açıklar
- 3 boyutta curl, belirli bir sağ el kuralına göre dönme yönünü gösteren bir vektör olarak çıkar
- Maxwell denklemleri diferansiyel ve integral biçimlerde yazılabilir
- Diferansiyel biçim, her noktadaki diverjans ve curl üzerinden elektromanyetik alanı ifade eder
- İntegral biçim, aynı içeriği kapalı bir yüzey ya da kapalı bir yol üzerinden geçen toplam akı ve dolaşım ile ele alır
- İntegral, bir eğrinin altındaki alanı bulmak için aralığı küçük genişlikli
Δxdikdörtgenlerine bölüp toplama fikrinden başlarΔx, 0’a yaklaştıkça alan yaklaşımı daha doğru hale gelir- Maxwell denklemlerinin integral biçiminde, kapalı bir yüzeyin küçük alan elemanları toplanarak toplam akı ya da dolaşım hesaplanır
Dört Maxwell denkleminin anlattıkları
- Gauss’un elektrik alanı yasası, yükün elektrik alanı oluşturduğunu diverjans ve akı üzerinden ifade eder
- Diferansiyel biçimde elektrik alanının diverjansı yük yoğunluğu ile orantılıdır
- İntegral biçimde kapalı bir yüzeyden geçen elektrik akısı, bu yüzeyin içinde bulunan toplam yüke eşittir
- Elektrik alan çizgileri, pozitif yükten çıkıp negatif yüke giren yönde çizilir
- Elektrik alan şiddeti, noktasal bir yükten uzaklaştıkça ters kare yasası uyarınca
1/r²ile zayıflar - Boşluğun dielektrik sabiti
ε0, vakumun elektrik alan çizgilerini ne kadar geçirdiğini gösteren bir sabittir
- Gauss’un manyetik alan yasası, manyetik alanın diverjansının her zaman 0 olduğunu söyler
- Bu, manyetik alanda yüke karşılık gelen bir manyetik monopol bulunmadığı şeklinde yorumlanır
- Kapalı bir yüzeyden geçen toplam manyetik akı her zaman 0’dır
- Manyetik alan çizgileri, elektrik alan çizgileri gibi bir yükte başlayıp bitmez; her zaman kendi üzerine dönen kapalı döngüler oluşturur
- Küre, küp, torus ya da başka herhangi bir kapalı yüzeyde dışarı çıkan manyetik akı ile içeri giren manyetik akı birbirini götürür
- Faraday yasası, zamana göre değişen manyetik alanın dolaşımlı bir elektrik alanı indüklediğini söyler
- Manyetik akı artarsa, bu değişime karşı koyan yönde dolaşımlı bir elektrik alan oluşur
- Manyetik akı azalırsa ters yönde bir elektrik alan meydana gelir
- Değişime karşı koyan bu yönlülük Lenz yasası olarak bilinir
- İndüklenen elektrik alan, yükte başlayıp biten elektrik alanlardan farklı olarak kendi üzerine kapanan döngüler oluşturur
- Bu yasa, kapalı bir devrede yükleri hareket ettirerek akım üretmeyi mümkün kılar ve jeneratörleri, yani mekanik enerjinin elektrik enerjisine dönüşümünü mümkün hale getirir
- Ampere-Maxwell yasası, akımın veya zamana göre değişen elektrik alanının dolaşımlı bir manyetik alan indüklediğini söyler
- Sol taraftaki terim manyetik alanın curl’ünü gösterir
- Sağ taraftaki terim akım yoğunluğunu ve elektrik alanın zamana göre değişim oranını içerir
- Akım, belirli bir kesit alanından geçen yük akış hızı olarak tanımlansa da yalnızca tel içindeki elektronların hareketi anlamına gelmez
- Akım yoğunluğu
J, akım yönüne dik birim kesitten geçen yük miktarını gösterir - Akan bir akım olmasa bile zamana göre değişen bir elektrik alan manyetik alan oluşturabilir
- Ampere-Maxwell yasasının integral biçimi, kapalı bir manyetik yolun çizgi integralini kapalı yüzeyi delen net akım ve elektrik akısının değişim oranı ile ifade eder
- Yüzeyi tek yönde delen akım net akıma katkı yapar
- Aynı akım yüzeyi iki yönde birden delerse net akım 0 olabilir
- Boşluğun dielektrik sabiti
ε0ile manyetik geçirgenliğiμ0,ε0 μ0 = 1/c²ilişkisine sahiptir; Gaussian birim sisteminde bunlar boyutsal sabitler olarak ortadan kalkar
Elektrik alanı ile manyetik alanın birleşmesi
- Elektrik alanı ile manyetik alan, iki bağımsız alan değil; tek bir elektromanyetik alanın parçaları olarak görülebilir
- Elektromanyetik dalgada elektrik alan vektörü, manyetik alan vektörü ve yayılma yönü 3 boyutta birbiriyle hizalanır
- Elektrik alan ve manyetik alan vektörleri birbirine diktir
- Bir alandaki değişim, diğer alanı tamamlayan bir yapı kurar
- Manyetik alan, görelilik etkilerini içeren bir elektrik alan olarak açıklanabilir
- Akım taşıyan bir telin yanında elektronla birlikte hareket eden referans çerçevesinden bakıldığında elektron durgundur ve manyetik kuvvet görünmez
- Özel görelilikteki boy kısalması nedeniyle hareket eden iyonlar, hareket yönünde sıkışmış görünerek daha yüksek pozitif yük yoğunluğuna sahip olur
- Bu referans çerçevesinde tel, net pozitif yüklüymüş gibi görünür ve elektron elektriksel çekimle tele doğru çekilir
- Aynı olgu, duran gözlemci için manyetik kuvvet; elektronla birlikte hareket eden gözlemci için elektrik kuvveti olarak açıklanır
- Vakumda ve yüksüz uzayda Maxwell denklemleri sadeleştirilebilir; bu durumda elektrik alan ve manyetik alan dalga denklemini sağlar
1 / μ0 ε0 = c²olduğundan elektromanyetik dalgalar ışık hızıyla yayılır- Maxwell, ışık ile manyetik olayları aynı maddenin durumları olarak gördü ve ışığı, elektromanyetik yasalara göre alan içinde yayılan elektromanyetik bir bozunumla ilişkilendirdi
- Feynman’a göre Maxwell denklemleri, yük korunumu, Lorentz kuvvet yasası, hareket yasaları ve Newton’un kütleçekim yasası tek bir tabloda toplanarak 1905’e kadar bilinen klasik fiziğin temel yasaları özetlenebilir
1 yorum
Hacker News yorumları
Fizik lisansı okuduğum dönemde böyle bir kaynak olsaydı gerçekten harika olurdu. Diyagramlar güzel ve elektromanyetik için gereken vektör kalkülüsün temel kavramlarını tam hedefinden yakalıyor.
Jackson[1]’ı bir kabul töreni gibi zorlukla okuduğumu hatırlıyorum, ama sonraki neslin de aynı çileyi çekmesi için bir neden yok. Web sanki tam da böyle şeyler için var.
[1]: https://en.wikipedia.org/wiki/Classical_Electrodynamics_(boo...
Faydalı olduysa paylaşmanızı ve abone olmanızı rica ederim. Schrödinger denklemi, kara delikler, kuantum mekaniği gibi karmaşık konuları da sezgisel biçimde anlatmaya çalışıyorum; sonunda matematiği ve fiziği çok daha açık ve sezgisel biçimde açıklayan bir kitap da yazmak istiyorum. Matematik anlaşılması zor olmak zorunda değil. En temelinde çok basit, ama onu açık ve sezgisel biçimde sunmanın gerçekten zor olduğunu kabul ediyorum. Malzemenin önemli bir kısmı Grant Sanderson’dan (3Blue1Brown) etkilendi ve diyagramların çoğunu Vexlio ile yaptım: https://vexlio.com/
Jackson, lisansüstü düzeyde bir elektromanyetik ders kitabı olduğu için matematiksel olarak zor yazılmış bir kitap. O kitabı okuduğunuz noktada zaten 3-4 yıldır elektromanyetiği ve kavramsal temellerini biliyor olmanız gerekir; amacı da lisans öğrencilerine zor gelen durumlarda denklemleri çözmektir. Lisans sırasında ne okuduğunuzu merak ettim.
Bu yüzden bazı konularda en iyi kitap için “ikinci okuduğun kitap” denir. İkinci kez baktığında çok daha sezgisel görünür.
O dersin final sınavı, bugüne kadar gördüğüm en kısa sınav metnine sahipti: “Maxwell’s Equations’ı türetin”. Kraus kitabından memnundum.
Eğitim sürecimin en güzel yanlarından biri, elektromanyetikten geçip Maxwell denklemlerinin güzelliğine ulaşmaktı.
Daha sonra diferansiyel geometriyle daha da sıkıştırıldığında bu güzelliğin daha fazla ortaya çıkarılabildiğini de öğrendim.
http://virtualmath1.stanford.edu/~conrad/diffgeomPage/handou...
https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_descriptions_of_t...
“Maxwell teorisi, alanı (field), yani matematiksel fonksiyonları temel kabul edip elektromanyetik gerilmeyi ve mekanik kuvvetleri o alanın sonucu olarak düşündüğümüzde ancak basit ve zarif hale gelir. Tersi değil.”
Alanların gerçekten var olup olmadığına dair ilginç tartışmalar çoktur ve bu sohbet yüzyıllar öncesine uzanır: https://youtu.be/j2oSyAfPzWg?si=BHRv8lodGhqZBtbl
Alanlardan söz ederken sık sık telepatiyle ilgili “sözde” bilimsel çalışmalarına bağlanıyor; bu konudaki en sevdiğim konuşması şurada: https://www.youtube.com/watch?v=GS1Drlyr37Q
Açıklama gerçekten mükemmel. Her şey basit, ama ayrıntı bakımından zengin; ezberlemek ve anlamak için çaba ve odaklanma olmadan olmuyor.
Böyle mantığı oturtularak anlatılınca bütün konu büyüleyici geliyor. Mühendisliğin ikinci yılında bu konuyla boğuşmuştum, ama o zaman yarısını bile doğru dürüst anlamamıştım. Böyle bir açıklama olsaydı çok daha keyif alarak çalışırdım. Ders kitabını ve formüllerin sonuçlarını anlayacak kadar zeki olmadığım için, konunun kendisine hayran kalma fırsatını kaçırmışım gibi geliyor.
Bu tür yazıları seviyorum ama herkes geometrik cebir yerine vektör cebirinden başlayarak aynı hatayı yapıyor
3 boyutlu uzayda vektör cebiri iyi çalışır, ama 2 boyutlu ve 4 boyutlu durumlarda tamamen çöker. Başta sezgiseldir, sonra bir anda tamamen bozulur. Aynı tarzda bir yazı görmek isterdim; ama uygun yerlerde bivector gibi şeyler kullanılsın ve bütün anlatım yalnızca 3 boyutlu uzaya değil, 4 boyutlu uzay-zamana da temiz biçimde genellenebilsin
Vektör analizi oldukça sezgisel ve öğrenmesi kolay; ayrıca mühendislik ve fizik dünyasında tamamen yerleşmiş durumda. Aradan 100 yıl geçmişken, gerçek dünyada iş yapan insanlar Maxwell’in 4 denklemini 1 geometrik cebir denklemine indirmek için gösterimi değiştirmeyecek. Gibbs’in vektör analizi akışkanlar mekaniğinde ve diğer mühendislik alanlarında da kullanılıyor; akışkanlar mekaniği araştırmacılarına geometrik cebirin avantajlarının öne çıkarıldığı bir akımı da pek görmedim. Birileri geometrik çarpımla Navier-Stokes denklemlerini ifade eden yalnız bir araştırmacıyı örnek gösterebilir, ama bunun neyi değiştirdiğini bilmiyorum. Geleneksel vektör analizi herkesin konuşabildiği bir dil; geometrik cebir ise aynı şeyi söylemenin başka bir yolu sadece, o hâlde neden değiştirilsin ki?
Bu tür bir içeriği geniş kitlelere sunmak için bir fikriniz varsa duymak isterim; yaklaşımımı memnuniyetle değiştiririm
Özetle, geometrik cebirdeki geometrik çarpım, dereceleri karışmış diferansiyel formlar gibi olduğu için epey tuhaf. Bunu sadece diferansiyel formlar olarak düşünsek olmaz mı? Maxwell denklemleri dF=0, d*F = J şeklinde çok hoş biçimde özetleniyor
Tüm vektör analizi eğitmenleri öğrencilere gradyan, diverjans ve rotasyonelin sezgisel, yani görsel ve fiziksel anlamını öğretmeli
Stokes teoremi ve Gauss teoremi gibi sonuçların arkasındaki sezgi için de aynı şey geçerli. İspatlarla ilgilenmeyen mühendislik öğrencileri bile bu sezgiyi anlayabilmeli
Maxwell’ın özgün denklemleri ışık ile elektriği birbirine bağlıyordu. Başlangıçtaki 20 denklemde 20 bilinmeyen vardı ve kimsenin anlamadığı kuaterniyon tabanlı gösterimi kullanıyordu.
Heaviside, Maxwell’ın 20 denklemini vektör analizle 4 denklem olarak yeniden yazdı; bunun sadeleştirmeye yardımcı olduğunu ama bedelsiz olmadığını düşünüyorum. Modern dünyada hâlâ açıklanamayan çok şey var; özellikle de bireyin insani deneyimiyle ilgili olanlarda. Taksi şoförü olarak çalışırken bunlara dair bazı şeyleri görme fırsatım oldu ve merak ettiğim şeyleri açıklığa kavuşturan insanlarla karşılaştım. Elektromanyetizma ile kütleçekim arasında bir bağlantı olmalı ama henüz bunu çözemedik. Bing CoPilot soruma yanıt olarak bu Wikipedia yazısını alıntıladı; benim seviyemi aştığı için birinin açıklayarak anlatmasını isterim: https://en.wikipedia.org/wiki/Gravitoelectromagnetism
Kimsenin sormadığı bir Heaviside trivia’sı da ekleyeyim: Kısmi kesirlere ayırmayı hızlandıran “örtme” yöntemini geliştiren kişi de oydu[2]
[1] https://www.thp.uni-koeln.de/gravitation/mitarbeiter/hehl/Ma...
[2] https://math.mit.edu/~jorloff/suppnotes/suppnotes03/h.pdf
Kuaterniyonları kesinlikle ortadan kaldırdı; ama Maxwell da kuaterniyonları pek yoğun kullanmayıp her zaman skaler kısım ve vektör kısım olarak ayırdığı için fark küçük görünüyor. Daha büyük fark, Maxwell’ın bunu skaler potansiyel ve vektör potansiyel cinsinden ifade etmesiydi; QED’de zorunlu olarak yapılması gereken de budur. Heaviside ise bunları kaldırıp geriye yalnızca elektrik ve manyetik alanları bıraktı. Heaviside tarzı 4 denklemi türetebilmek için Maxwell’ın 7 denkleminin gerekli olduğunu gördüm. Kuaterniyonları ciddiye alırsanız, doğal birimler kullanarak meşhur 4 denklemi yalnızca 2 denklem halinde yazabilirsiniz:
∇E + dB/dt = -ρ
∇B - dE/dt = J
Genel göreliliğin bazı biçimsel özelliklerinin, elektromanyetizmada sözü edilen matematiksel yapıya kabaca karşılık gelmesi söz konusu; ayrıca iki teorinin temelindeki simetrilerin farklı olduğu notu da düşülür
Terence Tao’ya neden kimsenin Riemann hipotezini kanıtlayamadığı sorulduğunda, şu an için kanıta uygun araçlara sahip olmadığımızı söylemişti. Matematikçi değilim ama kuaterniyonların Riemann hipotezini kanıtlamak için güçlü araçlardan biri olabileceğine dair kuvvetli bir sezgim var. Ses dalgaları gibi diğer dalgalardan farklı olarak elektromanyetik dalgaların kendine özgü bir polarizasyon özelliği vardır. Elektromanyetik tabanlı olguları eksiksiz ve doğru modellemek için kuaterniyon tabanlı formülasyon ve temsile ihtiyaç vardır. Mevcut kablosuz modülasyonların çoğunun polarizasyondan yararlanmamasının nedenlerinden biri, mikrodalga ve kablosuz mühendislerinin çoğunun kuaterniyonlara aşina olmamasıdır. İronik biçimde bu önyargı, ilk dönem matematikçi ve bilim insanlarının karmaşık sayılara şiddetle karşı çıkmasına benziyor; bugünse OFDM gibi modern kablosuz modülasyonların çoğu karmaşık sayılar kullanıyor. Geometrik cebir ve kuaterniyonlar kullanarak Maxwell denklemlerini türeten bir yazı burada; tek bir zarif denklemle özetlenebilir[1][2]
[1] Maxwell’s eight equations as one quaternion equation:
https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article/46/4/430/1050887/Maxwe...
[2] A derivation of the quaternion Maxwell’s equations using geometric algebra:
https://peeterjoot.com/2018/03/05/a-derivation-of-the-quater...
Sakıncası yoksa daha fazlasını anlatmanızı isterim. Biraz mistik bir hikâye olsa bile kimse okumuyormuş gibi yapabiliriz
Elektrik alanı ile manyetik alanın göreliliksel eşdeğerliği konusunda şurası da参考 alınabilir:
https://physics.stackexchange.com/questions/489291/how-did-e...
Sussman ve Wisdom, klasik SICP Scheme kitabını izleyerek Structure and Interpretation of Classical Mechanics adlı bir kitap yazmıştı; elektromanyetizma için de benzer bir yaklaşımı deneyen biri olup olmadığını merak ediyorum
Dolayısıyla Maxwell denklemleri, klasik mekanik denen büyük gövdenin içindeki teorilerden biridir. İsterseniz çeşitli deney düzenekleri için, örneğin bir alan içindeki yüklü parçacıklar için Lagrange yoğunluğu veya Hamiltonyen yazıp Maxwell denklemlerini türetebilirsiniz. Bu konuda birkaç makale de var. SICM’in formalizmini kullanamamak için bir neden yok. Faydalı bir alıştırma olur mu bilmiyorum
Muhtemelen 6. bölüm
Ekrana para fırlatıyorum ama hiçbir şey olmuyor
Bu yazı ve ilgili konularda mutlaka bir kitap hazırlasalar keşke. Yazıyı gerçekten çok iyi yazmışlar