Her matematikçinin yalnızca birkaç hilesi vardır (2020)

• Birbirleriyle değişebilir matrisler aynı anda diyagonalize edilebilir ilkesini merkez alarak, fiziksel açıdan çeşitli sistemlerin analiz yöntemlerini açıklar
• Öteleme simetrisi bulunan sistemlerde Fourier dönüşümü kullanılarak dalga denklemi, ısı denklemi gibi farklı fiziksel olgular çözümlenir
• Ayrık öteleme simetrisine sahip kristal yapılarda Bloch-Floquet teorisi ile enerji bant yapısı açıklanır ve iletken ile yalıtkan arasındaki fark netleştirilir
• Dönme simetrisi olan durumda hidrojen atomunun özdeğer problemi, dönme operatörünün diyagonalizasyonu ile çözülür ve SO(3) temsili, periyodik cetveldeki elektron kabuk yapısı ile ilişkilendirilir
• SU(3) simetri aracılığıyla karmaşık parçacık fiziğinde parçacık sınıflandırması sistematik ve düzenli hale gelir, simetri temsilleri parçacıkların yapılarını ortaya çıkarır

---

Operatörler ve diyagonalizasyonun temel ilkesi

• Temel kavram, “birbirleriyle değişebilir iki matris aynı anda diyagonalize edilebilir” ** matematiksel özelliğidir
  • Bir operatörün özvektörleri bilindiğinde diğer operatörün diyagonalizasyonu çok daha basitleşir
  • Fizikte çoğu matrisin diyagonalize edilebilir olduğu varsayılır

1) Öteleme değişmez sistemi

• Öteleme operatörünün özvektörü ( e^{ikx} ) biçiminde olduğu için Fourier dönüşümünü kullanmak doğaldır
  • Bu yöntem ışık, akustik, serbest elektronlar, homojen ortam ısı denklemi gibi dalga denklemlerinin çözümünde uygulanır

2) Ayrık öteleme simetrisi ve Bloch-Floquet teorisi

• Atom düzeni kristal oluşturduğu katının ayrık öteleme simetrisi vardır
  • Operatör ( T_a\phi(x) = \phi(x+a) ) için özvektör olarak ( \phi_k(x+a) = e^{ik\cdot a}\phi_k(x) ) kullanılır
  • Bunun sonucunda Bloch-Floquet teorisi türetilir ve spektrum bant yapısına ayrılır
  • Bu teori, iletken ve yalıtkan arasındaki farkı açıklayan yoğun madde fiziğinin önde gelen bir modelidir

3) Dönme simetrisi ve hidrojen atomu

• Dönme değişmezliğine sahip sistemlerde önce dönme operatörünü diyagonalize etmek gerekir
  • Bu yolla hidrojen atomunun özdeğerleri ve özvektörleri bulunur
  • Hidrojen atomunun özaltılığı (eigenspace) rotasyona karşı kararlıdır ve SO(3)'ün sonlu boyutlu temsillerini oluşturur
  • SO(3)'ün indirgenemez olmayan temsil boyutları 1, 3, 5, … olup, elektron spinini de dikkate aldığınızda periyodik cetvelin satırlarıyla (2, 6, 10, 14, …) eşleşir

4) SU(3) simetri ve parçacık fiziği

• Parçacık fiziği karmaşık olsa da altında SU(3) simetri bulunur
  • SU(3) temsilleri ele alındığında farklı parçacıklar çok daha sistematik ve düzenli bir sınıflandırmayla düzenlenir
  • Bu sayede parçacıkların “hayvanbilimsel sınıflandırması (zoology)” düzenli bir biçimde belirir

Ek yorum

• Orijinal metinde yukarıdaki dört örneğin yanı sıra 39 adet ek yorum vardır ancak metinde bu içeriklerin somut ayrıntıları verilmemiştir

[GN⁺]

Hacker News görüşü

• Babam matematikçi değil, bir mühendisti; doğrusal olmayan tüm problemleri Newton-Raphson ile çözerdi
  Çocukken HP85a üzerinde BASIC ile Newton-Raphson uygulaması yazmasını izlemek, programlamaya dair ilk anılarımdan biriydi
  Sonra bunu HP hesap makinesinde RPN ile de uyguladı ve ben de babamın korkunç BASIC programlarını debug etmiştim
  Babam sayısal analizde kök bulma ve ikinci türev hesaplamaya dair tek bir yöntem öğrenmişti ve bunu kimya süreç mühendisi olarak tüm kariyeri boyunca kullandı
  Bu arada ilgili belgeye buradan bakılabilir
  Ayrıca babam, “kararlı bir FORTRAN programcısı her dilde FORTRAN yazar” inancıyla yaşardı

  • Birlikte çalıştığım en iyi geliştirici, sayısız lineer cebir problemini tek başına SVD(tekil değer ayrışımı) ile çözerdi
    SVD, nasıl doğru kullanılacağını biliyorsanız mühendislik hesaplarında gerçekten çok güçlü bir araçtır
  • Benim babam da mühendisti ve Fortran’ı severdi
    Bir keresinde ona OOP’yi anlattım, “işe yaramaz” diye kestirip attı ve bir daha dönüp bakmadı
  • Newton-Raphson, Knuth’un sözü olan “kanıtladım ama çalıştırmadım” ifadesini sonuna kadar hissettiren bir algoritmadır
    Basit örneklerde kusursuz çalışır ama gerçek problemlerde bazen feci şekilde çuvallar
  • “1000 farklı tekmeyi bir kez çalışan insandan korkmam.
    Ama bir tekmeyi 1000 kez çalışmış insandan korkarım” sözü aklıma geliyor
    Newton-Raphson’ı ömür boyu kullanan bir baba için tam yerinde bir benzetme gibi
  • Differential Evolution da geniş ölçüde uygulanabilen basit bir tekniktir
    Uygulaması kolaydır ve Wikipedia açıklaması da oldukça ilgi çekicidir

• Mühendislerin de kendilerine özgü problem çözme temaları var gibi görünüyor
  Bir meslektaşım hep en basit hack’i bulurdu, bir diğeri ise kodun kendisini sevdiği için en zarif ifadeyi arardı
  Eski bir fizikçi de sürekli niş e-posta listelerini okuyarak derin bir kavrayış geliştirirdi
  Ben ise problemin yapısını uzun uzun eşeleyen biriyim; sonunda problemin çözümünden çok, bu süreçte edindiğim araçlar daha faydalı oldu

  • Başka tipler de var
    Reddit’te gördüğünü hemen deneyen bir altyapı mühendisi tanıyordum; şimdi herhalde 50 milyon dolar civarında serveti vardır
    Başka bir mühendis ise her teknolojiyi doğrudan eğitim oturumları üzerinden öğrenip entegre etti
    Bir de dünyadaki en iyi yorumları yazan meşhur bir mühendis vardı — problemi, trade-off’ları, performansı ve eksik kalan kısımları adeta bir deneme gibi yazardı
    Sonuçta en iyi mühendislerin ortak özelliği, “olana kadar denemeye devam eden” insanlar olmalarıydı
  • Ben çoğunlukla kodu ya da pipeline’ı izleyerek(trace) sonucun nasıl ortaya çıktığını anlamaya çalışırım
    Özellikle sonuç yanlış olduğunda çok faydalıdır
    En güçlü aracın “Go To Definition” özelliği olduğunu düşünüyorum

• Bilgisayar mühendisliği derslerinde fark ettiğim şey, matematikte örüntü tanıma ve püf noktalarının önemli olduğuydu
  Bu püf noktalarını bilmezseniz ilerleyemezsiniz ve derslerde de bunlar neredeyse hiç doğrudan öğretilmezdi
  Hocalar ya öğrencinin zaten bildiğini varsayardı ya da bilmiyorsa tembel olduğunu düşünürdü

• Feynman, otobiyografisinde başkalarından farklı matematiksel numaralara sahip olduğu için başarılı olduğunu söylemişti

  • İlginç olan şu ki, sık kullandığı integral hesaplama yöntemi olan Feynman’s trick, aslında 250 yıl önce Euler tarafından bulunmuştu
    Açıklamasına buradan bakılabilir
  • Feynman kendi kitabını tekrar tekrar okuyup “her şey burada” derdi
    Kendi anlayışını sürekli güncelliyordu
  • Onun numaralarının çoğu klasik kalkülüs kapsamındaydı
    Gösterişli değildi ama o dar alanı kusursuz biçimde ustalaşmıştı

• Üniversitedeyken, hoca problem anlatırken ben uyuklarsam adımı söylerdi
  Ben de uykulu hâlde “Çin kalan teoremi” diye cevap verirdim ve %90 olasılıkla doğru çıkardı
  Cebir dersiydi; o kadar sık işe yarıyordu

• Bir keresinde derste profesör bir problemi çözemedi
  Kısa bir ara verip odasına gitti ve notlarını getirdi; notta tek bir satır vardı — “Numarayı kullan”

• Biri Tricki.org'u tanıttı; matematik problemi çözme teknikleri vikisi olarak oldukça ilginçti
  Artık bakımı yapılmıyor ama hâlâ göz atmaya değer

  • Bunu paylaştığı için teşekkür eden biri vardı. Gerçekten iyi bir kaynaktı

• Programcılar için graf düşüncesi çok yararlıdır
  Bazıları SAT’in de iyi bir numara olduğunu söyler ama ben bizzat kullanmadım

  • SAT, SMT, ILP, MILP gibi teknikler de birlikte anıldı

• Uygulamalı matematikte şöyle bir şaka vardır — “Biz Taco Bell gibiyiz. Aynı altı malzemeyi karıştırıp farklı menüler yapıyoruz”
  Benim de tekrar tekrar kullandığım birkaç teknik var
  Sonuçta dünyayı hareket ettiren fikirlerin sayısı çok az ve bir profesör, “son birkaç on yıldaki tek gerçek yenilik compressed sensing oldu” demişti

• Derleyicilerin zor kısmı parser’dır
  Mevcut bir parser bulup onun çıktısını o dilin web şablonlarına dönüştürmeniz yeterlidir
  Veritabanı sorgularını ters indeks(inverted index) hâline getirmek daha iyidir,
  ve her şeyden önemlisi veri yerelliğini(locality) dikkatle düşünmek gerekir