- Birbirleriyle değişebilir matrisler aynı anda diyagonalize edilebilir ilkesini merkez alarak, fiziksel açıdan çeşitli sistemlerin analiz yöntemlerini açıklar
- Öteleme simetrisi bulunan sistemlerde Fourier dönüşümü kullanılarak dalga denklemi, ısı denklemi gibi farklı fiziksel olgular çözümlenir
- Ayrık öteleme simetrisine sahip kristal yapılarda Bloch-Floquet teorisi ile enerji bant yapısı açıklanır ve iletken ile yalıtkan arasındaki fark netleştirilir
- Dönme simetrisi olan durumda hidrojen atomunun özdeğer problemi, dönme operatörünün diyagonalizasyonu ile çözülür ve SO(3) temsili, periyodik cetveldeki elektron kabuk yapısı ile ilişkilendirilir
- SU(3) simetri aracılığıyla karmaşık parçacık fiziğinde parçacık sınıflandırması sistematik ve düzenli hale gelir, simetri temsilleri parçacıkların yapılarını ortaya çıkarır
Operatörler ve diyagonalizasyonun temel ilkesi
- Temel kavram, “birbirleriyle değişebilir iki matris aynı anda diyagonalize edilebilir” ** matematiksel özelliğidir
- Bir operatörün özvektörleri bilindiğinde diğer operatörün diyagonalizasyonu çok daha basitleşir
- Fizikte çoğu matrisin diyagonalize edilebilir olduğu varsayılır
1) Öteleme değişmez sistemi
- Öteleme operatörünün özvektörü ( e^{ikx} ) biçiminde olduğu için Fourier dönüşümünü kullanmak doğaldır
- Bu yöntem ışık, akustik, serbest elektronlar, homojen ortam ısı denklemi gibi dalga denklemlerinin çözümünde uygulanır
2) Ayrık öteleme simetrisi ve Bloch-Floquet teorisi
- Atom düzeni kristal oluşturduğu katının ayrık öteleme simetrisi vardır
- Operatör ( T_a\phi(x) = \phi(x+a) ) için özvektör olarak ( \phi_k(x+a) = e^{ik\cdot a}\phi_k(x) ) kullanılır
- Bunun sonucunda Bloch-Floquet teorisi türetilir ve spektrum bant yapısına ayrılır
- Bu teori, iletken ve yalıtkan arasındaki farkı açıklayan yoğun madde fiziğinin önde gelen bir modelidir
3) Dönme simetrisi ve hidrojen atomu
- Dönme değişmezliğine sahip sistemlerde önce dönme operatörünü diyagonalize etmek gerekir
- Bu yolla hidrojen atomunun özdeğerleri ve özvektörleri bulunur
- Hidrojen atomunun özaltılığı (eigenspace) rotasyona karşı kararlıdır ve SO(3)'ün sonlu boyutlu temsillerini oluşturur
- SO(3)'ün indirgenemez olmayan temsil boyutları 1, 3, 5, … olup, elektron spinini de dikkate aldığınızda periyodik cetvelin satırlarıyla (2, 6, 10, 14, …) eşleşir
4) SU(3) simetri ve parçacık fiziği
- Parçacık fiziği karmaşık olsa da altında SU(3) simetri bulunur
- SU(3) temsilleri ele alındığında farklı parçacıklar çok daha sistematik ve düzenli bir sınıflandırmayla düzenlenir
- Bu sayede parçacıkların “hayvanbilimsel sınıflandırması (zoology)” düzenli bir biçimde belirir
Ek yorum
- Orijinal metinde yukarıdaki dört örneğin yanı sıra 39 adet ek yorum vardır ancak metinde bu içeriklerin somut ayrıntıları verilmemiştir
Henüz yorum yok.