- Tüm doğal sayılar arasından eşit olasılıkla seçim yapmak imkânsız olduğundan, “rastgele tam sayı” önce 1’den N’ye kadar eşit olasılıkla seçim yapıp ardından N → ∞ limitine bakılarak tanımlanır
- Those Fascinating Numbers’ta, rastgele bir tam sayının ikinci asal çarpanının 37’den küçük olma olasılığının yaklaşık 1/2 olduğu belirtilir; bu, yoğunluk hesabı ve deneyle doğrulanır
- Küçük asal sayılar, tam sayıların küçük asal çarpanları olarak sıkça ortaya çıktığından, 37 gibi küçük bir sayının medyan olabileceğine dair sezgi oluşur
- De Koninck ve Tenenbaum’un yöntemi, Eratosthenes kalburu gibi, belirli asal sayılara bölünebilme koşullarını birleştirerek λ₂(p)’yi hesaplar
- λ₂(p) asal sayılara göre toplandığında 37’de kümülatif yoğunluk yaklaşık 0.5002’ye ulaşır; bu da N=10⁷ için doğrudan hesaplanan 0.5002501 değeriyle çok yakındır
37 sayısının kaynağı
- Those Fascinating Numbers kitabının önsözünde 37’nin bir tam sayının ikinci asal çarpanının medyanı olduğu cümlesi yer alır
- İçerik, rastgele seçilen bir tam sayının ikinci asal çarpanının 37’den küçük olma olasılığının yaklaşık 1/2 olduğudur
- İlk bakışta 37 inanılması zor derecede küçük görünebilir; ancak küçük asal sayıların tam sayıların küçük asal çarpanları olarak sık görünmesi düşünüldüğünde makul hale gelir
- Örneğin tam sayıların yaklaşık yarısı, en küçük asal çarpan olarak 2’ye sahiptir
- Amaç, bu olguyu doğrudan deneyle görmek ve De Koninck ile Tenenbaum’un makalesine dayanarak 37’nin neden ortaya çıktığını hesaplamaktır
“Rastgele tam sayı”yı tanımlama yöntemi
- Tüm doğal sayılar üzerinde eşit dağılım olmadığından, önce büyük bir N sayısı sabitlenir
- 1’den N’ye kadar olan tam sayılardan biri rastgele seçilir, ardından N → ∞ iken olasılığın limitine bakılır
- N küçük olduğunda, her tam sayının ikinci asal çarpanı doğrudan bulunup medyan kontrol edilebilir
- N=10⁷ ile çalıştırıldığında kümülatif olasılık yaklaşımı 0.5002501 olarak çıkar
- Çevrim içi SageCell’de bu büyüklükteki çarpanlara ayırma işlemi uzun sürüp zaman aşımına uğrayabileceğinden yerel çalıştırma gerekir
λ₂(p): p’nin ikinci asal çarpan olma yoğunluğu
- De Koninck ve Tenenbaum’un Sur la loi de répartition du k-ième facteur premier d’un entier makalesi, p’nin ikinci asal çarpan olduğu tam sayıların yoğunluğunu λ₂(p) olarak tanımlar
- Hesabın özü, Eratosthenes kalburu ile benzer şekilde, belirli asal sayılara bölünüp bölünmeme durumlarını birleştirerek yoğunluğu saymaktır
- İkinci asal çarpanın 5 olduğu durumda yalnızca iki olasılık vardır
2^a 3^0 5^b ...: 2 ve 5’in katı olup 3’ün katı olmayan sayılar2^0 3^a 5^b ...: 3 ve 5’in katı olup 2’nin katı olmayan sayılar
- İlk durumun yoğunluğu
1/2 × 2/3 × 1/5 = 1/15tir - İkinci durumun yoğunluğu
(1 - 1/2) × 1/3 × 1/5 = 1/30dur - Bu iki küme birbiriyle çakışmadığından toplanabilir; ikinci asal çarpanı 5 olan tam sayıların yoğunluğu 1/10 olur
Genel asal p için formül
- p’nin ikinci en küçük asal çarpan olması için, p’den küçük asal sayılardan biri olan q içerilmeli; q ve p dışındaki, p’den küçük asal sayılar r ise içerilmemelidir
- Bu koşul aşağıdaki türde bir asal çarpanlara ayırma biçimiyle ifade edilir
[ p^b q^a \prod_{q \neq r \lt p} r^0 ]
- Her q < p için yoğunluk hesaplanıp toplandığında şu formül elde edilir
[ \lambda_2(p) = \sum_{q \lt p} \frac{1}{p} \frac{1}{q} \prod_{q \neq r \lt p} \left ( 1 - \frac{1}{r} \right ) ]
- Aynı ifade şöyle düzenlenebilir
[ \lambda_2(p) = \frac{1}{p} \left[ \prod_{q \lt p} \left(1 - \frac{1}{q}\right) \right] \sum_{q \lt p} \frac{1}{q} \left(1 - \frac{1}{q}\right)^{-1} ]
37’nin medyan olduğu hesap
- Aranan asal (p^), ikinci asal çarpanın (p^) veya daha küçük olma yoğunlukları toplamının yaklaşık 1/2 olduğu noktadır
[ \lambda_2(2) + \lambda_2(3) + \lambda_2(5) + \ldots + \lambda_2(p^*) \approx \frac{1}{2} ]
- λ₂(p) uygulanıp asal sayılara göre toplandığında, kümülatif yoğunluk 37’de yaklaşık 1/2’ye ulaşır
- Hesaplanan gerçek beklenen yoğunluk yaklaşık 0.5002’dir
- Doğrudan çarpanlara ayırmaya dayalı deneyde N=10⁷ için elde edilen 0.5002501 değeri de buna çok yakındır
k’inci asal çarpana genişletme
- k’inci asal çarpanın p olma yoğunluğu λₖ(p) için genel formül şöyledir
[ \lambda_k(p) = \frac{1}{p} \left[ \prod_{q \lt p} \left(1 - \frac{1}{q}\right) \right] s_{k-1}(p) ]
- Burada (s_j(p) = \sum \frac{1}{m}) olup toplam, tam olarak j adet asal çarpana sahip ve bu asal çarpanların tamamı p’den küçük olan m değerleri üzerinden alınır
- k’inci asal çarpan medyanı (p_k^*) için asimptotik ifade şöyledir
[ \log \log p_k^* = k - b + O\left(\frac{1}{\sqrt{k}}\right) ]
- Burada b aşağıdaki değerdir
[ b = \frac{1}{3} + \gamma - \sum_p \left( \log((1-1/p)^{-1}) - 1/p \right) ]
- (\gamma), Euler-Mascheroni Sabiti’dir
1 yorum
Hacker News yorumları
Burada özellikle ilginç olan şeyin 37’nin kendisi olduğu söylenmiyor
Asıl ilginç olan, burada sonlu bir medyanın var olması. Bu doğruysa, medyan listedeki bir eleman olarak tanımlandığı için kaçınılmaz olarak bir asal sayı olmak zorunda. Bu listede tesadüfen 37 olmuş; başka bir değer de olabilirdi
37’nin gerçekten ilginç hale gelmesi için, tanımı medyanın küme dışındaki değerlere de izin verecek şekilde gevşetsek bile limitin yine 37’ye yakınsaması gerekirdi. O zaman epey şaşırtıcı olurdu
37’den küçük değerler yalnızca yaklaşık %49,061, 37’den büyük değerler ise yalnızca yaklaşık %49,975’tir. Belli bir noktadan sonra çift N için %50 noktasının iki yanında da her zaman iki tane 37 bulunur; bu yüzden medyan başka bir değer değil, tam olarak 37 olur. Daha uzun açıklamayı başka bir yorumda yazdım [0]
[0] https://news.ycombinator.com/item?id=38245162
Medyanın varlığı, diğer tüm yüzdelik dilimler için de bir limit olabileceğini düşündürüyor. Daha da ileri gidip, herhangi bir sayı için ikinci asal çarpanı o sayıdan büyük olan tam sayıların limit oranı var olabilir; 37 için bu oran tesadüfen 0,5 oluyor
Yazının ilk akla getirdiği “Peki bunu nasıl ispatlarız?” sorusunun cevabını bu kadar net açıklaması hoşuma gitti
İlginçtir, 37 optimal durdurma problemi / sekreter probleminde de ortaya çıkıyor
Tesadüfen, 37 aynı zamanda ilk düzensiz asaldır. Bu da Fermat’nın Son Teoremi’nin neden zor olduğuyla ilişkilidir
https://en.wikipedia.org/wiki/Regular_prime
“İkinci asal 2 olan sayıların oranı 0.000000000000000” denmiş ama yazı başlığı tekrarsız ifadesini açıkça söylemeden de doğru mu?
Çünkü İngilizcede gösterimi tamamen açık yazmak çoğu zaman gereksiz yere uzun olur. “İkinci tekrarsız asal” denseydi bu kez biri “ikinci en küçük” ya da “artan sırada” da denmeli değil miydi diyebilirdi. Makalelerde bu tür terimler genelde daha kesin ama yine de tamamen biçimsel olmayan matematiksel gösterimlerle resmen tanımlanır
Bu bir kusur arama değil; matematikte “görünmeyen” kısımları insanların tek tek yazmak zorunda kalmadan çıkarımla tamamlaması, teorem ispatlayıcılarının kullanılabilirliğini ciddi biçimde artırıyor. Andrej Bauer’in bununla ilgili sunumu çok iyi: https://www.youtube.com/watch?v=wZSvuCJBaFU
Bu sonucu kapsayan L-fonksiyonları ya da modüler formlar tarafında ilginç teoremler veya sonuçlar olup olmadığını merak ediyorum
Bu aralar öğreniyorum ve konu çok çekici
https://www.peakmath.org/quest-for-f1 videosu sayesinde haberdar oldum, bir de http://lmfdb.org kurcalamaya değer
Bence bu gerçek 37’yi epey ilginç yapıyor
En azından 31’den kesinlikle daha ilginç
31 de asal olduğu için bir ölçüde ilginç ama az önce öğrendiğimiz gibi tam sayıların ikinci asal çarpanlarının medyanı olan 37 kadar değil
Daha ilginç başka tam sayı adayları var mı? Ve en ilginç tam sayı diye bir şey gerçekten var olabilir mi?
Bunlar sırasıyla ASCII dizgesi “the most interesting”in big-endian ve little-endian sürümleri
Düzensiz asallar tüm asalların yaklaşık %41’ini oluşturmasına rağmen ilkinin bu kadar geç ortaya çıkması ilginç. Bkz.: https://encyclopediaofmath.org/wiki/Irregular_prime_number#:~:text=An%20odd%20prime%20number%20p,prime%20numbers%20are%20called%20regular
En ilginç asalın hangisi olduğu, neyi daha ilginç bulduğunuza bağlı. İkinci asal çarpanın medyanını seviyorsanız 37 zirvede; ilk düzensiz asalı seviyorsanız yine 37 zirvede. Sonuçta mesele bakış açısı
37’nin bir başka iyi yanı da 7 ile bitmesi; biri sizden bir sayı söylemenizi istediğinde “rastgeleymiş gibi” geliyor ve 27’den daha iyi, çünkü asal. 7 fazla küçük, 17’de ise uğursuzluk çağrışımı var. Yine de 37 oldukça korkutucu bir sayı. Zaten asal olduğu için yeterince düzensiz, bir de üstüne düzensiz asal
Muhtemelen bu yüzden zaman sistemi ve trigonometri 60 tabanlı oldu. 360 = 6*60 ve 360’ın 24 böleni var
İspatın bu kadar basit olması şaşırtıcı. 37 yeni favori asalım oldu
İkinci asal çarpanın ortalama değerinin artış hızının nasıl olduğunu merak ediyorum. Sonsuza gidecek gibi görünüyor ama belki epey yavaş artıyordur
Hayatım boyunca bu sayıya takıntılı oldum. Saate her baktığımda, önümdeki arabanın plakasına baktığımda hep 37 görüyorum gibi geliyor
Channel 37 gibi rastgele başka bağlantılar da var: https://en.wikipedia.org/wiki/Channel_37