Riemann hipoteziyle ilgili dikkate değer bir gelişme

 (mathstodon.xyz)
1 puan yazan GN⁺ 2024-06-05 | 1 yorum | WhatsApp'ta paylaş
  • Guth ve Maynard, Riemann zeta fonksiyonunun sıfırlarıyla ilgili Ingham’ın 1940 tarihli sınırında ilk kez gerçek anlamda iyileştirme yaptı; ancak bu, Riemann hipotezinin çözümünden hâlâ uzak
  • Temel nesne, gerçek kısmı σ veya daha büyük ve sanal kısmının mutlak değeri T veya daha küçük olan sıfırların sayısı N(σ,T); σ=3/4 için mevcut sınır 80 yılı aşkın süredir büyük ilerleme olmadan kalmıştı
  • Yeni sonuç, σ=3/4 için sınırı 3/5=0.6 değerinden 13/25=0.52 değerine indiriyor ve N(σ,T) ≤ T^{30(1-σ)/13+o(1)} biçiminde bir sıfır yoğunluğu tahmini sunuyor
  • Bu iyileştirme sayesinde, neredeyse tüm kısa aralıklar (x, x+x^θ) için asal sayı teoreminin kanıtlanabildiği aralık θ > 1/6 değerinden θ > 2/15 değerine genişliyor
  • Bu sonuç, “orta düzeyde çok sayıda Riemann hipotezi ihlali” olasılığını daha güçlü biçimde kısıtlıyor; ancak tekil büyük bir ihlali dışlayan sıfırsız bölge (zero-free region) yönünde bir ilerleme değil

Guth–Maynard’ın iyileştirdiği sıfır yoğunluğu sınırı

  • Guth ve Maynard’ın New large value estimates for Dirichlet polynomials makalesi, Dirichlet polinomlarının büyük değerler alma sıklığına dair yeni sınırlar kanıtlıyor
  • Özellikle uzunluğu N olan bir Dirichlet polinomunun N^{3/4} değerine yakın büyüklüğe ulaştığı kritik durumu ele alıyor; bu, asal sayılar ve Riemann zeta fonksiyonuyla bağlantılı çeşitli analitik sayı teorisi tahminlerinde bir darboğazdı
  • N(σ,T), Riemann zeta fonksiyonunun sıfırları arasında gerçek kısmı σ veya daha büyük, sanal kısmının mutlak değeri ise T veya daha küçük olanların sayısı anlamına gelir
    • Riemann hipotezi, tüm σ > 1/2 için N(σ,T) değerinin 0 olması şeklinde görülebilir
    • Şu anda bu koşulsuz olarak kanıtlanamadığı için, bunun yerine N(σ,T) için önemsiz olmayan üst sınırlar, yani sıfır yoğunluğu tahminleri kanıtlanıyor

80 yılı aşkın süredir aşılamayan Ingham sınırı

  • σ=3/4, bu problemde kilit değer olarak işliyor
  • Ingham, 1940’ta N(3/4,T) ≪ T^{3/5+o(1)} sınırını elde etti
  • Sonraki 80 yıl boyunca bu sınır pratikte iyileştirilemedi; çoğunlukla yalnızca o(1) hata teriminde küçük rafineler yapıldı
  • Bu sınırlama, analitik sayı teorisindeki pek çok problemi kısıtladı
    • Neredeyse tüm kısa aralıklar (x, x+x^θ) için iyi bir asal sayı teoremi elde etmek adına uzun süre θ > 1/6 aralığıyla yetinmek gerekti
    • Başlıca engel Ingham sınırında iyileştirme olmamasıydı

Yeni sayısal sonuç, kısa aralıklardaki asal sayılara bağlanıyor

  • Guth–Maynard, Ingham sınırını 3/5=0.6 değerinden 13/25=0.52 değerine iyileştirdi
  • Makale, N(σ,T) ≤ T^{30(1-σ)/13+o(1)} biçiminde bir sıfır yoğunluğu tahmini içeriyor
  • Asal sayıların kısa aralıkları için uzunluğu x^{17/30+o(1)} olan aralıklarda asimptotik bir formül çıkarıyor
  • Neredeyse tüm kısa aralıklar (x, x+x^θ) için asal sayı teoreminin geçerli olduğu aralık da iyileşiyor
    • Önceki: θ > 1/6 = 0.166...
    • İyileştirilmiş: θ > 2/15 = 0.133...
  • Riemann hipotezi doğruysa bu aralık tüm θ > 0 değerlerine kadar genişleyebilir

Kanıtta kullanılan beklenmedik işlemler

  • Argüman genel olarak Fourier analizi karakteri taşıyor
  • İlk aşamaların bir kısmı standart nitelikte; Ingham sınırını aşmaya çalışan analitik sayı teorisyenlerinin aşina olduğu bir biçimde
  • Sonrasında ise sezgisel olmayan çeşitli seçimler kilit rol oynuyor
    • Faz matrisi n^{it}=e^{it log n} ifadesini 6. kuvvete alarak kontrol ediyor
    • Belirli karmaşık bir Fourier integralini stationary phase ile basitleştirmek yerine, üste kayıp yaşamayı göze alıp daha sonra yararlı olacak çarpanlara ayrılmış biçimi koruyor
    • Dirichlet serisinin büyük değerler aldığı konumların additive energy değerinin küçük, orta veya büyük olmasına göre durumları ayırıp farklı argümanlar uyguluyor
  • Dirichlet serisine içkin faz fonksiyonu t log n’in tam biçimi çok önemli hâle geliyor
  • Bu, harmonik analizdeki genel üstel toplamlar değil, analitik sayı teorisinden gelen üstel toplamların özgül niteliğini kullanan bir yaklaşım

Sıfır yoğunluğu ile sıfırsız bölge farklı şeylerdir

  • Bu sonuç, Riemann hipotezinin “bir ölçüde kötü çok sayıda ihlali” olasılığını azaltmaya yardımcı oluyor
    • Bu tür iyileştirmeler, özellikle kısa aralıklardaki asal sayıları anlamakta yararlı
  • Ancak Riemann hipotezinin “tekil ve çok kötü bir ihlalini” yeni olarak dışlamıyor
    • Bu tür dışlamayı sıfırsız bölge üstlenir
    • Uzun aralıklardaki asal sayıları anlamada sıfırsız bölgeler merkezi rol oynar
  • Bilinen en iyi asimptotik sıfırsız bölge hâlâ Vinogradov–Korobov zero-free region
    • Bu gösterimde σ ≥ 1 - log^{-2/3-o(1)} T ise N(σ,T) tamamen ortadan kalkar
    • Bu sonuç da 1958’den bu yana neredeyse hiç ilerlemedi
  • q-aspect bağlamında, L-fonksiyonlarının Siegel zero’sunu ortadan kaldırmak da sıfırsız bölge açısından büyük bir atılım olur
  • Şematik açıdan, bilinen üs θ(σ) ne kadar düşükse sınır o kadar iyidir
    • Guth–Maynard’ın yeni eğrisi, σ=3/4 civarında Ingham ve Huxley sınırlarından daha iyi olanını da iyileştiriyor
    • Ancak bu aralıkta henüz density conjecture’a ulaşmıyor
    • Riemann hipotezi, tüm şemayı x eksenine indirmeye karşılık gelir

İlgili okumalar

1 yorum

 
GN⁺ 2024-06-05
Hacker News yorumları

  • JavaScript ile yapılmış bir zeta fonksiyonu görselleştirmesi var; sonsuz yakınlaştırma yapılabiliyor ve parametrelerle de oynanabiliyor: https://amirhirsch.com/zeta/index.html
    Bu varsayımın neden doğru olma ihtimalinin yüksek olduğunu sezgisel olarak anlamaya yardımcı olabilir. Kısmi toplamları render ediyor ve zeta’nın izlediği yolu takip ediyor.
    Render işleminde, otomatik hesaplanan N-critical noktasına kadarki tüm kısmi toplamlar yer alıyor; bu, iki terimin faz farkının π’den küçük olduğu nokta, yani Nyquist sınırı. Bundan sonra kısmi toplamların davranışı monoton hale geliyor.
    Kümeler, terimlerin anlık frekansı kπ ile (k+1)π arasındayken ileri geri hareket eden aliasing modları gibi görünüyor; rastgele yürüyüş bölümü ise aliasing modu başına yalnızca bir noktanın bulunduğu alan. Yeşil çizgi kısmi toplamların simetrisini vurguluyor ve kümeler rastgele yürüyüş bölümüyle simetriyi koruyor. Bu simetri şu makalede iyi özetlenmiş: https://arxiv.org/pdf/1507.07631

    • Birkaç yıl önce Riemann hipotezi için sezgisel bir sinyal işleme yorumu düşünmüştüm; kısaca özetlersem, zeta fonksiyonu logaritmik zaman örnekleyicisi olarak görülebilir.
      zeta(s), t=(ln n) anında örnekleme yapan sum(delta(t-ln n)) ifadesinin, n>0 tam sayıları için Laplace dönüşümüdür; örnekleme hızı da hızla artar.
      Bunu bir kara kutudan çıkan darbe yanıtı gibi hayal edebilirsiniz; gerçel kısım parametresine bağlı olarak darbe yanıtı sonlu enerjili de olabilir, güç sinyali de olabilir. Enerjinin sum(|1/s|^2) sonlu olduğunu, yani real(s) > 1/2 olduğunu varsayarsak, Riemann hipotezi bu toplamın 0 olmadığını söylüyor gibidir. Bu, logaritmik örnekleyicinin güç kaynağı bile bağlı değilken bilgiyi yok edemeyeceğini söylemeye benzer.
    • Ben de yaptım. Benimki Unity ile yapıldı ve Y ekseni boyunca yükselen 3B bir sarmal gösteriyor.
      Üç boyutlu görmenin yardımcı olduğunu düşünüyorum: https://github.com/atonalfreerider/riemann-zeta-visualization
    • Vay, seninki benimkinden çok daha havalı: https://matt-diamond.com/zeta.html
      Yine de bu kadar çok kişinin bunu denemiş olması ilginç. Sonuçlar da güzel görünüyor; eğlenceli bir programlama alıştırması.
    • Grafiği çizerken gerçekte kullanılan formülün ne olduğunu merak ediyorum.
    • Bu konuyu kolayca sindirebilmek için iyi bir kaynak var mı?

  • James Maynard Numberphile’da sık sık görünüyor; bu makalenin yazarlarından birinden daha erişilebilir bir matematik anlatımı dinlemek isterseniz bakmaya değer: https://www.youtube.com/playlist?list=PLt5AfwLFPxWJdwkdjaK1ogByEGiVHdEnM

  • Çoğu videodan daha derine inen ama STEM alanında okumuş biri için erişilebilir kalan bir Riemann hipotezi girişi arıyorsanız, zetamath’in bu video serisi gerçekten iyiydi.
    Tao hocanın orijinal yazısını da “fazın çekirdek matrisini kontrol etmek” kısmına kadar tamamen anladım; demek ki videolar bana gerçekten bir şey öğretmiş.
    [1] https://www.youtube.com/watch?v=oVaSA_b938U&list=PLbaA3qJlbE93DiTYMzl0XKnLn5df_QWqY

  • Terence Tao’nun, kendisinin de benzer bir şeyi denediğini ama başaramadığını söyleyerek argümanınızı özetlemesinin nasıl bir his olduğunu hayal ediyorum.
    “Argüman genel olarak Fourier analizi niteliğinde. İlk birkaç adım standart; benim de dahil olduğum, Ingham sınırını aşmayı denemiş birçok analitik sayılar kuramcısının tanıyacağı türden. Ama onlar birkaç zekice ve beklenmedik hamle yapıyor.”

    • En üst düzey bir matematikçinin deneyip başaramadığı bir tekniği başka bir matematikçinin başarıyla kullanması tamamen olağan bir şey.
    • Kişisel olarak tanışmadım ama Tao’nun yazıları çok alçakgönüllü ve nazik. Bir şeyi deneyip pek iyi gitmediğinde bunu da açıkça anlatıyor.
      Ayrıca araçlar ve onların sınırları hakkında da genel olarak çok yazıyor. Blogunu okumanızı kesinlikle öneririm.
    • Makalenin yazarlarından ikisi, bu alanda zaten epey sağlam bir konuma sahip.
      [0]: https://en.wikipedia.org/wiki/Larry_Guth
      [1]: https://en.wikipedia.org/wiki/James_Maynard_(mathematician)
    • Gerçek bir liyakat düzeni gibi hissettirebilir. Özellikle katı sıralamaların standart olmadığı yerlerde, Terence Tao da kendisini bir şeyin “zirvesinde” görmeyecektir.
      Üstelik bu, birinin davranışının mutlaka itibarıyla ilişkili olacağını beklemeyen sağlam bir temele ve anlayışa da işaret edebilir. Sonuç üretmenin bir popülerlik yarışması değil, bireysel ya da sıkı bir ekip çalışması olduğu durumlarda bu özellikle böyledir.
      Politikanın baskın olduğu, liyakatin kulağa hoş gelen bir motivasyon sözünden ibaret kaldığı ve popülerliğin gerçek para birimi haline geldiği sıradan iş dünyası, büyük şirketler, VC ve akademi ortamlarında çalışanlara yabancı gelebilir.

  • 2018’de önerilen kanıtla ilgili olarak, potansiyel önemini açıklayan bu yazı faydalı bir giriş kaynağıydı
    [1] https://www.sciencenews.org/article/why-we-care-riemann-hypothesis-math-prime-numbers

    • Kanıtın potansiyel önemini merak ediyorum. İlgili makale biraz muğlak:

      (Asal sayılar) internet üzerinden gönderilen şifreli iletişimleri korumak için önemlidir. Daha da önemlisi, sayısız matematik makalesi Riemann Hipotezi’nin doğru olduğunu varsayar. Atlanta’daki Emory University’den matematikçi Ken Ono’ya göre, bu temel varsayımın doğru olduğu kanıtlanırsa “doğru olduğuna inanılan birçok sonucun doğru olduğu bilinir hale gelir.” “Bir tür matematiksel kâhin gibi.”
      Riemann Hipotezi’nin kanıtlanmasının hemen pratik etki yaratacağı açık ve bilinen bir uygulama var mı? Tatmin duygusunun ya da “biraz daha iyi kriptografi”nin ötesinde yani

  • İlginç bilgi: Yazarlardan biri olan Larry Guth, enflasyon kozmolojisiyle ünlü teorik fizikçi Alan Guth’un oğlu (https://en.wikipedia.org/wiki/Larry_Guth)

  • Riemann Hipotezi’ni üçüncü halin imkânsızlığı olarak alıp buna dayanan tüm teoremler hakkında ne düşündüğünüzü merak ediyorum
    Konstrüktivistler, “A veya B”nin kanıtı için gerçekten A’nın kanıtına ya da B’nin kanıtına sahip olunması gerektiğini savunur ve üçüncü halin imkânsızlığını reddeder. Oysa henüz kimsenin ne RH’nin kanıtı ne de ~RH’nin kanıtı var
    Bu, bazı teoremlerin ne kanıtlanabildiği ne de çürütülebildiği sözde eksik mantık sistemlerinde önemlidir; bu tür sistemlerde üçüncü halin imkânsızlığı kabul edilemez bir aksiyomdur

    • Bu biraz farklı bir mesele değil mi? Asıl noktanın kanıtlanabilirlik ile doğruluğun birbirinden ayrılması olduğunu sanıyordum
    • Şöyle bir mantık yürütme duymuştum:
      RH hiçbir yönde kanıtlanamıyorsa, RH’ye karşı bir örnek kesinlikle var olamaz. Çünkü bir karşı örnek olsaydı, onu bulup RH’nin yanlış olduğunu kanıtlayabilirdik
      Dolayısıyla RH kanıtlanamazsa doğru olmalıdır. Ama bu, RH’nin işlediği mantık sisteminin dışındaki bir mantığı kullanıyor gibi görünüyor

  • Bu yorum bölümü, konuyu gerçekten anlamadığı halde zeki görünmeye çalışıp ters etki yaratan insanlarla tuhaf biçimde dolu
    Keşke kaygıyı bir kenara bıraksanız. Bir şeyi anlamadığını dürüstçe söylemek sorun değil. Herkesin anlamadığı şeyler, anladıklarından daha fazladır

    • İşaretlenmiş bir yorum dışında, yorumların epey derinlikli ve ilginç olduğunu düşünüyorum. Riemann zeta fonksiyonunun harika bir görselleştirme demosu da var:
      https://news.ycombinator.com/item?id=40571995#40576767
      Asıl sizin yorumunuz epey tepeden bakar gibi ve anlamlı bir katkıdan çok bir yansıtma gibi duruyor
    • Sadece bu yorum bölümü mü böyle?

  • Matematikçi olmayan birine açıklayabilir misiniz?

    • Matematikteki en önemli çözülmemiş problemlerden biri Riemann Hipotezi’dir. Belirli bir zeta(z)=0 denkleminin çözümlerinin hepsinin belirli bir biçimde olduğunu söyler
      Günümüzde yaşayan matematikçilerin neredeyse tamamı hayatlarının bir döneminde bunu çözmeyi denemiştir. Bu hipotezin, örneğin asal sayıların dağılımı gibi sayılar teorisi konularında derin sonuçları vardır
      Yakın tarihli bir makalede bazı matematikçiler, bu çözümlerin nerede bulunabileceğine dair daha güçlü sınırlar ortaya koyduklarını iddia ediyor. Bağlantısı verilen yazıda, yaşayan en iyi matematikçilerden biri olan Terrence Tao bu makaleyi çok yüksek değerlendiriyor
      Kişisel olarak bunun henüz matematikçi olmayan biri için muazzam ilgi konusu olacak aşamada olduğunu düşünmüyorum. Son derece teknik bir sonuç ve ek inceleme sürecinde hatalı ya da eksik olduğu ortaya çıkabilir
      Riemann Hipotezi, sonuçları ve onu çözme girişimleri hakkında okuyabileceğiniz çok sayıda kaynak var
    • Indiana Jones and the Last Crusade’i düşünün. Henüz odaya girmediniz ama tapınaktaki tuzaklardan birini devre dışı bıraktınız
    • Arka plan bilgisi için bu video Riemann Hipotezi’ne genel bakışı iyi açıklıyor: https://www.youtube.com/watch?v=d6c6uIyieoo
    • N’den küçük asal sayıların sayısının, N büyüdükçe yaklaşık kaç olduğuna dair bir yaklaşım formülü var
      Riemann Hipotezi doğruysa bu yaklaşımın hatasının iyi kontrol edildiğini ve küçük olduğunu biliriz; böylece başka birçok yaklaşık sonucu kanıtlayabiliriz. “Riemann Hipotezi doğruysa…” biçiminde pek çok sonuç var
    • Prime Obsession, matematik altyapısı varsaymayan, Riemann Hipotezi ve Riemann’ın kendisi hakkında kitap uzunluğunda iyi bir giriş kaynağıdır

  • Zamanlama iyi. Şu anda Matt Haig’in The Humans kitabını dinliyorum; hikâye, birinin Riemann Hipotezi’ni kanıtlamasından sonra başlıyor