Rastgele gerçek katsayılı polinomlarda en büyük kökün karmaşık olmaktansa gerçek olma olasılığı daha yüksek

(mathoverflow.net)

1 puan yazan GN⁺ 2024-05-12 | 1 yorum | WhatsApp'ta paylaş

Rastgele polinomun en büyük kökünün gerçek olma olasılığı, karmaşık olma olasılığından daha mı yüksek?

Gerçek katsayılara sahip rastgele bir polinomun gerçek kök sayısı, karmaşık kök sayısından çok daha azdır
- Ancak katsayıların (-1, 1) aralığında bağımsız ve düzgün dağılımlı rastgele değişkenler olduğu varsayılırsa
- n dereceli bir polinomun gerçek kök sayısı asimptotik olarak (2 log n) / π + o(1), karmaşık kök sayısı ise yaklaşık n - (2 log n) / π olur
Bir polinomun en büyük (veya en küçük) kökü, mutlak değeri en büyük (veya en küçük) olan kök olarak tanımlanır
Gerçek kökler karmaşık köklerden üstel olarak daha az olmasına rağmen, deneysel veriler şunu gösteriyor:
- En büyük (veya en küçük) kökün gerçek olma olasılığı, karmaşık olma olasılığından daha yüksektir
- Bu olasılık, n sonsuza giderken yaklaşık 1/2ye yakın bir değere doğru azalır
Bu durum sezgiye aykırıdır; çünkü gerçek kökler karmaşık köklerden çok daha az olmasına rağmen hem en büyük hem de en küçük kökü içerme olasılıkları daha yüksektir

n dereceli bir polinomun en büyük (veya en küçük) kökünün gerçek olma olasılığı, (n sonsuza giderken yaklaşık 1/2ye yakın bir değer olarak) yakınsar mı?

Şu ana kadar en büyük/en küçük kökün gerçek olma olasılığının 1/2ye yakınsadığı, kanıtlanmış bir sonuçtan çok bir tahmin gibi görünüyor. Bunun için daha sıkı bir kanıt gerektiği anlaşılıyor
Polinom köklerinin birim çember çevresinde açısal olarak düzgün dağıldığı ve kökler arasında çok yerel bir itmenin bulunduğu biliniyor. Ancak karmaşık kökler birim çember çevresine yayılabilirken, gerçek kökler arasındaki itme nedeniyle gerçek kökler ancak daha küçük ya da daha büyük değerlere gidebilir
Karmaşık köklerin sayısına kıyasla gerçek köklerin sayısı yalnızca logaritmik ölçekte fazla olsa da, yine de gerçek köklerin kayda değer sayıda olduğu düşünülebilir
Bu açıdan bakıldığında, en küçük kökün gerçek olma ihtimali şaşırtıcı görünmüyor
Gerçek katsayılı rastgele polinomların kök dağılımı üzerine daha derin araştırmalara ihtiyaç var. Özellikle en büyük/en küçük kökün gerçek olma olasılığının limit değeri için sıkı bir kanıt gerekli görünüyor.

GN⁺ 2024-05-12

En büyük gerçek kökün olasılığının tesadüf ile 1/phi arasında olması şaşırtıcı bulunuyor
Asal sayıların rastgele olmadığı, önceki asal sayılardan özyinelemeli olarak üretildiği için doğal büyüme örüntülerinin e ve phi’yi yansıtmasının bekleneceği belirtiliyor
R içinde bu tür sayısal deneyler için yerleşik destek bulunuyor
```
plot(polyroot(runif(101,-1,1)))
```
Rastgeleliğin tanımı ve tek/çift derecelerin hesaba katılıp katılmadığı gibi ek sorular gündeme getiriliyor
Katsayılar ölçeklendiğinde, en büyük katsayı dışındaki tüm katsayılar için düzgün olmayan bir dağılım oluşacağı tahmin ediliyor

Üniversitede matematikten keyif alındığı, ancak mezuniyetten sonra iki yıl boyunca fazla ilgilenilmediği için yeniden öğrenmek gerektiği söyleniyor
Project Euler gibi eğlenceli fikirler aramanın veya ders kitabı problemlerini yeniden çözmenin önerildiği aktarılıyor

Karmaşık düzlemde kökler rastgele seçildiğinde gerçek katsayılı bir polinom elde etmenin neredeyse imkansız olması nedeniyle, daha fazla gerçek kök çıkmasının sezgisel olarak daha makul göründüğü ifade ediliyor
Yansıma simetrisini kullanan sezgisel bir yaklaşım denemesi ve bunun sınırları tartışılıyor
Beşinci dereceden ve üzeri polinomlar için kapalı formül bulunmadığından, gerçek ve karmaşık kökleri ayırt etmenin zor olduğu belirtiliyor
Rastgele polinomların katsayılarının gerçek mi yoksa karmaşık mı olduğu sorgulanıyor
Karmaşık düzlemin gerçek sayı doğrusundan çok daha büyük olması nedeniyle gerçek kök olasılığının 0’a yakın olacağının düşünülmesine rağmen sonucun şaşırtıcı olduğu ifade ediliyor