Lemniscate Sabiti (ϖ): π'nin karanlık ikizi
(mathstodon.xyz)- ϖ (varpi), π'nin çember ve trigonometrik fonksiyonlarla bağlandığı gibi, ∞ biçimindeki lemniscate ve değiştirilmiş trigonometrik fonksiyonlar sl, cl ile bağlantılı bir sabittir
- lemniscate, iki noktaya olan uzaklıkların çarpımının sabit olduğu Cassini ovalinin özel bir durumudur ve kutupsal koordinatlarda
r² = cos2θolarak ifade edilir - Birim çemberin çevresi
2πolduğu gibi, bu lemniscate'in çevresi de2ϖ'dir veϖ ≈ 2.62205755...değeri 1 trilyondan fazla basamağa kadar hesaplanmıştır - sl ve cl, sin ve cos'a karşılık gelen lemniscatic elliptic functions'dır ve
sl²θ + cl²θ + sl²θ cl²θ = 1gibi değiştirilmiş özdeşliklere sahiptir - ϖ, Gaussian elliptic curve ve aritmetik-geometrik ortalamaya da bağlanır;
AGM(1, √2) = π/ϖoranı Gauss sabiti olarak adlandırılır
π'ye benzeyen sabit ϖ
- ϖ, π'nin bir “evil twin”i gibi, π'ye benzeyen birçok özellik ve formüle sahip bir sayıdır
- π çember ve trigonometrik fonksiyonlar sin, cos ile bağlantılıyken, ϖ ∞ biçimli eğri olan lemniscate ve sl, cl fonksiyonlarıyla bağlantılıdır
- ϖ'ye lemniscate constant denir
- Unicode'daki
ϖsimgesi, Yunanca pi harfinin el yazısı biçimidir;varpiveyapomegaolarak da adlandırılır
İntegral ifade ve benzer çarpım formülleri
- π ve ϖ, integral ifadelerde de benzer biçimlerde karşılaştırılır
π = ∫_{-1}^1 dx / √(1 - x²) ≈ 3.14159ϖ = ∫_{-1}^1 dx / √(1 - x⁴) ≈ 2.622057
- Her iki sabit de iç içe karekök biçimindeki çarpım formülleriyle bağlantılıdır
- π tarafındaki formül
2/π'yi verir - ϖ tarafındaki formül benzer yapıyı korurken bazı terimler bölme biçimine dönüşür
- π tarafındaki formül
lemniscate ve çevresi
- İki noktaya olan uzaklıkların çarpımının sabit olduğu eğri ailesi Cassini ovalidir
- Bunların içinde ∞ biçimini alan özel eğri lemniscate'tir ve ϖ ile doğrudan bağlantılıdır
- Bu lemniscate'in kutupsal koordinat denklemi şöyledir
r² = cos2θ
- Birim çemberin çevresi
2πolduğu gibi, bu eğrinin çevresi2ϖ'dirϖ ≈ 2.62205755...- Bu sayı 1 trilyondan fazla basamağa kadar hesaplanmıştır
sl, cl fonksiyonları ve değiştirilmiş trigonometrik fonksiyonlar
- Çember üzerinde sin ve cos tanımlanabildiği gibi, lemniscate üzerinde de sl ve cl adlı fonksiyonlar tanımlanabilir
- Sıradan trigonometrik özdeşliklerin çoğunun sl ve cl'ye karşılık gelen değiştirilmiş sürümleri vardır
- Temel karşılıklar şöyledir
- Sıradan trigonometrik fonksiyonlar:
sin²θ + cos²θ = 1 - lemniscate fonksiyonları:
sl²θ + cl²θ + sl²θ cl²θ = 1
- Sıradan trigonometrik fonksiyonlar:
- sl ve cl grafiklerini Lemniscate elliptic functions sayfasında görebilirsiniz
Eliptik eğri ve Gauss sabiti
- ϖ ve ona karşılık gelen değiştirilmiş trigonometrik fonksiyonlar Gaussian elliptic curve ile bağlantılıdır
- Karmaşık düzlem kare bir ızgaraya bölündüğünde bu eliptik eğri elde edilebilir
- Karmaşık düzlemdeki herhangi bir ızgara bir eliptik eğri ve eliptik fonksiyonlar üretir
- Kare, diğer paralelkenarlara göre daha yüksek simetriye sahip olduğundan bu durum özellikle iyi bir örnektir
- Gauss, bu eliptik eğrinin aritmetik-geometrik ortalama ile bağlantılı olduğunu keşfetti
1ve√2'nin aritmetik-geometrik ortalamasıπ/ϖ'dir ve bu sayı Gauss sabiti olarak adlandırılır- İlgili açıklama Lemniscate constant sayfasında yer alıyor
- Daha genelleştirilmiş
ϖₙdizileri de vardırπ,ϖ₂'dirϖ,ϖ₄'türϖₙ, belirli simetrik hyperelliptic functions ile ilişkili görünüyor- İlgili yazı June 2022 diary entry bağlantısında bulunabilir
1 yorum
Hacker News yorumları
Bu tartışma sayesinde yeni favori harita projeksiyonumu buldum: Peirce quincuncial projection
[https://en.wikipedia.org/wiki/File:Peirce_Quincuncial_Projec...](https://en.wikipedia.org/wiki/File:Peirce_Quincuncial_Projection_1879.jpg)
Daha şenlikli bir örnek için 156. sayfadaki Berghaus star projection’a bakılabilir
[1]: https://pubs.usgs.gov/pp/1453/report.pdf (1989)
Onu engelleyecek şanslı dört yapraklı yonca tılsımını da kullanabilirsiniz. Kutupsal koordinat grafiği r=cos(2theta)
https://www.wolframalpha.com/input?i=+plot+r%3Dcos%282theta%...
Çevresi, 4*E(-3) ≈ 4 * 2.4221 sabitiyle de tanımlanabilir
[https://www.wolframalpha.com/input?i=plot+r%3Dcos%282theta%29+from+theta+%3D+-pi%2F4+to+pi%2F4\)" class="ud link">https://wolframalpha.com/input/…
“Bu ∞ biçimli eğriye 'leminscate', ϖ’ye de 'lemniscate constant' denir. Bir sonraki yazıda leminiscate’i göstereceğim” ifadesi kafa karıştırıcı geldiği için kontrol ettim; doğru yazım lemniscate olmalı
π, bir noktaya olan uzaklıkla tanımlanan çemberden gelir; ϖ ise iki noktaya olan uzaklıkla tanımlanan Bernoulli lemniscate’inden gelir
O hâlde üç noktaya olan uzaklıkla tanımlanan bir şekilden çıkan benzer bir sabit de var mı?
Şimdilik buna trilemniscate diyelim ;)
İşte 3D grafiği. +Z’den aşağı baktığınızda, XY düzlemiyle hacmin kesiştiği yerde trilemniscate’i görürsünüz. Düzlem kesişimini görselleştirmek için çarpımdan 1 çıkardım; karşılaştırmak için 3 noktalı sürümü kapatıp 2 noktalı sürümü açabilirsiniz
https://www.desmos.com/3d/dl9v2vqbqb
İlginç biçimde, 2 ve 3 noktada lemniscate ile trilemniscate’in iç alanları aynıdır. Noktalar bir çember üzerinde eşit aralıklarla yerleştirilmişse bu daha fazla nokta için de doğrudur. Elbette nokta sayısı arttıkça çevre sonsuza gider
İki noktanın her zaman birbirini bağlayan en kısa yolu vardır; dolayısıyla sabit bu olguyla ilgilidir. Ancak üç noktadan itibaren olası tüm üçgen biçimleriyle uğraşmak gerekir
“∞ biçimini ◯ biçiminden daha önemli gören bir uygarlık olduğuna inanacak kadar kültürel göreci değilim” kısmına gelince, böyle varlıklar bizim gibi “doğrusal” varlıklar değil, logaritmik varlıklar olabilir
Lemniscate geometrik ortalamaya dayanır; bu da aslında çarpımsal ortalama ya da logaritmik uzayda ortalamadır. Doğrusal uzaydaki toplamsal ortalamayla karşıtlık oluşturur
Biz sezgisel toplamaya güçlü, sezgisel çarpmaya zayıf doğrusal varlıklarsak, logaritmik uzayda yaşayan ve düşüncesi çarpmaya dayanan varlıklar da olabilir. Onlar için çember, lemniscate olurdu
https://www.scientificamerican.com/article/a-natural-log/
Profesörün işaret ettiği gibi, π ile onun kötü ikizinin oranı yaklaşık 1.198’dir; bu da sqrt(2) ile 1’in aritmetik-geometrik ortalamasıdır
Geometrik tarafta karekök vardır ve karekök pahalıdır. Bu yüzden aritmetik ortalama geometrik ortalamaya yakınsıyorsa, aritmetik-geometrik-harmonik ortalama eşitsizliğine göre harmonik ortalamaya da yakınsamalı ve harmonik ortalama pahalı kareköke ihtiyaç duymamalı diye düşündüm
https://imgur.com/a/UkxkPzW
Aritmetik ortalama-geometrik ortalama yakınsaması neredeyse anında gerçekleştiğinden 2 adım yeterli oluyor; buna karşılık harmonik ortalamayla Gauss sabiti için kullanılabilir bir yakınsama elde etmek yaklaşık 15 adım gerektiriyor, bu da epey ilginç. Karekök gibi pahalı operatörlerden kurtulabiliyorsunuz ama bedelini yineleme sayısıyla ödüyorsunuz
Aynı aritmetik-geometrik ortalama dizisi hesaplanıyor, sonra o dizi üzerinde belirli ağırlıklı bir harmonik ortalama alınıyor; orijinal dizi yakınsadığı için bu da yakınsıyor
Bu arada kastedilen aritmetik-harmonik ortalama, aslında doğrudan geometrik ortalamadır. Aritmetik-geometrik ortalama değil, saf geometrik ortalamadır: https://mathworld.wolfram.com/Arithmetic-HarmonicMean.html
Diğer dikkate değer sabitler ve ortaya çıktıkları yerler: Euler–Mascheroni sabiti harmonik seri ve gama fonksiyonunun işin içine girdiği integraller ve toplamlar; Catalan sabiti belirli trigonometrik seriler ve kafes Green fonksiyonları; Feigenbaum sabiti lojistik harita ve dinamik sistemlerde kaos; Khinchin sabiti basit sürekli kesirlerin kısmi bölümleri; Glaisher–Kinkelin sabiti Barnes G-fonksiyonunun asimptotik açılımı, kombinatoryal limitler ve belirli çarpım açılımları; Ramanujan sabiti eliptik eğrilerin kompleks çarpımı; Omega sabiti Ωe^Ω=1, Lambert W fonksiyonu ve x^x^x^...=2’de ortaya çıkar
Bunların ikiz olmadığı açık görünüyor. π ve ϖ için olsa olsa sonsuz sayıda kardeş ϖₙ arasından ikisi denebilir
Neden yalnızca 2 tane olsun? Neden 3 nokta olmasın? N noktaya olan uzaklıkların çarpımının sabit olduğu eğrilerde ilginç şekiller bulunabilir mi?
Daha yüksek boyutlarda da tek nokta olunca küre oluyor; peki iki nokta olunca nasıl bir şekil olur? Kum saati gibi çift damlaya mı daha yakın olur?
Ama üç noktadan itibaren benzer üçgenlerin sayısı kadar yerleşim vardır. Her üçgen benzerlik sınıfı için bir sayı elde edebilirsiniz, ancak tüm benzerlik sınıfları boyunca aynı sabitin çıkmasını beklememek gerekir
“Bu ∞ biçimli eğriye 'leminscate', ϖ’ye de 'lemniscate constant' denir. Bir sonraki yazıda leminiscate’i göstereceğim” cümlesindeki üç yazımdan ikisi yanlış gibi görünüyor
https://en.wiktionary.org/wiki/%CE%BB%CE%B7%CE%BC%CE%BD%CE%A...