Matematik çevrelerinde işe yarayan yöntemler üzerine düşünceler
(buttondown.email)- 7-8 yaş arası 7 çocukla yaklaşık 7 ay boyunca yürütülen matematik çevresinde, yetişkinlerin ilginç olacağını düşündüğü konular ile çocukların gerçekten odaklandığı konular arasında büyük bir fark olduğu görüldü
- SET, katla-kes bulmacaları, tessellation, flexagon, cetvel ve pergel çizimleri gibi görsel ve manipülatif etkinlikler beklenen etkiyi yaratmadı; yalancı bulmacaları gibi hikâyesi olan problemler ise güçlü tepki aldı
- Geometrik şekiller ya da sayı örüntüleri tek başına ilgiyi kolayca söndürdü; ancak “yalancı kim?” gibi şüphe ve ipuçları içeren durumlarda çocuklar olasılıkları ve çelişkileri tartarak ispat duygusu geliştirdi
- Seven Bridges problemi bir hikâyeyle başladı, ancak çocuklar kendi başlarına “en küçük imkânsız köprü problemini” bulmaya çalışırken problemi basitleştirmeyi ve karmaşıklığı geri eklemeyi deneyimledi
- Matematiğin kendi adına konuşmasına izin veren yaklaşım, zaten ilgisi olan gruplara uygun olabilir; ancak önceden matematiğe sevgisi olmayan çocuklar için daha sürükleyici bir hikâye çerçevesi gerekiyor
7 aylık matematik çevresinde ortaya çıkan ilgi farkı
- Hedef kitle, 7 yaşından 8 yaşına yaklaşan kız ve erkek 7 çocuktu; yaklaşık 7 ay süren matematik çevresinin ardından nelerin etkili olduğu değerlendirildi
- Yetişkin gözüyle çekici görünen matematik konuları ile çocukların gerçekten odaklandığı konular arasında büyük bir uçurum vardı
Beklenenin aksine pek işe yaramayan etkinlikler
- Aşağıdaki etkinliklerin çocukların hoşuna gideceği düşünülmüştü, ancak pratikte başarısızlığa yakın sonuç verdi
- The game SET
- Fold-and-cut puzzles
- Geometry snacks
- Cutting a Mobius strip
- Tessellations: Tooti Tooti
- Prime Climb
- flexagons yapımı
- Cetvel ve pergel çizimleri
- Geometriye tepki özellikle zayıftı; keyfî şekillerin alanı ya da gölgeli bölgelerle ilgili problemleri ilginç bir hikâyeyle sarmalamak zordu
- Tessellation çocuklara güzel görünmedi; katla-kes ve flexagon etkinliklerinde ise kâğıdı yeterince iyi kesip katlayacak el becerileri eksik olduğu için hayal kırıklığı arttı
Beklenmedik şekilde başarılı olan konular
- Çocukların sevmeyeceği düşünülen, ancak pratikte büyük ilgi gören etkinlikler de vardı
- Knights and Knaves puzzles ve blue-eyed islanders gibi önermeler mantığı konuları
- Round-robin formatında spor fikstürünü bizzat oluşturma ve tüm turnuvanın gecikme süresini azaltma problemi
- Başta futbol turnuvası olarak kurgulanmıştı, ancak futbolu en çok seven çocuk o hafta gelmediği için dans yarışmasına dönüştü ve daha eğlenceli oldu
- Seven Bridges problemi ve en küçük “imkânsız” köprü problemini bulma
- Penaltı atışlarında başarı-başarısızlık sayılarına bakarak kimin daha iyi olduğuna karar verme
- Pascal üçgeni türünde örüntüleri doğrudan oluşturma
- Çocukların beklendiği gibi sevdiği etkinlikler de vardı
- Function Machine oyunu: kara kutu gibi sorgulanabilen bir fonksiyonu tahmin etme oyunu
- Nim varyasyonları
- The Turing Tumble
- Gerçek kurabiyeler ve eşit dağılmamış süslemelerle adil pasta bölme
- Prisoner’s dilemma ve Chicken gibi oyun teorisi oyunları
- 1 bardaklık ve 5 bardaklık tariflerden yola çıkarak 3 kişilik mocktail hazırlama
- Bu bir kesir alıştırmasıydı ve ölçü birimleri onsun 1/4’lük dilimleriydi
Hikâye yapısının sağladığı katılım
- 2019’da yazılan Attention spans for math and stories, çocukların etkinliğe katılmasını ve grupta hoş karşılandıklarını hissetmesini sağlamak için hikâye anlatımından yararlanılan deneyimleri özetliyordu
- Matematik çevreleriyle ilgili literatür okundukça “matematik kendi adına konuşmalı” fikri benimsendi ve bazı oturumlarda hikâye anlatımı iyi işlemedi
- Bu yöntemde yürütücü “mükemmel bir şekil çizebilir miyiz?” gibi açık uçlu bir gizemle başlıyor, ardından katılımcılar kendi sorularını sorup keşfetmeye başlayana kadar sessizce bekliyordu
- Bu yaklaşım daha büyük yaştaki öğrenciler ya da zaten matematiğe bir ölçüde ilgi duyan öğrenciler için uygun olabilir
- Birlikte çalışılan grup ise futbol antrenmanından sonra matematik çevresine gelen tipik üst-orta sınıf çocuklardan oluşuyordu; sıkıldıklarında yaramazlık yapıyor ya da boğuşur gibi oynuyorlardı
- Çocuklar “Among Us” oynamamıştı ama sürekli bir şeylere “sus” diyordu
- Sayı örüntüleri de daha sürükleyici bir biçimle sarmalanmadığında pek ilgi çekmedi
Knights and Knaves’in ispat duygusu kazandırma biçimi
- “İki kişiden biri çürük bir yalancı ve sözlerindeki ipuçlarına bakarak kimin yalancı olduğunu bulmanız gerekiyor” kurgusu çok iyi işledi
- İlk Knights and Knaves bulmacası, Alice ve Bob’un sözlerini kâğıda yazıp plastik pipetlere yapıştırarak tabela gibi havaya kaldırma şeklinde yürütüldü
- Alice: Bob is a liar!
- Bob: Neither of us are liars
- Çocuklar kimin en “sus” olduğunu hemen söyledi; başta Bob’u suçlayan Alice’i şüpheli buldular
- Tartışma ilerledikçe Alice ve Bob’un sözlerinin birbirleriyle çeliştiğini, dolayısıyla ikisinin birden doğru söyleyemeyeceğini fark ettiler
- Çocuklar “çelişki” kelimesini bilmiyordu ve bunu sık sık “opposites” diye adlandırdı
- Olası durumları değerlendirirken önce 2 tane olduğunu düşündüler, sonra 4 tane olduğuna ulaştılar
- İkisi de yalancı
- Alice yalancı, Bob doğruyu söyleyen kişi
- Alice doğruyu söyleyen kişi, Bob yalancı
- İkisi de doğruyu söyleyen kişi
- Her durumu inceledikten sonra tek olasılığın Alice’in doğruyu söylediği ve Bob’un yalan söylediği olduğu sonucunda uzlaştılar
- Sonraki bulmacaya geçilmek istendiğinde çocuklar ilk problemi doğru çözüp çözmediklerini sordu; “Sizce doğru mu buldunuz?” sorusundan sonra yeterince emin olmadıkları anlaşıldı
- Daha sonra herkes ispat yoluyla emin olana kadar düşünmeye devam etmeye karar verildi; bir çocuk daha sonra “Hayır, o durumu zaten ispatlamıştık!” dedi
Seven Bridges ve flexagon’da görülen sonraki değişimler
- Seven Bridges of Königsberg problemi bir hikâyeyle başladı, ancak çocuklar hızla hikâyeyi bırakıp meydan okumanın kendisine odaklandı
- Sonraki oturumlarda çocuklar bu problemi tekrar denemek istedi ve “en küçük imkânsız köprü problemini” bulmak istediler
- Asıl problemi çözememiş olsalar da problemi basitleştirip küçültme, ardından çözülebilen noktadan tekrar karmaşıklık ekleme biçimi açıkça ortaya çıktı
- Flexagon yapma etkinliğini sevmediler; ancak oturum sonunda hediye olarak her yüzünde parlak ve ayırt edilebilir görseller bulunan şablon tabanlı bir hexaflexagon hazırlandı
- Kullanılan şablon printed template idi
- Birkaç hafta sonra bir çocuğun babası, çocuğun o hexaflexagon’a çok kapıldığını ve altıncı yüzü ancak yakın zamanda keşfettiğini aktardı
- Flexagon’un hareketleri de Seven Bridges haritası gibi bir harita olarak çizilirse, tüm konfigürasyon uzayı daha net görülebilir
Yeni bir grup başlatılsa gereken yaklaşım
- Bu grup da zaman içinde matematiği matematiğin kendisi için takdir etmeye yavaş yavaş alışıyor
- Matematiğe karşı önceden sevgisi olmayan yeni bir çocuk grubuyla yeniden başlanacaksa, problemleri sürükleyici hikâyelerle sarmalamak için daha bilinçli bir tasarım gerekir
1 yorum
Hacker News yorumları
Bu çocuklar, bu kadar küçük yaşta hevesli bir öğretmen sayesinde bu kavramlar ve problemlerle tanıştıkları için gerçekten inanılmaz şanslı sayılırlar.
K-12 matematik öğretmenleri arasında bile böyle bir müfredatı iyi öğretebilecek çok kişi yoktur; yazarın bloguna bakınca bunu yüksek ücret karşılığı değil, ücretsiz yapmış gibi görünüyor, hatta diğer ebeveynleri çocuklarını katılmaya ikna etmeye çalışmış: https://buttondown.email/j2kun/archive/a-foray-into-math-cir...
Matematik eğitiminde, matematik dışındaki insanlar tarafından pek bilinmeyen büyük bir ayrıcalık uçurumu var. Yalnızca standart ya da hızlandırılmış müfredatı izleyen öğrenciler, küçük yaştan itibaren bu tür standart dışı kavramlarla özel ders, üstün yetenekliler okulu ya da matematikçi ebeveynler aracılığıyla tanışan öğrencilere kıyasla matematik kariyerine daha az hazırlıklı oluyor.
Standart müfredat, üniversitenin yaklaşık ikinci yılına kadar neredeyse ezbere dayalı hesaplamalara odaklanır; sonra birden açık uçlu problemlere ve ispatlara geçer. Oysa profesyonel matematikçilerin yaşadığı dünya, mantığı yaratıcı biçimde uygulama becerisi gerektirir. Bu tür bir maruziyeti erken yaştan alan öğrenciler için bu geçiş çok daha kolay olur; makale ve yarışma başarısı gibi matematik kariyeri varlıklarını da erkenden biriktirirler.
Diğer ebeveynler bunun farkında olmayabilir, ancak OP bazı bölgelerde bulunması zor olan ve kimi ebeveynlerin ciddi para ödemeye razı olacağı çok değerli bir hizmet sunuyor.
Matematikte kötü değildim ama özellikle erken olgunlaşmış da sayılmazdım; ortaokulumu temsilen birkaç kez yerel matematik yarışmasına katıldım ama kayda değer bir sonuç alamadım. Geriye dönüp bakınca, hazırlanmama yardım eden kimsenin hiç olmaması biraz tuhaf geliyor.
Son 1-2 yılda bunu daha çok düşünmeye başlayınca bağışlarımın önemli bir kısmını matematik çemberi türü programlara kaydırdım. Uzun vadecilik öncesi etkili özgecilik tarzı davalara göre doğrulanabilirliği daha düşük, ama bu tür matematiksel düşünmenin çok değerli olduğunu ve böyle programlar olmadan kolay elde edilemediğini düşünüyorum.
Fransa’da ikinci sınıf öğrencisine 2×3’ün kaç olduğu sorulduğunda, çarpmanın değişme özelliğini bilip “3×2” diye cevap verdiğine dair bir hikâye aklıma geliyor.
Çevrimiçi bir matematik çemberine ebeveyn ya da potansiyel eğitmen olarak katılmak istiyorsanız https://theglobalmathcircle.org adresine bakabilirsiniz.
Bu yazının yazarı Jeremy de buradaki eğitim programından mezun olmuş.
Fonksiyon makinesi oyununu çocuğum 6 yaşındayken HN’de görüp denemiştik ve çok sevmişti.
Çocuğum daha ileri matematik işlemleri öğrendikçe bunları araç kutusuna ekledim; rolleri değiştirip çocuk benim sorgularıma doğru cevap verebildiğinde, o kavramı kavradığını anlayabiliyordum.
Bu tür etkinliklere ilginiz oluştuysa, çok fazla olmasa da benzer ücretli seçenekler de var.
San Francisco’da 7-11 yaş için okul sonrası matematik ekibi: https://www.meetup.com/chess-games-inner-fire/events/2956372...
SFUSD’deki bazı okullarda okul sonrası matematik çemberleri: https://www.sfmathcircle.org/jose-ortega https://www.sfmathcircle.org/starr-king
İlk ve ortaokul öğrencileri için haftalık çevrimiçi yarışma matematiği oturumları düzenleyen uzaktan 501(c)(3) kâr amacı gütmeyen kuruluş: https://mrmathonline.com/
Ders ile çember arasında bir şey arıyorsanız Engaging Math Circles(https://emc.school) ya da Russian School of Math(RSM) de bakmaya değer.
Matematik çemberleri hakkında daha fazla bilgi edinmek isterseniz şu kaynak var: https://www.msri.org/people/staff/levy/files/MCL/Zvonkin.pdf
Yan not olarak, çocuklar için Mammoth Math’i önerebilirim.
https://www.penguinrandomhouse.com/books/704500/mammoth-math...
Yaş grubu farklı olsa da, lise öğrencilerinin ilgisini çekmek için Bitcoin madenciliğini konu olarak kullanmıştım.
Kriptografi seminerinde blockchain dersinin ardından yaklaşık 15 dakikalık bir etkinlikti.
Aslında Bitcoin’in iş kanıtı algoritması, hash’in ara girdisini değiştirip sonucun birkaç ikili 0 ile başlamasını sağlamak, yani
sha256(sha256(a || x || b)) < Holacakx’i bulmaktır. Bunux^2 % N < 10^Hbiçiminde basitleştirdim; hesap makinesi ve bilgisayar kullanımına izin verdim,NveHdeğerlerini de serbestçe değiştirebiliyorlardı.Öğrenciler çok eğlendi; bence bunun nedeni eski bulmacalara göre güncel olması, birbirleriyle yarışmaları, ödülün yarı rastgele olması sayesinde hızlı ya da zeki ekiplere avantaj sağlaması, ödülün çikolata para olan “fiziksel Bitcoin” olması ve kaba kuvvetle de neredeyse kazanılabilse de bulunabilecek pek çok kestirme yolun bulunmasıydı.
Cetvel ve pergel çizimlerinin çocukların ilgisini çekmemiş olması üzücü
Şu sıralar Euclid'in Elements'inin İbranice çevirisini dijitalleştirdiğim için, neredeyse bir sanat dersi gibi olan fiziksel yönünün teorik içerikten daha ilgi çekici olacağını ve sayılardan bağımsız olmasının da bunu sıradan matematik derslerinden daha az ürkütücü hissettireceğini ummuştum
Euclid'in Elements'inin tarihsel öneminin yanı sıra eğitsel değeri de olduğunu düşünüyorum, ama çoğu çocuk için eğitim bağlamında daha eğlenceli olacağı yönündeki düşüncem yanlış olabilir
Belirli bir spora ilgi duyan çocuklar varsa, atılan/kaçırılan goller üzerinden penaltıları kimin daha iyi kullandığını tartışmak lineer cebir öğretmek için iyi bir yöntemdir. 'Who's #1? - The Science of Rating and Ranking' çeşitli değerlendirme ve sıralama yöntemlerini ayrıntılı ele alır ve veri bilimi yüksek lisans programımın zorunlu okumalarından biriydi
Yalnız çalışmak için en iyisi olup olmadığını bilmiyorum. Genellikle asıl mesele, model olmadan çizimleri bizzat yaparak materyalle aktif biçimde etkileşime girmektir; ama çocuklarda işe yarayan kurallar farklı olabilir
Çocukların önermeler mantığına ilgi göstermesi ise sevindirici. Çünkü tutarlı düşünmenin temeli olabilir. Ben de yazar gibi, elle yapılan etkinlikleri daha çok seveceklerini tahmin ederdim
En başta cetvel ve pergel çizimlerinin asıl motivasyonu neydi? Tamlık, simetri, inşa edilebilirlik gibi fikirlerin hepsi oldukça soyut
https://www.euclidea.xyz/ eğlenceliydi, ama ben Girih desenleri çizmeyi de eğlenceli buluyorum ve 8 yaşında da değilim
Çocuklara Euclid'i eğlenceli göstermek için Euclidea adlı oyunun iyi olduğunu hatırlıyorum: https://www.euclidea.xyz/
Aksiyomatik yönünden ziyade, “İki noktadan geçen kaç doğru çizebilirsin? Canın nasıl isterse!” gibi matematiksel varsayımları sarsan sorular ve ilginç şemalar yüzündendi. Fano projektif düzlem modeli ve Poincaré disk modeli de ilginçti; animasyonlar ve etkileşimli yazılımlar da vardı
Yine de yaklaşık bir hafta sonra sıkıldım. Farklı geometrilere ve çizimlere ayrılmış iki saatlik tek bir oturum uygun görünüyor
Euclid'in Elements'i tarzı aksiyomatik geometri ilginçtir ve lise müfredatına uygun olabilir. Öğrenciler cebir öğrenmeden önce küçük bir başlangıç noktasından denklemler ya da ispatlar türetme hissini tam olarak edinmekte zorlanır; koordinat geometrisi çok daha pratiktir. Cetvel ve pergelle zaten inşa edilemeyen şeyler de vardır
Seviye ilerleyişi, puan sistemi ve ispatları çözerek yeni “araçlar” açma biçimi çok iyi yapılmıştı
https://play.google.com/store/apps/details?id=com.hil_hk.euc...
Benzer yaştaki çocuklara öğretilecek bir etkinlik olarak, parmaklarla 1000'e kadar saymayı eklemek isterim
Programcılar için doğal bir şey ama matematik eğitimine yardımcı olan temel unsurlar içeriyor
“Parmaklarınla 1000'e kadar saymayı biliyor musun?” sorusu çocuklara sihir ya da süper güç gibi göründüğü için hoşlarına gidiyor. Başta yaklaşık 20'ye kadar saymayı gösteriyorum; 4 ve 6'yı hızlı geçiyorum. Sonra görünmeyen belirli bir parmak düzenini tahmin etmelerini istiyorum; başarısız olurlarsa tekrar gösteriyorum
Deseni öğrendiklerinde, tüm parmakların açık olduğu durumun hangi sayı olduğunu soran bir bilmece veriyorum. Genelde takılıyorlar; “Bir parmağın daha olsa ve yalnızca o parmak açık, diğerlerinin hepsi kapalı olsa bu kaç olurdu? Buradan başka sayıyı çıkarabilir misin?” diye ipucu verince, zaman alsa da neredeyse her zaman çözüyorlar
Güzelliği giriş eşiğinin düşük olması. Çocuğun 2 ile çarpmayı bilmesi ve 1024'e kadar sayı adlarını bilmesi yeterli. Aynı zamanda birden fazla gösterimi, amaca uygun biçimselleştirmeyi ve sıradan insanların beklentilerinin dışına çıkarak “süper güç” kazanma hissini öğretebilir
Yukarıdaki bulmaca, bir deseni bulunca problemleri daha iyi çözebileceğinizi de gösterir. Her parmağın değerini toplamak gibi kaba kuvvet yöntemi yerine, ipucu konumunun istenen konumdan yalnızca bir farkla ayrıldığı referans noktasından yararlanılabilir. Referans noktası matematikte çok önemli bir kavramdır ve birçok ünlü problem çözümünün kökünde yer alır
Daha derine inildiğinde ispat ve algoritma tasarımı da konuşulabilir. Algoritma, tümevarım ispatına benzer şekilde açıklanabilir. Başlangıç aşamasında avuç içi kullanıcıya dönüktür ve tüm parmaklar kapalıdır; sağdan başlanır ve en sağdaki parmak artırılır. n'inci adımda sağ uçtan başlayarak parmak kapalıysa açılır; açıksa kapatılır ve bir sonraki sağ parmak aynı koşulla özyinelemeli olarak artırılır
Hangi “oyun” olursa olsun, çocuğun en sevdiği şeyi merkeze almak iyi oldu. Bir oyunda zorlanıyorsa, zor oyunu öğretmek için çocuğun iyi olduğu başka bir oyunu kullanıyorum. Sonuçta matematik bir dildir ve birçok şey yeniden ifade edilebilir
Bence zorluklardan biri, pek çok kişinin matematiği aşırı katı bir şey olarak içselleştirmesi. “Doğru yöntem bu” diye öğretip başka yöntemleri kabul etmezseniz, kavramları genelleme becerisi azalır. Sözel problemler bunu çözmeye çalışıyor, ama insandan çok makineye öğretmeye benzeyen kaba kuvvet bir yaklaşım gibi hissettiriyor
Buna bir de küçük yaşlarda matematiğe tutkusu olmayan kişilerden öğrenme durumu ekleniyor. O ilgisizlik öğretmenden öğrenciye geçiyor. Matematiği seven ve yaratıcı yönünü teşvik eden bir öğretmene şans eseri rastlamanın ne kadar ferahlatıcı olduğunu birçok kişi hatırlayacaktır. Ben de lise ikinci sınıfta böyle bir dersle karşılaşana kadar, matematikte iyi olmama ve üst sınıfta bulunmama rağmen matematikten nefret ediyordum
Geçen yıl kızımla birlikte onun 1. sınıfına SET öğrettim. Eğitim tasarımının çoğunu ben yaptım ama çocuklar öğrenebildi ve ilgi de gösterdi.
Matematik çemberi ortamı değil, tüm sınıfa yapılan bir dersti; aradaki farkın ne olduğuna bakmak ilginç olabilir.
Bu oyunla yapılabilecek çok matematik var. Basit modüler aritmetikten başlayıp özellikleri 0, 1, 2 olarak soyutlama kavramı ele alınabilir. Biraz daha ileri gidip grup teorisinden ve oyunun
Z3^4e, yani dört adetZ3e karşılık geldiğinden de söz edilebilir.Grup teorisine ilgi gösterirlerse, başka grupları temsil eden benzer kart oyunları basıp kullanılabilir; grubun aksiyomları, oyunun bir grubu nasıl temsil ettiği ve bunun neden anlamlı olduğu ele alınabilir.
Programlamaya da hafifçe giriş yapılabilir. Küme tanımının, tüm
iler içinsum c_i = 0olan değişmez özelliğini kullanarak bu oyunu bilgisayara nasıl öğreteceğiniz açıklanabilir. Kart arka plan rengi gibi özellikler ekleyip çıkararak oyunun uzunluğu da kolayca genelleştirilebilir.Her hâlükârda bu oyun harika.
Birkaç oyundan sonra bizim kadar hızlı set bulmaya başladı, ancak dikkati dağınık ya da yorgun olmasına bağlı olarak becerisi ve ilgisi değişiyordu.
Tek kişilik bir Set oyunu istiyorsanız iyi bir açık kaynak sürüm var: https://playset.netlify.app/
Buradaki ‘AI’, çözümü rastgele buluyor. Kolay modda her 2 saniyede bir görünen kartlardan rastgele iki tanesini seçip seti tamamlamak için gereken kartın ekranda olup olmadığını kontrol ediyor.
Çocuk Set ile ilk kez tanışıyorsa gecikme süresini yaklaşık 5 saniyeye ayarlamak iyi olabilir. Elbette Set insanlarla karşılıklı oynandığında daha eğlenceli.