Çizgilerle Açıklanan Lineer Cebire Giriş
(ducktyped.org)- Bu yazı, lineer cebirin temel kavramlarını illüstrasyonlarla birlikte tanıtıyor.
- Başlangıçta Gaussian elimination ve satır resmi vs sütun resmi kavramlarına odaklanarak açıklıyor.
- Gerçekçi örnekler (madeni para, yiyecek) kullanarak lineer denklemleri ve çözüm bulma sürecini kolay anlaşılır biçimde anlatıyor.
- Vektör ve matris gösterimi gibi, sayı dizilerinin ötesine geçen matematiksel düşünme biçimine geçişi vurguluyor.
- Sayılar yerine diziler, vektörler, matrisler ile uğraşmanın lineer cebirin özü olduğunu öne çıkarıyor.
Giriş
Bu yazı, klasik cebiri bilen ama lineer cebiri bilmeyenler için bir giriş materyalidir.
İlk ele alınan iki önemli kavram Gaussian elimination ve satır resmi (row picture) vs sütun resmi (column picture) kavramlarıdır.
Para örneği
- Çok sayıda nickel ve penny varken 23 sent elde etmek için her birinden kaç tane gerektiğini hesaplama problemi anlatılıyor.
- x nickel sayısı, y ise penny sayısıdır. Bunu denklem olarak yazınca, x ve y değerlerinin birleşip 23'ü oluşturduğu bir lineer denklem elde edilir.
- Bu örnekte birden fazla çözüm mümkündür (ör. 4 nickel ve 3 penny ya da 23 penny).
- Lineer denklemin; eğriler ya da boşluklar olmadan, her şeyin bir düzlem üzerinde olduğu bir ifade olduğu vurgulanıyor.
- 2 değişkenle tek bir sayıya uymak kolaydır; ama 2 değişkenle iki sayıya aynı anda uymak gerektiğinde iş karmaşıklaşır ve böyle durumlarda Gaussian elimination işe yarar.
Yiyecek örneği
- Ekmek (bread) ve süt (milk) gibi iki yiyecek vardır; her yiyeceğin karbonhidrat (carbs) ve protein (protein) bilgisine dayanarak belirli bir hedefe (ör. 5g karbonhidrat, 7g protein) ulaşan kombinasyonu bulma problemi ele alınıyor.
- Bu durumda iki denklem kurup x (süt miktarı) ve y (ekmek miktarı) değerlerini bulmak gerekir.
- Bu tür problemlerde Gaussian elimination kullanılır.
Gaussian elimination
- İki lineer denklem yeniden yazıldıktan sonra, bir denklemin belli bir katını diğerine çıkarıp ya da ekleyerek değişkenleri tek tek yok edip değerleri daraltma süreci anlatılıyor.
- Örnekte önce y yok edilip x değeri bulunuyor, ardından bu değer yerine konarak y bulunuyor.
- Sonuçta doğru cevap 3 süt, 1 ekmek oluyor.
- Gaussian eliminationın uzun bir geçmişe sahip genel bir teknik olduğu belirtiliyor.
Resimle anlama yöntemi
- Yukarıda problem satır resmi (row picture) yöntemiyle çözüldüyse, şimdi problem çizim/grafik üzerinden görsel olarak çözülüyor.
- Her denklem x (süt) cinsinden dönüştürülerek grafikte bir doğru çiziliyor.
- İlk denklemin grafiği, hedef karbonhidrat miktarını sağlayan tüm süt-ekmek kombinasyonlarını (doğru üzerindeki noktaları) gösteriyor.
- İkinci denklem de aynı şekilde çiziliyor.
- İki hedefe aynı anda ulaşmak için iki doğrunun kesiştiği tek noktanın cevap olduğu vurgulanıyor.
- Bu yöntem de sonuçta 3 süt, 1 ekmek sonucunu veriyor.
- Gaussian eliminationın, lineer cebir olmadan da 2000 yılı aşkın süredir kullanılan son derece temel ve vazgeçilmez bir teknik olduğu açıklanıyor.
Sütun resmi (Column Picture)
- Az önce her denkleme ayrı ayrı bakan satır resmi (row picture) yaklaşımına odaklanılmıştı; şimdi ise sütun resmi (column picture) yaklaşımı tanıtılıyor.
- İki denklem tek bir denklemde birleştiriliyor ve katsayılar dizi (vektör) olarak ifade ediliyor.
- Vektör, sıralı numaralara sahip bir dizi gibi düşünülebilir (bilgisayar bilimindeki vektöre benzer).
- Vektörü grafiğe dökme: Bir vektör hem nokta olarak hem de ok olarak gösterilebilir.
- Vektörler arası toplamayı görsel olarak izleyince, çözüme giden yol (ör. süt vektörünü üç kez, ekmek vektörünü bir kez eklemek) sezgisel biçimde görülebilir.
- Vektörlerin çarpımı ve toplamının da her bir bileşen üzerinde yapılan işlemler olduğu anlatılıyor.
- Vektörlerle kurulan sütun resmi yaklaşımı, birçok açıdan önceki yöntemden daha sezgisel olabilir.
Lineer cebiri anlamak
- Sayı düzeyindeki cebirden dizi ve vektör merkezli cebire geçişin, lineer cebirin ana fikri olduğu hatırlatılıyor.
- Hem sütun resmi hem satır resmi, lineer cebirin temel görselleştirme yöntemleridir.
- Son olarak matris (matrix) gösterimi kısaca tanıtılıyor ve tüm sistemin matris x vektör biçiminde yazılabileceği gösteriliyor.
Sonraki içeriklere kısa bakış
- Gelecek bölümlerde matris, dot product gibi lineer cebirin önemli kavramlarının ayrıca ele alınacağı belirtiliyor.
- Merak edenlere abone olma öneriliyor.
Ek okumalar ve kapanış
- Daha fazla materyal ve sanat eseri görülebilecek bir Instagram bağlantısı veriliyor.
1 yorum
Hacker News görüşü
İçeriğin açık ve faydalı olduğuna katılıyorum, ama örnek olarak verilen 1 ve 2 sayıları aynı anda ekmek ve sütü temsil edince, matris biçiminde bakarken hangi 1’in ekmek, hangisinin süt olduğunu sezgisel olarak ayırt etmek zor oluyor; eğer 1,2,3,4 gibi birbirinden farklı sayılar kullanılsaydı çok daha net olurdu diye düşünüyorum
Blog yazısının ikinci yarısını gerçekten çok beğendim, ama başlangıcı Gauss elemesiyle yapmak, doğru kelimeyi bulamıyorum ama biraz "gizemli" bir yaklaşım gibi duruyor; önce problem gelmeli ("denklem sistemi nasıl çözülür?" "iki doğrunun kesişim noktası nasıl bulunur?") sonra bunu görsel olarak göstermeli, ardından yöntem ya da algoritma tanıtılmalı gibi geliyor; tersini yapmak, kalkülüste zincir kuralını geometrik anlamını vermeden önce öğretmek gibi hissettiriyor
Yazarıyım – evet, sanırım haklısın; Gauss elemesi kısmını çoğu okurun zaten görmüş olduğunu varsayarak bir tekrar niyetiyle yazdım ve asıl içeriğe hızlı geçmek istedim; bu bölümde zorlanan başka kişiler de varsa geri bildirim duymak isterim, muhtemelen daha yavaş ve daha ayrıntılı anlatmam gerekiyor olabilir
"Bir şeyi eleyebiliyor olmamız tam olarak ne anlama geliyor?" gibi kısım hâlâ benim için net değil; ama (yazar olarak) sütun bakış açısını tanıtma biçimin başlı başına çok çekici ve benim gibi bir acemi için gerçekten yararlı<br>Ek olarak, lineer cebir için sayısız ders kitabı var ama içerikleri ve sıralamaları birbirinden çok farklı; bu yüzden lineer cebirin hem öğretmesinin hem de anlamasının zor olduğunu düşünüyorum, dolayısıyla daha fazla farklı bakış açısına ihtiyaç var; çünkü herkese uyan tek bir yaklaşım yok
Bu yazıyı gerçekten çok beğendim, ekmek ve sütü ifade eden değişken adlarında sadece x, y kullanmak yerine başka harfler kullanılsaydı daha az kafa karıştırıcı olurdu gibi geliyor, çünkü daha sonra x, y grafikte karbonhidrat, protein gibi başka kavramların x, y’sine dönüşüyor
Aditya Bhargava’nın işlerini yine görmek güzel, eskiden Grokking Algorithms zamanından beri zaten hayranıyım
İçerik gayet iyi, üniversitede bir dönem ders almadan önce lineer cebir benim için tamamen bir gizemdi, gerçekten iyi toparlanmış<br>Vektör kavramına aşina olmayan biri için, iki vektörün (büyüklük ve yön) nasıl olup da 1 ekmek, 1 sütü temsil ettiğini ve vektörlerin nasıl taşınıp toplanabildiğini kısaca açıklasa daha da iyi olurdu
Keşke dünyada böyle içerikler daha fazla olsa, matematik eğitimi içeriğini iyi yapmak gerçekten çok zor, çok iyi bir iş olmuş
Görsel açıklama yöntemiyle motivasyon kurma biçimini çok beğendim, şu anda lineer cebiri "The No Bullshit Guide to Linear Algebra" gibi birkaç kaynakla çalışıyorum ve oldukça iyi buluyorum; eğer bu kadar pratik, doğrudan uygulanabilir düzeyde başka lineer cebir kitabı önerileri varsa paylaşılırsa sevinirim, çünkü çoğu kitap fazla teori ağırlıklı ya da giriş bariyeri yüksek geliyor
Ben de şu sıralar LinAlg ders kitaplarını inceliyorum, ML/AI tarafına ilgim olduğu için o bakış açısından yaklaşıyorum<br>KA academy’de lineer cebire kadar geldim ve başka kaynaklar ile kitapları da birlikte kullanıyorum<br>İnsanlar muhtemelen 3B1B, Strang’i (MIT OCW’deki LinAlg dersi) önerecektir; 3B1B sezgisel olduğu için giriş için harika ama ilk ciddi çalışmada biraz hızlı hissettiriyor, Strang ise gerçekten mükemmel ama bazen derste konudan sapınca takip etmesi zorlaşıyor; yine de yardımcı kaynak olarak mutlaka kullanıyorum<br>LADR4e(Linear Algebra Done Right) de iyi ama ispat kısımları zor olduğu için henüz tamamını takip edemedim<br>'Linear Algebra done wrong' ve Hefferon’un kitapları da var, ama onlar da oldukça hızlı biçimde ispat ağırlıklı hale geliyor; ikinci ya da üçüncü tur çalışmada harika olabilirler<br>Ek olarak, ayrı bir "soyut lineer cebir" dersi de var ve geleneksel lineer cebir kitaplarına göre karmaşıklık farkı çok büyük değil<br>Benim epey ilerleyebildiğim kaynak ROB101 ders kitabı (https://github.com/michiganrobotics/rob101/blob/main/Fall%202021/Textbook/ROB_101_December_2021_Grizzle.pdf) oldu; lineer bağımsızlığa kadar ana başvuru kaynağım oydu ve MIT Strang dersleriyle birlikte kullandım<br>ROB101 kodlama tarafını da iyi işliyor, bu yüzden ML/AI’de kodlamayla bağlantılı düşünmek için uygun<br>Ayrıca alıştırma soruları için birkaç Doğu Avrupa matematik kitabım da var<br>Son zamanlarda https://www.math.ucdavis.edu/~linear/ dersini/kitabını tekrar ediyorum ve https://math.berkeley.edu/~arash/54/notes/ notları da çok yardımcı oldu
Benim gerçekten ilgiyle okuduğum kitap "Introduction to Applied Linear Algebra – Vectors, Matrices, and Least Squares" oldu https://web.stanford.edu/~boyd/vmls/
"Pratik ve doğrudan uygulanabilir düzeyde bir anlayış hedefliyorum" demişsin; ama bunu tam olarak nerede uygulamayı düşündüğünü merak ediyorum, bana göre teori (örneğin lineer cebir) yalnızca pratik motivasyonla öğrenilince biraz tuhaf kalıyor; aslında doğrudan uygulama kitabı okurken teoriyi eşzamanlı götürmek daha mantıklı olabilir ve teori gerçekten zorunlu hale geldiğinde, içerik ne kadar zor olursa olsun sonuçta öğrenmekten başka çare kalmıyor<br>Örneğin lineer cebir, kuantum mekaniği çalışırken çok önemli; bu amaçla öğreniyorsan önce kuantum mekaniği kitabına bakmak bile daha iyi olabilir
"Pratik, doğrudan uygulanabilir düzey hedefim" derken ben de aynısını kastediyorum, ML’de bunu gerçekten kullanmak için mükemmel bir alan olduğunu düşünüyorum, ben de bunu ele alan bir seri hazırlıyorum
3blue1brown’ın lineer cebir serisinin de mutlaka anılması gerektiğini düşünüyorum, bu yazıdan biraz daha ileri düzeyde ama anlatımı gerçekten müthiş ve hâlâ erişilebilir<br>https://youtube.com/playlist?list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab
3B1B videoları gerçekten inanılmaz, ama lineer cebir videoları bana biraz hızlı geliyor; bu da bu seriyi yazmaya başlamamın nedenlerinden biri
3B1B’nin kullandığı grafik framework’ünün açık kaynak olarak yayımlanmış olması da harika https://github.com/ManimCommunity/manim
Bu tür yazıları ne zaman okusam başta "Vay! Sonunda matematiği benim anlayabileceğim şekilde anlatan biri çıktı!" diye düşünüyorum ama Gauss elemesi kısmından itibaren yine konuyu kaçırmaya başlıyorum
Josh Starmer adı bende otomatik olarak "Bam!" ifadesini çağrıştırıyor, çizerek makine öğrenmesini anlattığı kitabı hatırlayan var mı bilmiyorum, YouTube kanalını da eskiden sık izlerdim; bu tür anlatım içerikleri öğrenmeyi gerçekten daha eğlenceli hale getiriyor gibi geliyor