Ayrık Matematik – Açık Bir Giriş 4. baskı

 (discrete.openmathbooks.org)
4 puan yazan GN⁺ 2024-08-17 | 1 yorum | WhatsApp'ta paylaş
  • Üniversitelerde giriş düzeyi ayrık matematik derslerinde doğrudan kullanılabilecek Discrete Mathematics: An Open Introduction 4. baskı yayımlandı; ücretsiz çevrimiçi ders kitabı ve PDF olarak sunuluyor
  • Yeni baskı, mantık ve ispat ile başlayıp grafik teorisi üzerinden ispat pratiği yaptıktan sonra sayma ve dizilere uzanan akışı güçlendiriyor
  • 2013 baharından bu yana dünya genelinde 200'den fazla üniversitede ana ders kitabı veya yardımcı kaynak olarak kullanıldı; AIM Open Textbook Initiative önerisi aldı ve Open Textbook Library'de incelendi
  • Çevrimiçi ebook, PDF, basılı sürüm, GitHub kaynakları ve Runestone Academy·Edfinity·WeBWorK ödev setleri de sunulduğundan derste kullanıma geçiş eşiği düşük
  • Çevrimiçi sürüm ücretsiz kalmaya devam edecek; 4. baskı CC BY-NC-SA 4.0 lisansı ile ticari olmayan kullanım, baskı ve düzenlemeye izin veriyor

4. baskının yayımlanması ve kitabın niteliği

  • Discrete Mathematics: An Open Introduction 4. baskı çevrimiçi ve Runestone Academy üzerinden erişilebilir
    1. baskı da sunulmaya devam ediyor
  • Bu kitap, matematik ve bilgisayar bilimi bölümlerinin 1. ve 2. sınıf öğrencilerine yönelik ayrık matematik dersi için hazırlanmış ücretsiz açık kaynaklı bir ders kitabı
  • Keşif temelli öğrenmeyi içeren dersler için özellikle uygun
  • 2013 baharından bu yana dünya genelinde 200'den fazla üniversitede ana ders kitabı veya yardımcı materyal olarak kullanıldı
  • American Institute of Mathematics'in Open Textbook Initiative önerisini aldı; ayrıca Open Textbook Library üzerinde de incelemeler bulunuyor

4. baskıda değişen yapı

  • Yeni baskıda içerik sırası büyük ölçüde yeniden düzenlendi
    • Başlangıçta mantık ve ispat ele alınıyor
    • Ardından grafik teorisi ile ispat pratiği yapılıyor
    • İlerleyen bölümlerde sayma ve diziler yer alıyor
    • Sayma bölümüne yeni bir olasılık uygulamaları kısmı eklendi
  • Son birkaç yılda öğrencilerin bu dizilimde daha iyi sonuç vermesi bu düzenlemeye yansıtıldı
  • Ayrık yapılar vurgusu da güçlendirildi
    • Kümeler, fonksiyonlar ve ilişkiler buna dahil
    • Böylece bilgisayar bilimi öğrencileri için daha faydalı olurken, matematik bölümü öğrencileri ve gelecekteki matematik öğretmenleri için gereken matematiksel kavrayış da korunuyor

Etkileşim ve ödev desteği

    1. baskıda daha fazla etkileşimli unsur bulunuyor
    • Runestone Academy üzerinde kitap tabanlı bir ders oluşturulursa, öğrencilere puan verilebilen etkileşimli alıştırmalar kullanılabiliyor
    • Bazı konuları keşfetmeye yönelik Sage ve Python etkileşimli kodları da içeriyor
  • Çevrimiçi ödev setleri birden fazla yoldan sağlanıyor
    • Runestone Academy ücretsiz
    • Edfinity düşük maliyetli bir seçenek
    • WeBWorK setleri yazardan talep edilebiliyor ve OPL'nin Contrib klasöründe de yer alıyor
  • Hata veya yazım yanlışları GitHub issue üzerinden bildirilebilir

Sunum biçimleri ve erişilebilirlik

  • Kitabın tamamı ücretsiz etkileşimli çevrimiçi ebook olarak sunuluyor
    • Akıllı telefonlar dahil tüm ekran boyutlarında iyi çalışacak şekilde tasarlandı
    • Görme engelli öğrenciler için ekran okuyucu kullanımı da dikkate alındı
    • Örnekler ve alıştırmalardaki ipuçları ile çözümler gizli; bağlantıya tıklanarak görülebiliyor
    • Bazı alıştırmalarda cevap girilip kontrol edilebiliyor; böylece doğru cevabı hemen görmeden birden çok kez denemek mümkün
  • Çevrimdışı kullanım için ücretsiz PDF de sağlanıyor
    • Tablet veya bilgisayarda okumaya uygun
    • Arama ve yerleşik bağlantılarla gezinme mümkün
    • İpuçları ve çözümlere alıştırma numarasına tıklayarak erişilebiliyor; ipucu ya da çözüm numarasına tıklanınca ilgili alıştırmaya geri dönülüyor
  • Basılı sürüm CRC Press tarafından yayımlanıyor
  • Çevrimiçi sürüm ücretsiz sunulmaya devam edecek

Kaynaklar, ders materyalleri ve topluluk

  • Kitabın PreTeXt ve LaTeX kaynak dosyaları GitHub üzerinde bulunuyor
  • Kitabı kullanan video materyaller de mevcut
  • Kitabı dersinde kullanan öğretim üyeleri eğitmen materyallerini talep edebiliyor
  • WeBWorK sunucusu erişimi olanlar WeBWorK ödev setlerini de isteyebiliyor
  • Ayrık matematik öğreten eğitmenler için bir Google Group bulunuyor

Kitabın içeriği ve derste kullanım

  • Bu kitap, University of Northern Colorado'daki ayrık matematik dersinin ders notlarından doğdu
  • İlgili ders, ayrık matematik konularına giriş olmanın yanı sıra matematik bölümü öğrencileri için ispata giriş dersi işlevi de görüyor
  • Ders yoğun biçimde öğrenci keşfini içeriyor ve kitap da bunu destekleyecek şekilde yazıldı
  • Başlangıçta geleceğin matematik öğretmenlerini desteklemek için tasarlandı; bu nedenle samimi ve resmi olmayan bir dil kullanıyor
  • Prosedür ezberinden çok kapsanan kavramların anlaşılmasını vurguluyor
  • Bilgisayar bilimi öğrencilerine yönelik derslerde de kullanıldı ve daha derin bir kavrayış sağlamaya odaklanıyor
  • Dört ana konu mantık, grafik teorisi, sayma ve diziler
  • İspat yöntemleri arasında çelişkiyle ispat, tümevarımla ispat ve kombinatoryal ispat yer alıyor
  • Ek konular olarak üreteç fonksiyonlar ve sayı teorisi de bulunuyor
  • Ana ders kitabı olarak kullanımı kolaylaştıran özellikler de sunuyor
    • 750'den fazla alıştırma
    • Çoğunda çözüm ve ipucu mevcut
    • Kolay sorulardan oldukça karmaşık olanlara kadar uzanan içerik
    • Ödev için uygun çok sayıda soru
    • Etkin ve keşif temelli öğrenmeyi destekleyen Investigate! ve ön izleme etkinlikleri
    • Tam dizin ve sembol listesi
    • Örnek işaretleme, tanım ve teorem kutuları gibi tutarlı sayfa düzeni ve biçimlendirme

Lisans

  • Discrete Mathematics: an Open Introduction, 4th edition CC BY-NC-SA 4.0 lisansı ile dağıtılıyor
  • Ticari olmayan amaçlarla indirme, kullanım ve baskı serbest
  • Metnin düzenlenmesine de izin veriliyor
    • Öğrencilere özel uyarlanmış sürümler hazırlanabiliyor
    • Kullanılan bölümlerin yazarına atıf yapılması gerekiyor
    • Düzenlenmiş sürüm uyumlu bir lisansla dağıtılmalı
  • GFDL gibi benzer ama farklı lisanslı metinlerle birleştirerek kullanmak için lisans değişikliği izni talep edilebiliyor

İlgili okumalar

1 yorum

 
GN⁺ 2024-08-17
Hacker News yorumları

  • “Resmî” bir CS diploması olmadan kendi kendime öğrenen biri olarak ayrık matematik, daha ileri konulara girmenin ve programlamadaki pratik sorunları çözmenin anahtarı gibi görünüyordu; gerçekten de birçok kez işime yaradı.
    1987’de yayımlanan Finkbeiner II ve Lindstrom’un “A Primer of Discrete Mathematics” kitabını da seviyorum: https://archive.org/details/isbn_0716718154. Biraz eski ve ücretsiz değil ama hâlâ iyi; güzel alıştırmaları ve bazı çözümleri var.
    Bu kitaba da mutlaka bakacağım; etkileşimli alıştırmalar içeren daha modern bir yaklaşım olması ve tamamen ücretsiz olması iyi görünüyor.

    • Kenneth H. Rosen’ın Discrete Mathematics and It's Applications kitabı sayesinde geçen yaz UC Berkeley’deki CS70, yani ayrık matematik ve olasılık dersinden A aldım.
      Kitap epey kalın ama içeriği erişilebilir sayılır. Ben de kendi kendine öğrenmiş biriyim ve 30’lu yaşlarımda eksiklerimi kapatmak için resmî matematik/fizik dersleri alıyorum.
      California Community Colleges da harika bir kaynaktı. Şimdiye kadar karşılaştığım matematik öğretmenlerinin hepsi şaşırtıcı derecede tutkuluydu ve çoğu matematik dersinde asenkron/çevrimiçi şubeler bulunduğu için yetişkinlerin bunları eğlence ya da kendini geliştirme amacıyla alması da yaygın.
    • Bu tür matematik kitapları göz korkutucu görünüyordu ama Al Doerr ve Ken Levasseur’un Applied Discrete Structures kitabında https://discretemath.org/ çok ilginç içerikler bulabildim.
      “Mantık” bölümüne çekildim ve beklentimi boşa çıkarmadı. Web sitesinden ücretsiz indirilebiliyor.
      “Biraz eski ve ne yazık ki ücretsiz değil” denmiş; arayan varsa Anna's Archive’da da var.
    • AOPS’un Counting & Probability kitapları, eksiksiz çözüm kitabıyla birlikte gelen, şaşırtıcı derecede iyi ayrık matematik kitapları: https://artofproblemsolving.com/store
    • Graham, Knuth, Patashnik’in Concrete Mathematics kitabını da sevebilirsiniz.

  • Bağlantıdaki kaynak gibi özellikle ücretsiz ders kitaplarının daha fazla çözüm sunmasını isterdim. Çözümleri eksik olan kitaplar benim için döngüsel bir sorun yaratıyor.
    Çözümümün doğru olup olmadığını bilmek için kavramları gerçekten anlamam gerekiyor. Ama kavramları gerçekten anladıysam, zaten o problemi çözmeme gerek kalmıyor. Geri bildirim olmadan nasıl öğrenmem bekleniyor, bilmiyorum.

    • Yazar benim. Alıştırmaların yüzde kaçına çözüm eklemek gerektiği sürekli zor bir karar.
      PreTeXt sayesinde metne kolayca yerleştirilebilen çok sayıda etkileşimli alıştırma kullandım; öğrenciler yanıt girince doğru olup olmadığına dair geri bildirim alabiliyor. Hesaplama problemlerinde iyi işliyor.
      Kanıta dayalı ya da teorik problemler için tam açıklamalı yeterince örnek sunmaya ve çözümü olan birkaç alıştırma da eklemeye çalıştım. Aynı zamanda çözümü olmayan, daha açık uçlu problemler isteyenler için de bu fırsatı bırakmak istedim.
      Diğer hocaların bu kitabı derslerinde yararlı biçimde kullanabilmesi için, notlandırma amacıyla değerlendirilebilecek çözümsüz problemler de önemli. Her hâlükârda bu kaynağın yardımcı olmasını umuyorum.
    • Matematik ders kitaplarında çözümlerin verilmemesi oldukça yaygın. Hocalar ders kitabındaki problemleri ödev olarak vermek isteyebiliyor; ayrıca çözümleri hazırlamak başlı başına çok büyük bir iş.
      Sınıf dışında, dışarıdan geri bildirim almadan bir ders kitabıyla öğrenmek istiyorsanız, materyali çok daha aktif biçimde okumalısınız.
      Metindeki her ifadeyi gayriresmî bir alıştırma olarak görebilirsiniz. Bir teorem ya da açıklama içindeki bir iddia olsun, herhangi bir önerme karşınıza çıktığında okumaya devam etmeden önce onu kendi kendinize kanıtlamaya ya da gerekçelendirmeye çalışmalısınız.
      Örneğin Theorems 2.3.1 ve 2.3.2 birbirine çok benzer. 2.3.1’in kanıtını anladıysanız 2.3.2’yi kendiniz denemeye çalışabilirsiniz. Takılırsanız içerdiği kanıttan birkaç cümleyi ipucu gibi okuyabilir, kanıtı bitirdiğinizde de metindeki kanıtla karşılaştırabilirsiniz.
      Yeterince aktif okursanız problem çözmeden de konuyu oldukça iyi öğrenebilirsiniz. Matematik öğrenmek için biçimsel problem çözmenin gerekli olduğu söylenir ama bu doğru değil. Daha üst düzey matematik ders kitaplarının birçoğunda resmî alıştırma ya da problem hiç yoktur; yine de insanlar gayet iyi öğrenir.
      Elbette matematik okumak başlı başına ayrı bir beceridir; en baştan kolay olmasını beklememek gerekir. Bire bir öğretmeniniz varsa en iyisi odur, ama bu şansa sahip olanlar azdır.
    • Problemi iki ya da daha fazla yöntemle çözebilirsiniz. Ayrık matematik gibi alanlarda bu yeterince mümkün olmalı.
      Önce elle çözün, ardından Mathematica veya OR-Tools gibi araçlarla modelleyip aynı sonucun çıkıp çıkmadığını kontrol edin.
      Cebir ya da kalkülüs gibi daha düşük seviyeli matematikte bu daha iyi işler. Birçok problemde Mathematica’nın Solve[] fonksiyonunu kullanarak doğru mu yanlış mı yaptığınızı anlayabilirsiniz.
      Algoritma derslerinde de aynı yaklaşım mümkün. Test vakalarını basit ama kesin şekilde çözen naif bir programı kendiniz yazıp, daha gelişmiş algoritmanın sonuçlarıyla karşılaştırabilirsiniz. Ya da başka bir kütüphanedeki referans implementasyonu kullanabilirsiniz. Örneğin kendi yazdığınız grafik algoritması çözümünü Neo4j’nin döndürdüğü sonuçlarla karşılaştırabilirsiniz.
    • Bence matematik kitaplarında en azından tüm problemlerin cevapları olmalı, çoğu problemde de çözüm adımları bulunmalı. Ancak alıştırma amacıyla bazı problemlerin çözümü verilmeyebilir.
      Bunun altındaki bir seviye, kitabın ancak öğretmenlerin başvuru kaynağı olarak kullanmasına yarar. Çünkü öğretmenin çözümün gerçekten tam ve doğru olduğunu doğrulaması gerekir.
      Onlarca yıl önce mühendislik ve ekonomi okurken, açıklamalar olmasaydı çözümlerim sık sık eksik kalır, ayrıntıları ya da belirli durumları atlamış olurdum.
    • Bugünlerde birçok soruda ChatGPT bu boşluğu şaşırtıcı derecede iyi dolduruyor.

  • Bu kitabı oluşturmakta kullanılan XML tabanlı teknoloji PreTeXt de ilginizi çekebilir: https://pretextbook.org/

  • Böyle harika kaynakları görmek güzel. Özellikle ders kitabı yazarları dâhil, çalışmalarını ücretsiz olarak çevrim içi yayımlayan tüm yazarlara minnettarım.
    Adanmışlıkları açıkça görülüyor. Bu ücretsiz ya da neredeyse ücretsiz kaynaklar sayesinde, kendi kendine öğrenenler veya kaynakları sınırlı olanlar da dâhil olmak üzere pek çok kişi eğitimini sürdürebiliyor.
    Yazarların emeklerinin gerçekten çok takdir edildiğini bilmelerini isterim.

  • Biraz geç oldu ama Susanna Epp’in Discrete mathematics with applications kitabını şiddetle öneririm.
    Benzer başlıklı birkaç kitap var, ancak Epp’in kitabı şaşırtıcı derecede iyi yazılmış. Muazzam bir özen ve ayrıntılara dikkatle hazırlanmış bir ders kitabı; bu da kendini belli ediyor. Kendi kendine çalışma için de harika.
    The Math Sorcerer’ın eski bir baskıyı ele aldığı bir videosu da var; kitaba yazılmış sevimli bir övgü gibi. Gerçekten âşık olmuş gibi: https://www.youtube.com/watch?v=FPr5-X9nZc4

  • Pek çok ayrık matematik ders kitabında olduğu gibi, çift katlı kökler için karakteristik kök yöntemi bölümü formülün kanıtını vermiyor.

    • Bu, karakteristik denklemin biçiminden geliyor. Çift katlı kök r ise x^2 - 2r + r^2 ifadesini açıp terimleri eşleştirerek a = 2r, b = -r^2 elde ederiz. Yani özyineleme a(n) = 2r a(n-1) - r^2 a(n-2) olur.
      r^n ile bölersek eşdeğer olarak c(n) = 2c(n-1) - c(n-2) elde ederiz; burada c(n) = a(n)/r^n’dir.
      Bu, sabit fark özyinelemesi olan c(n) - c(n-1) = c(n-1) - c(n-2) demektir.
      Dolayısıyla c(n), başlangıç koşullarıyla belirlenen bazı x, y değerleri için c(n) = x*n + y biçiminde bir aritmetik dizi olur. Asıl dizi ise a(n) = c(n) r^n = (x*n + y) r^n olur.
    • Varlık ve teklik dâhil eksiksiz bir kanıt muhtemelen çok uzayacağı ya da ders kitabının kapsamı dışındaki araçlar gerektireceği için böyle.
      Örneğin lineer cebir kullanınca oldukça kısa bir kanıt var; bir kısmını şöyle yeniden kurabiliriz. Bu kanıtın, varsayılan biçimden başlamak yerine ifadeyi ilk ilkelerden türetmesi hoşuma gidiyor.
      x_{n+1} = a * x_{n-1} + b * x_n özyinelemesiyle tanımlanan bir x_n dizisi olduğunu varsayalım.
      Ardışık iki elemandan oluşan vektör dizisini [x_0; x_1], [x_1; x_2], [x_2; x_3], ... şeklinde tanımlarsak, matris/vektör çarpımıyla bir ilişki kurabiliriz.
      [x_1; x_2] = [[0 1], [a b]] [x_0; x_1]
      Vektör dizisine y_n, matrise M dersek y_1 = M * y_0 olur.
      Sonraki terim y_2 = M * y_1 = M * (M * y_0) = M^2 * y_0 ile elde edilir ve tümevarımla y_n = M^n * y_0 olur.
      M’nin karakteristik polinomu r^2 - br - a = 0’dır ve kökleri r_1 = (b - c)/2, r_2 = (b + c)/2, c = √(b^2 + 4a) şeklindedir.
      Dolayısıyla köşegenleştirme ile y_n = S * [[r_1^n 0], [0 r_2^n]] * S^(-1) * y_0 elde ederiz. Burada S, özvektör matrisidir.
      Buradan itibaren M’nin özdeğerlerinin varlığı ve tekliğiyle varlık ve teklik kanıtı tamamlanabilir.
    • Bunu görünce aklıma başka bir şey geldi. 1990 civarında aldığım ayrık matematik dersini Knuth’un AoCP’siyle karşılaştırdığımı hatırlıyorum.
      Knuth, özyinelemeli dizilerin kapalı biçimini üreteç fonksiyonlarıyla buluyordu ve yanlış hatırlamıyorsam başka yöntemlere pek değinmiyordu. Benim aldığım ders üreteç fonksiyonlarına hiç girmemişti; okuduğum diğer ders kitaplarının çoğu da öyleydi.
      Bu kitabın o konuyu ele alması ilginç. “Ayrık matematik” gerçekten pek çok farklı şey olabiliyor galiba.

  • Bu ücretsiz ders kitabını yazan insanlar kendi alanlarını ne kadar seviyorsa, keşke ben de kendi alanımı o kadar sevseydim.

  • Üniversitedeki en sevdiğim dersti. Birinci sınıfta ayrık matematiği o kadar sevdim ki matematik ve yapay zeka alanlarında çift anadal yapmaya başladım; matematiği de biçimsel doğrulama nedeniyle seçmiştim.

  • “PDF 15 Ağustos’a kadar sağlanacak” deniyor ama kenar çubuğunda yalnızca “PDF coming soon” yazıyor :(

    • PDF gerçekten çok yakında çıkacak. Derleme sürecinde birkaç sorun vardı; pazartesiye kadar düzelmiş olacak.
    • Para ödemediysen şikâyet etme hakkın yok.

  • Kriptografiyle ilgileniyorsanız ayrık matematik iyi bir başlangıç noktası olur mu? Analizden kesinlikle daha iyi değil mi?

    • Kesinlikle öyle; benim ayrık matematik dersimde kriptografi ek bölüm gibi yer alıyordu.
    • Evet. Kriptografide önemli olan sayılar teorisini iyi anlamak için gereken yapı taşlarından biri.