Bilgisayar Bilimi İçin Matematik (2018) [PDF]

• MIT tarafından sunulan bilgisayar bilimi öğrencilerine yönelik matematik ders kitabı, mantık ve ispatlardan olasılık, özyineleme ve grafik teorisine kadar temel matematik kavramlarını sistematik biçimde ele alıyor
• İspat, Yapılar, Sayma, Olasılık, Bağıntılar olmak üzere beş bölümden oluşuyor; her bölüm kuramsal temelleri ve bilgisayar bilimindeki uygulamaları birlikte işliyor
• Mantıksal ifadeler, matematiksel tümevarım, durum makineleri, grafikler, rassal değişkenler gibi programlama ve algoritma analizi için gerekli konuları içeriyor
• RSA şifreleme, Turing’in kodu, Monty Hall problemi gibi gerçek örnekler ve uygulama soruları üzerinden matematik kavramlarının kullanımını gösteriyor
• MIT ve Google araştırmacılarının birlikte yazdığı bu kitap, Creative Commons BY-SA 3.0 lisansı ile yayımlandığı için öğrenme ve yeniden kullanım açısından serbest

---

Ders kitabına genel bakış

• Mathematics for Computer Science (MCS), MIT’nin bilgisayar bilimi ve elektrik mühendisliği lisans dersi (6.042) için hazırlanan, mantıksal düşünme ve matematiksel modelleme becerilerini geliştirmeyi amaçlayan bir kaynak
• Yazarlar: Eric Lehman (Google Inc.), F. Thomson Leighton (MIT, Akamai Technologies), Albert R. Meyer (MIT)
• 6 Haziran 2018 tarihli gözden geçirilmiş baskı olup Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 lisansı altında dağıtılıyor

I. Proofs (İspatlar)

• Önermeler, yüklemler, aksiyomatik yöntem, çelişkiyle ispat, durumlara ayırarak ispat gibi matematiksel ispatın temel ilkelerini ele alıyor
• Well Ordering Principle (İyi Sıralama İlkesi) ile tümevarım arasındaki ilişkiyi açıklıyor ve bunu asal çarpanlara ayırma gibi örneklerle uyguluyor
• Mantıksal ifadeler ve önerme mantığı, SAT problemi, matematiksel veri tipleri (kümeler, fonksiyonlar, ilişkiler) gibi konuları içeriyor

II. Structures (Yapılar)

• Sayı teorisi, grafik teorisi, ağ yapıları odağında bilgisayar biliminin matematiksel temelini sunuyor
  • Asallar, en büyük ortak bölen, modüler aritmetik, RSA şifreleme gibi sayı teorisi uygulamaları
  • Yönlü grafikler, kısmi sıralamalar, ağ yönlendirme, basit grafikler, düzlemsel grafikler gibi yapısal modellerin açıklaması
• Turing’in kodu ile SAT probleminin ilişkisini ele alarak hesaplama teorisi ile kriptografi arasındaki bağı gösteriyor

III. Counting (Sayma ve kombinatorik)

• Toplamlar, çarpımlar, asimptotik gösterim, kombinasyon kuralları, üretici fonksiyonlar gibi kombinatorik hesaplama tekniklerini ele alıyor
• Güvercin yuvası ilkesi, içerme-dışlama ilkesi, poker eli örnekleri gibi pratik örnekler içeriyor
• Üretici fonksiyonlar ve lineer bağıntı çözüm yöntemleri ile algoritma analizi ve dizi hesaplamalarına uygulama sunuyor

IV. Probability (Olasılık)

• Olasılık uzayı, koşullu olasılık, rassal değişkenler, varyans, örneklem tahmini, rassal yürüyüş gibi olasılık teorisinin geniş bir alanını kapsıyor
• Monty Hall problemi, Simpson paradoksu, doğum günü problemi gibi sezgisel düşünmeyi sınayan örnekler içeriyor
• Markov ve Chebyshev eşitsizlikleri ile rastgele örnekleme üzerinden veri analizinin temellerini sunuyor

V. Recurrences (Bağıntılar)

• Hanoi Kuleleri, birleştirmeli sıralama, böl ve fethet bağıntıları gibi algoritma analizinin temel konularını ele alıyor
• Lineer bağıntı çözüm yöntemleri ve özyinelemeli düşünme biçimi ile verimli hesaplama yapılarının nasıl kurulduğunu açıklıyor

Ek

• Kaynakça, simge açıklamaları, dizin içerdiği için öğrenme ve başvuru açısından kullanışlı
• Ders kitabının tamamı MIT CSAIL web sitesinde PDF olarak ücretsiz sunuluyor

[GN⁺]

Hacker News yorumları

• Thomson Leighton'ın Akamai'nin kurucusu olduğundan bahsediyor ve onun hazırladığı ders serisini öneriyor
  İnternetle ilgili dersler arasında izlediği en etkileyici içerik olduğunu söylüyor

  • Ek kaynak olarak MIT OCW'nin güncel ders videolarını ve ders kitabının yazarlarından Albert Meyer'in verdiği Open Learning Library dersini da paylaşıyor
  • Akamai'nin, scanner ya da script kiddie'lerin kullandığı IPv4 aralıkları sorununa daha fazla önem vermesi gerektiğini de ekliyor

• Her bölümün yapısı oldukça standart, ancak her alıntıda tüm kaynaklara geri referans verilmesini beğendiğini söylüyor
  Bu şekilde hazırlanmış daha fazla kitap görmek istediğini belirtiyor

  • İçerik seçiminin ise aksine standart dışı olması ilgisini çekmiş ve MIT'ye özgü mizahın kitaba yedirildiğini söylüyor
    Ancak 2018'den sonra yazımın durmuş olmasını üzücü buluyor

• Bu kitabı gerçekten çok sevdiğini söylüyor. Zor bir kitap olmasına rağmen her paragrafta 1-2 sayfa kadarını anlayabildiğini belirtiyor
  Fonksiyonların girdi ve çıktılardan oluşan sonsuz listeler olduğu yönünde bir kavrayış kazandığını ve matematiksel gösterimdeki mizahı da etkileyici bulduğunu söylüyor
  Ölmeden önce kitabı tamamen anlamak istediğini ekliyor

  • “Her paragrafta 1-2 sayfa anlıyorum” ifadesinin Viktor Hugo usulü uzun cümleleri çağrıştırdığı için komik bulunduğu söyleniyor
  • “1-2 sayfa” için şaka yollu aslında “-1 sayfa” kadar olduğu da deniyor

• Bilgisayar biliminde mutlaka okunması gereken sadece 5 kitap seçilip seçilemeyeceğini soruyor

  • Bunun yalnızca 5 kitapla mümkün olmadığını söyleyip kendi Top 10 listesini paylaşıyor
    Brookshear, Forta, Stallings, CLRS, Kurose & Ross, Sipser, Aumasson, Russell & Norvig gibi isimleri içeriyor
    Python'un fiilen ortak dil haline geldiğini ve Matthes'in Python Crash Course 3rd Edition kitabını da öneriyor
  • Bilgisayar mühendisliği mezunu olmayanlar için TeachYourselfCS.com öneriliyor
    Zamanı az olanlar için okunacak iki temel kitap da belirtilmiş
  • Bunun hangi alanda çalışıldığına bağlı olduğu söyleniyor. “Hangi dili öğrenmeliyim?” sorusuna benzeyen bir soru olduğu ifade ediliyor
  • Bu kitabın sayılardan çok ilişkilere yeterince odaklanmadığı belirtilerek type theory ve category theory de çalışılması tavsiye ediliyor
  • Herkesin uzlaşacağı bir liste olmayacağı, kişinin kendi başına keşif yapıp algoritmalar, otomatlar, diller, işletim sistemleri, makine öğrenmesi gibi alanlarda kendine uygun kitapları bulmasının önemli olduğu söyleniyor

• Kitabın olasılık bölümünü özellikle beğendiğini söylüyor
  Monty Hall probleminin ‘4 adımlı yöntem’ ile çok açık anlatıldığını ve filmi izlemekten çok daha anlaşılır olduğunu belirtiyor

  • 2017 baskısının Birleşik Krallık'ta isteğe bağlı baskı ile bulunabildiğini keşfettiğini söylüyor
    Basılı kitap üzerinden parçalı çalışmak için iyi olduğunu ekliyor

• İçindekilere bakınca 2. bölümün Well-Ordering Principle olmasına şaşırdığını söylüyor
  Zermelo'nun teoreminden farklı olarak, doğal sayıların sırasını önceden kabul eden bu yaklaşımın kendisine yabancı geldiğini belirtiyor
  Çünkü genelde önce Peano aksiyomlarından sıranın tanımlandığını, ardından bu ilkenin kanıtlandığını öğrendiğini söylüyor

  • Well-Ordering Principle, Axiom of Choice ve Zorn’s Lemma'nın birbirine denk olduğunu açıklıyor
    Gerçel sayılar üzerinde de bir iyi sıralama bulunduğunu, ancak bu sıranın fiilen ifade edilememesinin ilginç olduğunu söylüyor
    Ayrıca “seçim aksiyomu apaçık doğru, iyi sıralama ilkesi apaçık yanlış, Zorn lemmasını ise bilmiyorum” şeklindeki şaka da alıntılanıyor
  • CS eğitiminde bunun çoğunlukla yalnızca matematiksel tümevarım temeli olarak işlendiği, sonrasında algoritma derslerinde neredeyse hiç anılmadığı söyleniyor

• 15.8 bölümündeki güvercin yuvası ilkesini Dijkstra'nın yaklaşımıyla yeniden açıklıyor
  Boston'daki 500 bin kişinin saç telinin 1 ile 200 bin arasında olduğu varsayılırsa, ortalama 2,5 kişi düştüğü için en az 3 kişinin aynı saç teli sayısına sahip olduğunu kanıtlıyor
  Bunun, ortalamanın en büyük değerden küçük ya da eşit olduğu yönündeki basit bir olguyla çözülebilmesini ilginç buluyor

• Böyle bir alıştırma kitabı formatıyla ilk kez karşılaştığını ve çözümlerinin olup olmadığını merak ettiğini söylüyor
  Birkaç soru çözmüş ama doğru yanıtı kontrol edememiş

  • Math Academy'nin Discrete Math kursu, cevap gönderildiğinde çözümü gösteriyor ve tekrarlı öğrenme özelliği de sunuyor
  • Çözümler olmadan kendi kendine çalışmanın zor olduğunu düşündüğünü, Susanna Epp'in Discrete Mathematics With Applications kitabının da iyi bir alternatif olduğunu söylüyor
  • Bu tür soruların LLM ile kolayca çözülebileceği söyleniyor
  • Hatta LLM'nin ispat hatalarını yakaladığını bizzat deneyimlediğini paylaşıyor. Gemini'nin yanlış bir ispatı işaret ederek faydalı olduğunu söylüyor
  • Üniversitelerin çözüm kitapçıklarını yayımlamamasının sebebinin soruları yeniden kullanmak olduğu söyleniyor. Sınırlı soru havuzunu yıllar boyunca tekrar tekrar kullandıkları belirtiliyor

• Çok faydalı bir kaynak olduğunu söyleyerek teşekkür ediyor

• Aradığı PDF'yi Hacker News sayesinde bulduğunu söyleyip seviniyor
  PDF okuyabilen bir ekran okuyucu önerisi istiyor

  • LaTeX formülleri içeren PDF'leri okuyabilen bir okuyucu olup olmadığını merak ediyor
    Kendisinin de formül sembollerinin çoğunu okuyamadığını söylüyor