Fourier Serisi Animasyonuna Giriş

 (andreinc.net)
2 puan yazan GN⁺ 2024-06-05 | 1 yorum | WhatsApp'ta paylaş
  • Çember ve birim çemberin dönme değişmezliğinden başlayarak sinüs·kosinüs, karmaşık sayılar, Euler formülü, sinüzoidler ve epicycle'ların Fourier Series'e uzanan akışını görsel olarak birbirine bağlar
  • Birim çemberin dönüşü, $\sin$'i y koordinatı, $\cos$'ı x koordinatı olarak yorumlatır; iki fonksiyonun periyodu $2\pi$ ve aralarında $\frac{\pi}{2}$'lik bir faz farkı vardır
  • Karmaşık düzlemde $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$ birim çember dönüşüne karşılık gelir; karmaşık sinüzoid ise kosinüs ve sinüsü tek bir dönen nesnede birleştirir
  • Birden çok sinüzoid toplandığında güçlenme ve sönümlenme oluşur; tek frekanslar ile azalan genlikleri birleştirince kare dalga gibi süreksiz biçimlere de giderek daha yakın yaklaşılır
  • Epicycle'lar her sinüzoidi dönen bir çember ve vektör toplamı olarak gösterir; yarıçap genlik $A$'ya, dönme hızı açısal frekans $\omega$'ya, başlangıç açısı ise faz $\varphi$'ye karşılık gelir

Çember, $\pi$ ve radyandan başlayan dönüş

  • Çember, merkez $P(a,b)$ ve yarıçap $r$ ile tanımlanır; cebirsel olarak $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ biçiminde ifade edilir
  • Merkezi orijine, yarıçapı 1'e koyarsak birim çember elde edilir; denklemi $x^2+y^2=1$ olarak sadeleşir
  • Çember üzerindeki bir nokta ile karşı taraftaki yansıma noktası döndürülse de aralarındaki ilişki korunur; bu dönme değişmezliği, Fourier matematiğinin temel sezgisi olarak kullanılır
  • $\pi$, çemberin çevresinin çapına oranıdır ve tüm çemberlerde sabit $\pi \approx 3.14159...$ değerine sahiptir
    • Çevre $P=2\pi r$
    • Alan $A=\pi r^2$
  • $\pi$ rasyonel sayı değildir; rasyonel katsayılı sıfır olmayan bir polinomun kökü de olmayan bir aşkın sayıdır
  • Radyan, matematik ve fizikte açı ölçmenin standart birimidir; dereceyi radyana çevirmek için açıyı $\pi$ ile çarpıp 180'e böleriz
  • Fourier matematiğinde radyan kullanmak, trigonometrik fonksiyonları basit açılar olarak değil gerçel sayıların fonksiyonları olarak ele almayı sağlar; böylece dalga ve titreşimlerin kalkülüsü daha temiz hale gelir

Sinüs ve kosinüsün birim çember yorumu

  • $\sin$ ve $\cos$, birim çember üzerinde dönen bir noktanın koordinat izleyicileri olarak görülebilir
    • $\theta$, yarıçap ile pozitif x ekseni arasındaki açıdır
    • $\sin$, noktanın dikey yer değiştirmesi, yani y koordinatıdır
    • $\cos$, noktanın yatay yer değiştirmesi, yani x koordinatıdır
  • Nokta başlangıç konumuna geri döndüğü için $\sin$ ve $\cos$, periyodu $2\pi$ olan periyodik fonksiyonlardır
  • $\cos$, $\sin$ ile aynı dalga biçimidir ancak $\frac{\pi}{2}$, yani $90^\circ$ kadar kaymıştır
    • $\sin(x+\frac{\pi}{2})=\cos(x)$
    • Teknik olarak $\cos$, $\sin$'ten $\frac{\pi}{2}$ öndedir
  • Bu faz farkı nedeniyle iki fonksiyon quadrature ilişkisi oluşturur
  • Fourier analizinde sinüs bileşeni ile kosinüs bileşenini birlikte kullanmak, başlangıç konumundan, yani fazdan bağımsız olarak herhangi bir periyodik sinyali ifade etmeyi sağlar
  • Fonksiyon simetrisi olan parity açısından $\cos$ çift fonksiyon, $\sin$ ise tek fonksiyondur
    • $\cos(x)=\cos(-x)$
    • $\sin(-x)=-\sin(x)$

Karmaşık sayılar, $i$ ve Euler formülü

  • Karmaşık düzlemde birim çember üzerindeki tüm noktalar mutlak değeri 1 olan karmaşık sayılara karşılık gelir
  • Gerçel açı $\theta$ için $z=\cos(\theta)+i\sin(\theta)$, birim çember üzerindeki bir noktadır ve pozitif gerçel eksenden $\theta$ kadar dönmüş durumu gösterir
  • Bir karmaşık sayıyı $i$ ile çarpmak, karmaşık düzlemde saat yönünün tersine $\frac{\pi}{2}$, yani 90 derece döndürür
    • Mutlak değer $r=|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$ korunur
    • Yalnızca argüman $\frac{\pi}{2}$ kadar artar
  • Aynı karmaşık sayıyı tekrar tekrar $i$ ile çarpmak, çeyrek düzlemleri sırayla ziyaret ettirir ve dört kez sonra başlangıç konumuna döndürür
  • Doğal sabit $e \approx 2.71828$ irrasyonel ve aşkın bir sayıdır; seri ve limitlerle tanımlanabilir
    • $e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}$
    • $e=\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x$
    • $e=\lim_{x\to0}(1+x)^{1/x}$
  • Doğal üstel fonksiyon, türevi alındığında aynı fonksiyonun sabit katı olarak geri gelen türevin özfonksiyonudur
    • $\frac{d}{dx}e^{ax}=ae^{ax}$
  • $f(x)=e^{ix}$ her türev alışta $i$ ile çarpılır; dört kez türev alındığında yeniden asıl fonksiyona döner
    • $\frac{d}{dx}f(x)=ie^{ix}$
    • $\frac{d^2}{dx^2}f(x)=-e^{ix}$
    • $\frac{d^3}{dx^3}f(x)=-ie^{ix}$
    • $\frac{d^4}{dx^4}f(x)=e^{ix}$
  • Bu örüntü, karmaşık sayıyı tekrar tekrar $i$ ile çarparak döndürmekle aynıdır ve $e^{ix}$'in karmaşık düzlemde bir çember çizdiği sezgisine götürür
  • Euler formülü $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$'tir; $x=\pi$ koyulduğunda $e^{i\pi}+1=0$ olur
  • Euler formülüyle sinüs ve kosinüs üstel biçimde yazılabilir
    • $\cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$
    • $\sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$
  • Aynı $x$, $t$, $\theta$ parametreleri bağlama göre açı veya zaman olarak yorumlanabilir; matematiksel biçim aynıdır

Sinüzoidler ve karmaşık sinüzoidler

  • Sinüzoid pürüzsüz ve tekrarlı bir titreşimdir; zaman $t$'nin fonksiyonu olarak $y(t)=A\sin(2\pi ft+\varphi)=A\sin(\omega t+\varphi)$ şeklinde ifade edilir
  • Her terim dalga biçiminin şeklini ve hareketini belirler
    • $A$ genliktir; merkez değer 0'dan maksimum sapmayı ifade eder
    • $f$, saniye başına tam titreşim sayısını gösteren sıradan frekanstır ve Hz ile ölçülür
    • $\omega=2\pi f$ açısal frekanstır; saniye başına çevrim yerine saniye başına radyan olarak ölçülür
    • $\varphi$ faz ofseti veya faz kaymasıdır; sinüzoidi x ekseni yönünde sağa sola kaydırır
  • $\sin$ ve $\cos$, sinüzoidin özel durumlarıdır; kosinüs dalgası, sinüs dalgasının sola $\frac{\pi}{2}$ radyan kaydırılmış halidir
  • $A$, $\omega$, $\varphi$ ayarlanarak bas gitar sesinden ev tipi alternatif akıma kadar çeşitli titreşimler ifade edilebilir
  • Euler formülündeki statik açı $\theta$, zamanla değişen $\omega t+\varphi$ ile değiştirilirse karmaşık sinüzoid elde edilir
    • $s(t)=Ae^{i(\omega t+\varphi)}$
    • $s(t)=A\cos(\omega t+\varphi)+iA\sin(\omega t+\varphi)$
  • Karmaşık sinüzoid iki dalgayı tek bir matematiksel nesnede birleştirir
    • Gerçel kısmı kosinüs dalgası gibi davranır
    • Sanal kısmı sinüs dalgası gibi davranır
    • İki bileşen aynı dönme açısı $\theta=\omega t+\varphi$'ye bağlı olduğundan senkronizedir
  • Karmaşık sinüzoid Y-Z düzlemine izdüşürülürse sinüs dalgası, X-Z düzlemine izdüşürülürse kosinüs dalgası ortaya çıkar
  • Tek bir dönen nesnenin birbirine dik düzlemlerde oluşturduğu gölgeler, aşina olduğumuz gerçel değerli sinüzoidler olarak görünür

Sinüzoidlerin toplamı ve girişim

  • Birden çok sinüzoid toplandığında her noktadaki fonksiyon değerleri birleşir; tepe ve çukurların hizalanmasına göre birbirini güçlendirir veya sönümler
  • İki sinüzoidin tepe ve çukurları çakışırsa birbirini çıkararak toplamı 0'a yaklaştırabilir
  • Bu olgu dalga girişimi olarak anlaşılabilir
  • Örnek olarak iki sinüzoid $y_1(x)=\frac{9}{10}\sin(7x+\frac{\pi}{2})$ ve $y_2(x)=\frac{12}{10}\sin(3x-2)$ toplandığında $y(x)=y_1(x)+y_2(x)$ karmaşık bir desen oluşturur
  • Farklı frekanslara ve faz ofsetlerine sahip dalga biçimleri sürekli senkronize olup senkronizasyondan çıkar; daha fazla sinüzoid eklendikçe desen de karmaşıklaşır

Sinüzoidlerle kare dalga yapmak

  • Belirli sinüzoidler dikkatle seçildiğinde öngörülebilir geometrik desenler oluşturulabilir
  • Kare dalga şu sonsuz toplamdan oluşur
    • $y(x)=\frac{4}{\pi}\sin(\omega x)+\frac{4}{3\pi}\sin(3\omega x)+...+\frac{4}{(2k-1)\pi}\sin((2k-1)\omega x)+...$
  • Bu ifade yalnızca tek frekansları toplar ve her terimin genliğinin giderek azaldığı bir yapıya sahiptir
  • Pürüzsüz sürekli eğriler toplandığında tepe ve çukurların girişimiyle düz üst kısımlara sahip bir kare dalga oluşur
  • Toplama dahil edilen sinüzoid sayısı arttıkça yaklaşım daha keskin hale gelir
  • Tek bir sinüzoid, çember etrafında dönen bir noktaya karşılık geldiğinden, sinüzoidleri toplama süreci dönen çemberleri birbirine bağlayan epicycle'lar olarak görülebilir
  • Epicycle'da ikinci çemberin merkezi ilk çemberin kenarında, üçüncü çemberin merkezi ise ikinci çemberin kenarında olacak şekilde bağlanır
  • Her epicycle belirli bir sinüzoide karşılık gelir; bunları birleştirmek sıralı vektör toplamı olarak yorumlanır
  • Örnek üç sinüzoid şöyle toplanır
    • $y_1(x)=1.4\sin(x+1)$
    • $y_2(x)=0.8\sin(2x)$
    • $y_3(x)=0.5\sin(3x)$
    • $y(x)=1.4\sin(x+1)+0.8\sin(2x)+0.5\sin(3x)$
  • Herhangi bir anda toplam konum vektörü $\vec{u}=\vec{u_1}+\vec{u_2}+\vec{u_3}$ olarak ifade edilir
  • Uygun sinüzoidler seçilirse hareket eden çemberler çiçek gibi istenen formlara yaklaşabilir; tek tek sinüzoidleri bulmak için Fourier Analysis gerekir

Fourier Series'in temel biçimi

  • Fourier Series, periyodu $P$ olan periyodik bir fonksiyonu titreşen trigonometrik fonksiyonların sonsuz toplamına açan matematiksel bir süreçtir
  • Pink Floyd'un Dark Side of The Moon albüm kapağı benzetmesinde periyodik fonksiyon $f(x)$ ışık, prizma Fourier Mathematics, ayrılan renkler ise basit sinüzoid bileşenlerdir
  • Temel formül şöyledir
    • $f(x)=A_0+\sum_{n=1}^{\infty}[A_n\cos(\frac{2\pi nx}{P})+B_n\sin(\frac{2\pi nx}{P})]$
  • $A_0$, $A_n$, $B_n$ Fourier coefficients'tir; belirli bir frekansın özgün dalga biçimini yeniden kurmak için ne kadar gerektiğini gösterir
  • Katsayılar integralle hesaplanır
    • $A_0=\frac{1}{P}\int_{-\frac{P}{2}}^{+\frac{P}{2}}f(x)dx$
    • $A_n=\frac{2}{P}\int_{-\frac{P}{2}}^{+\frac{P}{2}}f(x)\cos(\frac{2\pi nx}{P})dx$
    • $B_n=\frac{2}{P}\int_{-\frac{P}{2}}^{+\frac{P}{2}}f(x)\sin(\frac{2\pi nx}{P})dx$
  • Sinüs ve kosinüs görsel olarak sezgiseldir ancak cebirsel işlemlerde zahmetli olabilir; bu yüzden Euler formülüyle üstel biçime dönüştürülebilir
  • Üstel biçimde Fourier Series şöyledir
    • $f(x)=\sum_{n=-N}^{N}C_ne^{i2\pi\frac{n}{P}x}$
  • Üstel biçimde indeks $n$ negatif değerlere kadar genişler; bu da karmaşık vektörün dönme yönünü gösteren negatif frekans kavramını getirir
  • Birleşik katsayı formülü şöyledir
    • $C_n=\frac{1}{P}\int_{-\frac{P}{2}}^{\frac{P}{2}}e^{-i2\pi\frac{n}{P}x}f(x)dx$

Kutu fonksiyonu ve kare dalga katsayılarının hesabı

  • Daha önce kullanılan kare dalga yaklaşımı şöyledir
    • $y(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin(2\pi(2k-1)fx)}{2k-1}$
    • $\omega=2\pi f$ kullanılırsa $y(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin((2k-1)\omega x)}{2k-1}$
  • Kare dalga fonksiyonu, $[0,2L]$ aralığında Heaviside Step Function $H(x)$ kullanılarak $f(x)=2[H(\frac{x}{L})-H(\frac{x}{L}-1)]-1$ şeklinde yazılabilir
  • $A_0$, $[0,2L]$ aralığında fonksiyonun ortalamasıdır; pozitif alan ile negatif alan birbirini götürdüğü için 0 olur
  • $A_n$, $\cos$ terimini yöneten katsayıdır; $f(x)$ tek fonksiyon, $\cos$ çift fonksiyon olduğundan çarpımları tek fonksiyon olur
    • Bir tam periyot üzerinde integral alındığında alanlar birbirini götürür
    • Tüm $A_n$ katsayıları 0 olur
  • $B_n$, $\sin$ terimini yöneten katsayıdır
    • Çift $n$ değerlerinde kırmızı alan ile yeşil alan birbirini götürür ve integral değeri 0 olur
    • Tek terimlerde alanlar toplanır
  • Hesap sonucu $B_n=\frac{2}{n\pi}(1-(-1)^n)$ olur
  • Geriye yalnızca tek $B_n$ terimleri kaldığından kare dalga şu biçimi alır
    • $f(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{n=1,3,5...}^{+\infty}(\frac{1}{n}\sin(\frac{\pi nx}{L}))$
    • $n\rightarrow2k-1$ olarak değiştirilirse $f(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{\sin(\frac{\pi(2k-1)x}{L})}{2k-1}$
    • $L\rightarrow\frac{1}{2f}$, $2\pi f\rightarrow\omega$ yerine koyulursa $f(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin((2k-1)\omega x)}{2k-1}$
  • Pratikte sonsuza kadar toplamak mümkün olmadığından sonlu $n$'de duran kısmi toplam $s(x)$ kullanılır
    • $s(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{n}\frac{\sin((2k-1)\omega x)}{2k-1}\approx f(x)$
  • $n$ artırıldıkça yaklaşımın doğruluğu iyileşir ve yaklaşımda kalan boşluk giderek azalır
  • İlk beş terim, genliği hızla azalan ve frekansı artan basit sinüzoidlerden oluşur

Üçgen dalga ve testere dişi dalga örnekleri

  • Üçgen dalganın Fourier Series yaklaşımı şöyledir
    • $s(x)=\frac{8}{\pi^2}\sum_{k=1}^{N}\frac{(-1)^{k-1}}{(2k-1)^2}\sin((2k-1)x)$
  • Üçgen dalga pürüzsüzdür ve hızlı yakınsar; $n$ 6'ya yaklaştığında üçgen şekli belirginleşir
  • Üçgen dalga açılımında $s_2(x)$, $s_4(x)$, $s_6(x)$ gibi çift sıralı terimler negatiftir
  • Negatif genlik fiziksel olarak sezgisel olmadığından iki şekilde yeniden yazılabilir
    • $\sin(-x)=-\sin(x)$ kullanılarak frekans negatif yapılabilir
    • Genlik pozitif tutulup faza $\pi$ eklenebilir
  • Pratikte ikinci yöntem daha kullanışlıdır ve geometrik kontrolü daha iyidir
    • $-\frac{8}{3^2\pi^2}\sin(3x)$, $\frac{8}{3^2\pi^2}\sin(3x+\pi)$ olarak yazılabilir
  • Ters yönlü testere dişi dalga fonksiyonu şu biçime sahiptir
    • $s(x)=\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{N}(-1)^k\frac{\sin(kx)}{k}$

Fourier Series'i epicycle olarak görselleştiren düzenek

  • Statik denklemler yerine fiziksel hareket olarak bakıldığında Fourier terimleri, bir çubuk üzerinde uç uca bağlanmış birden çok dönen çember gibi davranır
  • Görsel düzenekte istenen sinyal biçimi olarak sawtooth wave, triangle wave, square wave seçilebilir
  • Her görsel unsur Fourier ifadesindeki değişkenlere doğrudan karşılık gelir
    • Her çemberin yarıçapı genlik $A$'dır
    • Her çemberin dönme hızı açısal frekans $\omega$'dır
    • $t=0$ anında çember içindeki çubuğun başlangıç açısı faz ofseti $\varphi$'dir
  • Karmaşık, sivri ve keskin dalga biçimleri bile pürüzsüz dönen çemberlerin birleşimine tersine ayrıştırılabilir
  • Animasyon, çember, sinüzoid, karmaşık sayılar, epicycle'lar ve Fourier Series arasındaki bağlantıları adım adım göstermeye yarar

İlgili okumalar

1 yorum

 
GN⁺ 2024-06-05
Hacker News yorumları
  • Fourier dönüşümünü anlamaya çalışırken 3b1b [1] veya betterexplained [2] gibi görsel materyallere uzun süre baktım, ama sonunda ayrık Fourier dönüşümünü [3] düşününce kavradım
    Ayrık Fourier dönüşümü, bir vektörle çarpılan ortogonal matristen ibaret; ters FFT, Plancherel teoremi ve Parseval teoremi de bu matrisin ortonormal olmasından doğal olarak çıkıyor
    Bu, lineer cebiri zaten anlamış olmanız gereken bir yaklaşım olabilir; ama ayrık bakış açısı oturduktan sonra sürekli Fourier dönüşümüne geçmek de kolaylaştı
    Kişisel olarak, çemberlere ve animasyonlara bakmaktansa doğrudan formüllere bakmak benim için çok daha kolaydı
    [1] https://www.youtube.com/watch?v=spUNpyF58BY
    [2] https://betterexplained.com/articles/an-interactive-guide-to...
    [3] https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_Fourier_transform
    • Baz kavramını ve “sinüs dalgaları belirli bir fonksiyon uzayının bazıdır” fikrini anlayınca her şey anlamlı hâle geldi
      Geri kalanı neredeyse buradan geliyor. Fourier dönüşümü bir gösterimde f(x)’i e^{-ikx} ile çarpıp integral alır; integral devasa bir iç çarpımdır ve e^{-ikx}, baz vektörü e^{ikx}’in “transpozu” gibi olduğundan, sonuçta f_i’yi ilgili baz bileşenleriyle ifade etmiş oluruz
    • İlginç bir durum; lineer cebiri anlayıp Fourier dönüşümünü YouTube videolarıyla öğrenmeye çalışmış olman oldukça sıra dışı geliyor
      Lineer cebiri anlayan çoğu kişi Fourier dönüşümünü, ileri matematiği öğrendiği şekilde, yani ders kitaplarından veya üniversite derslerinden öğrenir diye düşünüyorum. O bağlamda “bir vektörle çarpılan ortogonal matris” gibi bir açıklama temel başlangıç noktasıdır; ama sezgisel açıdan eksik görünebilir ve YouTube videoları da o boşluğu doldurmaya yöneliktir
      Örneğin 3b1b videosu karmaşık sayıların neden faydalı olduğunu da yavaşça yeniden anlatıyor; bu da hedef kitlenin en baştan farklı olduğu anlamına geliyor
    • Matematik veya fizikteki sezgisel/görsel açıklamalar “öğrenmişim gibi” hissettiriyor; ama gerçekten kullanma zamanı geldiğinde işi halleden şeyin yalnızca sağlam denklemler olduğunu gördüm
      Bu yüzden matematik konularında hâlâ ispatları bizzat yapıp kendi kendime türetebiliyor muyum diye kontrol ederim
      Sadece güzel görselleştirmelere bakarak kavramların zihne sihirli biçimde yerleşmesi güzel olurdu, ama bana bir tür entelektüel dopamin gibi geliyor
    • Şaka yollu “sadece baz dönüşümü, bunun nesi zor” diye yazacaktım
      Sinyaller ve sistemler alanındaki “endofunctor kategorisindeki monoid” gibi bir şey
    • Çember içinde çember animasyonlarından uzaklaşmak istiyorsanız bu video da fena değildi: https://www.youtube.com/watch?v=QmgJmh2I3Fw
  • Kaynak kod bağlantısı bozuk. href bağlantısında bir / eksik gibi görünüyor; gerçek bağlantı şu olmalı
    https://www.andreinc.net/2024/04/24/assets/js/2024-04-24-fro...
    Animasyonlarda Processing kullanılıyor gibi
    • Tüm animasyonların kaynak kodu burada görülebilir:
      https://github.com/nomemory/andreinc-site/tree/main/assets/j...
      Yazıyı yazarken p5.js öğreniyordum; bu yüzden epey verimsiz bir şekilde başladım ve bundan özellikle gurur duymuyorum
      Zaman bulursam yazıyı düzenleyip doğru bağlantıyı ekleyeceğim
    • Processing’i gerçekten seviyorum. Şimdiye kadar yazdığım programlar içinde en güzelleri Processing ile yaptıklarımdı
      Atipik depresyondan toparlanmak için temel lineer cebirin tamamını Processing ile görselleştirme planım da vardı; ama bir süre bilgisayarda programlama yapamadım
    • O bağlantı da bozuk gibi görünüyor
    • Animasyon için mutlaka Processing kullanmak gerektiğini düşünmüyorum. Aslında GeoGebra ile de kolayca yapılabilir
  • Güzel yazı. Çemberlerden ve karmaşık sayılardan başlayıp bunun üzerine inşa etmesini sevdim
    Bazı başka açıklamalar karmaşık sayıları ancak sonlarda zorla araya sıkıştırıyor
    Bu konu ilginizi çekiyorsa benim yaptığım kesirli Fourier dönüşümü görselleştirmesine [1] ve karmaşık düzlem görselleştirmesine [2] de bakmaya değer
    [1]: https://static.laszlokorte.de/frft-cube/
    [2]: https://static.laszlokorte.de/complex-plane/
  • Fourier dönüşümünü bir ölçüde anladığımı hissediyorum ve hâlihazırda açıklamalar ile harika görselleştirmeler gibi pek çok materyal de çok seviliyor
    Açıklayıcı materyal hazırlamayı seven biri varsa Laplace dönüşümünü de ele alsa güzel olur [1]
    Eskiden elektronik devre analizinde nasıl kullanıldığını biliyordum ama şimdi neredeyse tamamen unuttum; yani biraz tembelce bir istekte bulunuyorum
    1: https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform
  • Birkaç yıl önce bir epicycle animasyonu görmüş ve Fourier serisinin karmaşık sayı gösterimini anlamamda çok faydasını görmüştüm; sinyalleri yeni öğrenen insanlarla paylaşmak için o animasyonu sürekli arıyordum
    Ama bu yazı o sayfayı fazlasıyla aşıyor. Bundan sonra insanlarla paylaşmak için iyi olacak
  • Bu yazı da gerçekten iyi: https://www.andreinc.net/2024/01/09/the-most-important-math-...
  • Örnekler de iyi, web sitesi de harika. Bu site hafif ve iyi çalışıyor; ziyaret ettiğim çoğu statik haber sitesinin sürekli tarayıcıyı bozması neredeyse tuhaf geliyor
    • Bu site mobil tarayıcıyı her dakika sürekli yenilediği için okumak zordu
  • Georgia Tech’in Introduction to Graduate Algorithms dersini takip edip ders içeriğinin tamamını Python’da uyguladıktan sonra ancak FFT’yi anladım
    Gerçekten iyi bir ders:
    https://edstem.org/us/courses/47529/lessons/80063/slides/440...
    • Bağlantıyı açınca yalnızca giriş yapmamı istiyor. Doğal olarak hesabım yok
      Ed’i ilk kez duyuyorum ve ilgimi çekti; ama “see how it works” bölümü de gerçekte nasıl çalıştığını göstermiyor. Günümüz eğilimine uygun şekilde önce kayıt olmak gerekiyor gibi, bu da üzücü
    • Bu dersin lisans düzeyi sürümü de var mı?
  • Fourier serisini anlamak için iyi bir öğretici; ayrıca Fourier serisi tabanlı bir Tetris oyunu bile var
    Fourier serisi ve Fourier dönüşümünü ele alan videoları ve kitapları derleyen faydalı bir site de var:
    https://howthefouriertransformworks.com/
  • Matematiği görsel olarak sezgisel hâle getiren animasyonları olan harika bir inceleme. Basit olandan saçma derecede karmaşık olana uygun bir hızda genişleme biçimini seviyorum