Fonksiyonlar vektördür

 (thenumb.at)
2 puan yazan GN⁺ 2023-07-31 | 1 yorum | WhatsApp'ta paylaş
  • Fonksiyonlara sonsuz boyutlu vektörler gibi davranmak, görüntü ve geometri işleme, eğri uydurma ve makine öğrenmesi gibi problemleri lineer cebir diliyle açıklamayı mümkün kılar
  • Gerçek değerli fonksiyon uzayı, fonksiyonların değerlerini toplayıp çıktıları skalerle ölçekleyerek vektör uzayı aksiyomlarını sağlar; polinomlar da (1,x,x^2,\dots) gibi bazlarla ifade edilebilir
  • Türev, lineer kombinasyonları koruduğu için bir lineer operatör olur ve polinom bazında katsayı vektörleri üzerinde etkileyen sonsuz bir matris gibi görülebilir
  • İç çarpım integralle tanımlanırsa, fonksiyon uzaylarında da uzunluk, diklik ve ortonormal baz ele alınabilir; öz-eşlenik operatörler spektral teorem ile bağlantılıdır
  • Laplacian’ı köşegenleştirme bakışı, Fourier series, 2D görüntü sıkıştırma, spherical harmonics ve mesh Laplacian tabanlı geometri işlemedeki baz dönüşümü ve sıkıştırma fikrini tek bir çerçevede birleştirir

Fonksiyonlara vektör olarak nasıl bakılır

  • Vektörler genelde gerçek sayı listeleriyle başlar, ancak vektör uzayları karmaşık sayı listeleri, grafik çevrimleri ve sihirli kareler gibi başka nesneleri de içerebilir
  • (N) boyutlu bir vektör, uzunluğu (N) olan bir listedir ve bir indexten bir değere giden eşleme olarak yorumlanabilir
  • Tanım kümesi doğal sayılar gibi sayılabilir sonsuz olduğunda, fonksiyonlar sonsuz uzunlukta listelerle gösterilebilir
    • Örnek: (\mathbf{v}_i=i), (x\in\mathbb{N}) için (f(x)=x) fonksiyonunu temsil edebilir
  • Gerçek sayılar gibi sayılamaz sonsuz bir tanım kümesinde ise her elemana tamsayı indeks atamak mümkün değildir, dolayısıyla liste gösterimi kullanılamaz
    • Bu durumda vektör kavramı keyfi bir fonksiyona yaklaşır
    • Fonksiyonel analiz, fonksiyonları sonsuz boyutlu vektörler olarak ifade etmenin kesin tanımlarını ele alır
  • Buradaki amaç, sonsuz boyutlu sonuçları katı biçimde ispatlamaktan çok sonlu boyutlu lineer cebirle kurulan analoji üzerinden sezgi geliştirmektir

Fonksiyon uzayının vektör uzayı olma biçimi

  • Gerçek değerli fonksiyon uzayında skaler cisim (\mathbb{R}), vektör kümesi ise (\mathbb{R}\to\mathbb{R}) fonksiyonlarıdır; sıfır vektörü tüm girdilerde 0 döndüren fonksiyondur
  • Fonksiyon toplama, aynı girdide iki fonksiyonun değerlerini toplar
    • ((f+g)[x]=f[x]+g[x])
    • Bu, vektörlerin bileşen bazlı toplanmasının fonksiyon indeksleri bakışına genellenmiş halidir
  • Skaler çarpım, fonksiyon çıktısını ölçekler
    • ((\alpha f)[x]=\alpha f[x])
    • Her indeksin değerini ölçekleyen vektör işlemiyle örtüşür
  • Bu tanımlarla toplamanın değişme ve birleşme özellikleri, sıfır vektörü, toplamsal ters, ayrıca skaler çarpımın birim, birleşme ve dağılma özellikleri ispatlanabilir
  • Fonksiyonların standart bazı, her (\alpha) indeksi için sadece orada 1 olup diğer her yerde 0 olan baz fonksiyonları (\mathbf{e}_\alpha) olarak düşünülebilir
    • Tüm gerçek sayılar üzerinde sayılamaz sayıda baz fonksiyonu vardır; bu yüzden bunları basit toplamlarla yazmak zordur, ama belirli bir girdi (x) için yalnızca (\mathbf{e}_x)’in kaldığı sezgisini verir

Lineer operatörler ve türev

  • Matrisler, lineer kombinasyonları koruyan lineer dönüşümleri kodlar ve sütun vektörleri de yeni bir bazı tanımlıyor gibi yorumlanabilir
  • Fonksiyonlara da vektör gibi bakıldığında, matrislere karşılık gelen sonsuz boyutlu nesneler düşünülebilir; bunlar lineer operatör (\mathcal{L}) ile gösterilir
    • Pratikte sayılamaz sonsuz boyutlu operatörleri bütünüyle matris olarak yazmak mümkün değildir
    • Yine de her “sütun”un fonksiyon uzayında yeni bir baz fonksiyonunu temsil ettiği yapı faydalıdır
  • Türev lineerliği sağlar
    • (\frac{\partial}{\partial x}(\alpha f[x]+\beta g[x])=\alpha\frac{\partial f}{\partial x}+\beta\frac{\partial g}{\partial x})
  • Polinom uzayı (\mathcal{P}) içinde (1,x,x^2,x^3,\dots) sayılabilir sonsuz bir baz oluşturur
    • (p[x]=a+bx+cx^2+dx^3+\cdots), katsayı vektörü ([a,b,c,d,\dots]^T) olarak yazılabilir
    • Türev, bu katsayı vektörünü ([b,2c,3d,\dots]^T) haline getiren sonsuz bir matris olarak temsil edilir
  • Analitik fonksiyonlar 0 çevresindeki Taylor series ile ifade edilir, dolayısıyla polinom bazının lineer kombinasyonları olarak yazılabilir
    • Taylor expansion, kuvvet bazına yapılan bir baz dönüşümüne karşılık gelir

Köşegenleştirme ve özfonksiyonlar

  • Sonlu boyutta bir (\mathbf{A}) matrisi, yeterli sayıda lineer bağımsız özvektöre ve gerçek özdeğerlere sahipse köşegenleştirilebilir
    • (\mathbf{A}=\mathbf{U\Lambda U^{-1}})
    • Bu, özbazına geçmek, özdeğerlerle ölçeklemek ve standart baza geri dönmek anlamına gelir
  • Fonksiyon uzayında da bir lineer operatör (\mathcal{L}) için (\mathcal{L}f=\psi f) koşulunu sağlayan özfonksiyonlar düşünülebilir
  • Türev operatörünün özfonksiyonları (p_0e^{\psi x}) biçimindedir
    • Katsayı koşulu (p_i=\frac{\psi^i}{i!}p_0), üstel fonksiyonun serisini ortaya çıkarır
  • Ancak gerçek analitik fonksiyonların tamamı üzerinde türevi üstel fonksiyon bazıyla köşegenleştirmek mümkün değildir
    • (f[x]=x)’in üstel fonksiyonların lineer kombinasyonu olduğunu varsayarsak, iki kez türev alınan ifadede çelişki ortaya çıkar
    • (n). türevi 0 olan sabit olmayan fonksiyonlarda ya da sine ve cosine gibi periyodik fonksiyonlarda da benzer sorunlar görülür
  • Karmaşık değerli fonksiyon uzayına genişletildiğinde daha fazla operatör köşegenleştirilebilir
    • Türev, (\mathbb{C}\to\mathbb{C}) fonksiyon uzayında Laplace transform ile köşegenleştirilebilir
    • Laplace transform, diferansiyel denklemlerin çözümünde kullanışlıdır; ancak ters dönüşümü kolay olmadığından burada daha ileri gidilmez

Fonksiyon iç çarpımı ve spektral teorem

  • Öklid iç çarpımı, bir vektörün diğer vektör yönünde ne kadar ölçüldüğünü gösterir; bir vektörün kendisiyle iç çarpımı da uzunluğunun karesini verir
  • Fonksiyon uzayında iç çarpım, sonlu toplamların sürekli karşılığı olan integral kullanılarak tanımlanır
    • Gerçek değerli fonksiyonlar: (\langle f,g\rangle=\int_a^b f[x]g[x]\,dx)
    • Karmaşık değerli fonksiyonlar: (\langle f,g\rangle=\int_a^b f[x]\overline{g[x]}\,dx)
  • Her fonksiyon integrallenebilir olmadığından, iç çarpım uzayı ([a,b]) aralığında karesi integrallenebilir fonksiyonlarla sınırlandırılır
    • ([a,b]), ([-\infty,\infty]) de olabilir
  • Karmaşık fonksiyon iç çarpımı, eşlenik simetriyi, ilk argümana göre lineerliği ve pozitif belirli olmayı sağlamalıdır
    • Pozitif belirli olma özelliğini katı biçimde ele almak için, “neredeyse her yerde” 0 olan fonksiyonların eşdeğerlik sınıfları kullanılır
  • Spektral teorem fonksiyon uzaylarına da genellenir; öz-eşlenik operatörler gerçek özdeğerlere ve ortonormal özbazlara sahiptir
    • Sonlu boyutta simetrik matrislerin ortonormal özbazı vardır ve tersi de geçerlidir
    • Sonsuz boyutta kesin koşullar ve ispatlar daha karmaşıktır

Laplacian’ın köşegenleştirilmesi

  • 1 boyutlu fonksiyonlarda Laplacian ikinci türevdir
    • (\Delta f=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2})
  • İki kez kısmi integrasyon yapıldığında, Laplacian’ın öz-eşlenik olmaya yakın bir özellik taşıdığı görülebilir
    • Sınır teriminin ((f^\prime[x]g[x]-f[x]g^\prime[x])|_a^b) 0 olması gerekir
    • Bunun için tanım kümesi, periyodu (b-a) olan periyodik fonksiyonlarla sınırlandırılır
    • Basitleştirmek için aralık ([0,1]) alınır
  • Laplacian’ın periyodik özfonksiyonları (e^{2\pi \xi i x}) biçimindedir ve burada (\xi) bir tamsayıdır
    • Euler formülü sayesinde sine ve cosine bakışı ile karmaşık üstel fonksiyon bakışı birbirine karşılık gelir
    • Özdeğerler (-(2\pi\xi)^2)’dir
  • Bu özfonksiyonlar ([0,1]) aralığında birbirine diktir ve normları 1’dir
    • (\xi_1-\xi_2) sıfır olmayan bir tamsayı olduğunda iç çarpım 0 olur
    • Aynı fonksiyonun kendisiyle iç çarpımı 1 olur
  • Laplacian’ın ortonormal özbazına dönüşmek, Fourier katsayılarını hesaplamakla aynıdır
    • (\hat{f}[\xi]=\int_0^1 f[x]e^{-2\pi\xi i x}\,dx)
    • Ters dönüşüm: (f[x]=\sum_{\xi=-\infty}^{\infty}\hat{f}[\xi]e^{2\pi\xi i x})
    • Tüm Laplacian, gerçek değerli fonksiyonları gerçek değerli fonksiyonlara eşler; ancak ara gösterim karmaşık değerler içerebilir

Fourier series ve sinyal işleme uygulamaları

  • Fourier transform, Laplacian’ın özbazına geçiren bir baz dönüşümüdür
  • (\hat{f}[\xi]), (f) fonksiyonunun tamsayı frekans (\xi)’deki bir dalga ile ne kadar temsil edildiğini ölçer
    • Bu gösterim, fonksiyonu frekans uzayına taşır
  • Ortonormal baz olduğu için Fourier series, katsayıları tekrar dalgalarla birleştirerek kolayca ters çevrilebilir
  • Belirli bir eşik üstündeki Fourier katsayılarını atmak, fonksiyonun yumuşak bir yeniden inşasını üretebilir
    • Bu teknik low-pass filter olarak bilinir
  • Bir fonksiyonu yalnızca birkaç Fourier katsayısı saklayarak yaklaşık yeniden kurmak mümkün olduğundan, hesaplama açısından sıkıştırma için kullanışlıdır

Görüntü sıkıştırma ve spherical harmonics

  • Laplacian’ın tanımlanabildiği her yerde karşılık gelen bir Fourier transform bulunabilir
  • 2 boyutta Laplacian, ikinci kısmi türevlerin toplamıdır
    • (\Delta f[x,y]=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2})
  • ([0,1]\times[0,1]) üzerinde özfonksiyonlar (e^{2\pi i(nx+my)}) biçimindedir; burada (n,m) tamsayıdır
    • Nasıl 1D bir fonksiyon 1D dalga kümesine ayrıştırılıyorsa, 2D bir görüntü de 2D dalga kümesine ayrıştırılır
  • 2D Fourier transform’un bir varyantı, JPEG dahil birçok görüntü sıkıştırma algoritmasının merkezinde yer alır
  • Birim küre üzerinde de Laplacian tanımlanabilir ve onun ortonormal özbazı spherical harmonics olarak bilinir
    • (Y_\ell^m[\theta,\phi]=N_\ell^mP_\ell^m[\cos[\theta]]e^{im\phi})
    • (\ell\ge0), (m\in[-\ell,\ell])
    • Oyun motorlarında diffuse environment map ve global illumination probe sıkıştırmak için sık kullanılır
    • spherical harmonics, elektron orbitalleri olarak da görülebilir; kuantum mekaniği büyük ölçüde lineer operatörlerin özfonksiyonlarını inceler

Geometri işleme ve ek keşif alanları

İlgili okumalar

1 yorum

 
GN⁺ 2023-07-31
Hacker News yorumları

  • Bu yazıya iki kez oy vermek isteyecek kadar, şimdiye kadar gördüğüm fonksiyonel analizin temel kavramlarına girişlerin en iyisi.
    Matematiksel olarak daha derine inen iyi bir genel bakış olarak https://arxiv.org/abs/1904.02539 da var.
    Web sitesinin değinmediği harika bir uygulama da Koopman operatörü. Kontrol teorisinde otonom drone'lar, otomobiller, robot kollar gibi gerçek sistemlerin çoğu, ele alınması zor doğrusal olmayan dinamiklerle tanımlanır; Koopman operatörü ise doğrusal olmayan sistemler için küresel ölçekte yararlı bir doğrusal yaklaşım sağlar.
    Yani doğrusal olmayan bir sistemi oldukça yüksek doğrulukla doğrusal bir sistem gibi ele alabilirsiniz; bu da hesaplama açısından kontrol ve kestirimi büyük ölçüde basitleştirir. Bu tür bir doğrusallaştırma veriden de öğrenilebilir.
    Steve Brunton'ın Koopman teorisi materyalleri https://youtube.com/playlist?list=PLMrJAkhIeNNSVXUvppZTYNHKQ..., https://arxiv.org/abs/2102.12086 iyi; yumuşak robot kontrolü gibi uygulamalar da var https://arxiv.org/abs/1902.02827

    • İlk aklıma gelen, bunun Fourier dönüşümü ile kavramsal olarak şaşırtıcı derecede benzer olduğuydu. Gerçekten ilginç; biraz daha kurcalamayı düşünüyorum.
    • Steve Brunton'ın içerikleri için gerçekten minnettarım. Yüksek lisansım sırasında, 10 yıl önce bu tür materyalleri görebilseydim, bu alana duyduğu tutku ve açıklama düzeyi sayesinde belki doktoraya kadar devam ederdim.
      O zamanlar araştırma fonu aramaktan yorulmuş, bir kez daha tek başıma kuru kitaplar okumaktan akademiden soğuyup ayrılmıştım.
      İyi YouTube eğitimcileri muazzam gelecek fırsatları yaratıyor ve sonunda herkes bunun faydasını görecek. Kontrol teorisi, farklı alanlar arasındaki bağlantıları gösterdiği için, örüntüleri ve yapıları her yerde görmeyi seven biri için büyük bir keyif olabilir. Steve'in yakın zamanda toplumsal modeller için kontrol teorisi üzerine bir video da yayımladığını hatırlıyorum.

  • Fonksiyonların sonsuz boyutlu soyut vektör uzayının elemanları olarak ele alınabileceğinin fark edilmesi matematik tarihinde bir dönüm noktasıydı ve bu, fonksiyonel analiz alt alanının ortaya çıkmasına yol açtı.
    Bu bakış açısı değişiminin anlamı, 3 boyutlu Öklid uzayı gibi sonlu boyutlu uzayları incelemekten edinilen geometrik sezginin, belirli diferansiyel denklemlerin çözümlerinin varlığı gibi fonksiyonlarla ilgili zorlu problemlere uygulanabilmesini sağlamasında yatıyor.
    Bu değişimin tarihi 19. yüzyıl sonu ile 20. yüzyıl başına uzanır ve oldukça ilginçtir. O dönemde matematiğin aksiyomatik temelleri üzerine yapılan çalışmalar, matematiksel nesnelerin yapısını özlü bir aksiyom listesiyle yakalayıp sistemleştiren bir akım oluşturuyordu.
    Örneğin soyut vektör uzayı kavramı da böyle doğdu ve yalnızca Öklid uzaylarını değil, sonsuz boyutlu fonksiyon uzaylarını da kapsar hale geldi.
    Bu bakış açısı değişimini, en azından erken bir biçimiyle, şimdiden gösteren kaynaklardan biri Vito Volterra'nın 1889 tarihli hatıratı https://projecteuclid.org/journals/acta-mathematica/volume-1...
    Maurice Fréchet'nin 1906 doktora tezi https://zenodo.org/record/1428464/files/article.pdf ise bu yeni paradigmayı kristalize edip modern biçimiyle ortaya koyan, 20. yüzyılın ilk yarısında temel başvuru kaynağı haline gelmiş en etkili çalışmalardan biri olarak görülebilir.
    Elbette bunlar o dönemdeki sayısız çalışmadan yalnızca ikisi; sonraki gelişmelere bakıldığında Stefan Banach'ın 1932 tarihli kitabını da anmadan geçmek zor http://kielich.amu.edu.pl/Stefan_Banach/pdf/teoria-operacji-...

    • Fonksiyonel analiz yapmak için ille de vektör uzayı olması gerekmez; bence gerçekten gereken şey iç çarpım. Yine de iç çarpımın doğrusal olması gerektiğinden, sonuçta bir vektör uzayının içinde olmak gerektiğini kabul ediyorum.
    • Vektör uzayı kısmının güzel olmadığını söylemiyorum; ama buna fonksiyonel analiz denmesinin nedeni, çeşitli limit türleriyle, yarı-süreklilikle, uzayların tamamlanmasıyla vb. uğraşabilmesi ve bunların iyi özelliklere sahip olmasıdır.
      Bu yüzden asıl meselenin bu vektör uzaylarının gerçekten topolojik olması olduğunu düşünüyorum.

  • Bu bakış açısını her zaman çok sevmişimdir. Vito Volterra'nın Madrid'de verdiği diferansiyel denklemler ve integro-diferansiyel denklemler derslerini keyifle okuyorum; aynı zamanda fonksiyonel analizin oluşumuna da katkıda bulunmuştu.
    Burada fonksiyonel, dual vektöre karşılık gelen kavramdır. Volterra, sonlu değişkenli yapılardan sonsuza, hatta sayılamaz sayıda değişkene geçmeye yönelik analoji yöntemini sürekli kullanır.
    Aynı fikri fazla mı tekrarlıyorum diye kendi kendine utandığı bölümler bile var. Ders veren biriyseniz birlikte göz atmaya değer.
    https://searchworks.stanford.edu/view/526111

    • Givental da kendi diferansiyel denklemler ders notlarında bu bakış açısını kullanıyor. Fonksiyonların doğrusal bağımsızlığı ile vektörlerin doğrusal bağımsızlığı arasında kopukluk hisseden öğrencilere yardımcı olabilir.

  • Böyle indeks fonksiyonlarını bir vektör uzayının sonluötesi tabanı olarak kullanıldığını hiç görmedim. Söz konusu fonksiyon, taban fonksiyonlarının sonlu dizilerinin bir limit noktası olmaktan çok, çoğu terimi 0 olan tuhaf bir sonluötesi toplam gibi görünüyor
    Her fonksiyon için Fourier dönüşümünün mümkün olacağı da pek olası görünmüyor. Diyagonalizasyon yöntemiyle işe yarar bir sonuç çıkmayacağını kolayca çürütmek mümkün gibi
    Hilbert uzayı bile genelde yalnızca tam sayılarla indekslenir. Böyle bir taban, süreklilik ya da türevlenebilirlik koşulları hakkında hiçbir şey sağlamaz
    Gördüğüm tüm fonksiyonel analiz, bir tür süreklilik koşulu ve sayılabilir taban kullanıyordu. Bunun dışında, fonksiyonlara bakmak için çok yararlı bir bakış açısı ve kuantum mekaniği biçimciliğini anlamak için de daha çok bir başlangıç noktası sayılır

    • Bu yazıda en rahatsız edici bulduğum nokta tam da bu. Sezgi için yararlı ama toplamın arkasına konan "..." matematiksel olarak anlamlı değil
      Giriş düzeyinde öğretilen kuantum mekaniğinde de yaygın bir sorun. Yine de bu yazı da giriş kuantum mekaniği dersleri gibi fonksiyonel analiz kavramlarına motivasyon sağlamaya odaklanmış görünüyor; titiz olmasa bile açıklama amacıyla işe yarar
    • Bu yazı, çok bölümlü bir kitabın özeti gibi. Bir noktada uzayı periyodik fonksiyonların altuzayı ile sınırlandırıyor ve tabanı Dirac deltasından, frekansı 2pi*k/(b-a) olan; k'nin doğal sayı olduğu sinüs fonksiyonlarına çeviriyor
      Bu altuzaydaki tüm fonksiyonların Fourier dönüşümü vardır
    • Taban olabilmesi için her elemanın sonlu doğrusal kombinasyon olarak ifade edilmesi gerekir. Elbette başka tür taban seçimlerinde sayılabilir doğrusal kombinasyonlara izin veren kavramlar da var
      Bu yazı muhtemelen iyi bir nedenle, fonksiyonel analizde genelde epey zor bir seçim olan “hangi vektör uzayını kullanmalı” sorusunu tamamen görmezden geliyor
      Buradaki gibi fonksiyonları noktasal olarak tanımlayan vektör uzayı neredeyse her zaman en işe yaramaz seçimdir. Yine de konuya dair genel resmi öğretmek amaçlandıysa, kendi başına oldukça değerli
      “Her fonksiyon için Fourier dönüşümü mümkün olamaz” sözüne gelince, böyle bir uzayda işe yarar bir uzaklık kavramı bile elde etmek zordur
    • Matematikçilerin nefret ettiği tuhaf numara: seçim aksiyomu olmadan reel fonksiyonlar vektör uzayının tabanını oluşturma yöntemi

  • Bu, fonksiyonun gerçek tanımıyla bağlantılı. Fonksiyon, birinci kümenin her elemanını ikinci kümenin tam olarak bir elemanına götüren kümeler arası eşlemedir
    Vektör kullanma biçiminin sorunu, vektörlerin kümeler kadar genel olmaması; bu yüzden vektörle temsil edilemeyen fonksiyonlar vardır
    Örneğin vektörler tanımsız değerlerle ya da sayı olmayan elemanlarla başa çıkamaz

    • Fonksiyonlar da tanımsız değerlerle başa çıkamaz. Bir fonksiyon f, bir kümeden başka bir kümeye giden eşlemedir ve başlangıç kümesinin her elemanı hedef kümenin yalnızca bir elemanına karşılık gelmelidir
      Tanım gereği başlangıç kümesindeki tüm değerler hedef kümede bir şeye karşılık gelmek zorunda olduğundan, bu anlamda tanımsız değer yoktur
      Fonksiyon uzaylarını her zaman vektör uzayı olarak göremememizin nedeni, fonksiyonlar için toplama kavramı ya da skaler çarpım kavramı olmayabilmesi; olsa bile fonksiyonların sağladığı toplamsal yapıyla iyi uyuşmayabilmesidir
    • Bu, fonksiyonun tanımı değil; daha çok birebir ve örten fonksiyona yakın. Birebir-örten olmadığı hâlde iki farklı değere gidebilen basit bir örnek olarak sqrt(x) var

  • Bu yalnızca kodomen vektör işlemleri için gereken yapıya sahip olduğunda doğrudur. Fonksiyonlar vektörlerden daha geneldir

    • Doğru. Daha somut olarak, kodomenin Abel grubu olması gerekir. Üstelik bu bile tek başına yeterli değildir; skaler cismin de o kodomen üzerinde uygun özelliklerle etki etmesi gerekir

  • Gerçekten harika görünüyor ve ileride daha ayrıntılı okumak isterim. Standart bir fizik lisans programında bunların çoğu muhtemelen işlenir
    Yine de iyi bir film ya da kitap gibi, kavramın kendisi ilginç olduğu için birden fazla kez dönüp bakmaya değer
    Programcı açısından bu tekniklerin bazıları epey hack gibi görünüyor. Başta gayet makul tam sayı indekslerle başlanıyor, sonra indeksin genelleştirilebildiği fark ediliyor ve indekse başlangıçta amaçlanandan çok daha fazla bilgi tıkıştırılıyor
    Asıl şaşırtıcı olan, bu aptalca ve kötüye kullanım gibi görünen fikirlerin sonunda her zaman içgörülü ve yararlı bir şeye yol açması. Biraz sihir gibi

  • Pyro ve NumPyro olasılıksal programlama dillerinde kullanmak üzere Eli Bingham ile birlikte yaptığımız Funsor kütüphanesini tanıtmak isterim
    “Fonksiyonlar tensördür” bakış açısını alıp, ağırlıklı olarak olasılık dağılımlarının log yoğunluk fonksiyonlarını hedefleyen, fonksiyonlar için NumPy benzeri bir kütüphane yapmaya çalıştık
    Makale: "Functional Tensors for Probabilistic Programming" (2019) https://arxiv.org/abs/1910.10775
    Kod: https://github.com/pyro-ppl/funsor

  • Bence bu yazı yönü ters aldığı için kötü bir sezgi veriyor. Fonksiyonların vektör uzayı oluşturmasını sağlayan şey girdi değil, çıktıdır
    Herhangi bir X kümesinden F cismine giden fonksiyonlar, X sıralı olmasa bile bir vektör uzayı oluşturabilir

    • Ne girdi ne de çıktı; girdiyi çıktıya gönderen karşılık, yani fonksiyonun kendisidir

  • Takip edebildiğim kadarıyla çok ilginç bir bakış açısı ama ne yazık ki pek fazla takip edemiyorum
    Bu tür biçimsel mantığın, vektörleri açıklayan fonksiyonları türetmeye yardımcı olup olmadığını merak ediyorum
    Büyük veri analizi, örneğin sinir ağı eğitimi söz konusu olduğunda, en büyük verimsizlik ve darboğaz hâlâ beklenen vektöre benzer çıktıyı yaklaşık veren bir fonksiyonu bulma yöntemine indirgeniyor gibi
    Bu yöntemin sembolik regresyon olması ya da birçok dönüşüm katmanı içermesi fark etmiyor. Girdi ile çıktı arasındaki ilişkiyi bir şekilde çıkarmadan ya da sıkıştırmadan yalnızca fonksiyon olarak vektörler üzerinde işlem yapabilmek “sihir” gibi olurdu

    • Mümkün. Vektöre Fourier dönüşümü uygulayıp katkısı düşük terimlerin, yani frekansların bir kısmını atabilir ve yalnızca kalan katsayıları saklayabilirsiniz
      Bu, özünde MP3 ve JPEG sıkıştırmasının temel fikridir. Elbette uzay ile zamanı takas eder; özgün vektörün bir yaklaşımını elde etmek için önce ters Fourier dönüşümü uygulamanız gerekir
    • Burada söz edilen vektörü R^3'teki [x y z] gibi somut değerler koleksiyonu olarak düşünüyor olabilirsiniz
      Bu yazı soyut vektör uzaylarını, onların özellikleri olan vektör toplaması ve skaler çarpım gibi şeyleri ele alıyor; özellikle de fonksiyonların bu tanımı sağlayarak fonksiyonlardan oluşan bir vektör uzayı, yani fonksiyon uzayı oluşturduğunu söylüyor
      Örneğin iki fonksiyon f, g ve bir skaler b varsa, bunlar şöyle ele alınabilir
      f + g = g + f
      b(f + g) = bf + bg
      Ayrıca (-f) vardır ve f + (-f) = 0 olur; burada 0 sıfır fonksiyonudur ve fonksiyon uzayında bu sıfır fonksiyonunun da var olması gerekir