‘Calculus Made Easy’ Prologu: Diferansiyel ve integral hesabı sanıldığından daha kolay öğrenilebilir
(calculusmadeeasy.org)- Bu prolog, pek çok insanın diferansiyel ve integral hesabı hesaplamalarını yapabildiği gerçeğinden yola çıkarak, aynı püf noktalarını öğrenmenin mutlaka zor ya da sıkıcı olmak zorunda olmadığını söylüyor
- Diferansiyel ve integral hesabında çok kolay püf noktaları ile çok zor bölümlerin birlikte bulunduğunu; en baştan her şeyi zor görmek gerekmediğini ayırt ediyor
- İleri düzey matematik ders kitaplarını, kolay hesapları kolayca göstermek yerine yazarın zekâsını sergiler gibi karmaşık biçimde ele almakla eleştiriyor
- Anlatıcı kendini “remarkably stupid fellow” diye küçümseyerek, ayıkladığı zor olmayan kısımları aynı durumdaki okura göstereceğini söylüyor
- Kolay kısımlar yeterince öğrenilirse geri kalanının da geleceğini belirtiyor ve “What one fool can do, another can” tavrıyla öğrenme olasılığını vurguluyor
Prologun diferansiyel ve integral hesabının zorluğu hakkında söyledikleri
- Diferansiyel ve integral hesabı, her parçası aynı derecede zor olan bir alan değil; kolay püf noktaları ile çok zor püf noktalarını birlikte barındırır
- Çok sayıda insanın hesap yapabiliyor olması, başkalarının da aynı hesaplama püf noktalarını öğrenebileceğine dayanak oluşturur
- İleri düzey matematik ders kitapları, kolay kısımları kolayca açıklamak yerine karmaşık biçimde ele alma eğiliminde olmakla eleştirilir
Okura önerilen öğrenme tutumu
- Anlatıcı, bizzat zorlukları ayıklama sürecinden geçtiğini söyler
- Bu kitap, önce zor olmayan kısımları öğrenip temel yeterince güçlenince geri kalanının da geleceği görüşünü benimser
- Son cümle olan “What one fool can do, another can”, bir kişinin yapabildiğini başka bir kişinin de yapabileceği öğrenme olasılığını özetler
1 yorum
Hacker News görüşleri
Okuldan ayrıldıktan yaklaşık 10 yıl sonra fizik dersleri yeniden ilgimi çekti; klasik mekanik kitabı aldım ve temel lineer cebire de tekrar bakmaya başladım.
Ama birçok ders kitabının vektör iç çarpımını hesaplama prosedürünü ele alıp, neden önemli olduğundan—iki vektörün benzerliğini değerlendirmede işe yaramasından—neredeyse hiç söz etmemesine şaşırdım.
ChatGPT ile anlamı üzerine konuştuktan sonra ancak kafama yattı; bugünlerde üniversite zamanına göre yavaşlayıp kavramları iyice kavrayarak ilerleyebilmek hoşuma gidiyor.
Okuduğum matematik kitaplarının çoğu, genel anlamdan çok mekanik prosedürleri göstermeye eğilimli; bu yüzden kavramların anlamsal açıklamasını daha iyi yapan kitapların nerede olduğunu merak etmeye başladım.
Özvektörleri hesaplama prosedürünü öğrenmiştim ama böyle bir şeyi neden isteyeceğimize dair tek kelime duymadığımı hatırlıyorum.
Doğru dürüst açıklamak için “kalkülüs, lineer cebir ve kuantum mekaniğinin hepsini öğretiyoruz” gibi ders hedeflerini daha mütevazı koymak gerekiyor olabilir.
O günden sonra matematiğe olan hevesimi kaybettim; yıllar sonra integralin eğrinin altındaki alanla ilişkili olduğunu ve ne kadar kullanışlı olduğunu öğrenince yeniden öfkelendim.
Öğretmenlerin çoğu iyi niyetle çaba gösteriyordur ama bir daha sınıfa girmemesi gerekecek kadar berbat insanlar da kesinlikle var.
O zamana kadar bu, sınavı geçmek için ezberlemem gereken soyut kavramlara bağlı bir başka soyut kavramdan ibaretti.
Bugün de soyut cebir ilişkileri gibi makaleleri okurken, o kavramı sezgisel olarak nasıl düşünmem gerektiğine dair bir iki cümle bile olmadan sadece sembolik ilişkiler sıralanınca bunaltıcı geliyor.
Matematik oyununun içinde bu bakış açısı doğal hale gelir; ama birçok kişi ek motivasyonlarla matematik öğreniyor ve gerçek kullanışlılığını ya da gerçek dünyayla bağını gösteren bir bakış açısı istiyor.
Soyut bir kavramın tek bir somut örneğini göstermek bile, çok daha fazla zeki ve ilgili okurun matematik makalelerini anlayabilmesini sağlar.
Kalkülüsü ancak Steven Strogatz’ın mükemmel kitabı Infinite Powers’ı okuduktan sonra doğru dürüst anladım; bu kitap yalnızca nedenini değil, o nedenin tarihini de açıklıyor.
Şahsen 10 üzerinden 10’luk bir kitap.
https://www.stevenstrogatz.com/books/infinite-powers
Benim gördüğüm düşük seviyeli fizik kitapları, iç çarpımı geometrik tanım ve cebirsel tanımla tanıtıyor, 2–3 boyutta ikisinin aynı olduğunu gösteriyordu.
“Nasıl” cebirsel tanımsa, “neden” geometrik tanıma karşılık gelir.
Fizikte iç çarpım, benzerliği ölçmek için değil, uzunluk ve açıları verdiği için önemlidir; daha soyut uzaylarda ise iç çarpım uzunluk ve açının tanımı haline de gelebilir.
Makine öğrenmesinde bir benzerlik tanımına ihtiyaç vardır; bu da iki vektör arasındaki açının küçük olması şeklinde kurulabildiği için o bakış açısı devreye girer.
Daha geleneksel benzerlik ölçütü farkın uzunluğu, yani mesafedir; bu da iç çarpımla hesaplanır.
Okulda, işte ve hobi olarak 20 yıldır kalkülüsle uğraşıyorum; böyle yazıları görünce her zaman keyif alıyor ve gülümsüyorum.
Doğru şekilde ortaya konduğunda, yıllar içinde oluşmuş sezginin birkaç dakikada aktarılabildiği hissini veriyor.
“(dx)^2, x’in çok küçük bir parçasının daha da küçük bir parçasıdır” gibi açıklamalar, stokastik kalkülüsü en azından temel düzeyde anlamak için yakın zamanda harcadığım onlarca saatlik çabanın da temel direklerinden biri oldu.
Böyle kaynakları görünce, yeni neslin bu bilgilere erişip daha hızlı öğrenebildiğini ve insanlığın ilerlediğini düşünüyorum.
Bugün de bunun ciddi biçimde değişmesi pek olası görünmüyor.
Bunun bir kısmı, sonsuzküçüklerin ontolojik statüsü etrafındaki eski, çoğu zaman felsefi ve teolojik tartışmalarla ilgili.
Farklar oranı, türev hesabının resmi formülasyonu haline geldi; ama pratikte neredeyse hiç böyle kullanılmıyor, gerçek dünyada kalkülüs bu şekilde kullanılıyor.
Uygulamada hâlâ geçici çözüm gibi duran sonsuzküçük gösterimi kullanılıyor; fakat kuralları ayrı olan tuhaf bir nesne ve bu kuralları gerçekten bilen pek fazla kişi yok.
Standart dışı analiz, sonsuzküçükleri neredeyse sıradan cebir kurallarıyla ele almaya izin veriyor; bunun temel teknik ve felsefi sorunları olduğu için mi daha az kullanıldığını, yoksa bunun sadece muhafazakârlıktan mı kaynaklandığını bilmiyorum.
Stokastik kalkülüs gerçekten tuhaf; örneğin sürekli zamanlı Kalman filtresinin “doğru” formülasyonunu hiç anlamış değilim.
Zaman aralığını 0’a gönderme şeklinde bakınca, uygun şekilde elden geçirilirse doğru sonuç çıkıyor; ama anladığım kadarıyla biçimsel olarak tam doğru değil.
Üniversiteye giriş sürecinde kalkülüs alan biri için bu tür kalkülüsü kolay öğrenme broşürleri sinir bozucu derecede klişe geliyor
Zor olan kısım en üst düzey kavramlar değil, gerçek kalkülüs problemlerini çözmek için gereken temel bilgi
Benim için en zor kısım birincisi, kareye tamamlama işleminden polinomlarda uzun bölmeye, türev içeren denklemlere kadar beklenmedik problemleri çözebilecek kadar ön bilgiyi sağlam edinmek
İkincisi, Leibniz gösteriminden eğri çizimine kadar notasyon ve grafik tekniklerini anlayıp doğru uygulamak
Bu yüzden yalnızca giriş düzeyi kalkülüsü ele alan kalın kitaplar ve dersler var; daha ileri matematiğin yüzeyini bile kazıyamıyorlar
Yalnızca HTML sayfasını okumadıysanız, bunun Silvanus P. Thompson’ın 1910’da yayımladığı tek ciltlik bir kitap olduğunu, yeterince değer gördüğü için 1998’de Martin Gardner tarafından yeniden düzenlendiğini ve gönüllülerin TeX ile özenle yeniden dizip web sitesine dönüştürdüğünü görürsünüz
Açık bir ihtiyacı karşılıyor ve basitçe “klişe” bir broşür değil
Yine de Gardner baskısını, iki güçlü kişiliğin çatışması olarak görüp önermeyenler de var
Kişisel olarak Khan Academy’yi öneririm; lise matematiğinin tamamını baştan sona yeniden çözmek iyi olur
Ben de benzer durumdayken YouTube’daki Khan materyallerine bakmıştım; lise notlarım fena değildi ama okulum iyi olmadığı için temellerin çoğunu atlamıştım ve gerçek matematik çalışmasına hiç hazır değildim
Profesör ya da asistan karmaşık bir ifadede “cebirden bildiğimiz bariz bir numarayı” gösterdiğinde, çoğu zaman bunu hayatımda ilk kez görüyordum
Kalkülüs öğrenirken cebiri, geometriyi ve trigonometriyi kendi kendine yeniden çalışmaktan başka pek yol yok
Cebir beceriniz zayıfsa kalkülüs denklemlerinin üstesinden gelemezsiniz; çözümü de “kalkülüsü kolay öğrenme”de değil, “cebiri kolay öğrenme”de aramak gerekir
Lisede kalkülüs problemlerini epey iyi çözüyordum ama limitin gerçekte ne olduğunu neredeyse hiç anlamamıştım
Üniversitede limitin tanımını ve onun üzerine kurulan temel teoremleri anladığımda büyük bir şok yaşamıştım
Her gün karmaşık matematik problemleri çözmesi gerekmeyen çoğu insan için matematik öğrenmenin özü, mekanik olarak problem çözme becerisi değil; düşünme yetisinin genelini şekillendiren matematik kavramlarını ve fikirlerini anlamaktır
Cebirin hangi kısmına mı ihtiyacınız var? Bunu kendiniz bulmalısınız
Matematiği tersten öğrenirken büyük engel bu; her köşe başında eksik bir parça ortaya çıkıyor ve o parça da başka bir eksik parçaya götürüyor
Temelden ileriye doğru çıkma yöntemi matematik kasları çok yavaş geliştiği için sinir bozucu; yukarıdan aşağı inme yöntemi de yavaş ve sinir bozucu
Yalnızca kavramsal anlayış sizi matematikte iyi yapmaz; birkaç problem çözmeden önce kendinizi “anladım” diye kandırmak kolaydır
Alt seviye problemleri yeterince tekrar edip kas hafızası haline getirdikten sonra ancak bir üst seviyeye çıkabilirsiniz
Yine de bir noktada acının ve tavşan deliği hissinin oldukça hızlı azaldığı bir dönüm noktası gelir; tekrarlanan pratik karşılığını verir ve sonraki küme biraz daha kolaylaşır
Programlamada da aynı şey geçerli: yalnızca döngü kavramını bilmek, dizileri sıralayan kodu verimli yazmanızı sağlamaz; söz dizimini ve döngüleri yeterince kullandıktan sonra sıralama algoritmalarını tekrar ederek içselleştirmeniz gerekir
Bu süreçten geçtikçe aynı kavramın farklı varyasyonlarla tekrarlandığını görürsünüz ve giderek daha kısa sürede kavramaya başlarsınız
Pek çok insanın pes edip kendisinde matematik geni olmadığına inanmasının nedeni de bu
Kalkülüs için okunabilecek başka bir kitap da Otto Toeplitz’in The Calculus: A Genetic Approach kitabı
Benzer bir yolu izliyor ve keyifle okumuştum
https://press.uchicago.edu/ucp/books/book/chicago/C/bo548572...
Lise ve mühendislik dönemindeki matematik derslerinde iyi notlar alacak kadar kalkülüsü “biliyordum”, ama gerçekten kalkülüsü bildiğimi hissetmem 1908’de yayımlanan “A Course of Pure Mathematics” gibi bir kitabı okuduktan sonra oldu
O kitap sayı teorisinden başlayıp kalkülüsü inşa ediyor; kalkülüsün temel teoreminin kitabın ortalarına doğru geldiğini hatırlıyorum
Böyle öğrenince unutmak zor oluyor
Bugün bu şekilde öğretilmemesinin nedeni bence sınav sistemi ve büyük amfilerin, temel formülleri geçici olarak ezberlemeyi ve bunları mekanik olarak nereye uygulayacağını bilmeyi, derin ve kalıcı anlamaya tercih etmesi
Her yıl matematik öğretmeninin değişmesi, sonraki yılın dersi için gerekli ön bilgi düzeyinin öğrenciden öğrenciye çok farklı hale gelmesi ve her ünitenin başını tekrar ve bütünleştirmeye ayırma gereği de bunun nedenlerinden
Ömür boyu kalacak zengin bir anlayış edinmek muhtemelen yalnızca %10–20 daha fazla zaman alırdı; ama gerçek öğrenmeden çok sıkıştırmaya ve hemen ölçülebilir sonuçlara önem veriliyor
Böyle materyallerle karşılaşmak gerçekten sevindirici, ama modern eğitim yöntemlerinin yaygın halinin epey içler acısı olduğunu fark ettirdiği için buruk da
Son birkaç aydır Professor Leonard’ın YouTube kanalı[0] üzerinden cebir temellerini çalışıyorum
Amacım, kalkülüse yeniden bakmadan önce bilgimdeki boşlukları kapatmak
Bunu düzgün yapmak epey zaman alıyor, ama şu an becerilerime güvenim eskisinden çok daha yüksek ve bu başlı başına tatmin edici ve motive edici
Başlamadan önce cebir bilgimdeki deliklerin bu kadar büyük olduğunu bilmiyordum
Nihai hedefim Andrej Karpathy’nin “Neural Networks: Zero to Hero”[1] serisini büyük sorun yaşamadan takip edebilmek
Gerçekten öğrenmek istediğim şeyi kendi kendime çalışmadan önce neredeyse “0”dan başlayıp ön bilgileri öğrenmek yorucu, ama kestirme yolu seçmek sonunda hayal kırıklığına götürecek gibi geliyor
Bu yüzden 38 yaşında YouTube’dan cebir dersleri dinliyorum
[0] https://youtube.com/@ProfessorLeonard?si=0kiGvmbZv4b9Sgf9
[1] https://youtube.com/playlist?list=PLAqhIrjkxbuWI23v9cThsA9Gv...
Bu kitabı Feynman’ın çalıştığı Calculus for the Practical Man ile sürekli karıştırıyorum
https://archive.org/details/calulusforthepra000526mbp
Başta yazar Silvanus P. Thompson[1] doğrudan anılmalı değil mi diye düşünüyorum
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Calculus_Made_Easy
Bağlantı, yazar adının bulunduğu ilk sayfaya gitmiyor
Ben sadece yazarın bilerek aşırı sevimli bir üslup kullandığını sanmıştım
Başlık kalkülüsü kolaylaştırdığını söylüyor ama işin içinde kategori teorisi yok
“Bu nasıl mümkün olabilir?!” diye sorulduğunu duyar gibiyim
Bu kitap 1910’da yazılmış, kategori teorisi ise bundan 50 yıl sonra ortaya çıkmış; yani başka türlüsü olamazdı
Yine de endişelenmeye gerek yok
Kategorileri kullanarak olağan türev ve integrali geliştiren bir kitap var
Bundan daha kolay ne olabilir bilmiyorum ama bulursam haber veririm
https://books.google.com/books?id=gaE5EAAAQBAJ&newbks=1&newb...
Emek için teşekkürler ama birkaç sayfa okuyunca bile, kalkülüsü ilk kez öğrenen biri olsam isteyeceğim kaynak bu olmazdı diye hissediyorum
Tekrar için de kusursuz değil
Yazar, çoğu “düzgün” kitabın sorununu doğru tespit ediyor; ama fazla telafi etmeye çalışıp anlamayı gereksiz yere karmaşıklaştırıyor ve bazı resmi ders kitaplarından bile daha zor hâle getirebiliyor
Fazla uzun, fazla gayriresmî ve okuyup takip etmesi epey zor
Dean Swift şiiri ya da “Queen Elizabeth dönemi” gibi göndermelere ihtiyacım yok; sadece kalkülüsün ne olduğunu, neden gerekli olduğunu ve pratikte nasıl yapıldığını bilmek istiyorum
Daha kolay görünen mühendislik yaklaşımı izleniyor olsa bile bu böyle; azıcık bile matematiksel bir yaklaşım için hâlâ belli bir biçimsellik gerektiğini düşünüyorum
Matematik, aslında anlamadığınız hâlde anladığınızı sanmanın çok kolay olduğu bir alan; sonra paradoksal sahte ispatlar ya da doğrudan ispatlama talepleri karşısında donup kalabilirsiniz
Geçerli bir türetimle geçersiz bir türetimi ayırt etmek için sonunda biçimsel tanımlara ihtiyaç var
Aslında biçimsel temellerin kendisi hiç de anlaşılması zor şeyler değil
Herkes x²’nin x’ten daha hızlı büyüdüğüne kolayca katılabilir; limit kavramını devreye sokunca da (dx)²’nin dx’e kıyasla neden ihmal edilebileceğini görebiliriz
Bunun için haftalarla dakikaları karşılaştırmaya gerek yok; böyle benzetmeler dikkati dağıtabilir
Birkaç sayfalık “eski İngiliz usulü” nutuk yerine birkaç biçimsel tanım okumak bana çok daha az sabır gerektiriyor gibi geliyor
Düzenleme: Aa, bu “üslup taklidi” değil, gerçekten eski bir metinmiş
Yine de kalkülüs öğrenmek için çok daha iyi güncel kaynaklar olduğu ana fikri değişmiyor