6174: Kaprekar Sabiti olarak bilinen doğal sayı

 (en.wikipedia.org)
3 puan yazan GN⁺ 2024-01-17 | 1 yorum | WhatsApp'ta paylaş
  • 6174, 6173 ile 6175 arasındaki doğal sayıdır ve matematikte Kaprekar's Constant olarak sınıflandırılır
  • Asal çarpanlara ayrılması 2 × 3² × 7³ şeklindedir ve tüm asal çarpanları 7 veya daha küçük olan bir 7-smooth number'dır
  • 6174, 18³ + 18² + 18¹ olarak ifade edilebilir ve rakamlarının toplamı da 18'dir
  • Asal çarpanları tekrarlarıyla birlikte kareleyip topladığınızda 169 = 13² elde edilir; yani sonuç yine bir tam karedir
  • Numberphile videosu ile Perl, Python ve C örnek kodları bağlantılıdır; böylece Kaprekar's Constant hesaplamasına dair örnekler görülebilir

6174'ün temel tanımı

  • 6174, 6173'ten sonra ve 6175'ten önce gelen doğal sayıdır
  • Kardinal gösterimi “six thousand one hundred seventy-four”, ordinal gösterimi ise 6174th şeklindedir
  • Asal çarpanlara ayrılması 2 × 3² × 7³ şeklindedir
  • Bölenleri 1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 42, 49, 63, 98, 126, 147, 294, 343, 441, 686, 882, 1029, 2058, 3087 ve 6174'tür

Çeşitli sayı sistemlerindeki gösterimi

  • İkilik: 1100000011110₂
  • Üçlük: 22110200₃
  • Altılık: 44330₆
  • Sekizlik: 14036₈
  • On ikilik: 36A6₁₂
  • On altılık: 181E₁₆
  • Yunan sayı gösterimi ,ϚΡΟΔ´, Roma rakamlarıyla gösterimi ise V MCLXXIV veya VI CLXXIV'dir

Matematiksel özellikleri

  • 6174, Kaprekar's Constant'tır
  • Bir 7-smooth number olup asal çarpanları arasında 7'den büyük sayı yoktur
  • 18'in ilk üç kuvvetinin toplamı olarak 6174 elde edilebilir
    • 18³ + 18² + 18¹ = 5832 + 324 + 18 = 6174
    • 6 + 1 + 7 + 4 = 18 olduğundan, rakamları toplamı da 18'dir
  • Asal çarpanlarının kareleri toplamı bir tam kare olur
    • 2² + 3² + 3² + 7² + 7² + 7² = 4 + 9 + 9 + 49 + 49 + 49 = 169 = 13²

İlgili dış kaynaklar

İlgili okumalar

1 yorum

 
GN⁺ 2024-01-17
Hacker News görüşleri

  • Bu, hataları çift girişli muhasebe defterinde ararken kullanılan standart manuel muhasebe hileleriyle açıkça bağlantılı görünüyor. Önce hata tutarının 9’a tam bölünüp bölünmediğine bakarsınız; bölünüyorsa bir yerde iki ya da daha fazla basamak yer değiştirmiştir diye düşünülür
    Sebebi şöyle kanıtlanabilir: herhangi iki rakam x, y için doğru değer 10x + y, yer değiştirmiş değer ise x + 10y’dir. Aradaki fark (10x - x) + (y - 10y) olur, bu da 9x - 9y’ye indirgenir ve sonuçta 9(x - y) olarak çarpanlarına ayrılır

    • Doğru. Burada iki unsur var ve bu galiba birincisi. Sol ve sağ taraftaki rakam toplamları 18’e yakınsıyor
      a - rev_a = b denkleminde her iki tarafın rakam toplamı, tekrarlandıkça birbirine yaklaşıyor. Bazen aynı uzaklıkta kalıyorlar ama daha fazla uzaklaşmıyorlar. Ve bu yakınsama yalnızca 18’de gerçekleşiyor
      Örnek:
      5200 (toplam 7) - 0025 = 5175 (toplam 18, fark 11)
      7551 (toplam 18) - 1557 = 5994 (toplam 27, fark 9)
      9954 (toplam 27) - 4599 = 5355 (toplam 18, fark 9)
      5553 (toplam 18) - 3555 = 1998 (toplam 27, fark 9)
      9981 (toplam 27) - 1899 = 8082 (toplam 18, fark 9)
      8820 (toplam 18) - 0288 = 8532 (toplam 18, fark 0)
      8532 (toplam 18) - 2358 = 6174 (toplam 18, fark 0)
      7641 (toplam 18) - 1467 = 6174 (toplam 18, fark 0)
      Sanırım ilk ipucu bu. İki tarafın rakamlarının eşit olabildiği tek durum, her iki tarafta da 18 olması; iki tarafın toplamları giderek birbirine yaklaşır ve sonunda eşitlenmeleri gerekir, o nokta da 18 olmalıdır. Daha derine inince bunun klasik rakam toplamı mod 9 kuralının bir varyasyonu olduğu anlaşılıyor gibi
      Sonra, iki tarafın rakam toplamı 18 olduğunda, oradan itibaren 6174’e yakınsamaları gerekiyor gibi görünüyor
      Yani önce rakam toplamları her iki tarafta da her zaman eşit olacak şekilde yakınsıyor ve bu yakınsama, denklemin iki tarafındaki rakam toplamları 18 olduğunda gerçekleşiyor. Bu özellik muhtemelen klasik mod 9 kuralıyla kanıtlanabilir ama biraz uğraşmak gerekir
      Sonrasında ikinci özellik devreye giriyor; bu denklemin iki tarafındaki rakam toplamı da 18 olan tüm dört basamaklı sayıların 6174’e yakınsadığını düşünüyorum. Bu daha sınırlı bir sayı kümesi. Yukarıdaki 18’e yakınsama ayrı incelenebildiğine göre, yalnızca a - a_rev = b biçiminde olup hem a’nın hem b’nin rakam toplamı 18 olan sayıları ele almak yeterli
    • Apaçık ifadesi hiç de öyle değildi. Epey ciddi düşünmem gerekti
    • Neden doğru değer 10x + y oluyor?

  • Bunun neden önemli olduğuna dair hiç fikrim yok ama son zamanlarda HN’de gördüğüm en havalı şey bu
    Matematik meraklısı biri değilim, okulda da mümkün olduğunca kaçtım ama bu gerçekten ilginç ve tuhaf. Bunu nasıl ve neden bulmuş olabilirler? Bu sayının özelliği yeterince ilginç ama keşif sürecinin kendisi de gerçekten acayip

    • Lockhart’s Lament’i okumak iyi olabilir. Aslında matematiği seviyor olabilirsiniz; sadece okulun matematik öğretme biçimi berbattı
    • Benzer şekilde okul yıllarında Lychrel sayılarına takmıştım. Bir x sayısı alıp basamaklarını ters çevirerek y elde ediyorsunuz, sonra x ile y’yi toplayıp bunu tekrarlıyorsunuz
      Sonunda süreç, ters çevrilince aynı kalan bir palindrom sayıya ulaşıyor. Ama 196 gibi bazı sayılar hiç palindrom üretmiyor gibi görünüyor. Bunun gerçekten böyle olup olmadığını, yoksa palindromun sadece henüz bilgisayarların bulamayacağı kadar büyüyüp büyümediğini kimse bilmiyor

  • İlgili yazılar:
    Mysterious number 6174 - https://news.ycombinator.com/item?id=2625832 - Haziran 2011 (64 yorum)
    6174 - https://news.ycombinator.com/item?id=1625606 - Ağustos 2010 (1 yorum)
    Mysterious number 6174 - https://news.ycombinator.com/item?id=480200 - Şubat 2009 (41 yorum)

  • Hintli matematikçiyle bağlantılı bir başka ilginç dört basamaklı sayı da 1729: https://en.wikipedia.org/wiki/1729_(number)

  • Vay canına. Bu özelliğe sahip tek bir dört basamaklı sabitin bile neden var olduğuna dair gayriresmî bir sezgi var mı? Sezgisel olarak bu grafikte birden fazla döngü olmasını beklerdim

    • Bunu daha az şaşırtıcı yapan şeylerden biri, aynı sonuca eşlenen çok sayıda sayı olması. Örneğin aynı rakam kümesinin tüm permütasyonları öyle
      Kontrol ettim; bu işlemi tüm dört basamaklı sayılara uygulayınca farklı sonuç sayısı yalnızca 55, 0000 hariç tutulursa 54 çıkıyor. Bu da çok sayıda döngü oluşması için alanı daraltıyor
    • https://en.wikipedia.org/wiki/Kaprekar%27s_routine sayfasına bakabilirsiniz
      Kabaca bakınca birkaç örüntü görülüyor. Örneğin iki basamaklı Kaprekar sabitleri olan tabanlarda rakam toplamı taban-1 oluyor. Bunun arkasında sayı kuramsal bir açıklama var gibi duruyor
    • Yazının ilk kaynağında bir çözüm var
      https://plus.maths.org/content/mysterious-number-6174
    • Grafik küçük. Benzer grafiklerde, örneğin bu algoritmanın 2 basamaklı ya da 5 basamaklı sürümlerinde veya 9 tabanında ya da 11 tabanında 3–4 basamaklı sayılar için birden fazla döngü var: https://en.wikipedia.org/wiki/Kaprekar's_routine#Kaprekar's_...
    • Bu başka tabanlarda da çalışıyor mu? Lisede kalkülüsü bile geçememiş biri olarak, bunun 10 tabanının bir ürünü olduğunu hayal ediyorum

  • 10 yıldan uzun süre önce San Francisco’daki Exploratorium’da gördüğüm silindirik bir cihazı hatırlattı. Daha da önce Scientific American’daki Mathematical Recreations ya da Computer Recreations köşelerinde de tanıtılmış gibiydi
    Sanki büyük bir yatay silindirin üzerinde sayılar vardı ve halka ya da bir tür imleç benzeri bir şey de bulunuyor olabilirdi. Çevrildiğinde bir tür matematiksel işlem yapılıyor ve bu 6174 örneğinde olduğu gibi, başlangıç durumundan bağımsız olarak birkaç tekrar sonra tek bir sayıya yakınsıyormuş gibi görünüyordu
    Bunun ne olduğunu hatırlayabilsem keşke

    • Hangi sergi olduğunu biliyorum. Bildiğim kadarıyla hâlâ orada. En son yaklaşık 1 yıl önce gitmiştim
    • “Sanırım San Francisco Exploratorium’daki Kaprekar Machine’den bahsediyorsunuz. Dört basamaklı sayılar üzerinde yapılan matematiksel işlemle Kaprekar prosedürünü ve 6174’e yakınsamayı gösteren etkileşimli bir sergidir.” (ChatGPT 3.5)

  • Kaprekar’ın özgün makalesini bulmaya çalıştım ama başaramadım. PDF’si olan var mı?

    • Evet, ben de bulamıyorum
      Konu dışı ama, yeterince ilgi çekici bulunmadığı için ne kadar araştırmanın yok olup gittiğini merak ediyorum

  • 6174 yalnızca ondalık sistemde sayarken özeldir. Burası HackerNews, yani hepimiz onaltılık kullanıyoruz sonuçta. Ne yazık ki https://kaprekar.sourceforge.net/output/sample_hex.php adresine göre onaltılıkta basit bir Kaprekar sabiti yok

  • 5 basamakta 98532. İlginç

    • 5 basamakta 6174 gibi bir sayı yok, yalnızca döngüler var. O sayı da bunlardan birinin parçası:
      74943 -> 62964 -> 71973 -> 83952 -> repeat
      63954 -> 61974 -> 82962 -> 75933 -> repeat
      53955 -> 59994 -> repeat
      https://kaprekar.sourceforge.net/output/sample.php

  • Yazı, tüm sayılar için çalıştığını ve yalnızca repdigit’lerin istisna olduğunu söylüyor ama tüm palindromik sayılarda da başarısız olmuyor mu?

    • Bu süreç yalnızca basamakları ters çevirmekten ibaret değil. Palindromik bir sayıysa aynı kalırdı, ama önce basamaklar sıralanıyor, sonra ters çevriliyor; bu yüzden palindromik sayılar da değişiyor
    • 1221, 2211 olur; dolayısıyla farkın 0 olması önlenir