- 350.757 yazı tura verisi, insanların attığı paraların tamamen 50:50 gibi görünse de başta yukarı bakan yüzün üzerine yeniden düşme olasılığının biraz daha yüksek olduğunu gösteren DHM fizik modelini destekliyor
- Diaconis, Holmes ve Montgomery’nin 2007 modeli, insan atışlarında oluşan küçük presesyon hareketi ve sallanma nedeniyle paranın havadayken başlangıçtaki yüzünü daha uzun süre yukarıda tuttuğunu öne sürüyor
- Deneyde aynı yüze düşme olasılığı 0.508 olarak bulundu; %95 güven aralığı [0.506, 0.509] ve 2359’luk Bayes faktörü, aynı yüz yanlılığını güçlü biçimde destekliyor
- Başlangıç yüzü rastgele seçildiğinde yazı gelme olasılığı Pr(heads)=0.500 çıktı; bu da yazı-tura yanlılığı ile aynı yüz yanlılığının ayrı değerlendirilmesi gerektiğini gösteriyor
- Yanlılığın büyüklüğü kişiden kişiye değişti ve daha fazla atış yapan kişilerde azalma eğilimi gösterdi; bu da atış biçimi ve pratiğin sonuç üzerinde küçük fiziksel etkiler yaratabileceğini düşündürüyor
350.757 atışla doğrulanan DHM modeli
- Yazı tura, olasılık ve istatistikte tipik bir rastlantısal olay olarak kullanılsa da fiziksel olarak Newton mekaniğine uyan deterministik bir süreçtir
- Standart yazı tura modeli, sonucun rastgeleliğinin başlangıç konumu, paranın yapısı, yukarı uygulanan kuvvet ve açısal momentum gibi başlangıç koşullarındaki küçük değişimlerden kaynaklandığını kabul eder
- Bu standart modelde adil bir paranın yazı gelme olasılığı %50’dir; bu da yazı-tura yanlılığı olmadığı anlamına gelir
- DHM modeli buna, insan atışlarında ortaya çıkan küçük presesyon (precession) veya sallanmayı ekler
- Dönme ekseninin yönü uçuş sırasında değişirse, para başlangıçta yukarı bakan yüzünü havada daha uzun süre yukarıda tutar
- Sonuç olarak başlangıçtaki yüzle aynı yüze düşme olasılığı %50’den biraz daha yüksek olur
- Diaconis ve arkadaşları, tipik insan atışlarına dair gözlemlere dayanarak aynı yüze düşme olasılığını yaklaşık %51 olarak öngörmüştü
Aynı yüz yanlılığı ve yazı-tura yanlılığı
- Bu veri seti toplam 350.757 yazı tura atışından oluşuyor ve önceki büyük ölçekli yazı tura kayıtlarından çok daha büyük bir ölçeğe sahip
- Aynı yüze düşme sonuçları, DHM modelinin hassas tahminini güçlü biçimde destekliyor
-
Pr(same side)=0.508
- %95 güven aralığı [0.506, 0.509]
- Aynı yüz yanlılığı için Bayes faktörü 2359
- Paranın başlangıçta yukarı bakan yüzüne yeniden düşme eğiliminin %50’den küçük farkla ama tutarlı şekilde daha yüksek olduğu görüldü
-
Pr(heads)=0.500
- %95 güven aralığı [0.498, 0.502]
- Yazı-tura yanlılığı için Bayes faktörü 0.182
- Yazı-tura yanlılığı olmadığı sonucu, para türüne göre değişmiyor
- Aynı yüz yanlılığı herkes için aynı değildi ve kişiler arası farklar büyüktü
- Aynı kişinin içinde de daha fazla para attıkça aynı yüz yanlılığının azaldığı görüldü
- Bu, pratiğin daha az sallantılı atışlarla ilişkili olabileceği ihtimaliyle uyumlu
-
Önceki deneylerin kaçırdığı ölçüm
- Geçmişte de büyük ölçekli yazı tura deneyleri yapılmıştı, ancak bunların çoğu paranın başlangıçtaki yüzle aynı yüze düşüp düşmediğini kaydetmediği için DHM modelini sınamak açısından uygun değildi
- Tarihsel örnekler arasında Count de Buffon’un 2.048, Karl Pearson’ın 24.000 ve John Kerrich’in 10.000 yazı tura atışı yer alıyor
- Janet Larwood ile Priscilla Ku’nun 40.000 atışlık deneyi, istisnai olarak başlangıç yüzü ile sonucu karşılaştırmaya olanak tanıdı
- Larwood her zaman yazı ile başladı ve 20.000 atışın 10.231’inde yazıdan yazıya sonuç aldı
- Ku her zaman tura ile başladı ve 20.000 atışın 10.014’ünde turadan turaya sonuç aldı
- İki sonuç birlikte ele alındığında, dinamik yanlılığa dair kanıtın belirsiz düzeyde olduğu yorumlanıyor
Karar verme üzerindeki etkisi
- İnsan eliyle atılan adil bir para, yazı mı tura mı geleceği açısından büyük ölçüde 50:50 olsa da başlangıçta yukarı bakan yüzle sonuçlanma olasılığı biraz daha yüksektir
- Yüksek riskli karar verme durumlarında yazı tura kullanılacaksa, yazı-tura yanlılığı olmadan kullanabilmek için başlangıç yüzü rastgele belirlenmelidir
- Aynı yüz yanlılığı bazı kişilerde daha güçlü ortaya çıktığından, insanın atış biçiminin kendisi sonuç üzerinde küçük fiziksel etkiler yaratabilir
1 yorum
Hacker News yorumları
Von Neumann, hileli bir madenden adil sonuç elde etmenin zarif bir yöntemini anlatmıştı
Madeni parayı iki kez atın; iki sonuç aynıysa baştan başlayın
İki sonuç birbirinden farklıysa, bu çiftin ilk sonucunu nihai sonuç olarak kullanmanız yeterli
https://en.wikipedia.org/wiki/Fair_coin#Fair_results_from_a_...
https://www.techiedelight.com/generate-fair-results-biased-c...
Madeni para yazı gelme olasılığı %20, tura gelme olasılığı %80 olacak şekilde hileliydi; ancak Von Neumann yöntemi uygulanınca yazı %50,035, tura %49,965 çıktı
Araştırmaya göre, hangi yüzü yukarı koyarak başladığınıza göre yanlılığı seçebiliyorsunuz
Örneğin tura istiyorsanız, ilk atışa tura yukarı bakacak şekilde başlar; ilk sonuç tura olursa ikinci atışa yazı yukarı bakacak şekilde başlar; ilk sonuç yazı olursa sonucu geçersiz kılmak için yeniden yazı gelmesini hedefleyerek yazı yukarı bakacak şekilde başlarsınız
Yanlılığı %75’e %25 olarak kontrol edebildiğinizi varsayarsak, ilk sonucun tura olma olasılığı %75 ve ardından yazı gelme olasılığı da %75 olduğundan, ilk iki atış içinde istediğiniz sonucu alma olasılığı %56,25 olur
En kötü durum, ilk sonucun yazı olması ve ardından tekrar yazı getirememenizdir; yani %25 × %25 = %6,25 olasılıkla ilk turda kaybetmiş olursunuz
Sonuçta ilk iki atışta kazanma olasılığı %56,25, kaybetme olasılığı %6,25, yeniden deneme olasılığı %37,5 olur; genel olarak da yaklaşık %90’a %10’a yakınsayacak gibi görünüyor
“Bu sürecin adil sonuç üretmesinin nedeni, madeni para her atışta yanlılığını değiştirmiyorsa ve iki atış bağımsızsa, yazıdan sonra tura gelme olasılığı ile turadan sonra yazı gelme olasılığının aynı olmasıdır”
Bu yüzden her zaman aynı yüz yukarı bakacak şekilde başlamak gerekir
Bu yöntem, parayı atan kişinin yanlılık yaratamadığını varsayar
ET Jaynes de Probability Theory’de adil bir madeni parayı sonucu önceden belirlenebilecek şekilde atmayı öğrenmenin kolay olduğunu yazmıştı; biraz araştırdım ama tam olarak neyi kastettiğini bulamadım
Yaklaşık bir yıl önce, adil bir madeni para havaya atılıp elle yakalandığında başta üstte olan yüzle aynı yüz üzerine gelme olasılığını araştırmaya başladık.
Arkadaşlar, işbirlikçiler ve internetteki yabancılar sayesinde toplam 350.757 yazı tura atışı topladık ve birkaç “Coin Tossing Marathon” düzenledik: https://youtu.be/3xNg51mv-fk?si=o2E3hKa-ReXodOmc
Sonuç olarak Diaconis, Holmes, Montgomery 2007’nin öngördüğü “aynı yüz” yanlılığına dair güçlü kanıt bulduk.
Yazı yüzü yukarıda başlanırsa yazı ile sonuçlanma olasılığı daha yüksek; tura için de aynısı geçerli.
Örnekte ortalama tahmin %50,8, güven aralığı ise [%50,6, %50,9] idi.
48 atıcı arasında aynı yüz yanlılığında da epey fark vardı; standart sapma %1,6, güven aralığı [%1,2, %2,0] idi.
Bu fark, her atıcının sallanma derecesinin farklı olmasıyla açıklanabilir.
Yazı tura sonuçlarına 1000 kez 1’er dolar yatırır ve başlangıç konumunu bilirseniz ortalama 19 dolar kazanabilirsiniz.
Bu, optimal oyuncuya karşı 6 desteli blackjack’teki 5 dolarlık kumarhane avantajından büyük, tek sıfırlı ruletteki 27 dolardan küçüktür.
Makale arXiv’de: https://arxiv.org/abs/2310.04153
Açık veri, kod ve video kayıtları OSF’de: https://osf.io/pxu6r/
Diaconis, P., Holmes, S., & Montgomery, R. (2007). Dynamical bias in the coin toss. SIAM Review, 49(2), 211-235. https://doi.org/10.1137/S0036144504446436
Hesaplayınca, günde yaklaşık 20 kez gibi dikkat çekmeden yaparsanız 19 dolar kazanmanız hafta sonları hariç 10 hafta sürüyor; o noktada insanlar kesinlikle yöntemi fark eder.
Hızlı para kazanmak için stratejiyi birden fazla kişiye yaymanız gerekir, ama o zaman da sır açığa çıkar.
Ortaklarınız tamamen dürüst olsa bile, aynı stratejiyi açıkça kullananların sayısı arttıkça anlamlı bir kâr elde etmeden yakalanma olasılığı büyür.
Yine de hayal etmesi eğlenceli bir fikir; makalenin sonuçları ve uygulama için harcanan emek de etkileyici.
Buradaki yazı tura atışları oldukça yumuşak; madeni para havada 1 fit bile yükselmiyor.
Sıradan bir yazı tura denince, spor müsabakası öncesindeki gibi yükseğe ve hızlıca dönerek çıkan, yere düşüp biraz yuvarlandıktan sonra hangi yüzde durduğuna bakılan bir atış akla geliyor.
Deney de öyle yapılsaydı %50,8’lik aynı yüz yanlılığı 50%’ye çok daha yakın olurdu gibi geliyor.
Siyah/kırmızıya bahis yaptığınızda 0 gelirse tüm bahisler aynen bir sonraki dönüşe taşınıyordu.
Benim kazanma stratejim, arkadaşımın her zaman karşıt rengine bahis yapmaktı.
Bunun yerine madeni para sert bir yüzeye düşüp sekseydi yanlılık ortadan kalkardı gibi geliyor.
Bu deneyin “tipik” bir yazı tura atışını temsil etmediği söylenebilir.
Ortalama olarak her katılımcı madeni parayı 7000’den fazla kez atmış; bu kadar tekrar, pek çok kişinin madeni parayı daha rahat ve tutarlı bir şekilde atmayı öğrenmesine yol açmış olmalı.
Fiziksel hareket ve kuvvet değişkenliği azalırsa madeni paranın aynı yöne gelme olasılığı artabilir.
Hiç pratik yapmadan atan kişilerde de bu sonuçların aynen çıkacağını sanmıyorum.
Yalnız madeni parayı düşürmeden havaya atıp elle yakalama becerim kesinlikle gelişti; bu da başlı başına pratik gerektiriyor.
Atışa yalpalama ekleme diye bir teknik olduğunu biliyorum ama öğrenmedim ve nasıl yapıldığını da bilmiyorum.
Sezgisel olarak tesadüfen keşfedilebilecek bir teknik olmadığını varsaymak güvenli.
Altta yatan bir yanlılık olup olmadığını görmek amaçlanıyorsa, bir kişinin 7000 kez atması ile 7000 kişinin birer kez atması oldukça farklıdır.
Bu sapmanın nasıl ortaya çıktığını sezgisel olarak, hatta ilkokul öğrencisinin bile anlayabileceği şekilde açıklamanın yolunu hâlâ arıyorum.
Orijinal makale, insanların genellikle yazı tura atarken küçük ölçüde presesyon (precession) ya da yalpalama oluşturduğunu, bunun da madeni paranın dönüş ekseninin yönünün uçuş sırasında değişmesine yol açtığını açıklıyor.
Diaconis modeline göre presesyon nedeniyle madeni para havadayken başlangıçtaki yüzü yukarı bakacak şekilde daha uzun süre kalıyor; dolayısıyla ilk yüzle aynı yüz üzerine düşme olasılığı daha yüksek oluyor.
Başka bir yazı tura deneyi sitesi de, normal şekilde atılan bir madeni paranın hayal edildiği gibi yatay bir eksen etrafında dönmediğini; 3 boyutlu uzayda presesyon yapan eğik bir eksen etrafında döndüğü için başlangıç koşullarına dair belli bir “hafıza” kaldığını söylüyor.
Diaconis makalesi belirleyici açıklamayı içeriyor ama sezgisel değil.
Benim yapabileceğim en iyi açıklama şu: İnsan atarken bir miktar presesyon yaratıyor; presesyon olduğunda da açısal momentum vektörü, tura ile başlandığında tura yönünde daha uzun süre kalıp sapmayı oluşturuyor.
İlkokul düzeyi bir açıklama için, yazı tura animasyonuyla açısal momentum vektörünün uçuş sırasında hangi bölgeyi taradığını ve tura yönüne bakma süresinin biraz daha uzun olduğunu göstermek iyi olabilir.
[1] https://www.stat.berkeley.edu/~aldous/Real-World/coin_tosses...
[2] http://epubs.siam.org/doi/10.1137/S0036144504446436
İnsanlar gerçekten bu şekilde antrenman yapabilir ve maruz kalan kişi açısından madeni paranın havada dönmeyip sadece yalpaladığını fark etmek çok zordur.
O zaman başlangıçta yukarı bakan yüzün yakalandığında da aynı şekilde yukarı bakacağı açık olur.
Sonraki adım, yani adil atmaya çalışan birinin de bir ölçüde presesyon oluşturduğu ve bunun dönüşten ayrılamadığı kısmı bana da hiç sezgisel gelmiyor.
Yazı tura sonucunun başlangıç durumuna büyük ölçüde bağlı olduğunu hep söylemişimdir.
Tura, yazı, tura, yazı diye giden bir sırayı düşünürsek, tura ile başlandığında yazı sayısı tura sayısından fazla olamaz; tura bir tane daha fazla olabilir.
Kendim test etmedim ama dönüş sayısı ne kadar azsa, yani tura-yazı dizisi ne kadar kısaysa olasılığın o kadar eğileceğini varsayıyorum.
Burada dizi, atış sonucu değil; dönüş sırasında yukarı bakan yüzlerin sırasını ifade ediyor.
[tura, yazı], tura ile başlayan bir tam tur dönüş; [yazı, tura, yazı, tura] ise yazı ile başlayıp tura ile biten iki tam tur dönüş.
Yazı tura sonucu bu dizinin son elemanıdır.
Tura ile başlamış bir madeni parayı atar atmaz havada yakalarsanız sonuç doğal olarak turadır.
Ama madeni parayı durdurma zamanı görece uzun bir T ise olasılık bir tür toplam gibi görülebilir.
Örneğin zaman ayrıklaştırmasını \Delta T = 10ms alırsak tura ve yazı aralıklarının toplamı farklılaşır; T sonsuza giderse P(H) ile P(T) birbirine daha çok benzer.
Gerçekte zamanı düzgün dağılımla beklemeyiz; genellikle Gauss dağılımına yakın bir süre bekleriz, bu yüzden toplamın her terimine farklı ağırlık verilir.
Bu dağılımın varyansı ve ofseti olasılığı tura ya da yazı tarafına kaydırabilir ve bu, belirli parametrelere çok bağlıdır.
Örneğin her zaman 35ms sonra yakalarsanız hep yazı gelebilir.
Madeni paranın elde atılmayı beklediği durum, zaten mevcut yukarı bakan yüz aralığının orta noktasındadır.
Tura yukarıdan yazı yukarıya geçiş, madeni para dik konumdayken gerçekleştiği için böyledir.
Anlamak zor geliyorsa, madeni parayı farklı açılardan tutup “yassılaştırdığınızı” hayal edin.
Açıların %50’si yüzlerden birine karşılık gelir; ama madeni paranın atıldığı anda, mevcut yüzü temsil eden açı aralığının yarısı zaten geçilmiştir.
Bu yüzden doğru dizi THTHTH değil, THHTTHHTTHH’ye daha yakındır.
Eşit aralıklarla bakıldığında iki yüz de aynı sayıda görünür; tek sayılı aralıklarla bakıldığında ise durumların yarısında yazı daha fazla, diğer yarısında tura daha fazladır.
Gerçekleşmesi oldukça zor görünüyor; dolayısıyla başlangıç durumu tura ise dizinin yazı-tura-yazı-tura gibi olacağını sanıyorum.
Bir dahaki sefere yazı tura ile bir şeye karar verirken 350.757 oyunluk çoğunluk istemeliyim.
Ben hep madeni parayı yakaladıktan sonra elimin tersinin üzerine çevirip sonucu gösterirdim.
O zaman herhalde karşı yüz sapması vardır.
Yazı turayı taraflı hâle getirmek için ne yapmak gerekir?
Makaleye bakılırsa, başlangıçtaki yüzle aynı yüz üzerine düşme olasılığını %55’e kadar çıkarmak mümkün görünüyor; en uç katılımcı da o seviyedeydi.
Sapma presesyon yüzünden oluştuğuna göre, atarken presesyonun mümkün olduğunca fazla olmasını sağlamak gerekir gibi.
Parmağı madeni paranın merkezinden olabildiğince uzağa koymak ve mümkün olduğunca çok kuvvet uygulamak iyi olabilir.
Son olarak sonucu açıklarken üst yüz yukarı bakacak şekilde yakalamak gerekir.
Madeni parayı tura üste gelecek şekilde işaret parmağı ile başparmak arasına sıkıştırıp alttan orta parmakla desteklediğinizi hayal edin; bu, tipik bir yazı tura başlangıç pozundan çok farklı değil.
İşaret parmağınızla madeni parayı kendi düzlemi içinde döndürün; tura sürekli yukarı baksın ama üzerindeki baş resmi dönsün.
Şimdi aynı anda başparmağınızla madeni paranın alt kenarına yakın bir noktaya fiske atarsanız spin verebilirsiniz.
Uygun miktarda spin verirseniz madeni para gerçekten ters dönmez, sadece yalpalar; dolayısıyla tura üzerine düşer.
Gözlemci yüksek hızda ters dönme ile yalpalamayı gözle ayırt etmekte zorlanacağı için ne yaptığınızı büyük olasılıkla anlamaz.
Bu durumda küçük bir yazım hatası cümlenin anlamını epey bulanıklaştırıyor.
İlginç; benim sezgim sonuçların tersiydi.
Karşı yüze düşmesi için tek sayıda, aynı yüze düşmesi için çift sayıda dönmesi gerektiğini düşünmüştüm.
Her dönme sayısı için tek ve çift sayıların adedi eşit olabilir ya da tekler bir fazla olabilir; bu yüzden tek sayıda dönme olasılığının daha yüksek olduğunu sanmıştım.
Burada daha fazla etken devrede ve sonuçta modeli doğrulayan tek şey deney.
TianqiP'nin parayı nasıl attığını görmek isterdim.
Bu kullanıcının tura oranı 0.601 [0.582, 0.619] ile oldukça yüksek.
Stratejik kullanılırsa birkaç dolar kazandırabilecek bir beceri.