Logaritmaların Kayıp Sanatı — Charles Petzold’un web kitabı

 (lostartoflogarithms.com)
1 puan yazan GN⁺ 2025-03-14 | 1 yorum | WhatsApp'ta paylaş
  • Charles Petzold’un yazmakta olduğu bir web kitabı; logaritmaların tarihi ve kullanımı üzerinden çarpma, üs alma, trigonometri, müzik ve grafikler gibi konuları birbirine bağlıyor
  • Merkez eksen, bir hesaplama aracı olarak logaritmalar ve sürgülü cetvel; yalnızca teori değil, doğrudan hesap yapma ve araç üretme akışını da içeriyor
  • Bölüm başlığı renkleri yazım durumunu ayırıyor; neredeyse tamamlanmış bölümler ile hâlâ değişmekte olan ya da henüz başlamamış bölümler okuyucu tarafından hemen anlaşılabiliyor
  • Henüz profesyonel editoryal süreçten geçmedi ve tüm çalışmanın tamamlanma hedefi 2027 sonu olarak belirlenmiş durumda
  • En uygun görüntüleme masaüstü ve dizüstü bilgisayarlarda; iPad Mini iOS 12.5.7 ve telefonlarda görüntüleme sorunları yaşanabiliyor

Web kitabının kapsamı ve yazım durumu

  • The Lost Art of Logarithms, Charles Petzold’un yazmakta olduğu bir web kitabıdır
  • Logaritmaları basit bir matematik kavramı olarak değil, hesaplama ve bilim tarihi boyunca kullanılan bir araç olarak ele alır
    • Logaritmalar nedir
    • Logaritmaların faydası, tarihi ve evrenselliği
    • Düzlem ve küresel trigonometride logaritmaların tarihsel kullanım alanları
    • Sürgülü cetvelin teorisi ve pratik kullanım yöntemleri
  • Bölüm başlığı renkleri mevcut yazım aşamasını gösterir
    • Yeşil: Neredeyse tamamlanmıştır ve büyük değişiklikler beklenmez, ancak küçük düzenleme, düzeltme ve görünüm iyileştirmeleri olabilir
    • Kırmızı: Tamamlanmamıştır ve şu anda değişmektedir
    • Siyah: Henüz başlanmamıştır
  • Henüz profesyonel editörlük yapılmadı ve tahmini tamamlanma zamanı 2027 sonudur

Görüntüleme ortamı ve içindekiler yapısı

İlgili okumalar

1 yorum

 
GN⁺ 2025-03-14
Hacker News görüşleri

  • Logaritmaları ilk ve ortaöğretimde öğretildiği şekilde değil de, logaritmaların asıl motivasyonunu izleyerek ele alınca çok daha iyi anladım
    Napier’in karşılaştığı problem, yani büyük astronomik gözlem değerlerinin çarpımını basitleştirmek için f(ab) = f(a) + f(b) biçiminde bir fonksiyon araması ve bunun neden belirli bir fonksiyon ailesine çıktığını düşünmek, logaritmaların neden her yerde karşımıza çıktığını daha iyi hissettiriyor
    Bu, üstel fonksiyonun tersi olarak öğretilmesiyle karşıtlık oluşturuyor; nitekim bu tür bir tartışma da gerçekte Euler’den önce yoktu
    Bence matematiği de böyle öğrenmek daha eğlenceli. Asıl yazarın çözmeye çalıştığı problem neydi ve o dönemde hangi araçlar kullanılabiliyordu, bunu takip eden bir yöntem

    • Toeplitz’in yazdığı "Calculus: The Genetic Approach", matematiği tarihsel gelişimi üzerinden açıklayan bir yaklaşım ve bu yaklaşımın https://en.wikipedia.org/wiki/Genetic_method ile daha genel biçimde de kullanıldığı anlaşılıyor
      Felix Klein da “küçük ölçekte öğrenci, doğal ve kaçınılmaz olarak, bilimin büyük ölçekte geçtiği gelişimi yeniden yaşamak zorundadır” demişti
    • Bu yaklaşımı seviyorsanız Kolmogorov’un Mathematics: It's Content, Methods, and Meaning kitabını şiddetle tavsiye ederim
      Aynı yöntemi matematiğin çok daha fazla kavramına uygulayan bir kitap ve yaklaşık 1.000 sayfa uzunluğunda
      Sanırım ben de bu kitabı burada öğrenmiştim, yani şimdi onu yeniden aktarmış oluyorum
      Bu yaklaşım, her şeyin maddi ihtiyaçlardan doğduğunu gören Sovyet diyalektik materyalizm felsefesiyle de bağlantılıydı
      Bu felsefenin tamamına katılıyor muyum emin değilim ama Kolmogorov’un kitabı gerçekten ufuk açıcıydı
    • Bence bu yaklaşım öne çıkmalı
      Bu doğrultuda "magnitude notation"[0] öneriyorum. “logarithm” kelimesi ileri düzey matematik gibi duyulup insanları uzaklaştırıyor ama temel fikir aslında matematiği daha kolay ve daha eğlenceli kılıyor
      https://saul.pw/mag
    • Bunu sık sık düşünüyorum
      Matematik eğitimi sanki Euler gibi çok zeki ve soyut düşünebilen, yani işlemsel adımlardan değil sezgiden anlayacak insanları çekmeye eğilimli
      Diğer insanlar içinse, asıl problemin içinde bir süre yüzmeden aydınlanma gelmiyor
    • Bana göre logaritma, üstel fonksiyonun tersidir şeklindeki doğrudan açıklama daha iyi
      10^2 * 10^3 = 10^5 ifadesini otomatik olarak anlamayı sağladığı için daha sezgisel
      Bu yüzden logaritma tabloları kullanıldığında toplama yapmak anlamlı oluyor. Uzun bir metne gerek yoktu
      Logaritma alıp 2 + 3 = 5 topladıktan sonra tekrar üstel biçime çevirince 10^5 elde ediliyor

  • Zamanlaması iyi olmuş. Daha dün sürgülü cetvelin nasıl kullanılacağını öğrendim
    Bir tane almak isteyince seçeneklerin çok fazla olduğunu fark edip küçük bir tavşan deliğine[0] düştüm ve bazı sürgülü cetveller tam anlamıyla sanat eseri gibi görünüyordu
    Bugünlerde, her arayüzün cam bir levha olduğu bir çağda, analog araçların sunabildiği beklenmedik avantajları yeniden keşfediyorum
    Son zamanlarda bir kodlama projesinin ilk taslağını çıkarırken kalem ve kâğıdı bir editör gibi kullanmaktan keyif alıyorum
    Özellikle sevdiğiniz bir analog araç var mı merak ediyorum
    [0]:https://sliderulemuseum.com/

    • Matematik dersleri alırken bazen böyle analog araçlar satın almayı düşünüyorum
      Hacker News’te biri benim Japon abaküsü Soroban[1] ile ilgilenmemi sağlamıştı; hâlâ inanılmaz zihinden hesap hızları eğitmek için kullanılıyor[2]
      1. https://en.wikipedia.org/wiki/Soroban
      2. https://www.youtube.com/watch?v=s6OmqXCsYt8
    • Birkaç sürgülü cetvelim var ve onları her gün kullanıyorum
      Özellikle oranların sık sık ayarlandığı mutfakta mümkün olan en iyi araç
      İstediğiniz ölçeğe ayarladığınızda ihtiyaç duyduğunuz her türlü oranı göz açıp kapayıncaya kadar okuyabiliyorsunuz
      Açıkçası mutfakta standart ekipman olmamasına şaşırıyorum
    • Soroban. Japon abaküsü
      Her sayının tek bir gösterimi var ve + - * / ile başka hesaplamalar da yapılabiliyor
      http://totton.idirect.com/
    • Kalem/kurşun kalem ve noktalı kâğıt kullanıyorum. Tamamen farklı bir zihinsel alan açılıyor
    • Orijinal fotoğraftaki adamın elindeki 1 metrelik sürgülü cetvel nereden bulunabilir acaba?

  • Log dönüşümü uygulandığında verilerin sık sık neden normal dağılıyormuş gibi göründüğü ilginç
    Doğa yasaları çoğunlukla çarpımsal yapıdadır. F=ma, PV=nRT gibi denklemler böyledir
    Bağımsız ve özdeş dağılmış rassal değişkenleri çarparsak, merkezi limit teoremi sayesinde log-normal dağılımlı veri elde ederiz. Log ölçeğinde çarpma toplama olur ve merkezi limit teoremi aynı dağılımda olmayan durumlarda da bir ölçüde sağlamdır
    Veriyi birçok etki faktörünün çarpılmış sonucu olarak görürseniz, bu yüzden log-normal dağılım ortaya çıkar

    • Merkezi limit teoremi bağımsız ve özdeş dağılmış değişkenler gerektirmez
      Bağımsız olmaları, varyanslarının bulunması ve biraz daha yüksek dereceden çok zayıf bazı koşullar yeterlidir
      Bunların dışında değişkenler birbirinden epey farklı olabilir
    • Kalın bir marker ile log-log ölçeğinde çizerseniz bütün veriler doğrusaldır

  • Loglarla ilgili sık kullandığım bir gerçek var
    X 0 ile 1 arasında uniform dağılıma sahip bir rassal değişkense, –ln(X)/λ, oranı λ olan üssel dağılıma sahiptir
    Örneğin ağırlıklı rastgele örnekleme yaparken veya simülasyonlarda olay zamanları üretirken kullanışlıdır

    • Bunun genellemesine ters dönüşüm örneklemesi[0] denir
      Herhangi bir X rassal değişkeninin kümülatif dağılım fonksiyonu F için, Y = F(X) rassal değişkeninin standart uniform dağılımı[1] izlediği gerçeğinden yararlanır
      Tüm kümülatif dağılım fonksiyonları birim aralıkta monoton artandır, bu yüzden ters fonksiyonları alınabilir[2]
      Bu yüzden önceki ifadenin her iki tarafına da ters kümülatif dağılım fonksiyonu uygulanırsa F^-1(Y) = X olur ve X gibi dağılır
      Standart uniform dağılımdan örnek çekip sonra ters dönüşüm uygulamak, keyfi bir dağılımdan rastgele sayı üretmenin en yaygın yoludur
      0. https://en.m.wikipedia.org/wiki/Inverse_transform_sampling
      1. https://en.m.wikipedia.org/wiki/Probability_integral_transfo...
      2. Her kümülatif dağılım fonksiyonu bire bir olmadığından genelleştirilmiş bir ters fonksiyon gerekebilir
    • Bunu anlamak için ne kadar matematik çalışmak gerekir?
    • Kümülatif dağılım fonksiyonu ya da olasılık yoğunluk fonksiyonu kullanmadan anlamanın bir yolu da var
      X üssel dağılımlı bir değişken ve c bir sabit olduğunda, büyük değer koşulu altında bakarsanız X + c, X ile aynı dağılıma sahiptir
      Başka bir deyişle, iki değişkenin kuyruk dağılımı aynıdır. Bu özellik üssel dağılım için tam olarak geçerlidir ve genelde hafızasızlık olarak adlandırılır
      Benzer şekilde U, [0, 1] üzerinde uniform dağılımlıysa ve c bir sabitse, küçük değer koşulu altında cU, U ile aynı dağılıma sahiptir
      cU, 0 civarında U gibi dağılıyorsa -ln(c U) da sonsuzluk civarında -ln(U) gibi dağılır
      Ama -ln(c U) = -ln(c) - ln(U) olduğundan, -ln(U)nun kuyruğu bir sabit eklense de değişmez. Dolayısıyla üssel dağılıma sahip olmalıdır

  • Bazı projelerde LMAX Disruptor kullanmaya başladım
    Disruptor’un ilginç bir özelliği, kuyruk boyutunun her zaman 2’nin kuvveti olması gerekmesidir
    Boyut ne olursa olsun en azından yeterli alan ayrılmasını istiyordum ve bunu elle hesaplamak istemediğim için şunu yazdım
    var actualSize = Double.valueOf(Math.pow(2, Math.ceil(Math.log(approxSize) / Math.log(2)))).intValue();
    Tek satır için biraz abartılı ama doğru üssü elde etmek için sadece temel logaritma kurallarını kullanıyor
    Lisede öğrendiğimiz türden bir şey, ama bazı iş arkadaşlarım bunu eşi benzeri görülmemiş gizemli bir matematik gibi gördü
    Sanırım logaritmaları Big O gösterimi dışında kullanmıyorlar

    • Elbette bu haliyle de gayet kullanılabilir, ama ben olsam şöyle yazardım
      var actualSize = Integer.highestOneBit(approxSize - 1) << 1;
      Sadece mütevazı pow() ve log() çağrılarının altında gizlenen dehşetten kaçınmak için
      Integer.highestOneBit, “en soldaki biti ayıklama” ya da “en yüksek 1 biti” gibi adlarla da bilinir ve verimli uygulanacaksa fiilen ilkel bir işlem olmalıdır
      En düşük anlamlı bit tarafındaki x&-x ile aynı şey değildir
      Gerçek CPU komutu genelde Integer.numberOfLeadingZerosa daha yakındır, ama oradan da yalnızca bir bit kaydırma gerekir
    • Boyutu her seferinde 1 bit sağa kaydırıp değer 0 olana kadar kaç adım sürdüğünü sayarsanız, o boyut için 2’nin üssünü elde edersiniz

  • Zihinden hesap için birkaç logaritmayı ezberlemeyi şiddetle tavsiye ederim
    Beklenmedik derecede faydalı bir beceri kazandırdı
    Başlarken yazdığım yazı burada: https://entropicthoughts.com/learning-some-logarithms

    • Blog güzel
      İlginç biçimde hafıza sönümünün kendisi de özünde logaritmik/üsseldir
      Aralıklı tekrar ile logaritma öğrenmek oldukça meta
    • O yazıdan sonraki 1 yılda bunu gerçekten uyguladıktan sonra ne gibi çıkarımlar olduğunu merak ediyorum
      Ayrıca, o blog gerçekten en sevdiğim bloglardan biri

  • Logaritmik türev alma da şaşırtıcı derecede temel bir kavram
    (ln(f))' = f'/f
    Fonksiyonlar kuramında sürekli kullanılır ama insanlar bunun logaritmalarla ilgili olduğunu pek fark etmez
    Logaritmik türevi güzel çıkan fonksiyonlar da tahmin edilenden çok daha ilginçtir
    Doğa Gompertz fonksiyonu ile dolu ve bir kez alışınca onu her yerde görmeye başlıyorsunuz

  • Eskiden kafadan temel logaritma yaklaşık hesapları yapabilmenin pratik bir değeri vardı
    Hesap makinesi olmayan dönemde hızlı çarpma-bölme ya da üs alma bununla yapılırdı
    Feynman’ın "Surely You're Joking" kitabında, Los Alamos bilim insanlarının zihinden logaritma hesaplama hızında yarıştığına dair bir hikâye var

  • Logaritmanın babası John Napier, yani ln içindeki N, neredeyse insan hesaplama atölyesi işletir gibi yaklaşık 20 yıl boyunca logaritma tabloları hazırlattı
    Bu, astronomik seyrüsefer için çok önemliydi
    Denizi güvenle aşmanın bir yolunu geliştiren kişiye büyük bir ödül vaat edilmişti; bu da cep saatinin icadına kadar uzandı

    • ln içindeki n, “natural”, yani “logarithm natural” değil mi?

  • Huffman sıkıştırmasıyla tanınan Huffman’ın verdiği bir derste, toplama ve bakış tablosuyla çarpma yapmayı öğrendim
    Sınavlarda hesap makinesi kullanılamıyordu
    Ama en sevdiğim püf noktası taban dönüşümü: https://www.khanacademy.org/math/algebra2/x2ec2f6f830c9fb89:...
    Biraz pratikle 2’nin kuvvetleri, 10’un kuvvetleri ve e arasında yaklaşık taban dönüşümlerini zihinden yapabilirsiniz