Dört tane 2 ile tüm tam sayıları üretmek

• Hedef sayıyı yalnızca dört adet 2 rakamıyla oluşturma bulmacasında, izin verilen matematiksel işlemler arttıkça ifade edilebilen aralık büyük ölçüde genişler
• Yalnızca dört işlemle 1’den 6’ya kadar sayılar üretilebilir; üs, faktöriyel ve karekök eklendiğinde 18, 28, 256, 65536 gibi değerler de ifade edilebilir
• 22 yazımını iki adet 2 sayma yaklaşımı, Gamma fonksiyonu, integral, devirli ondalık, kombinasyon operatörü ve hatta karmaşık sayılar izinli olduğunda çözümler çok daha çeşitli hale gelir
• Paul Dirac’ın genel çözümü, iç içe karekökler ve tabanı 2 olan logaritma ile herhangi bir doğal sayı n’i üretir; burada n, ifadede kullanılan bir sayı değil, karekök tekrar sayısıdır
• Asıl genel formül yalnızca üç tane 2 kullanır; ancak bir 2, √(2+2) ile değiştirilirse tam olarak dört tane 2 kullanan bir biçim elde edilir

---

Dört tane 2 bulmacası nasıl genişliyor

• Kural, tam olarak dört adet 2 rakamı ve matematiksel işlemler kullanarak hedef doğal sayıyı oluşturmaktır
• İlkokul düzeyindeki dört işlemle bile küçük sayılar hemen elde edilebilir
  • 1 = (2+2)/(2+2)
  • 2 = 2/2 + 2/2
  • 3 = 2·2 - 2/2
  • 4 = 2+2+2-2
  • 5 = 2·2 + 2/2
  • 6 = 2·2·2 - 2
• Üs ve faktöriyele izin verildiğinde ifade aralığı ciddi biçimde büyür
  • 18 = 2^(2^2) + 2
  • 28 = (2+2)! + 2 + 2
  • 256 = (2+2)^(2+2)
  • 65536 = 2^(2^(2^2))
• Yazım açısından 22yi iki adet 2 olarak sayma yaklaşımı da kullanılabilir
  • 26 = 22 + 2 + 2
  • 11 = 22 / √(2+2)
  • 444 = 222 · 2
• 7’nin üretilmesi zor olarak bilinir, ancak Gamma fonksiyonuna izin verilirse 7 = Γ(2) + 2 + 2 + 2 olur
• Daha geniş araçlar kullanıldığında, Math StackExchange tartışmasında olduğu gibi integral, devirli ondalık ve kombinasyon operatörü içeren çözümler de ortaya çıkar
• Karmaşık sayıları kullanan bir örnek olarak 12 = |2 + 2√(-2)|² verilebilir

Dirac’ın iç içe karekök genel çözümü

• 1920’lerde matematikçiler de bu bulmacayla ilgileniyordu ve Paul Dirac tüm sayılar için bir genel çözüm buldu
• Temel fikir, 2’ye tekrar tekrar karekök uygulamaktır
  • √2 = 2^(1/2) = 2^(2^-1)
  • √√2 = 2^(1/4) = 2^(2^-2)
  • √√√2 = 2^(1/8) = 2^(2^-3)
• Karekök n kez uygulanırsa √√...√2 = 2^(2^-n) biçimi elde edilir
• Bunun üzerine tabanı 2 olan logaritma iki kez uygulanırsa -n elde edilir
  • log₂(2^(2^-n)) = 2^-n
  • log₂(log₂(2^(2^-n))) = -n
• Dolayısıyla genel formül şöyledir
  • n = -log₂(log₂(√√...√2))
  • Burada karekök n kez tekrarlanır
• Bu ifade yalnızca üç tane 2 kullandığı için, tabandaki bir 2 değeri √(2+2) ile değiştirilirse tam olarak dört tane 2 kullanılır
  • n = -log_{√(2+2)}(log₂(√√...√2))
• Örneğin 7, karekök yedi kez iç içe yazılarak şöyle ifade edilebilir
  • 7 = -log_{√(2+2)}(log₂(√√√√√√√2))
• Bu yöntemde n, ifadenin içinde doğrudan görünen bir sayı değil, karekök tekrar sayısını belirten değerdir; geriye kalan iş ise gerektiği kadar karekök işareti çizmektir

[GN⁺]

Hacker News yorumları

• Yorumlar, biraz daha önce açılmış olan https://news.ycombinator.com/item?id=43145753 başlığına taşındı