J. Kenji López-Alt'ın soğan problemine çözüm (2021)

• Soğanı eşit boyutlarda doğramaya yönelik radyal kesim problemi matematiksel olarak modellendiğinde, bıçak ucunun altın oranın tersi olan 0.61803398875… değil, yarıçapın %55.73066 aşağısını hedeflemesi gerektiği sonucu çıkıyor
• Model, soğanı yarıçapı 1 olan bir yarım daire diskine indirger ve katmanlar ile kesim sayısını sonsuz kabul ederek problemin sürekli matematik ve çok değişkenli kalkülüsle çözülebilmesini sağlar
• Hesabın anahtarı, sonsuz küçük parçaların göreli alanını bulmak için koordinat dönüşümünün Jacobian'ını kullanmak ve bu alanların varyansını en aza indiren h derinliğini bulmaktır
• Mathematica'nın sayısal integrasyon ve sayısal minimizasyon araçları uygulandığında, minimum varyansın h ≈ 0.55 civarında ortaya çıktığı ve “true onion constant”ın 0.5573066… olduğu görülür
• Bu değer, sonsuz sayıda katmana sahip idealleştirilmiş bir soğan içindir; gerçekte olduğu gibi sonlu katmanlara sahip soğanlarda en uygun derinlik farklı olabilir

---

Problem, %60 aşağıyı hedefleyerek kesme tavsiyesiyle başlıyor

• Chef Kenji López-Alt'ın YouTube videosunda, matematikçi bir arkadaşının soğan doğrarken merkezin altına, yarıçapın %60 noktasına doğru radyal kesimler yapmasını söylediği anlatılır
• Bu değerin, altın oranın tersi olan 0.61803398875… ile ilişkili olduğu söylenir
• Ardından gerçek bir soğanı bu şekilde keserken, bu değerin neden ortaya çıktığını matematiksel olarak inceleme problemi doğar
• İki ay boyunca büyük bir ilerleme sağlanamaz; sonra iki günlük hesaplamanın ardından “true onion constant” diye adlandırdığı değer bulunur

Hesaplanabilir bir soğan modeli

• Soğan, merkezi orijinde olan ve üst yarı düzlemde duran yarıçapı 1 olan bir yarım daire diski olarak basitleştirilir
  • Gerçek soğanın 3 boyutlu yapısı ve kesit biçimi dışarıda bırakılır
  • Bu sadeleştirme, problemi daha ele alınabilir kılan bir yaklaşımdır
• Katman sayısı çözümü etkilediği için, sonsuz sayıda katmanı olan bir soğan varsayılır
  • Tek katmanlı bir soğanda merkeze doğru kesmek en iyisidir
  • On katmanlı bir soğanda ise merkezin altını hedeflemek gerekir
  • Sonsuz sayıda katman varsayımı, doğal olarak sonsuz sayıda kesimin de birlikte ele alınmasını sağlar
• Bu varsayım sayesinde problem sürekli matematik alanına taşınır ve kalkülüs uygulanabilir hale gelir

Parçaların eşitliğini Jacobian ile ölçmek

• Genel kutupsal koordinat dönüşümünde küçük alan dx dy, r dr dθ biçimine dönüşür; burada r, Jacobian rolünü oynar
• Bu değer, soğanın sonsuz küçük parçalarının birbirine göre ne kadar büyük olduğunu karşılaştırmak için kullanılır
  • Merkeze yakın parçalar r küçük olduğu için daha küçüktür
  • Kenara yakın parçalar r büyük olduğu için daha büyüktür
• Parçaların eşitliği, sonsuz küçük alan ağırlıklarının varyansı ile ölçülür
  • Varyans büyükse parçalar daha az eşittir
  • Varyans küçükse parçalar daha eşit hale gelir
• Önce merkeze doğru kesme durumundaki ortalama alan ağırlığı ve varyans hesaplanır; ardından merkezin altındaki bir noktayı hedefleyen kesimler için yeni bir koordinat sistemi tanıtılır

Merkezin altındaki tek bir noktayı hedefleyen koordinat sistemi

• Kesimlerin yöneldiği nokta, orijinin altında (0, -h) olarak alınır ve h > 0 olan bir koordinat sistemi kurulur
• Bu koordinat sisteminde açı θ, (0, -h) noktasından ölçülür; yarıçap r ise orijin (0, 0) üzerinden ölçülür
  • Radyal kısım, orijin merkezli soğan katmanlarını modellemek için kullanılır
  • Açı yönü ise bıçağın (0, -h) noktasını hedefleyerek düz bir çizgide giriş yapmasını modeller
• Bu koordinat sistemi yalnızca üst yarı düzlemde sorunsuz çalışır; model soğanın tamamı da üst yarı düzlemde olduğu için kullanılabilir
• Simetri kullanılarak yalnızca sağ yarının incelenmesi yeterlidir
  • Bölge 0 ≤ θ ≤ arctan(1/h)
  • Yarıçap aralığı h tan(θ) ≤ r ≤ 1
• Kosinüs teoremiyle (x, y) ile (r, θ) arasındaki ilişki elde edilir ve verilen h derinliği için Jacobian hesaplanır
• Bu Jacobian temel alınarak ortalama alan ağırlığı A(h) ve varyans v(h) tanımlanır

Hesaplama sonucu: true onion constant

• v(h) ifadesini elle entegre etmek çok zor hatta imkânsız göründüğünden Mathematica'nın sayısal integrasyon araçları kullanılır
• Varyans h'ye göre çizildiğinde minimum değer h = .55 civarında görünür
• Sayısal minimizasyon sonucunda, sonsuz katmanlı idealleştirilmiş soğanın “true onion constant”ı 0.5573066… olarak bulunur
• En eşit radyal kesimi yapmak için bıçağın, soğanın merkezinden daha aşağıda, yarıçapın %55.73066 noktasını hedeflemesi gerekir
• Bu değer videoda geçen 61.803% değerine yakındır ama aynı değildir
• Gerçek soğanlarda olduğu gibi katman sayısı sonluysa değer değişebilir
  • Tek katmanda en uygun derinlik 0'dır
  • Sonsuz katmanda 0.5573066… olur
  • On katmanlı bir soğanın en uygun derinliğinin 0 ile 0.5573066… arasında olması beklenir, ancak bu ayrıntılı biçimde araştırılmamıştır

Sonraki güncelleme: kapalı form ve isim

• Daha sonra v(h) ifadesinin kapalı formda hesaplanabildiği görülür
• Kalkülüste bir fonksiyonu en aza indirmek için türev 0'a eşitlenir; bu nedenle v'(h) hesaplanır
• (0, 1) aralığında bu türevin tek kökü soğan sabitidir
  • Bu nokta v(h)'nin kritik noktasıdır
  • v'(h) işareti negatiften pozitife geçtiği için minimum noktadır
• Bu yöntemle soğan sabiti istenen hassasiyette hesaplanabilir ve 1000 basamağa kadar ondalık açılımı verilir
• Bu matematik sabiti için İbranice samekh harfi seçilir
  • Seçilme nedeni, harfin soğana benzemesidir

[GN⁺]

Hacker News yorumları

• Blog yazısının yazarıyım. Bu yazıya ilgi gösterilmesine sevindim; problem tanımını, matematiksel içeriği ve 3 boyutlu soğanı da ele alan slaytları buraya koydum: https://drspoulsen.github.io/Onion_Marp/index.html
  Problemin ve çözümün ayrıntılarını toparlayan resmi bir makaleyi de bir rekreasyonel matematik dergisine gönderdim; soruları da memnuniyetle yanıtlarım

  • Çözüm, tüm kesiklerin tek bir noktaya yönelmesi gerektiğini varsayıyor gibi görünüyor. Daha optimal bir çözüm, dışarıya doğru gidildikçe kesik hedefinin derinliği h’yi artırmak olabilir gibi duruyor; bunun neden böyle olmadığını kaçırıp kaçırmadığımı merak ediyorum
  • Düzlemdeki çemberi, daha doğrusu düzlemdeki yarım çemberi çözme yöntemi bu; boyut indirgeme konusunda uzun zamandır kafama takılan bir nokta var
    Çember, kutupsal koordinatlarla 3 derecelik 120 yay gibi eşit yaylara kolayca bölünebiliyor; ama küresel koordinatlarla küre yüzeyinde aynı şeyi yapmak berbat ve küre yüzeyini tek bir aynı şekille döşeyen benzer bir etkinin mümkün olmadığını anlıyorum
    Haritada her “kare”nin, küre üzerinde bozulma olsa bile birbirine eşit alanlar olmasını sağlayan bir koordinat sistemi düşünürken aklıma gelen bir problemdi; soğan probleminin 2 boyutlu benzerinin asıl 3 boyutlu soruya ne kadar yanıt verdiğiyle de ilgili görünüyor
  • Cevabın 1/φ olmasını sağlayacak bir modeli tersinden kurabilsek ilginç olurdu. Soğanın üzerine bir tür tekdüze olmayan ölçü koyarsak mümkün gibi görünüyor; soğanı bir yarımküre olarak gördüğümüzde nasıl olacağını da merak ediyorum. Mutfakta aslında önemli olan çoğunlukla kalınlık tabii

• Soğanın yarısını neden “yarıçapı 1 olan diskin yarısı” olarak modellediğini merak ediyorum. Yarım soğan daha çok yarımküreye benziyor; çözümün neden aynı olmasını beklememiz gerektiğini bilmiyorum
  Soğanın iki ucunu, yani bıçağın topuğuna ve ucuna yakın dış kesitleri düşünürsek, uçlara doğru gittikçe daha dik kesmiş oluyoruz. Dış taraf dik kesildiği ölçüde orta kesitin biraz daha sığ kesilmesi gerekir gibi geliyor; bu yüzden buna gerçek soğan sabiti demek muhtemelen yanlış bence

  • Çözüm yazının ilerleyen kısmında. Temel içgörü Jakobiyenden geliyor; yapı, düzgün bir yarım disk değil, Y ekseninden uzaklaştıkça daha büyük ağırlık verilen bir yapı
    Bunu, boyayla kaplanmış bir şekilden aynı miktarda mürekkep toplamaya çalışmak gibi düşünebilirsiniz. Düzgün bir diskin aksine, yazıdaki ağırlıklı disk üstte ve altta daha koyu, ortada daha açık; gerçekte de ASCII çizimdeki gibi şeritler değil, tonlama kademeli değişiyor
  • Soğan katmanlarının merkezden uzaklaştıkça çok daha ince hale geldiği gerçeği de göz ardı ediliyor. Bu yüzden soğan kusursuz simetrik olsa bile bu analizin epey sapacağını düşünüyorum
  • Soğan kusursuz simetrik olmasa da, ortasından geçen tek bir eksen ya da çizgi üzerinde optimal büyüyen veya radyal olarak uzanan bir yapı olarak görülebilir. Bir küreye eksen yapmak için kürdan saplayıp o eksene dik keserseniz kürede daireler çıkar; yarım soğanda ise yarım diskler çıkar
    Şahsen tembelliğimden yarım soğanı eksene dik kesiyorum; tekdüzelik için radyal kesikler de atmıyorum
  • Bir an “soğan probleminin” topoloji ya da grup teorisinde zor bir problem olduğunu sandım; sonra Kenji Lopez-Alt’ın matematikçi değil şef olduğu bağlantısını hatırlayıp anladım
  • Benzer bir endişem var. Soğan, katman kalınlığının orta tarafa daha çok toplandığı şişkin bir silindire daha yakın görünüyor; her katman da kökten sapa kadar uzanıyor

• Buna karşılık yemek YouTuber’ı Adam Ragusea, heterojenliğin önemli olduğunu güçlü biçimde söylüyor. Tekdüzeliği optimize etmek her zaman en iyi strateji olmayabilir
  https://www.youtube.com/watch?v=5cWRCldqrxM

  • Ragusea gibi her lokmanın biraz yeni ve farklı olmasını tercih ediyorum
    Caesar salatası için bir ipucu: Paketlenmiş kruton poşetini masaya düz yatırıp bir tavanın tabanıyla tekrar tekrar ezerseniz farklı boylarda kruton parçaları, çakıl gibi kırıntılar ve toz karışır. Bunu lüks bir restoranda yedikten sonra hep böyle yapıyorum
  • Adam başka bir problemi çözmüş sayılır. Kenji’nin derdi, herkesin hatırlayıp uygulayabileceği basit bir kuralla, hassasiyeti dert etmeden iyi kesim yapmayı sağlamak
    Bu kural, çoğu tarifin soğan gibi malzemelerde beklediği tekdüzeliğe yeterince yaklaşmayı sağlıyor; Ragusea’nın da bu problem tanımına yönelik bir çözüm olarak buna muhtemelen katılacağını düşünüyorum
  • Klasik eğitim almış şeflerin bıçak kesimlerinde tutarlılığı önemli gördüğünü okumuştum. Adam Ragusea, gerçek profesyonel mutfak pratiğiyle pek uyuşmayan epey niş ve tuhaf yöntemler kullanıyor; Bill Nye nasıl bir bilim savunucusuysa, o da profesyonel şeften çok bir yemek savunucusu gibi
  • O videoda sunduğu mantığa karşı çıkmak zor gerçekten
  • Kesin olarak doğru ya da yanlış bir yöntem yok. Herhangi bir uca fazla kayarsanız yemeğin sıkıcı hale gelmesi ya da kalitesinin düşmesi olası
    Yine de Ragusea’nın bakış açılarının önemli bir kısmı zaman içinde o kadar iyi ayakta kalmadı; bazılarını kendisi de kabul etti

• Marco Pierre-White soğanı rendelemeyi öneriyor; böylece tüm problemi zekice bertaraf etmiş oluyor
  Bir bakıma Gordion düğümünü rendelemek gibi
  https://youtu.be/glIUUrh6qtQ?t=40

  • Domates sosu için rendelemek mantıklı ama bunu temel soğan hazırlama yöntemi yapmak istemem
  • MPW yöntemi bu: https://www.youtube.com/watch?v=UBj9H6z6Uxw
    “Mükemmellik, iyi yapılmış birçok küçük şeyin toplamıdır”
  • Parmaklarınızı tehlikeye atmadan rendeleyemeyeceğiniz son bir parça kalması dışında problemi atlatıyor
    Sarımsakta, birçok tarifte ezmeyi tercih ediyorum. Daha pürüzlü hatlar oluşuyor, yemeğe daha iyi karışıyor ve sotelerken de güzelce çıtırlaşıyor
  • O kadarsa doğrudan mutfak robotunda çeksek olmaz mı diye düşünüyorum
  • “Soğanı rendeleyebilirsiniz de rendelemeyebilirsiniz de. Aslında seçim sizin”

• Sorunun yazıyla açıklandığı bir yer var mı merak ediyorum. Asıl anlatım videoya bırakılmış; yazıda ise başka bir videoda önerilen çözümle yeni çözüm ele alınıyor gibi, bu yüzden neyin çözüldüğünü anlayamıyorum

  • Sorun, kesilen parçaların boyut ve şekil farkını en aza indirecek şekilde soğan kesmek. Genelde amaç, parçaların eşit pişmesini sağlamak
  • Bir yarım soğanı kesip parçaların hacim varyansını en aza indirmek istendiği bir problem. Sonrasında, soğanın en geniş yerindeki kesit alanı varyansını en aza indiren bir kesme problemine indirgeniyor
  • “Küresel ve katmanları düzgün bir soğanı eşit hacimli parçalara ayırmak için ne yapmak gerekir?” sorusu. Pratik bir gastronomi probleminden çok geometrik bir düşünce deneyine yakın
  • Yazıda çok iyi açıklanmamış. “Parçaları olabildiğince benzer tutmak”, “Jacobian r dr dθ’nin sonsuz küçük parçaların göreli boyutunu ölçmesi”, “varyansın parçaların tekdüzeliğini iyi göstermesi” gibi parçalar var
  • Soğanı kabaca aynı boyutta parçalara kesme yöntemine dair bir problem. Merkeze doğru keserseniz içteki parçalar dıştakilerden çok daha küçük olur

• Kenji’nin hâlâ yatay kesikler atması şaşırtıcı. Açılı dikey bıçak kesimleri yapınca yatay kesiklerin tamamen gereksiz olduğunu düşünüyorum
  Birkaç yıl önce soğana yatay kesik atarken derimin flap avulsion gibi yırtıldığı da olmuştu

  • Daha da tuhaf olan, dikey kesikleri attıktan sonra yatay kesikleri atması. Gerçekte soğan doğrayan aşçıların çoğu böyle yapıyor ama bana tamamen ters geliyor
    Bütün haldeki yarım soğana yatay kesik atmak güvenli ve kolaydır; ama dikey olarak zaten kesildikten sonra çok daha zordur
  • Yatay kesikleri aşağı doğru eğimli atarsanız bu sorunla baş etmek daha kolay olur. Zaten yatay kesikler esas olarak soğanın alt yan tarafında gerekir
  • Kenji açıklarken pratikte açılı kesim yapmadığını, ama bunun ilginç bir matematik problemi olduğunu söylüyor
  • Kesilmeye dayanıklı eldivene yatırım yapmak iyi olur. Birkaç dolarla kaybedilecek zamanı önleyebilirsiniz; mandolinle de kullanılabilir
    Gerçi önce parmak kısmına bir hot dog koyup denemek daha iyi olabilir

• Şaşırtıcıydı; integrale kapalı biçimli bir çözüm olması gerçekten sevindirici. Bunun ayrık durumda nasıl görüneceğini çok merak ediyorum ve simülasyon olarak kodlaması da epey kolay olacak gibi

• Chef Jean-Pierre yöntemi daha iyi. Basit tutuyor ve yatay kesiklerin neden pek mantıklı olmadığını da gösteriyor
  [1] https://www.youtube.com/watch?v=QjZ1LFqNWRM&list=PLnujfCpADf...

  • Doğru. 15 yıldır o yöntemi kullanıyorum ve pişman değilim. Hâlâ video çekiyor olmasına şaşırdım

• Üst düzey mutfakta kelimenin tam anlamıyla kusursuz zar şekli diye bir kavram da var. Soğanın tüm katmanlarını ayırıp bastırarak yaprak gibi düzleştirdikten sonra, dikdörtgeni ızgara halinde kesip doğrama yöntemi

  • https://www.youtube.com/watch?v=UBj9H6z6Uxw