Sonlu Elemanlar Yönteminin 80. Yılı (2022)

• Sonlu Elemanlar Yöntemi (FEM), 1940'ların başında ızgara, üçgen alt bölgeler ve varyasyonel yöntemlere dayalı ayrıklaştırmadan doğarak 2021'de icadının 80. yılına ulaşan hesaplamalı mühendisliğin temel yöntemlerinden biri haline geldi
• FEM, malzeme ve yapı mekaniğinin ötesine geçerek akışkan akışı, ısı iletimi, elektromanyetizma, yarı iletken devre ve çip tasarımı, eklemeli imalat, tıbbi tanı ve cerrahi planlama gibi PDE ile tanımlanabilen problemlerin genel hesaplama temeline dönüştü
• Hrennikof, Courant, Argyris, Turner, Clough, Zienkiewicz, Kang Feng ve başkalarının katkıları birbirini izledi; 1960'ta Clough'un Finite Element Method adını vermesiyle terim yerleşti
• 1966–1991 döneminde yakınsama kuramı, karma varyasyonel ilkeler, zaman integrasyonu, Navier–Stokes çözümleri, ağ üretimi, doğrusal olmayan yapı mekaniği, akışkan-yapı etkileşimi, olasılıksal FEM ve temas analizi gelişerek yöntemi endüstriyel simülasyon aracı haline getirdi
• 1992 sonrasında hata kestirimi, hp FEM, X-FEM, phase-field fracture, isogeometric analysis, multiscale FEM, VEM, ticari ve açık kaynak yazılımlar ile makine öğrenmesi ve indirgenmiş mertebe modellerinin birleşmesiyle odak gerçek zamanlı ve veri odaklı hesaplamaya kaydı

---

FEM'in kapsamı ve 80 yıllık gelişimin dönemlere ayrılması

• 2021, finite element method(FEM) icadının 80. yılıdır
• FEM, şu alanların hesaplama temeli haline gelmiştir
  • malzeme ve yapı mekaniği
  • akışkan akışı ve ısı iletimi
  • tıbbi tanı ve cerrahi planlama için biyolojik süreçler
  • elektromanyetizma
  • yarı iletken devre, çip tasarımı ve analizi
  • eklemeli imalat
  • kısmi diferansiyel denklemler (PDE) ile tanımlanabilen problemlerin tamamı
• FEM, otomobiller, uçaklar, deniz yapıları, köprüler, otoyollar ve yüksek binalar için bilimsel modelleme ile mühendislik tasarımının biçimini köklü şekilde değiştirdi
• FEM'in gelişimiyle birlikte computational mechanics ve computational science and engineering olarak anılan mühendislik-bilim alanları da büyüdü
• Gelişim tarihi dört döneme ayrılır
  • 1941–1965: ilk dönem
  • 1966–1991: altın çağ
  • 1992–2017: büyük ölçekli endüstriyel uygulamalar ve malzeme modellemesinde ilerleme
  • 2018 sonrası: güncel ve geleceğe dönük en yeni FEM teknikleri
• Odak ağırlıklı olarak katı ve yapı mekaniği uygulamaları ile bunlara bağlı gelişmelerdedir; akışkanlar mekaniği, ısı transferi ve akışkan-yapı etkileşimi ise sınırlı biçimde ele alınır
• FEM'in gelişimi farklı dönemlere iç içe geçtiğinden, bunu yalnızca katı bir kronolojik sırayla düzenlemek zordur

1941–1965: ızgaralar, varyasyonel yöntemler ve üçgen elemanların ortaya çıkışı

• FEM'in sayısal modelleme paradigmasının kökeni 1940'ların başına uzanır
• 1941'de University of British Columbia'dan A. Hrennikof, membrane and plate model üzerine lattice framework kullanan bir makale yayımladı
  • çözüm bölgesini, lattice structure mesh'i olarak ayrıklaştırdı
  • bu çalışma, mesh discretization'ın erken bir biçimiydi
• Aynı yıl R. Courant, Saint–Venant silindirik burulma probleminden çıkan ikinci dereceden PDE'nin varyasyonel yöntemle sayısal olarak ele alınmasını yayımladı
  • sonlu üçgen alt bölgeler üzerindeki trial function'ları ve Rayleigh–Ritz method'u sistematik biçimde kullandı
  • bu çalışma 1943'te makale olarak basıldı
• McHenry, Prager and Synge, Synge and Rheinboldt literatüründe de benzer ayrıklaştırma ve varyasyonel formülasyon çalışmaları yer alır
• 1950'lerin başında birçok mühendis ve akademisyen bu ilk yaklaşımları geliştirerek havacılık ve inşaat mühendisliğindeki gerçek problemlere uygulamaya başladı
• J.H. Argyris ile M.J. Turner, farklı vurgu noktalarıyla paralel geliştirme yürüttü; Turner'a daha sonra R.W. Clough ve H.C. Martin katıldı
  • geliştirdikleri yöntem bugün FEM'in erken biçimi olarak bilinir
  • o dönemde buna Matrix Stiffness Method deniyordu
• R.W. Clough, 1960'ta yayımladığı makalede Finite Element Method ifadesini ortaya attı ve bu ad hızla benimsendi
• Turner, Clough, Martin ve Topp, keyfi şekilli yapısal bileşenlere uygun triangular elements için FEM interpolants geliştirdi
  • üçgen elemanın icadı, bazı bakış açılarına göre bir “quantum leap” olarak anılır
  • birçok mühendislik topluluğu, Turner ve arkadaşlarının 1956 tarihli makalesini FEM'in başlangıç noktası sayar

Berkeley, Boeing, Norfork Dam ve erken yayılım

• Boeing'den M. Jon Turner, uçak tasarımının gerçek gerilmelere dayanıp dayanamayacağını önceden değerlendirecek güvenilir bir yönteme ihtiyaç duydu ve Ray Clough ile Harold Martin'i Boeing'in yaz faculty internships programına davet etti
• Turner, Clough ve Martin'in iş birliği, bilgisayarlarla çok sayıda hesap yaparak gerçek performansı öngören bir yapı analizi yöntemine dönüştü
• Clough, UC Berkeley'de bir FEM araştırma grubu kurdu ve FEM'i çeşitli analiz ve deneylerde kullandı
  • binalar ve yapıların nükleer patlama ya da deprem dayanımına göre tasarlanması
  • uzay aracı yapısal gereksinimlerinin analizi
  • derin deniz açık deniz sondaj yapılarının analizi
• 1957 sonbaharında Clough, membrane, plate, shell ve solid structures analizi için finite element research ile ilgilenen öğrenciler aradığını duyuran bir ilan astı
  • o sırada araştırma fonu yoktu, ancak başka kaynaklardan desteği olan lisansüstü öğrenciler yanıt verdi
• Berkeley'in erken dönem dijital bilgisayarı, 1951'de üretilmiş vakum tüplü IBM 701 idi ve çözülebilen en yüksek linear equations sayısı 40'tı
• 1959'da Berkeley Campus'e IBM 704 kuruldu
  • 32K 32-bit memory'ye ve IBM 701'den yaklaşık 100 kat hızlı bir floating-point arithmetic unit'e sahipti
  • böylece fine mesh'ler kullanılarak pratik yapıların çözülmesi mümkün oldu
• Clough'un 1962 tarihli Norfork Dam analizi, FEM'in erken dönem pratikliğini gösterdi
  • Arkansas'taki 250 foot yüksekliğindeki Norfork Dam'da 1942'de inşaat sırasında dikey bir çatlak oluştu
  • FEM analizi, sıcaklık değişimlerinin neden olduğu çatlağın konumunu ve boyutunu doğru biçimde öngördü
  • gravity ve çeşitli hydrostatic load koşulları altında baraj ve temel içindeki gerçekçi yer değiştirmeleri ve gerilmeleri hesapladı
• Clough, iki boyutlu düzlemsel yapıların yer değiştirmelerini ve gerilmelerini değerlendiren finite element analysis computer program'ın FORTRAN listing'ini serbestçe dağıttı
  • bu program, farklı geometri, malzeme ve yük koşullarındaki 2D plane structures için kullanılabiliyordu
  • böylece uzman mühendisler, yapı mühendisliği problemlerinde stress distributions hesaplamak için FEM'den kolayca yararlanabildi
• R.W. Clough, FEM'in ortaya çıkışı ve gelişimine yaptığı katkılar nedeniyle 1994'te dönemin ABD Başkan Yardımcısı Al Gore'dan National Medal of Science aldı

Erken figürler ve kuramsal temel

• Günümüzdeki uzlaşıya göre, R. Courant'ın matematiksel temele katkılarının ardından J.H. Argyris, R.W. Clough ve O.C. Zienkiewicz, FEM'in doğuşuna ve erken gelişimine merkezi katkılar yaptı
• 1960'ların başında Chinese Academy of Science'tan Kang Feng, eliptik PDE'leri çözmek için varyasyonel ilkeler tabanlı bir ayrıklaştırma sayısal yöntemi bağımsız olarak önerdi
  • Peter Lax, Kang Feng'in Batı'daki paralel gelişimlerden bağımsız olarak FEM teorisini oluşturduğunu değerlendirdi
  • Kang Feng'in çalışması, FEM'in ilk convergence studies örneklerinden biri sayılır
• E.L. Wilson, ilk finite element open-source software'i geliştiren kişi olarak anılır
  • 1958'de Clough'un danışmanlığında Boeing'de geliştirilen rectangular plane stress finite element temel alınarak otomatik finite element programı geliştirmeye başladı
• J.T. Oden ve G.C. Best, erken dönem general purpose FEM computer codes örneklerinden birini yazdı
  • 3D elasticity, 2D plane elasticity, 3D beam and rod elements, composite layered plate and shell elements ve genel composite materials için elements içeriyordu
  • Havacılık ve savunma sanayilerinde aircraft analysis and design için yıllarca kullanıldı
• 1965'e gelindiğinde FEM araştırmaları dünya çapında son derece aktif bir alan haline gelmişti ve literatürde yayımlanan makale sayısı 1000'i aşmıştı
• Hellinger–Reissner variational principle ve Hu-Washizu variational principle daha sonra karma FEM'in gelişiminin temeli oldu
• 1964'te Pian, mixed variational principles'in Galerkin weak form tabanlı FE formulations içinde kullanılma olasılığını fark ederek assumed stress FEM'i önerdi

1966–1991: Yakınsama teorisi, dinamikler, akışkanlar, doğrusal olmayan analiz

• 1960'ların sonlarından itibaren FEM'i destekleyen titiz yaklaşım teorisi gelişti
  • Cea lemma ve Bramble-Hubert lemma, FEM yakınsamasının ispatında önemli sonuçlar arasında sayılır
  • Nitsche'nin genel lineer eliptik problemler için L∞ tahminleri üzerine çalışması, 1970'lerde FEM'in matematiksel temellerine önemli bir katkıydı
• Uygulamadaki mühendisler, uygun olmayan FEM enterpolatörleri veya standart varyasyonel biçimi ihlal eden sayısal quadrature kullanıyordu
  • G. Strang bu tür sayısal teknikleri variational crimes olarak adlandırdı
  • B. Iron ve R. Melosh, erken FEM patch test'ini oluşturdu ve bunun doğru çözüme yakınsamayı garanti etmede önemli rolü oldu
• Karma varyasyonel ilkelere dayalı FEM'de Babuska-Brezzi condition veya LBB condition temel bir sonuç olarak ortaya çıktı
  • Saddle point probleminin girdi verilerine sürekli bağlı tekil olmayan bir çözüme sahip olması için yeterli koşulu sağlar
  • Karma varyasyonel ilkelere dayalı FEM'in şekil fonksiyonlarını oluşturmada bir kılavuz oldu
• 1970'lerde FEM geliştirme çalışmaları, otomotiv endüstrisindeki crashworthiness dahil olmak üzere yapıların dinamik davranışının simülasyonuna odak kaydırdı
  • Newmark-beta method, Wilson-theta method, Hilbert-Hughes-Taylor alpha method, Houbolt integration algorithm ve explicit time integration algorithm geliştirildi
• Explicit time integration, otomotiv endüstrisinde oyun değiştirici oldu ve FEM'i binek araç tasarımı ile çarpışma güvenliği analizinin başlıca araçlarından biri haline getirdi
  • 1980'lerin sonuna gelindiğinde ABD'nin üç büyük otomobil üreticisinde, explicit time integration tabanlı FEM kodlarını çalıştıran binlerce workstation vardı
• 1980'lerde FEM'in başlıca araştırma konularından biri, Navier–Stokes denklemlerini FEM ile çözmekti
  • Hughes ve ortak araştırmacıları, streamline upwind/Petrov Galerkin method, Stabilized Galerkin FEM, space–time FEM ve variational multiscale FEM'i geliştirdi
  • 1986–1991 arasında Hughes, L.P. Franca ve diğerleri, hesaplamalı akışkanlar dinamiği için FEM formulation'ları üzerine 10 makalelik bir dizi yazdı
• 1980'lerin ortasında, interactive computer graphics, adaptive mesh generator ve solid modeling tekniklerinin birleşmesiyle gelişmiş FEM mesh generation ilerleme kaydetti
• J. Simo'nun katkıları, 1980'lerde FEM teknolojisinin gelişimindeki başlıca öne çıkanlardan biriydi
  • computational plasticity için consistent tangent operator
  • geometrically exact beam and shell theories
  • assumed strain veya enhanced strain methods

Akışkan-yapı etkileşimi, olasılıksal FEM, temas analizi

• 1970'lerin ortasından 1990'ların başına kadar havacılık ve inşaat mühendisliği endüstrilerinde büyük ölçekli fluid–structure interaction(FSI) problemlerini çözebilecek teknolojilere yoğun ihtiyaç vardı
• Hughes-Liu-Zimmermann Arbitrary Lagrangian–Eulerian(ALE) fluid–structure FEM formulation, hareketli sınır problemlerini ele alır
  • ALE'de bölge içindeki hesaplama mesh'i, eleman şekillerini optimize etmek için keyfi olarak hareket edebilir
  • Bölge sınırı ve interface üzerindeki mesh, malzemeyle birlikte hareket ederek multi-material system'in sınırlarını ve interface'lerini hassas biçimde izleyebilir
• C. Farhat, large-scale parallel ALE-FEM solver kullanarak FSI problemlerini hesaplayan ilk kişi olarak anılır
  • Farhat grubu, büyük ölçekli denklem sistemlerini ölçeklenebilir biçimde çözmek için finite element tearing and interconnecting method'u geliştirdi
• FEM tabanlı FSI araştırmaları, 1990'ların ortasında damar hastalıklarının hastaya özgü modellenmesine ve FEM tabanlı predictive medicine'in temellerine katkı sağladı
• W.K. Liu ve T. Belytschko, 1980'lerin sonlarında probabilistic FEM veya random field FEM'i ilk kez geliştirdi
  • Yük koşulları, malzeme davranışı, geometrik konfigürasyon ve destek ya da sınır koşullarındaki belirsizlikleri dikkate alır
  • Yapısal güvenilirlik analizine uygulanabilir
• 1980'lerin başında General Motors Research Lab'den M.E. Botkin ile University of Michigan'dan N. Kikuchi grubu, otomotiv endüstrisi için structural shape optimization FEM'i geliştirdi
• Hughes, Taylor, Sackman, Curnier ve Kanoknukulchai'nin 1976 tarihli makalesi, computational contact mechanics alanındaki en erken FEM analizlerinden biridir
  • Dynamic contact and impact problems'in FEM modellemesine dair ilk çalışmalardan biri sayılır
  • Sheet metal forming, target impact and penetration ve pavement ile tire etkileşimi örnekler arasında anılır
• Temas algoritmaları üzerine araştırmalar, 1990'ların sonuna kadar canlı bir araştırma konusu olarak kaldı

1992–2017: Hata tahmini, çatlaklar, meshsiz yöntemler

• 1992–2017 arasında FEM gelişimindeki ilk büyük olay, Zienkiewicz-Zhu a posteriori hata kestiricisinin formüle edilmesiydi
  • Uyarlanabilir mesh inceltme yoluyla hesaplama kaynaklarının en iyi şekilde kullanılmasını sağlarken FEM çözümünün kalite kontrolünü sunar
  • Günümüzde a posteriori hata tahminiyle kalite iyileştirme, Bayesian inference ve Bayesian update düzeyine kadar genişlemiştir
  • Bu konu, validation and verification ile yakından bağlantılıdır
• Szabo ve Babuska, h ve p’yi birlikte kullanan hp FEM’i geliştirdi
  • Uygun h-refinement ve p-refinement birleşimiyle mesh inceltilirken üstel yakınsama gösterir
  • Çoğu diğer FEM’in cebirsel hızda yakınsamasına karşıttır
• 1994’te Xu ve Needleman, yeniden meshleme olmadan çatlak büyümesini simüle edebilen FEM cohesive zone model (CZM)’ni geliştirdi
• Belytschko ve W.K. Liu, malzeme kırılması ve hasar modellemesindeki mesh yönelimi sorununu hafifletmek için meshfree particle method geliştirdi
  • Temsilî örnekler arasında element-free Galerkin method ve reproducing kernel particle method yer alır
  • RKPM, SPH method ile karşılaştırıldığında consistency sağlar ve yakınsamayı iyileştirir
• 2001’de J.S. Chen ve ortak araştırmacıları, meshfree RKPM için stabilized conforming nodal integration method önerdi
  • Basit, kararlı ve Galerkin zayıf formülasyonu ile varyasyonel olarak tutarlıdır
• partition of unity finite element method daha sonra generalized finite element method olarak adlandırıldı
  • h, p, hp sürümü FEM’in bir genellemesidir
  • Analitik çözüm, FEM ayrıklaştırmasına gömülebilir
• 1990’ların sonlarında Belytschko, Black, Moes, Dolbow ve diğerleri X-FEM’i geliştirdi
  • Zenginleştirilmiş süreksiz shape function kullanarak yeniden meshleme olmadan çatlaklı cisim geometrisini yakalar
  • Hesaplamalı kırılma mekaniği ve FEM refinement tekniklerinde önemli bir atılım oldu
• 2000 civarında Bourdin, Francfort, Marigo, malzeme kırılması modellemesi için phase-field approach geliştirdi
  • Galerkin FEM ile süreklilik ortamı hareket denklemleri ve phase equation birlikte çözülerek gerilme tekillikleri ve yeniden meshleme olmadan çatlak çözümü bulunabilir

CAD entegrasyonu, çok ölçeklilik, sanal elemanlar

• FEM’in büyük başarısının nedenlerinden biri, bilim alanları genelinde mühendislik analizi ve tasarımına geniş ölçekte uygulanabilmesidir
• T.J.R. Hughes, J.A. Cottrell, Y. Bazilevs ve diğerleri isogeometric analysis (IGA) FEM’i geliştirdi
  • NURBS fonksiyonları FEM shape function olarak kullanılır
  • Mevcut NURBS tabanlı CAD araçlarına, CAD ve FEA paketleri arasında veri dönüşümüne gerek kalmadan FEM entegre edilir
• Nanoteknolojinin ortaya çıkışıyla atomistik yöntemleri ve süreklilik ölçeğindeki FEM’i birleştiren multiscale method geliştirildi
  • molecular dynamics, density functional theory, ab initio method gibi yaklaşımlardan söz edilir
  • hand-shake method, quasi-continuum FEM, bridging scale method başlıca katkılardır
• 2007’de Gavini, Bhattacharya, Ortiz, milyonlarca atomluk DFT hesapları için quasi-continuum orbital-free DFT FEM’i geliştirdi
• 1990’ların sonlarından sonra computational homogenization method hızla gelişti
  • Periyodik mikro yapıya sahip kompozitler için multiscale computational homogenization
  • Başlıca rastgele mikro yapıya sahip kompozitleri hedefleyen computational micromechanics method olarak ayrılır
• 2013’te L. Beirão da Veiga ve F. Brezzi’nin öncülük ettiği İtalyan araştırma ekibi virtual element method (VEM)’i önerdi
  • Mevcut FEM’in keyfi eleman şekilleri için bir uzantısıdır
  • 2D polygon veya 3D polyhedron gibi polytopal discretization’a izin verir
  • local shape function basis’in açıkça hesaplanmasına gerek olmaması nedeniyle “virtual” adı verilmiştir
  • İyi kaliteli mesh elde etmenin zor olduğu karmaşık geometri problemlerinde ve yerel refinement gerektiren problemlerde mevcut FEM’e göre avantajlı özellikler taşır

Eğitim ve yazılım endüstrisi

• 1957’de R. Clough, UC Berkeley’de ilk lisansüstü FEM dersini başlattı
• Daha sonra dünya genelindeki başlıca mühendislik üniversiteleri ve okullarının mühendislik müfredatına lisansüstü ve lisans düzeyinde FEM dersleri eklendi
• 2015 sonu itibarıyla dünya genelinde onlarca dilde yüzlerce FEM monografisi ve ders kitabı yayımlandı
• Zienkiewicz and Taylor veya Zienkiewicz et al. tarafından yazılan FEM ders kitapları, FEM tekniğinin yaygınlaşmasında büyük etki yaratmış olabilir
  • Taylor’ın yazdığı FEM araştırma amaçlı bilgisayar programı kodu FEAP, kitabın ekinde yer aldı
  • Bilgisayarda FEM uygulamak için doğrudan yönergeler sağladı
• FEM yazılım teknolojisinin geliştirilmesi 1960’ların başında başladı
  • 1963’te E.L. Wilson ve R. Clough, Symbolic Matrix Interpretive System (SMIS)’i geliştirdi
  • Wilson, SMIS’i temel alarak Structural Analysis Program (SAP)’ı başlattı ve geliştirdi
  • K.J. Bathe, SAP IV ve NONSAP’ı temel alarak doğrusal olmayan FEM kodu ADINA’yı geliştirdi
• NASA kendi FEM kodu NASTRAN’ı geliştirdi
  • İlk sürüm olan COSMIC Nastran 1969’da ortaya çıktı
  • 1971’de MSC Software, Nastran’ın ticari sürümü olan MSC Nastran’ı piyasaya sürdü
• J.A. Swanson, erken dönem ANSYS FEM kodunu geliştirdi
  • ANSYS bugün dünya çapındaki başlıca ticari FEM yazılımlarından biri haline gelmiştir
• DYNA3D, Lawrence Livermore National Laboratory’den J.O. Hallquist tarafından geliştirildi
  • Yapıların çarpma, dinamik temas ve hasar analizinde yaygın olarak kullanılır
  • Daha sonra LS-DYNA’ya dönüştü
  • 2018’de Livermore Software Technology’nin ANSYS tarafından satın alınmasının ardından LS-DYNA, ANSYS LS-DYNA olarak ANSYS’in bir parçası oldu
• ABAQUS, Hibbitt, Karlsson, Sorenson’ın kurduğu HKS tarafından piyasaya sürülen büyük ölçekli ticari bir FEM yazılımıdır
  • Kullanıcı tanımlı subroutine’lere izin vererek araştırmacıların standart FEM solver’larını araştırmada daha kolay kullanmasını sağlar
• 1990’ların sonlarından 2000’lerin başlarına kadar FEM yazılım endüstrisi milyarlarca dolarlık bir iş haline geldi
• ANSYS, ABAQUS, ADINA, LS-DYNA, NASTRAN, COMSOL Multiphysics, CSI gibi yazılımlar iyi bilinen FEM yazılımları arasında anılır
• FreeFEM, OpenSees, Elmer, FEBio, FEniCS Project, DUNE gibi açık kaynaklı FEM yazılımları da vardır

2018 sonrası: makine öğrenimi, veri odaklı FEM, indirgenmiş mertebe modelleri

• Modern FEM, büyük ve karmaşık endüstriyel problemleri rutin olarak çözebilir; ürün tasarımı için öngörüsel analiz ve temel düzeyde anlayış sağlar
• Yeni buluşlarda uzay, zaman ve tasarım parametreleri uzayı genelinde büyük miktarda veri üretildikçe, bilimsel ilkelerin geliştirilmesi bazen buluş hızına yetişemeyebilir
• FEM araştırmacıları bu amaçla machine learning ve deep learning tabanlı FEM üzerinde çalışmaktadır
• Mechanistic Data Science (MDS) FEM, bilinen bilimsel ilkeleri yeni toplanan verilerle birleştirir ve yeni buluşlar için önemli bir araştırma yönüdür
  • active deep learning ve hierarchical neural network gibi yöntemler kullanılır
  • girdi verisi işleme, mekanistik özellik çıkarımı, boyut indirgeme, regresyon-sınıflandırma ve bilgi veritabanı sağlama işlevlerini yerine getirir
• Son dönemdeki machine learning ve deep learning ilerlemeleriyle, deep neural network kurarak FEM çözmek son teknoloji bir yaklaşım haline gelmiştir
• Physics-Informed Neural Networks, strong form içindeki yüksek boyutlu PDE'leri çözer ve doğal sınır koşulları ile zorunlu sınır koşullarını karşılayan kısıtlar kullanır
• Deep Ritz Method, Deep Galerkin Method, physics-constrained deep learning, partition of unity network gibi FEM yapısını sinir ağlarıyla birleştiren yöntemler araştırılmıştır
• Zhang ve arkadaşları, DNN'nin hiyerarşik özelliklerine dayanan bir FEM shape function oluşturma makalesi yayımladı ve buna HiDeNN adını verdi
  • RKPM, NURBS, IGA gibi çeşitli deep learning interpolation function yapıları gösterildi
• HiDeNN-AI, çeşitli data-driven tool'ları entegre edebilir ve fizik bilgisi çok az olan ya da hiç olmayan, hesaplama talebi yüksek bilim ve mühendislik problemlerini çözmek için genel bir yaklaşım sunar
• FEM hesaplama maliyetini azaltmak için, offline stage'de bir FEM database oluşturup online stage'de nihai çözümü hesaplayan two-stage data-driven method önerildi
• FE-SCA, unsupervised machine learning ile material point'leri gruplandırır ve reduced-order Lippmann–Schwinger micromechanics equation'ı çözerek çok ölçekli analizlerin hesaplama maliyetini düşürür
• Reduced order modeling, hızlı ve neredeyse gerçek zamanlı simülasyonlara yönelik endüstriyel taleple doğrudan ilişkilidir
  • online dynamic system control
  • structural health monitoring
  • vehicle health monitoring
  • online advanced manufacturing feedback control
  • automated driving control and decision
• Pratik optimal control, milli-second veya sub-milli-second aralığında güvenilir tahminler gerektirebilir
• reduced order machine learning method, model reduction ile tamamen data-driven machine learning yaklaşımlarının darboğazlarını aşmak için physics-data combined model yaklaşımını mümkün kılabilir

[GN⁺]

Hacker News yorumları

• 15 yıldır tam zamanlı FEM analisti olarak çalışıyorum; yazının kendisi fena değil, ama son 20 yılı olduğundan çok daha pembe gösterdiği hissi güçlü
  Gerçek pratikte FEM kullanımı oldukça uzun süre durağan kaldı. Yüksek doğrusal olmayan problemleri biraz kolaylaştıran sayısal algoritma kararlılığı iyileştirmeleri, daha optimize çözücüler, çok daha iyi donanımlar oldu; özellikle flash depolama büyük yardım sağladı
  Ama yazının öne çıkardığı gelişmiş ve yeni nesil teknolojilerin neredeyse tamamı gerçek problemlere uygulandığında başarısız oldu. Çok basit laboratuvar problemlerinde iyi sonuçlar çıkıyor, ancak gerçek dünya problemlerinde doğruluk çoğu zaman berbat oluyor. Örneğin basit çekme altındaki bir silindir iyi tutsa da bükülme eklenince ciddi şekilde dağılıyor
  Hâlâ FEM’den daha iyisi yok, ama geriye dönüp bakınca Engineer 1 olduğum dönemle neredeyse aynı şekilde çalışıyor olmam şaşırtıcı. Denenmediğinden de değil; umut vadeden ama gerçeklik doğrulamasını geçemeyen sayısız geliştirme projesi gördüm
  Endüstride odak, bunun yerine verification and validation (ASME V&V 10/20/40) konusuna çok daha fazla kaydı; bu da pek çok tuzağı ve sınırı ortaya çıkardı. Akademik araştırmalar ve yazılım şirketleri, bizim keşfettiğimiz, sözde “çözülmüş” sayılan problemleri yeniden ele alma konusunda pek istekli olmadı

  • Makine mühendisiyim ve her gün kullandığım araçların hesaplamalı bilim yönünü daha iyi anlamak istiyorum. FEA’yı bilgisayar bilimi bakış açısından “yeniden öğrenmek” istersem önerebileceğiniz öğrenme kaynakları var mı?
  • Yazıda öne çıkarılan gelişmiş ve yeni nesil teknolojilerin gerçek problemlerde neredeyse tamamen başarısız olduğunu söylüyorsanız, bunun Arnold’un çalışmasını da kapsayıp kapsamadığını merak ediyorum
    FEEC son okuduğumda epey umut verici görünmüştü, ama daha geniş FEM dünyasında pek yayılmamış gibi duruyordu
  • Son dönemde hava durumu modelleme veya kumaş modelleme gibi işlere bakınca sinir operatörlerinin, FEM’in kullanıldığı bazı problem alanlarına girdiğini ve FEM’den sinir operatörlerine uzanan bir soy hattı olduğunu düşünmüştüm. Tamamen yanlış mı anlamışım?
  • Son 15 yılın durağan geçtiğini söylemek bence şüpheli
    Temas elemanları, cıvata ön yüklemesi, tekil kompozit liflerin modellenmesi, delaminasyon ve kademeli laminat hasarı, inçin binde biri kalınlığındaki malzeme katmanlarının modellenmesi, tasarım optimizasyonu gibi alanlarda ilerleme oldu
    ANSYS Workbench daha çok başlangıç seviyesi FEA’ya yakın; örnekler daha da çoğaltılabilir
  • Fizik bilgili sinir ağlarını duydunuz mu merak ediyorum
    Gelecekte daha iyi sonuçlar verme ihtimali olan sıcak bir aday gibi görünüyor

• Kariyerimin başlarında ANSYS ve NASTRAN ile sonlu eleman modelleme ve analiz yaptım; bazen o günleri özlüyorum
  Gerçek problemleri mevcut hesaplama kaynaklarıyla çözülebilecek kadar basitleştirme sürecini düşünmek her zaman eğlenceliydi. Ayrıca mesh daha iyi hâle gelene kadar dörtgen elemanları saatlerce itip kakmanın neredeyse meditasyon gibi bir etkisi vardı. Yine de yeni bir yazılım ya da dil öğrenme hevesim pek yok
  Şaşırtıcı biçimde bu alanda pek büyük değişiklik yok gibi görünüyor. ANSYS hâlâ genel amaçlı simülasyon ve çoklu fizik alanlarında lider gibi duruyor, NASTRAN da hâlâ yaygın kullanılıyor. Pratik bir açık kaynak alternatifi de hâlâ yok
  Yeni oyuncu olarak ancak COMSOL var gibi; kullanan var mı merak ediyorum. ANSYS ve NASTRAN’ı iyi bilen biri için denemeye değer mi?

  • ANSYS’i 10 yıldan uzun süredir her gün kullanıyorum; değişen tek şey lisans kademelerinin adları oldu. Yavaş ve yapışkan bir ölüm yürüyüşü gibi
    Her yıl yazılımla daha fazla boğuşuyorum ve direksiyonun satış tarafında olduğu çok açık
    “Dikey entegre” yazılımları satın alıp entegre ediyorlar, sonra yavaş yavaş ölmeye bırakıyorlar. 10 yıl önce satın aldıkları bir ürünü gelecek yıl sonlandıracaklarını duyurdular; bunun nedeni, özelliklerinin yalnızca %20’sine sahip rakip bir ürünü öne çıkarmak
    NASTRAN’ı da bunun yaklaşık yarısı kadar süre kullandım, çok daha iyi değil. Hepsi satış odaklı
    Abaqus’u biraz denedim, iyi görünüyordu. Belki de sadece az kullandığım içindir
    Ben sadece işimi yapmak istiyorum; bu şirketler ise özellikleri lisans kademeleri arasında taşıyıp izin verilen hızda kurbağayı haşlıyor
  • Daha düşük seviyeli işler için FEniCS projesi[1] var. Bu tür, nispeten sezgisel Python koduyla[2] kısmi diferansiyel denklemleri çözmeye yarayan bir araç
    Burada sezgiselden kasıt, matematiği epey yakından takip etmesi; lise öğrencisi seviyesinde olduğu değil
    [1]: https://fenicsproject.org/
    [2]: https://jsdokken.com/dolfinx-tutorial/chapter2/linearelastic...
  • COMSOL’un büyük avantajı, birden fazla fizik alanını bir araya getirip birbirine bağlamayı kolaylaştırması
    Yapı-akışkan eşleşmesi ya da elektromanyetik-mekanik eşleşme yapmak istiyorsanız muhtemelen kullanımı en kolay seçeneklerden biri
    Tekil fizik alanlarına bakıldığında özellikle üstün değil. Mekanik, hesaplamalı akışkanlar dinamiği ve elektromanyetik çözücülerde çok daha iyi araçlar var, ama hepsi farklı sağlayıcıların ürünleri ve birbirleriyle iyi bütünleşmiyorlar
  • COMSOL’u “yeni girişim” olarak görmek biraz acıtıyor. 15 yıl önce mühendislik fakültesinde Comsol öğrenmiştim; hâlâ yeni girişim sayılıyorsa bu alanın ne kadar yavaş ilerlediğini iyi gösteriyor
  • Bu açık kaynak FEM kütüphanesinin yer edinmesini umuyorum: https://www.dealii.org/
    deal.II’deki deal, Differential Equation Analysis Library anlamına geliyor
    C++ ile yazılmış, şablonları yoğun kullanıyor ve 2000’den beri geliştiriliyor. Belirli bir katı mekaniği ya da akışkanlar mekaniği aracı olmaktan ziyade, genel kısmi diferansiyel denklemlerin FEM çözümü için bir kütüphane
    Belgeleri çok kapsamlı, çok sayıda örneği var ve Petsc, Trilinos gibi başka kütüphanelerle de entegre çalışıyor. Sonuçları çeşitli formatlarda da dışa aktarabiliyor
    Üçgen ve tetrahedron eleman desteğinin ancak yakın zamanda eklendiğini biliyorum. Buna rağmen kütüphanenin ilginç yanlarından biri mesh’lere “triangulations” demesi

• Endüstri doktorası sırasında büyük ölçekli hava kirliliği (LSAP) simülasyonu için nesne yönelimli bir programlama çerçevesi geliştirmiştim.
  Bu çerçeve Petrov-Galerkin FEM tabanlıydı ve hem düzgün 2D’yi hem de “katmanlı” 3D’yi ele alıyordu.
  Doktora öncesinde birlikte çalıştığım kişiler spektral yöntemler ve alternating-direction FEM, yani 2D’yi 1D ile yaklaştırma yaklaşımını kullanıyordu.
  Bazı konferanslarda ve röportajlarda kimi bilim insanları LSAP için FEM programlamanın kolay olduğunu söylerdi. Ben de genelde katıldıktan sonra bunu kaç kez yaptıklarını sorardım. LSAP ya da başka bir şey için hiç yanıt alamadım.
  FEM’i gerçek dünya problemlerine uygulamak, küçük ve pratik ama aynı zamanda teorik epey fazla tuzak ve hatayı çözmeyi gerektirebilir.

  • FEM’in özü, nihayetinde kısmi diferansiyel denklemlerle ifade edilen bir problemin yaklaşık çözümünü bulma tekniğidir.
    Sınır koşullarını ve bölgeyi aynı anda sağlayan pratik bir problemin çözümünü analitik yöntemlerle bulmak fiilen imkânsızdır. FEM doğruluğu yaklaşıklıkla takas eder; belirlenen sınır koşullarında doğru olabilir ama hem bölge gösterimi hem de çözüm yaklaşıktır.
    Buna karşılık yaklaşımı incelttikçe yaklaşım hatasının doğru çözüme yakınsaması gibi iyi bir özelliği vardır. Bunun bedeli ise hesaplama maliyetinin geometrik olarak artmasıdır.

• Lisans ve lisansüstünde FEM çalıştım. Çözmesi zor gerçek dünya problemlerini sonlu birimlerden oluşan basitleştirilmiş bir simülasyon gerçekliğine bölüp, açıkça kusurlu ama yararlı bir yanıt elde etme sürecinde ciddi bir tatmin var.
  Bu yaklaşım sık sık aklıma geliyor.

• O dönemde 45 yorumluk bir tartışma başlığı vardı: https://news.ycombinator.com/item?id=33480799

• Nesnelerin uzay-zamanda nasıl evrildiğini tahmin etmek temel bir ihtiyaçtır.
  Sonlu elemanlar yöntemi HN listesinin tepesine çıkma onurunu hak ediyor. Eskiden kendi modelimde “orthogonal collocation” yöntemini seçmiştim; çünkü daha hızlıydı ve o zamanki probleme daha uygundu. Birkaç araştırmacı meslektaşım FEM kullanıyordu ve 90’larda kesinlikle büyük bir modaydı.

• “Chaos researchers can now predict perilous points of no return” (2022) https://news.ycombinator.com/item?id=32862414 başlığından derlenmiş.
  FEM: Finite Element Method: https://en.wikipedia.org/wiki/Finite_element_method
  FEM, bağlı kısmi diferansiyel denklemleri çözen sonlu elemanlar yöntemidir; FEA ise FEM’in uygulanması olan sonlu elemanlar analizidir.
  awesome-mecheng’de Finite Element Analysis: https://github.com/m2n037/awesome-mecheng#fea
  Ayrıca “Learning quantum Hamiltonians at any temperature in polynomial time” (2024) https://arxiv.org/abs/2310.02243 içindeki “relaxation technique” ile ilgili bir tartışma da var: https://news.ycombinator.com/item?id=40396171

• İlginç bir bakış açısı. Az önce bu yazıda da kısaca değinilen izogeometrik analiz (IGA) konferansından döndüm.
  Birkaç kez adı geçen Tom Hughes artık IGA araştırma topluluğunun fiilî lideri. IGA, FEM’in birçok acı noktasını çözme potansiyeline sahip. Genellikle daha iyi yakınsama oranları sağlar, açık çözümleyicilerde daha iyi zaman adımlarına izin verir ve sıkıştırılamaz katılar gibi problemlerde kararlılığı güvence altına almak için daha iyi yöntemler sunar.
  Özellikle ilginç olan, gömülü yaklaşımı mümkün kılması; böylece geometriyi ağ oluşturması kolay bir arka plan ızgarasının içine koymak yeterli olduğundan ağ oluşturma sorunu neredeyse ortadan kalkar. Endüstriyel benimsenmeye kadar hâlâ yapılacak çok iş var, ama FEM’in geleceği olma ihtimali yüksek.

  • IGA’nın özü, klasik şekil fonksiyonlarını geometriyi tanımlamakta kullanılan spline’larla değiştirmek değil mi?
    Doğru hatırlıyorsam yakınsama oranı tam olarak aynı ve bu yaklaşım, sınır dışında geometri ile ilgilenilen fiziksel büyüklüğün alanının aynı uzamsal dağılıma sahip olmadığı gerçeğini doğru şekilde yansıtmıyor.
    IGA uzun zamandır var, ama “CAD fonksiyonlarını yeniden kullanalım” numarasının ötesinde somutlaşamadı. Sonuçta sıradan P-inceltmeye kıyasla gerçek bir kazanç sağlamadan problemi daha karmaşık hâle getiriyor. O hâlde geriye hangi potansiyelin kaldığını merak ediyorum.
    Tom Hughes adını hatırlıyorum. FEM kitabı da bende var; kendisi uzun zamandır, belki de onlarca yıldır bu kavramı savunan neredeyse tek kişiydi. Bunun nedeni, hesaplamalı mekanik topluluğunun tamamının buna bakıp ilginç bulması ama sonunda harcanacak emeğe değmeyeceğini düşünmesiydi. Eleman oluşturmak için spline kullanmaktan çok daha ilginç ve umut vadeden fikirler FEM’de mevcut.

• Lisans sırasında bir ders almıştım, yüksek lisansta da yeniden karşıma çıktı; ama hâlâ Galerkin türetimini ya da varyasyonel türetimi bir türlü anlayamıyorum.

  • Yapı mühendisliği açısından öğrenmiştim. Nerede takıldığını merak ediyorum.
    Benim kafamdaki akış şöyle: 1. kısmi diferansiyel denklemin güçlü biçimi, 2. zayıf biçim, 3. ayrıklaştırılmış zayıf biçim, 4. her elemanda integrali sayısal olarak hesaplama, 5. doğrusal sistemi kurma, 6. doğrusal sistemi çözme.

• Modern bir uygulamayla ilgileniyorsanız SELF, nesne yönelimli Fortran ile yazılmış bir spektral eleman kütüphanesidir[1].
  Fluid Numerics geliştiricileri MI300A sistemleri ve başka ilginç donanımlar üzerinde yaptıkları benchmark’ları yakında yayımlayacak.
  [1] https://github.com/FluidNumerics/SELF