Asal sayıların gizli yapısını ortaya çıkaran atılım

 (science.org)
1 puan yazan GN⁺ 2024-08-02 | 1 yorum | WhatsApp'ta paylaş
  • James Maynard ve Larry Guth’un 31 Mayıs tarihli preprint’i, Riemann hipotezinin belirli istisnalarını dışlayarak asal sayıların dağılımındaki gizli yapıyı bulmaya yönelik 165 yıllık problemde onlarca yıl sonra ilk büyük ilerlemeyi sağladı
  • Temel odak, Riemann zeta fonksiyonunun trivial olmayan sıfırları; bunlar, Gauss’un asal sayı sayısı tahmini ile gerçek asal sayı dağılımı arasındaki hatayı anlamakla doğrudan bağlantılı
  • Bilgisayarlar 10 trilyondan fazla sıfırın tamamının reel kısmının 1/2 olduğunu doğruladı, ancak matematikçilerin istediği şey ampirik doğrulama değil, başka konumların imkânsız olduğuna dair bir ispat
  • Bu sonuç, 1940’ta Albert Ingham’dan beri iyileştirilemeyen 3/4 noktasındaki sıfır sayısı üst sınırını düşürdü ve analitik sayı teorisi ile harmonik analizi birleştirerek eski bir engeli aştı
  • Riemann hipotezinin tam ispatı hâlâ uzak olsa da, daha kısa aralıklarda asal sayı sayısını tahmin etmeye ve sayı teorisindeki diğer problemleri ele almaya yarayacak yeni araçlara yol açabilir

Asal sayıların dağılımını çözmek için Riemann hipotezi

  • Her doğal sayı, yalnızca kendisine ve 1’e bölünebilen asal sayıların çarpımı olarak ayrıştırılabilir ve matematikçiler bu asal sayıların sayı doğrusu üzerinde nasıl yerleştiğini anlamaya çalışıyor
  • Asal sayılar ilk bakışta oldukça rastgele görünse de, içlerinde gizli bir yapı olduğu düşünülüyor
  • Son 165 yıldır bu yapıyı bulma çabasının merkezinde Riemann hipotezi yer alıyor
    • Kanıtlanırsa, asal sayıları çözmek için bir Rosetta Taşı gibi işlev görebilir
    • Clay Mathematics Institute’un 1 milyon dolarlık ödülü bu problem için konmuş durumda

Gauss’un tahmini ve zeta sıfırları

  • Carl Friedrich Gauss, 1700’lerin sonunda 16 yaşındayken asal sayıların büyüdükçe seyrekleştiğini fark etti ve X’ten küçük ya da eşit asal sayı sayısının kabaca X / ln X ile ölçeklendiğini tahmin etti
  • Bu tahmin, gerçek asal sayı sayısının eğrinin biraz üstünde ve altında dalgalanmasıyla son derece iyi uyuştu
  • Bernhard Riemann, 1859’da Riemann zeta fonksiyonu ile Gauss’un eğrisi ve gerçek asal sayı dağılımı arasındaki farkı ele almaya çalıştı
    • Bu fonksiyon, reel ve sanal bileşenleri birlikte taşıyan karmaşık sayıları girdi olarak alır
    • Riemann zeta fonksiyonunun 0 olduğu zeta sıfırları, Gauss eğrisi çevresindeki hata dalgalanmalarını doğrudan tanımlar

Riemann hipotezinin gerektirdiği kısıtlar

  • Riemann hipotezi, negatif girdilerde ortaya çıkan bazı trivial çözümler dışında, tüm zeta sıfırlarının girdilerinde reel kısmın 1/2 olması gerektiğini öngörür
  • Bu hipotez doğruysa asal sayı sayısındaki dalgalanmalar sınırlı olur ve sayı doğrusu üzerinde asal sayıların ne büyük kümeler ne de büyük boşluklar oluşturmadığı anlamına gelir
  • Bugüne kadar bilgisayarlar 10 trilyondan fazla trivial olmayan zeta sıfırını inceledi ve hepsinin reel kısmı tam olarak 1/2 çıktı
  • Ancak yalnızca ampirik doğrulama yeterli değil
    • Maynard’a göre ispat, sadece doğru olduğunu göstermekle kalmaz; neden doğru olduğunu anlamayı sağlayarak asal sayıları ele almak için güçlü yeni teknikler sunar
    • Riemann hipotezini kanıtlayacak ikna edici bir saldırı yolu bile henüz yok

Bu sonucun hedef aldığı dar boşluk

  • Matematikçiler Riemann hipotezinin tamamını doğrudan kanıtlayamadıkları için, zeta sıfırlarının bulunamayacağı bölgeleri daraltarak problemi parçalara ayırdı
  • Trivial olmayan zeta sıfırlarının zaten 0 ile 1 arasına sıkıştığı biliniyor
  • Ayrıca 1/2 etrafında bir ayna simetrisi var; dolayısıyla 3/4 noktasındaki sıfırları dışlamak, 1/4 noktasındakileri de dışlamak anlamına geliyor
  • Mevcut teknikler 1/2 ile 3/4 arasında ya da 3/4 ile 1 arasında daha iyi çalışsa da, çok sayıda sıfırın 3/4’te gizlenmiş olabileceği ihtimali sürüyordu
  • 3/4’te bulunabilecek sıfır sayısına dair en iyi üst sınır, 1940’ta Britanyalı matematikçi Albert Ingham tarafından elde edilmişti ve o zamandan beri kimse bunu geliştirememişti

Maynard ve Guth’un yaklaşımı

  • Maynard, analitik sayı teorisi alanında uzmanlaşmış, 2022’de Fields Madalyası almış bir matematikçi; son 10 yılda hemen her cuma öğleden sonra bu problemi yeniden düşünmesine rağmen sonuç alamamıştı
  • 2020’deki American Mathematical Society toplantısında Maynard, harmonik analiz uzmanı MIT’li Larry Guth’tan yardım istedi
    • Harmonik analiz, fizikten ödünç alınan fikirlerle sesi bileşen tonlarına ayırma yaklaşımıyla ilişkili teknikleri içerir
    • Guth da birkaç yıl boyunca bu problem üzerinde çalıştı ve vazgeçmek üzereyken Maynard ile birlikte atılımı buldu
  • İkili, kendi matematik dillerinden stratejiler ödünç alıp gece geç saatlerde e-postalarla fikir alışverişi yaparak, alışılmadık bir yöntemle Ingham’ın üst sınırını kırdı

Sayı teorisinin geneline uzanan olasılık

  • Maksym Radziwill, bu çalışmayı zeta sıfırlarını araştırmada son 50 yıldaki ilk yeni fikir olarak değerlendiriyor ve uzun süredir ihmal edilen bu alanın yeniden hareketlenebileceğini düşünüyor
  • İyileştirilen üst sınır, Riemann hipotezinin tamamını kanıtlamaya neredeyse hiç yardım etmese de, sayı teorisinin geneline etki edebilir
    • Matematikçiler daha kısa aralıklarda asal sayı sayısını daha iyi tahmin edebilir
    • Radziwill, yeni stratejinin dinamik sistemlerle ilgili önceki çalışmalarını sadeleştirmeye yardımcı olabileceğini düşünüyor
    • Kakeya problemine de yardımcı olabilir
    • Guth, bu fikirleri dalgaların fiziği ile sayı kümelerinin dağılımı arasındaki derin ilişkiyi incelemek için kullanmakla ilgileniyor

İlgili okumalar

1 yorum

 
GN⁺ 2024-08-02
Hacker News görüşleri

  • Bu içerik Mayıs ayında çıkmıştı; Quanta’da daha iyi bir yazı yayımlandı ve burada da tartışılmıştı
    https://www.quantamagazine.org/sensational-proof-delivers-ne...

  • Bunun asal sayılarla ilgili daha büyük bir atılıma yol açtığını, böylece büyük tam sayıların asal çarpanlara ayrılmasının kolaylaştığını ve RSA gibi açık anahtarlı şifrelemenin bir gecede etkisiz hale geldiğini hayal edin
    Tüketici sınıfı CPU’larla bile herkesin gerçek hizmetlerde kullanılan anahtar boyutlarını kırabildiği bir durumda, sektörün buna yönelik bir felaket kurtarma planı var mı? Büyük şirketler kırılmamış başka kripto sistemlerine hızla geçebilir mi? Jailbreak geliştiricileri, konsol modcuları ve “cihaz özgürlüğü” tarafı için cennet gibi bir gün olurdu, ama genel etki felaket olur ve boyutunu kestirmek zor olurdu
    Sektör, ani sayı teorisi atılımını olası bir olay olarak görmüyor gibi

    • RSA’da bunun gibi şeyler birkaç kez yaşandı
      ABD hükümetinin uzun RSA anahtarlarının ihracatını kısıtladığı bir dönem vardı ve bir ara dünyanın önemli bir kısmı 128 bit RSA anahtarları kullanıyordu; sonra Dixon yöntemi yüzünden aceleyle 512 bite geçildi. Ardından special number field sieve nedeniyle 1024 bite, general number field sieve nedeniyle de yeniden 2048 bite hızla çıkıldı; bunlar da görece o kadar eski olaylar değil
      80’lerdeki RSA şifreleme donanımlarına bakarsanız, 512 bit işleyebildikleriyle gurur duyan cihazlar görürsünüz. Şimdi işe yaramazlar
      https://people.csail.mit.edu/rivest/pubs/pubs/Riv84.pdf
      Special/general number field sieve karmaşıklık denklemleri birkaç sabit dışında aynı; bu sabitlere bakınca gerçekten temel bir sınır gibi görünüp görünmedikleri şüpheli. Bu sabitleri daha da küçültüp 2048 bit anahtarları bile işe yaramaz hale getirecek bir yöntem bulunamayacağını düşünmek gerçekten zor değil mi?
      “RSA kırılırsa ne olur?” diye sormaya gerek yok. Bunu birkaç kez yaşamış biri olarak, yine anahtar boyutlarını büyütmek için telaşa kapılacağımızı ve sızmış olabilecek tüm verileri denetleyeceğimizi hemen söyleyebilirim
    • Tüketici donanımında büyük tam sayıları kolayca asal çarpanlara ayırmanın bir yolu bulunursa, RSA başlıca açık anahtarlı algoritmalardan biri olduğu için bu çok acı verici olurdu
      Yine de endişelenmeden önce, RSA’nın bugüne kadar 47 yıllık aktif kriptoanalize dayandığını düşünmek gerekir. Bu süre içinde daha üstün olduğu öne sürülen birçok alternatif algoritma vardı ama çoğu çok geçmeden kırıldı
      Eliptik eğri algoritmalarına geçiş eğilimi de esas olarak bilgisayarların şifreleme/şifre çözme işlemlerini daha kolay yapabilmesinden kaynaklanıyor
      Şahsen, 10 yıl sonra da ortada olacak bir açık anahtarlı algoritmaya para yatıracak olsam RSA’ya yatırırdım
    • Bu noktada eliptik eğrilere geçiş devreye giriyor gibi; hem imzalar hem de el sıkışma (Diffie-Hellman) için süreç epey ilerlemiş görünüyor
      Felaket kurtarma bir dakikalık iş olmazdı ama RSA/DH bir gecede güvensiz hale gelse bile her şeyin tamamen açıkta kalacağını sanmıyorum. Benim SSH anahtarlarım bile şu anda birkaç yöntemin karışımı
    • Sektör, kötü bir CrowdStrike güncellemesine bile hazırlıklı değildi ama yine de birkaç gün içinde toparladı
      Felaket senaryolarına hazırlanma becerisi fazla abartılıyor, hayatta kalma becerisi ise küçümseniyor gibi
    • Hızlı asal çarpanlara ayırma keşiflerinin son derece nadir olduğu görüşü var. O kadar çok zeki insan baktı ki, şu an için muhtemelen imkânsız deniyor; ama bu anlatının kendisi de bir zayıflık olabilir
      Bu risk, büyük bir güneş fırtınasının elektrik şebekesini çökertmesi ve transformatör üretim gecikmeleriyle yetersiz stoklar nedeniyle taş devrini andıran, yıllar süren bir toparlanmaya yol açması kadar gerçek; ama bu bakış açısında fazla küçük ve teorik kaldığı için çok zaman ayırmak zor görünüyor
      Planlama açısından, sadece ECC’ye geçmenin o kadar kolay olduğundan emin değilim. ECC’de gerçek asimetrik şifreleme paylaşılan sırra dayanıyor; eğer RSA’nın kırıldığı ve değişim kanalının güvenli olmadığı varsayılırsa, RSA’ya kıyasla ortadaki adam saldırılarına daha açık hale gelebilir. Kolay bir bire bir değişim gibi görünmüyor
      Ayrı bir ihtimal olarak RSA zaten kırılmış olabilir ve çözüm, şifre çözen kurumlar tarafından gizli tutuluyor olabilir. Onlar için böyle bir atılımı saklamak çok cazip olurdu; hatta “ani sayı teorisi atılımı”nı bastırmanın bir yolunu arıyor olabilirler de

  • İnsanlar asal sayıların yapısının her zaman karmaşık olduğunu düşünür, ama aslında bunun, önceki aralıkların katlarının ulaşamadığı aralık boyutlarının yinelemeli bir yapısı olduğu görüşü var
    Bu, önceki aralıkların hepsini izlemeye gerek kalmadan “tahmin etmeyi” kolaylaştırmıyor, ama özünde karmaşık bir yapı da değil. Bu kadar basit bir yapının yakalanmasının bu kadar zor olması ilginç. 3n+1 dizisinin karmaşıklık üretmesi ya da lojistik dönüşümün eşik değeri aşınca karmaşıklaşması gibi

    • “Tüm asalları” üreten bir üretici epey basit ve deterministiktir
      Ama yalnızca asal n verildiğinde bir sonraki asalı elde etmek için trivial olmayan kalanları yeniden hesaplamak gerekir; dolayısıyla n sayısının ikili gösterimi tek başına bir sonraki asalın ne olduğunu hızlıca söylemeye yetecek bilgiyi içermez. Önce bazı referans noktalarını önceden hesaplamak gerekir. Sonuçta bir miktar ek karmaşıklık var, ama yine de basit ve bariz sayılır; hatta NP'ye bile giren bir problem değildir
    • Ah evet, matematiğin en titiz ve entelektüel olarak en göz korkutucu alanlarından biri olan sayı teorisinin temel kuramını sağlamak kadar basit bir şey yoktur tabii /s
    • Bunun neden çözülmüş bir problem sayılmadığını merak ediyorum
      https://en.wikipedia.org/wiki/Information_theory
      https://en.wikipedia.org/wiki/Computational_irreducibility
      https://en.wikipedia.org/wiki/Aperiodic_tiling

  • “Cuma öğleden sonraları için ayrılmış düşünme seanslarında son on yıldır bu probleme tekrar tekrar döndü ama sonuç alamadı” kısmı cesaret verici

    • Richard Hamming'in de cuma öğleden sonralarını derin ve büyük fikirler üzerine düşünmek için boş bıraktığını hatırlıyorum. Harika bir yöntem

  • Gauss eğrisi ile Riemann eğrisi belirli bir uzayda çizilince daha da büyülü bir şey ortaya çıkıyor
    Trivial sıfırlar ve trivial olmayan sıfırlar hakkında neden söz edildiğini görmek için şu Wikipedia animasyonuna bakabilirsiniz: [https://en.wikipedia.org/wiki/File:Riemann3d_Re_0.1_to_0.9_I...](https://en.wikipedia.org/wiki/File:Riemann3d_Re_0.1_to_0.9_Im_1_to_51.ogg)
    Temelde bunun, reel ve sanal sayılar arasında henüz keşfetmediğimiz başka bir ilişkiye işaret ettiğini düşünüyorum
    Ayrıca Riemann matematiği kuantum mekaniğinde rol oynadığı için, bunun bir kütleçekim kuramı bulma konusunda da çıkarımları var
    Asal sayıların bir kütleçekim kuramında rol oynaması ya da oynayabilmesi tuhaf bir bilim kurgu gibi geliyor

  • “Sonunda Ingham sınırını aşmak için birkaç alışılmadık sayı kullandılar” ifadesi merak uyandırıcı
    Başka alanlardan yöntemler getirmenin neden alışılmadık sayıldığını anlamıyorum. Mühendislik geçmişinden bakınca bu gayet yaygındır. Harmonik analiz ses, dalgalar, elektrik analizi, istatistik ve başka birçok alanın temel aracıdır; algoritmaları da iç yapıda saf matematikten oluşur
    Herhangi bir temel sistemde yinelemeli yapılar aramak istiyorsanız, farklı çizim tekniklerini denemek ve probleme en uygun olanı seçmek normal değil mi?

    • Alıntıyı, bu yaklaşımın alışılmadık tarafının sadece harmonik analiz fikirlerini kullanmak olduğu şeklinde okumuyorum. Sayı teorisinde harmonik analiz kullanmak hiç de yeni değil
      Analitik sayı teorisindeki ilk dersin temel fikri ve Riemann'ın ünlü 1859 tarihli makalesinin temel fikri bir bakıma “harmonik analiz”dir. Riemann bu alanın öncülerinden biri olduğu için bu tesadüf de değil: https://old.reddit.com/r/math/comments/16bh3mi/what_is_the_b...
      Bugün sayı teorisindeki en sıcak büyük akım da özünde sayı cisimleri üzerinde “yüksek boyutlu” harmonik analizdir: https://en.wikipedia.org/wiki/Automorphic_form, https://en.wikipedia.org/wiki/Langlands_program. Langlands programının genelleştirmeye çalıştığı 1 boyutlu örnek https://en.wikipedia.org/wiki/Tate%27s_thesis olup buna “sayı cisimleri üzerinde Fourier analizi” de denir ve 20. yüzyıl sayı teorisinin en önemli fikirlerinden biridir
      Guth-Maynard makalesinin kaynakçasında 1994 tarihli şu kitap da var: H. Montgomery, Ten Lectures On The Interface Between Analytic Number Theory And Harmonic Analysis, No. 84. American Mathematical Soc., 1994. Daha 1994'te bile on derslik bir kesişim alanı vardı; kitabın aldığı atıf sayısına bakılırsa bundan çok daha fazla temas noktası da mevcuttu. Ben de kendi makalelerimin yarısından fazlasında bu kitaba atıf yaptım
      Şaşırtıcı olan, harmonik analiz kullanmış olmaları değil, onu nerede ve nasıl uyguladıklarıdır. Bu, genel okura aktarması gerçekten imkânsız olan kısım; bu yüzden haber yazarını suçlamak istemem
      Bu biraz “bağlantı kurmak neden şaşırtıcı olsun ki” demek gibi geliyor, ama atılımlar çoğu zaman yeni bağlantılardan çıkar ve böyle atılımlar bazen ortaya çıkıyor diye yeni bağlantılar artık şaşırtıcı olmaktan çıkmaz
    • “Alışılmadık” biraz güçlü bir ifade olabilir, ama anlatılmak istenen şey muhtemelen başka alanlardaki mevcut tekniklerin yeni bir şekilde uygulanması
      Matematikte, görünüşte ilgisiz iki alan arasındaki paralellikleri birinin fark etmesi ve bir alandaki fikirleri diğerinde içgörü elde etmek için kullanması türünden büyük atılımlar oldukça sık yaşanır
      Zor olan kısım, alanlar arası bu bağlantıların genelde açık olmamasıdır. Benzerliği görebilmek için kayda değer bir kavrayış sıçraması gerekebilir
    • Biraz komik bir ifade. Gazeteci gazeteciliğini yapmış sadece
      Matematikteki her keşif için bir ölçüde “alışılmadık bir hamle” içerir de denebilir. Sonuçta ortodoks olan şey, yalnızca şimdiye kadar bilinenlerin toplamıdır

  • “İlk bakışta oldukça rastgele görünüyor. Ama aslında asal sayıların içinde böyle gizli bir yapı olduğu düşünülüyor” sözünü duyunca, varsayımsal asal sayı deseninin nasıl bir şey olacağını merak ediyorum
    Kapalı biçimli bir formül gibi bir şey mi bekleniyor? Riemann hipotezi kanıtlanırsa dağılımı anlamak için bir sonraki adım ne olur? Yoksa o kanıtın kendisinin zaten bu cevabı içermesi mi beklenir?

  • James Maynard’dan her bahsedildiğinde, onun nesilde bir kez çıkan bir dahi olduğu düşüncem daha da güçleniyor
    Asal sayı teorisine şimdiden çok fazla katkı yaptı ve kendi ömrüm içinde Riemann hipotezinin kanıtını görebileceğimiz hissine kapılıyorum

  • Bu görseli ilk kez görüyorum ama içine çeken bir yanı var, o yüzden merak ettim. Asal sayılar kutupsal koordinat grafiği üzerinde çizildiğinde ortaya çıkan desen yakın zamanda mı keşfedildi, yoksa uzun zamandır biliniyor da sadece illüstrasyon olarak mı kullanılmış? Adını ve tarihçesini merak ediyorum

  • Biraz konu dışı ama bu cümle, otomatik ispatlayıcıların ele aldığı yönlerden, bizim henüz düşünmeye bile başlamamış olabileceğimiz tarafları aklıma getiriyor
    “Rutgers University’den matematikçi Alex Kontorovich, ‘Bu sansasyonel bir atılım. Bu ispatın içinde insanların önümüzdeki yıllarda kazıp çıkaracağı tonla yeni fikir var’ diyor”
    Bir şeyin ispatı, katılık kazandıran bir araç olmaktan çok, o nesneye bakmak için yeni bir bakış açısı olarak daha ilgi çekici olabiliyor. Otomatik matematikte bu yönde çalışmalar olup olmadığını merak ediyorum.