Diferansiyel Denklemler Dersinden Önce Öğrenmiş Olmayı İsteyeceğim 10 Ders [PDF] (1997)

• MIT’de uzun süre 2. sınıf diferansiyel denklemler dersini veren Gian-Carlo Rota, giriş dersinin eski çözüm hilelerine ve atalete bağlı kaldığını; gerçekçi bir reformdan çok, doğal biçimde daha kısa alternatif derslere ayrışma ihtimalinin yüksek olduğunu düşünüyor
• Başlarda öğretilen birinci mertebe denklem teknikleri, integrasyon çarpanı, tam diferansiyel denklemler gibi kopuk hileler gerçek mühendislik problemlerinden uzak; uzun vadede değerini koruyacak olanlar en fazla değişkenlerine ayırma ve değişken dönüşümü
• Öğrencinin mutlaka edinmesi gereken eksen sabit katsayılı doğrusal denklemler ve sistemler; değişken katsayılı ikinci mertebe doğrusal denklemler ya da biçimsel Sturm-Liouville içeriği giriş dersiyle pek uyuşmuyor
• Varlık-teklik teoremleri, sözel problemler, parametrelerin değişimi yöntemi ve diferansiyel sembolü merkezli anlatımlar, anlamaktan çok sınavda ölçülebilir işlemleri güçlendirmeye yatkın; bunlar yörüngeler, vektör alanları ve integral eğrileri bakış açısıyla yeniden açıklanmalı
• Giriş düzeyi diferansiyel denklemler eğitimi, geride çok sayıda hile bırakan bir ders değil; öğrencide üstel fonksiyonun evrenselliği, kararlılık, faz düzlemi ve Laplace dönüşümü gibi kavramsal sezgiler bırakmalı

---

Eski giriş düzeyi diferansiyel denklemler dersine dair sorun bilinci

• Gian-Carlo Rota, gençliğinde adi diferansiyel denklemler ders kitabı yazmasını bir hata olarak anıyor; bu deneyim sayesinde diferansiyel denklemin ne olduğunu bilmediğini fark ettiğini söylüyor
• MIT’nin 2. sınıf diferansiyel denklemler dersi, hem öğretmenler hem öğrenciler için yorucu bir lisans matematik dersi olarak görülüyordu; Rota da ders kitabı yazdığı için bu dersi vermeye devam etti
• Bu yazı, 1958’den beri derslerde tekrarladığı hataları ve önyargıları 10 ders halinde özetliyor

1. Giriş dersinin önemli bir bölümü eskimiş durumda

• Cauchy’nin 19. yüzyıl diferansiyel denklemler ders notlarıyla günümüz giriş kitapları karşılaştırıldığında, sistemlerin eklenmesi dışında içerikte neredeyse hiç değişiklik yok
• Günümüzde ders kitaplarının başlarında tam diferansiyel denklemler, integrasyon çarpanları, homojen diferansiyel denklemler gibi birbirine bağlı olmayan teknikler, yararlı araçlarmış gibi yerleştiriliyor
• Bu tür denklemler mühendislik pratiğinde nadiren ortaya çıkıyor; onlarla birlikte verilen alıştırmaların da Euler’den bu yana büyük ölçüde değişmeden sürdüğünü düşünüyor
• Giriş düzeyi diferansiyel denklemler dersinin kapsamlı biçimde reforme edilmektense doğal olarak ortadan kalkıp, daha gerçekçi yönleri ele alan birkaç kısa dersle yer değiştirmesi olası
• Ancak matematik bölümlerinin bütçesi, mühendislik öğrencilerinin temel matematik derslerine kayıt sayısına büyük ölçüde bağlı olduğundan, böyle dersler olmazsa matematik bölümlerinin varlığını sürdürmesinin zor olduğunu düşünüyor

2. Birinci mertebe diferansiyel denklemler en aza indirilmeli

• Boole’un diferansiyel denklemler kitabı birinci mertebe denklemlerin çözümüne neredeyse yarısını ayırsa da, bugün anlamlı biçimde ayakta kalan tekniklerin en fazla değişkenlerine ayırma ve değişken dönüşümü olduğunu düşünüyor
• İntegrasyon çarpanının neredeyse şakaya dönüştüğünü; pratikte birinci mertebe diferansiyel denklemin integrasyon çarpanı bulunarak çözüldüğü bir örnek duymadığını söylüyor
• Buna rağmen derslerde integrasyon çarpanına bir iki saat ayrılması ve öğrencilere bunun önemli olduğunun söylenmesi alışkanlığı sürüyor

3. Doğrusal sabit katsayılı denklemler esastır

• Öğrenci sabit katsayılı doğrusal diferansiyel denklemleri çözmeyi mutlaka öğrenmeli; özellikle ikinci mertebe sabit katsayılı doğrusal denklemleri çözmek temel matematik okuryazarlığının parçasıdır
• Buna karşılık değişken katsayılı doğrusal diferansiyel denklemler cesurca azaltılmalı
  • Euler-Cauchy denklemi dışında, özel fonksiyonlar getirmeden açık biçimde çözülebilen ikinci mertebe doğrusal denklem olmadığını düşünüyor
  • Bessel fonksiyonları geçmiş ders planlarında yer alsa da, günümüz giriş dersinde ele alınmasının zor olduğuna karar veriyor
• Sturm-Liouville teorisi güzel bir matematik olsa da, giriş dersinde işlenen tekil olmayan Sturm-Liouville özdeğer problemlerinin gerçek matematikte, fizikte ve mühendislikte ortaya çıkmadığını söyleyerek eleştiriyor
  • Gerçekte ortaya çıkan Sturm-Liouville sistemleri tekil sistemlerdir
  • Katı teori, yalnızca birinci değil ikinci diferansiyel denklemler dersinin kapsamını da aşar
• Değişken katsayılı denklemleri tamamen saklamaya gerek yok; giriş düzeyinde bile Wronskiyen ve diferansiyel cebirin bazı sonuçları gösterilebilir
  • İkinci mertebe doğrusal denklemin genel çözümü için formül olmasa da, iki çözümün Wronskiyeni için açık bir formül vardır
  • Bir çözüm biliniyorsa Wronskiyen kullanılarak ikinci çözüm bulunabilir

4. Değişken dönüşümü öğretilmeli

• Öğrencinin ileride mutlaka kullanacağı teknik, hem birinci hem ikinci mertebe diferansiyel denklemlerde değişken dönüşümüdür
• Değişken dönüşümü basit bir hile değil, tutarlı bir teoridir; ancak mevcut ders kitaplarının bu tekniğe yeterince önem vermediğini düşünüyor
• İkinci mertebe doğrusal diferansiyel denklemlerde bağımlı ve bağımsız değişkenlerin dönüşüm formülleri biliniyor; ancak 20. yüzyılda yazılmış kitaplarda bunları bulmanın zor olduğunu söylüyor
• Liouville, ikinci mertebe doğrusal diferansiyel denklem katsayılarının diferansiyel polinomları olan invariantları keşfetti; iki denklemin değişken dönüşümüyle birbirine dönüştürülebilmesi için gerek ve yeter koşulun aynı invariantlara sahip olmaları olduğunu kanıtladı
• Bu teorem ders kitaplarında ele alınmıyor; Rota’nın kitabının ilk baskısında alıştırma olarak yer almış, ancak sonraki baskılardan çıkarılmış

5. Varlık ve teklik daha az önemlidir

• Adi diferansiyel denklemlerin varlık teoremi, genellikle sanıldığı kadar önemli değildir; daha çok psikolojik güven veren bir teorem gibidir
• Adi diferansiyel denklemlerde çözümün var olmadığı örnekler olsaydı varlık teoremi daha ilginç olabilirdi; ancak bu tür problemler kısmi diferansiyel denklemlerde daha belirgindir
• Teklik teoremi daha hassas bir konudur; sabit katsayılı ikinci mertebe doğrusal denklemin tüm çözümlerinin iki çözümün doğrusal kombinasyonu olduğunu kanıtsız söylerken suçluluk duyduğunu söylüyor
• y' = ay denkleminin tüm çözümlerinin y = ce^{ax} biçiminde olduğunu kanıtlasanız bile bunu öğrenciye ikna edici biçimde aktarmanın zor olduğunu düşünüyor

6. Doğrusal sabit katsayılı sistemler dersin merkezindedir

• Sabit katsayılı doğrusal sistemleri çözmek, öğrencinin diferansiyel denklemler dersinde öğrendiği en önemli tekniktir
• Bilim ve teknoloji alanlarındaki öğrenciler daha sonra büyük doğrusal sistemlerle karşılaşacak; büyük sistemlerin çözümü bilgisayarlaştıkça teorik kavrayış daha da önemli hale gelecek
• Öğrenci matrislerin özdeğerlerini ve özvektörlerini, matris üstelini ve ilgili teoriyi bilmelidir
• Son 30 yılda kontrol, ekonomi, sinyal işleme ve matematikte ilginç sabit katsayılı sistem örnekleri ortaya çıktı; ancak bunların giriş kitaplarına dahil edilmediğini düşünüyor
• Ders kitaplarındaki matris sistemi örneklerinin çoğunun düzlem sistemleri ya da yapay örnekler olduğunu eleştiriyor
• Parametrelerin değişimi yöntemi sistemler ünitesinde tören gereği karşımıza çıkar; ancak pratikliği düşüktür ve öğrencilere verilecek iyi problem üretmek de zordur
• Değişken katsayılı ikinci mertebe doğrusal olmayan olmayan denklemleri çözmeye yönelik eski parametrelerin değişimi yöntemi, yüzyıllardır aynı yapay örneklerle ders kitaplarında tekrarlanıyor

7. Diferansiyel sembolü merkezli anlatımdan kaçınmalı

• 1800’den beri ders kitaplarının integrasyon çarpanlarını açıklama biçimini katı olmamakla sert biçimde eleştiriyor
• Mevcut anlatım, birinci mertebe dy/dx = -M(x,y)/N(x,y) denklemini aniden M dx + N dy = 0 adlı bir “diferansiyel forma” çeviriyor ve bunun yalnızca farklı bir gösterim olduğunu söylüyor
• Ardından bir q(x,y) fonksiyonuyla çarpılırsa qM dx + qN dy = 0 ifadesinin tam hale geldiği söyleniyor; ancak özgün denklemle çarpılmış denklemin aynı mı farklı mı olduğu doğru dürüst ele alınmıyor
• Daha iyi açıklama, söz konusu birinci mertebe denklemle birlikte düzlemde otonom bir sistemi düşünmektir
  • dx/dt = N(x,y), dy/dt = -M(x,y) birlikte ele alınır
  • Sistemin çözümleri, hıza sahip parametrik eğriler olan yörüngelerdir
  • Özgün diferansiyel denklemin çözümleri, hızın çıkarıldığı integral eğrilerinin grafikleridir
• q(x,y) değiştirildiğinde yörünge üzerindeki hız değişir, ancak integral eğrileri aynı kalır
• İntegrasyon çarpanı, vektör alanını geometrik ve analitik olarak daha elverişli kılan q çarpanı olarak tanıtılabilir
• Dış diferansiyel formların kendisine karşı değildir; lisans matematik müfredatında yakında dış diferansiyel formlara yönelik başlangıç düzeyi bir kalkülüs dersine ihtiyaç doğabileceğini düşünüyor

8. Sözel problemlerden kaçınmalı

• Sınav ve ödevlerde not dağılımı oluşturmayı kolaylaştırdığı için sözel problemleri tercih etmenin yanlış bir düşünce olduğunu düşünüyor
• Cambridge Tripos’un eski eğitim yönteminde olduğu gibi, öğrenciler problem çözme hilelerine göre eğitilirse anlamaktan çok işlem yapma becerisi öne çıkar
• Diferansiyel denklemler kitaplarındaki sözel problemleri yapay, gerçekçilikten uzak, tekrarlı ve ilgisiz diye eleştiriyor
• Kar küreme aracı problemi ya da birbirine bağlı tanklardaki tuzlu su akışı gibi problemleri çözdürmenin öğrenciye anlamlı bir şey öğrettiğini söylemenin zor olduğunu belirtiyor
• Bir ekonomi öğrencisinin karşılaşacağı gerçek problemlerle bir kimya mühendisliği öğrencisinin karşılaşacağı gerçek problemler oldukça farklıdır; tek bir giriş dersi bunların hepsini basit sözel problemlerle kapsayamaz

9. Laplace dönüşümünün motivasyonu doğru kurulmalı

• Genellikle Laplace dönüşümü, sabit katsayılı doğrusal diferansiyel denklemlerin başlangıç değer problemleriyle motive edilir; ancak ters dönüşüm kolay değildir ve başlangıç değer problemi başka yollarla da çözülebildiği için motivasyon zayıftır
• Laplace dönüşümü ele alınırken “fonksiyon” sözcüğünde birbirinden farklı iki kavram karışır
  • Grafiği olan sıradan fonksiyon
  • Kütle yoğunluğu ya da olasılık yoğunluğu gibi anlamı integralle belirlenen yoğunluk fonksiyonu
• Yoğunluk fonksiyonunda tek bir noktadaki değer anlamlı değildir; [a,b] aralığındaki integral kütleyi ya da olasılığı gösterir
• Bu bakış açısı benimsenirse Dirac delta fonksiyonu basit ve katı biçimde ele alınabilir
  • c noktasındaki birim kütle, grafiği olmayan en basit yoğunluk fonksiyonudur
  • Aralık c noktasını içermiyorsa integral değeri 0, içeriyorsa 1 olarak tanımlanır
  • Sonsuz değere sahip bir fonksiyon gibi açıklamalar yapmadan özellikleri türetilebilir
• Yoğunluk fonksiyonlarında, alışılmış anlamdaki çarpmadan çok konvolüsyon (convolution) doğal bir çarpma rolü oynar
• Konvolüsyonun önemli teoremlerinden biri olarak Titchmarsh konvolüsyon teoremini anar; bu teoremin bilinen temel düzeyde bir kanıtı olmadığını ve Titchmarsh’in kanıtının karmaşık değişken yöntemlerini kullandığını söyler

10. Hileleri değil kavramları öğretmeli

• Giriş düzeyi diferansiyel denklemler dersi hileler koleksiyonu olarak öğretilirse eğitim değeri taşımaz
• Öğrenci bir yıl sonra hilelerin çoğunu unutur; bunların önemli bir kısmı zaten işe yaramaz
• Öğrencide kalması gereken kavramlar şunlardır
  • Üstel fonksiyonların evrensel biçimde ortaya çıkışı
  • Kararlılık
  • Sistemlerin yörüngeleriyle integral eğrileri arasındaki ilişki
  • Faz düzlemi analizi
  • Laplace dönüşümü işlemleri
  • Laplace dönüşümü üzerinden kısmi kesirlere ayırma ile konvolüsyon arasındaki ilişki
• Öğrencinin zor problemleri ustalıkla çözüp çözememesinden çok, diferansiyel denklemlerin önemi ve matematiğin gücü hakkında bir sezgi edinmesi daha önemlidir
• Lisans eğitiminin amacını yalnızca bilgi aktarımı olarak görmek yanlıştır; bilgi, sınıf dışında da daha iyi yollarla edinilebilir
• Başarılı bir lisans dersi, öğrenci tam olarak ne öğrendiğini tek tek gösteremese bile iyi bir ders aldığını hissettirebilendir

[excovert]

İçerik ile başlık farklı gibi görünüyor, değil mi?

[GN⁺]

Hacker News yorumları

• Matematiğin başka alanlarında ya da birden çok alanında da benzer şeyler oluyor. Matematik dersinde Fourier dönüşümünü öğrenirken, karmaşık üstel fonksiyonların integrallerini mekanik biçimde işleyen bir cebir gibi göründüğü için hiç anlamamıştım; ama ses sinyali analizinde dalga biçiminin genlik spektrumunu görür görmez neler olduğunu hemen kavradım, faz da ondan sonra zor gelmedi.
  Üniversite matematiğinde bu tür pratik örnekler neredeyse yasaklanmış gibi görünüyor; sanki amaç her şeyi çok soyut ve katı biçimde yapmak. Sezgiyi kazanınca biçimsel matematiği de anlamaya başladım; öğretme tarafına geçince bunun neden böyle olduğunu da görüyorsunuz. Öğretmene her şey o kadar bariz geliyor ki, öğrencinin henüz gösterimi ve söz dağarcığını anlamadan önceki hâlini hayal etmek zor oluyor. Bu yüzden öğrencinin zaten bildiği başka alanlardaki kavramları bulup yeni konudaki basit bir örnekle ilişkilendirerek “bu aynı şey; sadece gösterim ve soyutlama farklı” diye gösterince çoğu zaman kafasında tık diye oturuyor. Ama ders kitaplarında ya da kalabalık derslerde bunu yapmak zor; bu yüzden sadece materyal vermek yerine bir insanın öğretmesine ihtiyaç var

  • Pratik örnekleri bilmiyorsanız zor. Kısa bir süre üniversitede matematik öğretirken, fizik mezunu olduğum ve sanayi deneyimim de bulunduğu için diferansiyel denklemler dersinde mühendislik uygulamaları olmasının iyi olacağını söylemiştim; diferansiyel denklemler asistanı olan zeki bir yüksek lisans öğrencisi ciddileşip “diferansiyel denklemlerin mühendislik uygulaması yoktur” diye cevap vermişti
  • Saf matematik okumuş ve hobi olarak elektronik mühendisliği de yapan biri olarak, saf matematik öğrencileri ve öğretim elemanları arasında diğer alanlara biraz tepeden bakan bir hava gerçekten vardı. Benim bulunduğum yerde fizik ya da uygulamalı matematik öğrencileri için bile “o matematik bile değil, sadece formüller ve ezber” diye şaka yapılırdı; bilgisayar bilimi öğrencilerine ise daha da kötü bakılırdı.
    Oysa matematik kavramları çoğu zaman gerçek fizik problemlerini çözmek için icat edilmiştir ya da sonradan fizik problemlerinde çok faydalı oldukları ortaya çıkmıştır. Tarihsel olarak fizik ile matematik arasında büyük bir ayrım yoktu ve birbirlerini çok etkilediler. Einstein’ın genel görelilik kuramını geliştirirken matematikte güçlü olmadığı için arkadaşlarından yardım aldığı ve neredeyse özel ders gibi bir süreçten geçerek anladığı hikâyesi ilginçtir. Fourier analizini elektronik mühendisliği yapmadan önce de anlıyordum; ama yüksek frekans problemleriyle uğraşıp devre çalışmalarında frekans alanını kullanmaya başladıktan sonra faydasını gerçekten hissettim
  • Fourier dönüşümünün kalkülüs dersine değil, doğrusal cebire konup orada öğretilmesi gerektiğini düşünüyorum. Doğrusal cebirde anlamı daha iyi oturuyor ve ders kitaplarında eksik olan önemsiz olmayan uygulama örneklerinden biri oluyor

• Şimdiye kadar gördüğüm diferansiyel denklemler girişleri içinde en sezgisel kaynak https://www.complexityexplorer.org/courses/31-introduction-t... idi.
  En baştan diferansiyel denklemleri açıklıyor, fiziksel anlamını ve geleneksel çözüm yöntemlerinden bir iki tanesini ele aldıktan sonra sayısal analiz yöntemlerine geçiyor. Diferansiyel denklemler öğrenmek istiyorsanız şiddetle tavsiye edilecek kadar kısa ve iyi; ama resmi bir derse hazırlanmak ya da konunun tamamını öğrenmek için bir kaynak değil

  • Diferansiyel denklemleri anlamada sayısal analiz yöntemlerinden yararlanan eğitim yaklaşımının erken öncülerine ait, resmi ders düzeyinde bir kaynak istiyorsanız Blanchard, Devaney ve Hall’un kitabını (http://math.bu.edu/odes) şiddetle öneririm

• 14-15 yaşında kalkülüsü ilk öğrendiğimde birisi bunu neden yaptığımızı açıklasaydı sanırım çok daha az kafam karışırdı. Şimdi hız, mesafe ve ivme gibi örneklerle anlatılınca tamamen anlamlı geliyor; ama yalnızca fonksiyonlar, sonsuz küçük parçalar, delta miktarları, denklemler ve ispat listeleriyle öğrenince çok kuru ve sıkıcıydı. Birkaç yıl sonra fizik dersinde karşıma çıkana kadar kalkülüsün ne işe yaradığını hiç kavrayamamıştım

  • Benim aldığım ve öğrettiğim kalkülüs dersleri fiziksel dünyadan örneklerle doluydu. Ama ilk öğrenirken sanırım bu açıklama ve örneklerin zihnime yerleşebileceği zemin henüz yeterince oluşmamıştı.
    Lisansüstü öğrencisi olup temel konulara tekrar baktığımda “bu bu kadar mantıklıyken neden lisede öğretmediler?” diye düşündüm; sonra muhtemelen gerçekten öğretildiğini ama matematiksel olgunluğum yeterli olmadığı için aklımda kalmadığını fark ettim. Cebirsel işlem becerimin iyi olması da engel oldu; çünkü kavramsal temeli derinlemesine anlamadan da ödevlerin çoğunu yapabiliyordum. Cebirsel işlem becerisi önemli, ama dersleri kavramsal anlayış olmadan geçmeyi zorlaştıracak şekilde yeniden yapılandırmak iyi olurdu
  • Kalkülüsü saf matematik bakış açısıyla öğrendim, ama belli ölçüde fizik bilgim olduğu için iki kavramı bağlayabiliyordum ve bu yardımcı oldu. Yine de ilk 3 dönemin çoğunu anlamak için “integral = eğrinin altındaki alan”, “türev = eğrinin bir noktasındaki eğimi hesaplama” bilmek yeterliydi.
    Ancak fizik örnekleri yalnızca fiziğe ilgi duyan öğrencilerde iyi işliyor. Matematik dershanesinde çalışırken Stewart ders kitabındaki türden fizik örneklerinin, fiziğe ilgisi olmayan öğrencilerin kafasını daha da çok karıştırdığını gördüm. Çünkü matematiği öğrenmenin yanında, örneği anlamak için fizik kavramlarını da öğrenmeleri gerekiyordu. Finans ve ekonomi öğrencilerine yönelik ayrı kalkülüs derslerinde de benzer bir durum vardı; özel ders verenlerin problemlere yardım edebilmek için temel finans kavramlarını öğrenmesi gerekiyordu ve öğrenciler de yalnızca finans kavramları karıştırılmış problemleri çözebilir hâle gelebiliyordu
  • Fiziğin fiilen matematik öğretme işini üstlenmesi, matematik bölümleri açısından evrensel bir utanç sayılmalı
  • Benim de aynen böyleydi. İlk dönemin çoğunu C ortalamayla geçirdim, çünkü neyi neden yaptığımızı anlamıyordum.
    Okul kütüphanesinde, bir yüzme havuzunun yanındaki giderek büyüyen bir delikten suyun boşalmasıyla ilgili problemleri çözerken bir Eureka anı yaşadım; ondan sonra her şey anlam kazandı. Daha sonra çoğunlukla A aldım ve o yıl AP sınavında sınıfta 5 alan tek kişi oldum. Sonunda sinyal işlemeye odaklanan elektrik mühendisliği okudum ve yüksek lisansa kadar gittim; anlamadığım hâlde neredeyse 8 yıl boyunca kalkülüs yapmış olmam ironik
  • Mühendis ebeveynleri olan çocuklar burada avantajlı. Böyle ebeveynler, matematiğin gerçek dünyada nasıl kullanıldığına dair örnekler verebilir.
    Bağlantı kurulduğunda, bu matematik yazılımların içine gömülü olduğu için doğrudan kullanmasak bile birilerinin o matematiği koda dönüştürdüğünü ve bizim de bundan faydalandığımızı anlatabilirsiniz. “Sen doğrudan kullanmayabilirsin, ama kullandığın araç onu içeride kullanıyor” demek, bunu tuhaf bir angarya gibi gören öğrenci için motivasyon sağlayabilir

• Üniversitede aldığım ilk matematik dersi onun iki dönemlik kalkülüs dersiydi; hâlâ kafamın içinde onun sesiyle duyuyormuşum gibi. Unutulmaz bir sesti ve harika bir öğretmendi.
  Bir başka ilginç nokta da şu: 50 yaşında kendi seçimiyle mühendis oldum; o zamana kadar mühendislik epey değişmişti ve önemli olan pahalı bilgisayar programlarını ustalıkla kullanabilme becerisiydi. Bu programlar diferansiyel denklemleri sayısal olarak çözüyordu; başka bir yolla çözmeyi düşünen neredeyse kimse yoktu. Çünkü buna zaman yoktu.

  • Diferansiyel denklemlerin çoğu analitik olarak çözülemez gibi geliyor. Temizce çözülebilenler, özenle hazırlanmış bulmacalar gibi çok küçük bir alt küme; gerçek problemlerdeyse yaklaşık çözümü bulmanın yolu çoğu zaman yalnızca sayısal analiz yöntemleri oluyor.
    Yine de diferansiyel denklemler kuramının, sayısal analiz yöntemlerinin çalışacağı çerçeveyi tasarlamada hâlâ yararlı olduğunu anlıyorum.
  • Ben de Rota’nın “exploring higher mathematics” seminerini aldım; gerçekten olağanüstü biriydi. Sonsuzluk hiyerarşileri konusundaki heyecanım hâlâ duruyor.
    İkinci hikâyeye katılıyorum. Programlar diferansiyel denklemleri sayısal olarak çözüyor ama eskiden nasıl çözüldüğünü biraz bilmenin hâlâ iyi bir şey olduğunu düşünüyorum.

• Sabit katsayılı ikinci dereceden doğrusal adi diferansiyel denklemin, yani kütle-yay-sönümleyici sisteminin, tüm genel çözümlerini kodda kolayca uygulanabilecek kısa bir matris biçiminde türeten bir yazı yazmıştım: https://esporttoys.pages.dev/2022/11/21/damped
  Lua ile yazılmış tam çözümü de verdim; sönüm, öz açısal frekans ve kalana göre sin/cos ya da sinh/cosh seçip konum ve hızın zamana göre evrimini hesaplayan bir yapı.

  • Güzel bir örnek. Matematik tarafındaki açıklama ağırdı; temel anlayışa ulaşmam uzun sürdü ve doğru anlayıp anlamadığımdan da emin değilim. Buna karşılık Lua kodu, değişken adları her şeyi okuyup tahmin etmeye zorlasa da anlaşılması kolaydı.
    İşte diferansiyel denklemlerle uğraşmayalı uzun zaman oldu ama PDF’teki “ne kadar çok bilirsem o kadar az anladım” sözüne katılıyorum. Saf matematiğin neden gerçeklik denen kirli şeyle kirlenince anlaşılır hâle geldiğini, bunun anlamayı engelleyip engellemediğini pek bilmiyorum.
  • Lisansüstü süreç, aslında F=Ma-Cv-Kx’i türlü şekillerde genişletip sonunda sonlu elemanlar analizine varma süreciydi. Nihayetinde mesele, yanıtlamaya çalıştığın soru için en elverişli baz fonksiyonlarını seçmeye indirgeniyor.

• 10 yıl önce kimya mühendisliği lisansüstü programına girdiğimde derslerde beni bunaltan şey, matematiğin tersine yeterince titiz olmamasıydı. Açıklığa kavuşturulmasını istediğimde tutarsızlıklar çoğu zaman üstünkörü geçiştiriliyordu.
  Yazıda geçen diferansiyel formlar bunun iyi bir örneği. Mühendislik derslerinde, titizlik ya da biçimsellik olmadan denklemleri yeniden yazmanın bir yoluymuş gibi birden ortaya çıkıyor. “Diferansiyel”in ne olduğu, bu sembolleri tutarlı biçimde manipüle edecek aksiyomatik bir temel bulunup bulunmadığı kimse tarafından açıklanmıyor; sadece sınav için çözüm adımları veriliyor. Kuantum kimyası dersinde de dalga fonksiyonunun çökmesi ve ışık hızından hızlı bilgi aktarımı olasılığı hakkında sorular sordum ama “bu dersin kapsamı değil” denilerek geçildi. İstatistiksel mekanik lisansüstü dersinde, tüm sistemin dalga fonksiyonunun tek tek dalga fonksiyonlarının Slater determinantı olduğu açıklamasına karşı, kuantum mekaniğinin özünün tüm sistemin durum fonksiyonunun genellikle ayrılamaz olması olduğunu, aksi hâlde dolanıklığın da olmayacağını söyledim; fakat profesör, öğrencinin bilmediği bir konuda profesöre meydan okumaması gerektiğini söyleyip konuyu kapattı. O profesörün araştırma kariyeri, atom koordinatları ve türleri dosyasını DFT yazılımına verip çalıştırdıktan sonra sonuçları yayımlayan hesaplamalı kimya makalelerine büyük ölçüde dayanıyordu.

  • Hangi büyüklükteki sistemlere kadar kuantum dolanıklığı veya kuantum eşevreliliği korunabilir, bu hâlâ açık bir problem. Kuantum bilgisayarları etkilediği için çok önemli.
    Deneysel olarak, yeterince büyük sistemlerin kuantum eşevreliliğini uzun süre koruyamadığı görülüyor. Bu sürecin matematiksel olarak nasıl ele alındığını öğrenmek istiyorsan ‘quantum decoherence’ı, olası fiziksel yorumlarını öğrenmek istiyorsan ‘objective collapse theory’yi arayabilirsin.
  • Bir matematikçi olarak, mühendislik, kimya ve fizik profesörleri dâhil birçok matematikçi olmayan kişinin matematiği çalışır düzeyde anladığını ama derinine inmediğini hissettim.
    “Bu sembolleri tutarlı biçimde manipüle eden aksiyomatik bir temel var mı?” sorusunun yanıtı var. Ayrıca akademinin büyük bir kısmı kendi küçük alt alanı içinde yayın yapıyor ve daha geniş sonuçları pek düşünmüyor. Bu yüzden biraz farklı geçmişe sahip yeni girenler de birçok keşif yapabiliyor.
  • DFT, tek parçacık yaklaşımı olan Kohn-Sham yaklaşımını kullanır ve bir temel durum kuramıdır. Kuantum kimyasında senin söylediğin yönde çalışmalar kesinlikle var ama DFT o değil. Levy-Lieb yoğunluğuna ve Mazziotti’nin makalelerine bakmak iyi olur.
  • Bilmeyenler için: DFT, yoğunluk fonksiyoneli teorisidir.

• İlgili yazılar:
  Lessons I wish I had learned before I started teaching differential equations [pdf] (1997) - https://news.ycombinator.com/item?id=32530035 - Aug 2022 (177 comments)
  10 lessons I wish I had learned before I started teaching differential equations - https://news.ycombinator.com/item?id=19005798 - Jan 2019 (2 comments)
  Lessons I Wish I Had Learned Before Teaching Differential Equations (1997) [pdf] - https://news.ycombinator.com/item?id=15163979 - Sept 2017 (108 comments)
  Ten lessons I wish I had learned before teaching differential equations (1997) [pdf] - https://news.ycombinator.com/item?id=11207183 - March 2016 (118 comments)

• “Sabit katsayılı doğrusal diferansiyel denklemler esastır” sözüne tamamen katılıyorum. Değişkenlere kolay sabitler koyarak nasıl çalıştığına dair sezgi kazanılabilir; sabit katsayıların önce öğretilmemesine inanmak güç.

  • O zaman, Cebir II’yi geçmiş olmalarına rağmen sabit katsayılar ile değişken katsayılar arasındaki farkı anlamayan öğrencilerle karşılaşana kadar bekle.

• Şimdiye kadar gördüğüm eğitimcilerin neredeyse tamamı, öğrenme materyallerinin bilinçsizce steril kalması gerektiğinde ısrar etti; bu yazıdaki gibi komik olmasına ve güçlü bir bakış açısı kazanmasına izin vermedi. Çoğu öğrenci için “öğrenme”, üniversiteden çıkana ya da lisansüstü eğitime girip denemeler ve anılar üzerinden öğrenmeye başlayana kadar saçma derecede sıkıcıdır.
  12–16 yıl boyunca kemik kadar kuru bir biçimde yerleşik doğrular olarak sunulan şeyler, aslında kimi zaman onlarca hatta binlerce insanın ömür boyu süren emeğiydi; bu insanlar kariyerlerini ortaya koyup mücadele ettiler, toplumsal bakış açıları oluşturdular, şakalar yaptılar, evlendiler, boşandılar, öldüler, tartıştılar ve birbirlerini hedef alıp muazzam tutkularını ders kitaplarına damıttılar. Öğrenci olarak öğrendiğiniz bilgilerin büyük kısmı, keşfedildikleri dönemde son derece tartışmalıydı. Massachusetts, Sandwich’teki cam sanatı müzesinde bile sergi açıklamaları “mevcut cam ustaları endüstriyel ihlal olarak tepki gösterdi” gibi arıtılmış ifadeler kullanıyordu; oysa gerçek alıntı, mucidin şiddetli tepkilerden kaçmak için haftalarca bir odada saklandığını anlatacak kadar çok daha insaniydi. Modern eğitimde tek bir şeyi değiştirebilseydim, öğrencilerin bilginin gelişimi ve korunmasının hiçbir zaman düzenli ya da önyargısız olmadığını anlamasını ve geçmiş yazarların nüktesine ve bilgeliğine yeterince maruz kalmasını isterdim. Ayrıca komediye adanmış sanatçı ve yazarlar dışında, matematikçiler ile mühendisler çoğu zaman sanatçı ve yazarlardan çok daha komikti.

  • Eski bir öğretmen olarak bunun nedeninin, bildiğimiz eğitim sisteminin büyük ölçekte yeniden üretilebilir öğrenme çıktıları üretmek için var olması olduğunu düşünüyorum. Yüzyılların dehalarının güçlükle elde ettiği bilgiyi gençlerin zihinlerine aktarma girişimi bu; düşününce epey tuhaf bir şey.
    Bu açıdan bakınca, gerçek içgörüyü aktarmakta yetersiz olsa da şaşırtıcı derecede başarılı. Daha iyi eğitim muhtemelen öğrenci odaklı, keşif merkezli bir yaklaşım olurdu; ama bunu ölçeklemek daha zor ve sonuçları da daha az belirleyici. Bu yüzden sıkıcı ama bir ölçüde işe yarayan eğitimi tekrar edip duruyoruz.

• 2022’deki önceki tartışma: https://news.ycombinator.com/item?id=32530035

  • O tartışmada matematiğin, 0 olmayan ama sonsuz derecede küçük sayıları limit kavramıyla ikame etmesi ele alınıyordu. Sonsuz küçükler daha sonra https://mathworld.wolfram.com/NonstandardAnalysis.html üzerinden titiz biçimde yeniden tanıtıldı.
    Bu yaklaşımın modern bilgisayarlarda daha kolay ele alınabileceğini uzun zamandır düşünüyorum.