Claude Fable, Jacobian varsayımına karşı bir örnek üretiyor

• Claude Fable tarafından üretildiği belirtilen polinom dönüşümü, Jacobian determinantı sabit -2 iken üç farklı noktayı aynı noktaya gönderdiği için Jacobian varsayımına karşı bir örnek oluşturuyor
• Bu dönüşüm ℂ³ → ℂ³ üzerinde tanımlı ve üç bileşenin tamamı x, y, z cinsinden polinomlardan oluşuyor
• Farklı (0, 0, -1/4), (1, -3/2, 13/2), (-1, 3/2, 13/2) noktalarının tümü (-1/4, 0, 0) noktasına eşleniyor; yani dönüşüm injective değil
• Jacobian determinantı ve iki giriş noktası için fonksiyon değerleri, bağlantılı Wolfram|Alpha hesaplamalarıyla doğrulanabiliyor
• Sabit ve sıfır olmayan bir Jacobian determinantına sahip olmasına rağmen injective olmadığı için, sunulan ifade ℂ³ üzerinde Jacobian varsayımını çürütüyor

---

Polinom dönüşümü ve Jacobian determinantı

• ℂ³ → ℂ³ dönüşümü aşağıdaki üç polinom bileşenden oluşuyor
  • Birinci bileşen: (1+xy)^3z + y^2(1+xy)(4+3xy)
  • İkinci bileşen: y + 3x(1+xy)^2z + 3xy^2(4+3xy)
  • Üçüncü bileşen: 2x - 3x^2y - x^3z
• Bu dönüşümün Jacobian determinantı -2
• Determinant değeri bağlantılı Wolfram|Alpha hesabından doğrulanabilir

Injective özelliğini bozan üç giriş noktası

• Aşağıdaki üç nokta farklı olmalarına rağmen hepsi (-1/4, 0, 0) noktasına eşleniyor
  • (0, 0, -1/4)
  • (1, -3/2, 13/2)
  • (-1, 3/2, 13/2)
• Birinci ve ikinci giriş noktalarının fonksiyon değerleri de bağlantılı Wolfram|Alpha hesabıyla doğrulanabilir
• Dolayısıyla bu polinom dönüşümü injective değildir ve sabit, sıfır olmayan bir Jacobian determinantına sahip olmasıyla birlikte Jacobian varsayımına karşı bir örnek oluşturur

[GN⁺]

Hacker News yorumları

• Yaklaşık 10 yıl önce, Jacobian sanısına yakın bir karşı örnek bulduğuna inanan bir doktora sonrası araştırmacıyla tanışmıştım. Kendisi ve bir meslektaşı, katsayı eşlemesinde ikili ağaç kullanarak yaklaşık 16 değişkenli, her biri 80~700 terimli polinomları kaba kuvvetle deniyordu
  O zamanlar karşı örnek ((P,Q)) için (\max(\deg(P),\deg(Q))) alt sınırının 200'e kadar çıkmasının beklendiği düşünülüyordu; bu yüzden Claude Fable'ın 7. dereceden bir karşı örnek bulmuş olması inanması güç ve gerçekten yeni bir çağ gibi hissettiriyor

  • Görünüşe göre 2 değişkenli durumla 3 değişkenli durumu karıştırmış. İlki gerçekten 150 derecenin üzerine kadar incelendi ve bu karşı örnek 3 değişkenli duruma ait
  • Acaba bu karşı örnek o zamanki arama uzayına da dahil miydi diye merak ediyorum

• Olağanüstü matematikçi Yitang Zhang bu sanıyı kanıtlamaya 7 yılını harcadı. Danışmanı Moh, Zhang'ın Jacobian sanısını kanıtlama girişiminde “feci biçimde başarısız olduğunu”, Purdue'dan ayrıldıktan sonra “cebirsel geometri üzerine tek bir makale bile yayımlamadığını” ve “hayatının 7 yılını ve benim zamanımı boşa harcadığını” yazmış
  https://newyorker.com/magazine/2015/02/02/pursuit-beauty
  https://x.com/aminkarbasi/status/2079129649830137989
  https://en.wikipedia.org/wiki/Yitang_Zhang

  • Bu da T.T. Moh'un yazdığı Zhang'ın Purdue dönemi kaydı: https://www.math.purdue.edu/~ttm/ZhangYt.pdf
    Böyle bir belgenin gerçekten var olması bile şaşırtıcı

• Çığır açıcı bilgiyi bir LLM'e verince bu kez zihinsel karmaşaya düşen tarafın LLM olması gibi nadir bir örnek. Claude Code'a verince %100 emin olmaya çalışıp yedi farklı yolla doğruladıktan sonra dehşete düşmesi oldukça etkileyiciydi

  • ChatGPT'ye hiçbir bağlam vermeden yalnızca dönüşümü verip “bu fonksiyon hakkında bana bilgi ver” dedim. Jacobian vb. hesaplamaya başladı, sonra baktığı sonucun ne anlama geldiğini fark etti ve aritmetiği dört kez yeniden kontrol ettikten sonra SymPy'nın manipüle edilmiş olabileceğinden bile şüphelenip anlık bir sembolik denetleyici ile elle doğrulamaya karar verdi
  • Claude'un dehşete kapıldığını gördüm. Gemini önce web'de arama yapıp haberi zaten alıntıladı, Kimi ise bir türlü inanamadı
  • “DOES NOT COMPUTE” ifadesinin gerçek bir durum haline geleceğini kim tahmin ederdi
  • Bu, LLM'in “derinden inandığı” bir önermeye karşı çürütülemez kanıt aldığında yaşanan, matematik versiyonu bir unicorn emoji fenomeni gibi
  • Duyduğuma göre matematikçiler de tuhaf bir kaynaktan ya da bizzat kendilerinden çıkan yabancı bir ispat sonunda doğru çıktığında benzer bir süreç yaşıyor. Amatörlerden sürekli kötü ispatlar geldiği için ölümcül bir kusur bulunma olasılığı ezici derecede yüksek oluyor; kendi ispatında ise kişinin kendi sıçramalarını eleştirel görmesini zorlaştıran kör noktalar oluşuyor
    Bu yüzden bir şeyi kaçırdığından sürekli şüphelenip farklı yollarla tekrar tekrar doğruluyorsun; neredeyse çökecek hale geldikten sonra ancak kamuya açık biçimde yeni bir atılım olasılığını temkinli şekilde dile getirebiliyorsun

• Bu tür matematiksel temizlik işinin iyi yanı, artık kimsenin doğru olduğunu kanıtlamak için zaman harcamak zorunda olmaması. Sırada umarım LLM'in Collatz sanısını çözmesi vardır da, farkında olmadan kurban olanların döktüğü muazzam insan-yılını kurtarır

  • Bu problemin bu kez “kolay” olmasının nedeni, sanının yanlış çıkmış olması. Matematikçilerin çoğunun beklediği gibi Collatz sanısı doğruysa, ortalama bir Erdős probleminden çok daha zor kanıtlanacaktır
  • Hikâye burada bitmiyor. Sonraki adım, hangi tür polinomlar için Jacobian sanısının doğru, hangileri için yanlış olduğunu belirlemek
  • Yüzyıl dönümüne doğru genç bir matematikçiydim; “kanıtlamaya çalışırken zaman harcamak” ifadesi, sürekli sonuç ve makale üretmek gerektiğini varsayan MBA tarzı bir düşünce biçimi
    Zor problemlere saldırdığında, başarısız olsan bile birçok sonucu ve aracı daha derinden anlarsın ve bunları başka problemlere uygulayabilirsin; dolayısıyla bu hiç de zaman kaybı değildir. Yalnızca tek bir probleme yıllarını vermek gibi uç örnekler istisnadır

• LLM ile kalitesi şüpheli kod ya da ispatların topluca üretilmesinde gerçekten sorunlar olduğu için süregelen tartışmayı anlıyorum. Ama karşı örnek aramada zaten kaba kuvvet yaygın olduğundan, LLM'i daha gelişmiş bir kaba kuvvet gibi kullanmak tam isabet bir yaklaşım gibi görünüyor; insanların neden bu kadar düşmanca davrandığını anlamak zor

  • Yalnızca insan beyninin işe yaradığı bir alanda makineler giderek ustalaştıkça bu, birçok kişi için çok zor olacak. Bence düşmanlıkta hem “ispatlanana kadar her şey saçmalık olabilir” tavrı hem de “insanı hayrete düşüren şeylerin çoğunu kaybedeceğiz” korkusu var
    Önümüzdeki birkaç yılda merhamet son derece önemli olacak; insanlar hem içten hem dıştan acı çekecek
  • Bu sonucu üreten Fable'ın muhakeme kaydını görmeden buna ileri seviye kaba kuvvet demek sıçrama gibi geliyor

• Aylardır yapay zekayla matematikte vibe coding yapıyorum ve şaşırtıcı derecede kolay mümkün oluyor. Zor kısım, sonuçları bizzat doğrulamak ve geçerliliğini kontrol etmek; küçük bir bulguyla bir sanıyı çürütüp ilk makalemi yazdım
  Sonraki bulgular kuantum topolojisi ve fizik alanında epey ciddi içerikler, bu yüzden çok sıkı inceleyip yayıma hazırlıyorum. Doğrulamaya harcanan zaman, keşfin kendisinden daha uzundu
  Sayı teorisine ilginiz varsa ilk makale burada: https://arxiv.org/abs/2607.09793

  • Fizik okudum ve geçmişte makale de yayımladım ama akademiden uzun zaman önce ayrıldım. Claude ile matematik ve simülasyonun karıştığı fizik problemlerini çözmeyi denedim, işler epey dolaştı
    Problemi kurma ve akla gelmeyen yaklaşımlar önerme becerisi şaşırtıcı ama sonuçları yorumlama yeteneği çok daha zayıftı
  • Çalışırken ne ölçüde bizzat anlamaya çalıştığını merak ediyorum. Yüzeyde sezgiyle ilerlemekle karşılaştırınca, kendi anlayışını kaç soyutlama katmanı aşağıya kadar indirdiğini bilmek isterim
  • Ben de tip teorisinde aynı şeyi yapıyorum

• Gönderiyi paylaşan kişi Anthropic'te çalıştığı için bir sonraki nesil Fable'a dahili erişimi olması oldukça muhtemel. Dahili model matematikte inanılmaz güçlü ve yakında çıkacak benchmark'larda da matematik performans rekoru kıracak gibi görünüyor
  Gerçek prompt'u ve muhakeme kaydını paylaşmak istememesinin nedeni de bu olabilir. Model resmen yayımlanana kadar gizlilik sözleşmesi kapsamında olması muhtemel

• Sonuca fazla büyük bir sıçramayla varılmış gibi görünüyor. Sol da aynı karşı örneği bağımsız olarak bulabildiğine göre, benchmark'ı ezip geçen bir Fable 6 olduğu sonucuna varmak için bir neden yok
  [1]: https://x.com/aaron_lou/status/2079218392452530249

  • Pek de heyecan verici değil. En iyi yapay zekalara erişilebilen bu şölene ben davet edilmedim ve davet edilenlerin de benim çıkarlarımı iyi temsil ettiğini söylemek zor

• İnsanların bunu sormuyor olması şaşırtıcı: Fable bu karşı örneği nasıl buldu? Çeşitli polinom aileleri tahmin edip sonra her ailede olası çözümleri mi aradı, akıllıca bir arama mı yaptı, yoksa başka bir yöntem mi kullandı merak ediyorum

  • Bu Claude sohbetinde bazı tahminler var: https://claude.ai/share/22abed98-d9af-43c5-9881-b19e009a07b0
    Kaynak burada: https://x.com/b_shrir/status/2079094004885668003?s=20
    Kısacası, mevcut literatürde bir kutup noktası dışında neredeyse her yerde çalışan hatalı bir karşı örnek var. Fable'ın bu polinomu temel alıp yapıyı koruyarak kutup noktasını kaldıracak şekilde genişlettiği anlaşılıyor
  • Tüm mantıksal adımları Lean biçimsel doğrulamasına aktarıyorlar. AI'ın yazdığı açıklama ile Lean'ın doğrulama hata ve uyarıları arasında kurulan hızlı geri bildirim döngüsü, mantıksal tutarlılığı güvence altına alabiliyor
    Geriye kalan sorunlar, ispat fikrinin gerçekten istenen önermeyi kanıtlayıp kanıtlamadığı ve elde edilen sonucu nasıl yorumlamak gerektiği. Bunun dışında, kernel'in denetlediği kodun içindeki her şey mantıksal olarak tutarlı

• Karşı örneğin bu kadar küçük olması, gelecekte çok ilginç sonuçların keşfedileceği bir alanı iyi gösteriyor. Sorunların aşırı zor olmasından değil, zekayı ölçeklendirmenin zor olmasından ve bilgisayarlar devralana kadar bu tür sorunları ciddiyetle derinlemesine inceleyen az kişi olmasından kaynaklanıyor
  Bilim, tıp ve diğer alanlarda bu etkinin yaratacağı sonuçlar son derece heyecan verici

• Matematiği iyi bilmediğim için, benim 5 yaş düzeyindeki anlayışım belki yardımcı olabilir ya da düzeltilebilir. Bu sanı, bir süreci her zaman tersine çevirip asıl girdiyi bulabileceğiniz anlamına geliyor; bu ispat ise birden fazla girdinin aynı çıktıyı ürettiğini gösteriyor
  Dolayısıyla çıktıya bakarak girdiyi geri hesaplayamazsınız ve bu yüzden sanı yanlış oluyor

  • Bir ters fonksiyonun var olması için önkoşul sıfır olmayan sabit bir Jacobian ve ayrıca bu ters fonksiyonun da polinom olması gibi belirli bir biçim şartı var. Bu karşı örnek, önkoşulu sağlarken iki farklı girdiyi aynı çıktıya gönderiyor; dolayısıyla polinom olup olmamasından bağımsız olarak hiçbir ters fonksiyon var olamıyor
    Bu noktada açıklama belki 7 yaş düzeyine çıkmış olabilir
  • Bu sanı yalnızca belirli türde süreçleri kapsıyor. Fable, bu sınıfa giren tek bir somut süreç ile aynı çıktıyı veren üç somut girdi buldu. Elbette ikisi bile yeterli olurdu
    Buradaki “somut”, sonlu bir dizgeyle ifade edilebilir demek
  • Genel durumda bunun yanlış olduğu zaten biliniyordu. Genel olarak yanlış ama polinomlarla sınırlandığında doğru olan birçok problem var