Beklenmedik bir kaynaktan gelen yeni küre paketleme rekoru
(quantamagazine.org)- Yüksek boyutlu küre paketleme probleminde Boaz Klartag, Claude Ambrose Rogers’ın 1947’deki çalışmasından bu yana verimlilikteki en büyük artışı içeren kısa bir taslağı nisan ayında çevrimiçi yayımladı
- Yeni yöntem, rastgele bir kafesten başlayıp daha büyük bir elipsoit oluşturduktan sonra Rogers’ın prosedürüyle yoğun bir küre paketlemesi kuruyor; bir süredir geri planda kalan geometrik yaklaşımı yeniden canlandırıyor
- Klartag’ın inşası, d boyutunda önceki birçok sonuca göre yaklaşık d kat daha fazla küre paketleyebiliyor; bu, 100 boyutta yaklaşık 100 kat, 1 milyon boyutta yaklaşık 1 milyon kat anlamına geliyor
- 2023’teki kafes dışı rekorun ardından güçlenen düzensiz paketleme olasılığı tartışmalarının aksine, bu sonuç yüksek boyutlu en iyi paketlemelerde düzen ve simetrinin hâlâ güçlü adaylar olabileceğini gösteriyor
- Kriptografi ve iletişim uygulamalarında küre paketleme problemi önemli olsa da, bu sonuç doğrudan uygulamaya dönüşmüyor; konveks geometri ile kafes teorisini yeniden birbirine bağlayacak bir vesile olabilir
Yüksek boyutlu küre paketlemede büyük bir ilerleme
- Küre paketleme problemi, topları yüksek boyutlu uzayın içine mümkün olduğunca verimli biçimde yerleştirmenin yolunu bulma problemidir
- Bu problem yüzyıllardır matematikçilerin ilgisini çekiyor ve kriptografi ile uzun mesafeli iletişim için de önemli uygulama potansiyeline sahip
-
- yüzyılın başlarında Johannes Kepler, 3 boyutlu kürelerin bir manavdaki portakallar gibi istiflendiğinde uzayın yaklaşık %74’ünü doldurabildiğini gösterdi ve bunun en iyi düzen olduğunu öne sürdü
- Bu varsayım ancak neredeyse 400 yıl sonra kanıtlandı
- Daha yüksek boyutlarda ise 8 ve 24 boyut dışında en iyi cevap hâlâ bilinmiyor
- Matematikçiler uzun süre daha iyi paketlemeler aradı, ancak iyileştirmeler küçük ve seyrek oldu
- Boaz Klartag, nisan ayında yayımladığı kısa taslakta mevcut rekoru büyük ölçüde aştı; bazı araştırmacılar bu sonucun en iyiye yakın olabileceğini düşünüyor
Kafesten elipsoide uzanan eski bir fikir
- 1905’te Hermann Minkowski, küre paketlemeyi kafes (lattice) üzerinden düşünme yaklaşımını kurdu
- Uzayda tekrarlanan bir nokta dizilimi oluşturup her noktanın çevresine bir küre çizme yöntemidir
- Belirli bir boyutta en iyi küre paketlemesini bulma problemi, noktaların en verimli yerleştirildiği kafesi bulma problemine dönüşür
- 2 boyutta altıgen kafes en iyisidir
- 1947’de Claude Ambrose Rogers farklı bir bakış açısı ortaya koydu
- En iyi olmayan rastgele bir kafesten de başlanabilir
- Her noktaya küre çizmek yerine, bir noktanın çevresine, yüzeyi kafesin diğer noktalarına değen ama onları aşmayan bir elipsoit çizilir
- Bu elipsoidi başlangıç noktası alarak yoğun bir küre paketlemesi üreten bir algoritma sundu
- Rogers yönteminin avantajı, başlangıç kafesinin özellikle verimli olmak zorunda olmamasıdır
- Doğru elipsoit seçilirse verimli bir küre paketlemesi oluşturulabilir
- Ancak elipsoitlerle çalışmak kürelerden daha zordur
- Küre tek bir yarıçapla belirlenir; elipsoit ise farklı uzunluklara sahip birden çok eksenle tanımlanır
- Boyut yükseldikçe uzatılabilecek yönler ve olası şekiller hızla artar
- Matematikçiler sonunda Minkowski tarzı kafes yaklaşımına geri döndü; kafes teorisine daha fazla odaklanırken Rogers’ın geometrik yaklaşımından uzaklaştılar
- Bu strateji de yüksek boyutlu küre paketlemeyi iyileştirdi, ancak çoğu iyileştirme Rogers’ın paketlemesine kıyasla daha küçük kaldı
Rogers yaklaşımını yeniden canlandıran konveks geometri araştırmacısı
- Klartag, Weizmann Institute of Science’ta matematikçi ve ağırlıklı olarak konveks geometri (convex geometry) üzerine çalışıyor
- Konveks şekiller, içeri doğru girinti yapmayan şekillerdir
- Yüksek boyutlarda çeşitli simetriler içerirler; Klartag bu şekilleri güçlü matematiksel araçlar olarak görüyor
- Kafesler ve küre paketlemeyle ilgileniyordu, ancak bu alanı derinlemesine öğrenmeye zamanı olmamıştı
- Geçen kasımda büyük bir projeyi tamamladıktan sonra takvimi boşalınca, Tel Aviv University’den Barak Weiss’ten yeni bir alan öğrenmek için mentorluk istedi
- Weiss, Klartag ve birkaç kişinin birlikte literatür okuduğu küçük bir seminer başlattı
- Klartag, Minkowski ve Rogers’ın küre paketleme yöntemlerini ayrıntılı biçimde okudu
- Rogers’ın elipsoitleri küre paketlemesine dönüştürme yöntemini okuduktan sonra Klartag, matematikçilerin bu yöntemi neden bıraktığını sorguladı
- Elipsoitler konveks şekiller olduğundan, Klartag’ın bunları işlemek için gelişmiş yöntemleri vardı
- Rogers’ın kullandığı başlangıç elipsoitinin sezgisel ama verimsiz olduğuna karar verdi
- Daha büyük hacimli bir elipsoit oluşturabilirse, Rogers’ın özgün prosedürüyle yeni bir paketleme rekoru kırabilirdi
Rastgele büyümeyle daha büyük bir elipsoit oluşturmak
- Klartag, her eksen boyunca elipsoit sınırını rastgele bir süreçle büyütüp küçülten ve kendisine tanıdık gelen bir yöntemden yola çıktı
- Sınır yeterince genişleyip kafesin yeni bir noktasına değdiğinde, o yöndeki büyümeyi durdurdu
- Böylece ilgili noktanın elipsoidin içine girmesi engelleniyordu
- Diğer yönlerde ise elipsoit şişmeye devam ediyor, başka bir noktaya değene kadar büyüyordu
- Bu süreçte elipsoit, sarsıla sarsıla durup hareket ederek çevredeki uzayı kademeli olarak keşfediyordu
- Zamanla elipsoidin hacmi ortalama olarak artıyordu
- Klartag’ın temel sorusu, bu hacim artışının Rogers’ın sezgisel elipsoidini aşmaya yetecek kadar büyük olup olmadığıydı
- Rastgele süreç her çalıştırıldığında farklı bir elipsoit ürettiği için Klartag, olası elipsoit hacimlerinin aralığını değerlendirdi
- Başta Rogers’ın elipsoidinden yeterince büyük tek bir elipsoit bulamadı
- Rastgele büyüme sürecinin ayrıntılarını ayarladıktan sonra, 1-2 hafta içinde bazen yeni bir rekor kıracak kadar büyük elipsoitlerin ortaya çıktığını kanıtladı
Yaklaşık d kat iyileştirmenin matematiksel anlamı
- Klartag’ın kanıtı doğrulandı ve yeni başlangıç elipsoidi küre paketlemesine dönüştürüldüğünde Rogers’ın 1947 tarihli makalesinden bu yana verimlilikteki en büyük artışı sağlıyor
- Verilen d boyutunda Klartag’ın yöntemi, önceki birçok sonuca kıyasla yaklaşık d kat daha fazla küre paketleyebiliyor
- 100 boyutlu uzayda kabaca 100 kat daha fazla küre paketliyor
- 1 milyon boyutlu uzayda kabaca 1 milyon kat daha fazla küre paketliyor
- Klartag, küre paketleme alanını birkaç ay çalışıp kanıtı birkaç haftada yazarak merkezi problemlerden birinde büyük bir ilerleme sağladı
- Konveks geometri deneyimi, genellikle ayrı bir alan olarak ele alınan teknikleri küre paketleme problemine uygulamasında doğrudan rol oynadı
- Gil Kalai bu sonucu “gerçekten şaşırtıcı bir atılım” olarak nitelendirdi ve bunun matematikçileri neredeyse 100 yıldır heyecanlandıran bir problemle ilgili bir başarı olduğunu söyledi
Düzen ve düzensizlik etrafındaki tartışma
- Klartag’ın sonucu, yüksek boyutlu en iyi paketlemelerin doğası hakkındaki tartışmayı yeniden canlandırdı
- Bir süre matematikçiler, yüksek simetriye sahip kafes tabanlı paketlemelerin küreleri en yoğun biçimde düzenlemenin en iyi yolu olduğunu düşünüyordu
- 2023’te, tekrarlı kafeslere temiz biçimde dayanmayan bir paketleme bulundu ve Klartag’dan önceki rekor oldu
- Bazı matematikçiler bunu, en iyi küre paketlemesini ararken daha fazla düzensizliğe ihtiyaç olduğunun kanıtı olarak gördü
- Klartag’ın çalışması ise düzen ve simetrinin yeniden güçlü adaylar olabileceği fikrini destekliyor
- Küre paketlemelerin ne kadar yoğun olabileceği hâlâ tartışmalı
- Bazı matematikçiler Klartag’ın paketlemesinin en iyiye çok yakın olduğunu düşünüyor
- Başka matematikçiler ise hâlâ iyileştirme payı olduğunu düşünüyor
- University of Illinois, Chicago’dan Marcus Michelen, şu anda neye inanması gerektiğini bilmediğini ve tüm olasılıkların açık olduğunu söylüyor
Anlık uygulamalardan çok alanlar arası büyük bağlantı
- Küre paketleme probleminin cevabı, kriptografi ve iletişim uygulamaları potansiyeli nedeniyle önemli
- Hebrew University’den bilgi teorisyeni Or Ordentlich, bu problemin mühendisler için büyük önem taşıdığını ama ilerlemenin az olduğunu; bu yüzden bu sonucun heyecan yarattığını söylüyor
- Yine de Klartag’ın sonucu bu tür uygulamalar için hemen kullanışlı değil
- Klartag, çalışmasının Rogers dönemindeki gibi konveks geometri ile kafes teorisinin daha fazla bağlantılı olduğu bir yaklaşıma dönüş için vesile olmasını umuyor
- Konveks cisimlere dair mevcut anlayışın, küre paketlemenin ötesinde kafes problemleri için de yararlı olabileceğini düşünüyor
- Klartag’ın hedefi, iki alanın bugünkünden daha az kopuk hâle gelmesi
1 yorum
Hacker News yorumları
Anne babama yaptığım işin gerçek bir meslek olduğunu anlatmak bile zorken, “sadece dışarı taşan ya da içeri giren kısımları olmayan şekilleri inceliyorum” diye açıklamayı düşünmek bile daha zor
Aslında sadece üç seçenek var. Karşı tarafın anlayacağı dille kısa anlatırsan iş kolay görünür ve “Bundan nasıl para kazanılıyor?” diye düşünürler
Karşı tarafın anlayacağı dille ne yaptığını ve neden önemli olduğunu anlatırsan çok uzar, sıkıcı olur ve sorduklarına pişman olurlar
Ya da karşı tarafın bilmediği jargonla kısa anlatıp hem sıkıcı hem de etkileyici kılabilirsin; kötü seçenekler içinde en iyisi bu
İşimin ne olduğunu sıradan birinin az da olsa anlayabileceği şekilde açıklamanın bir yolunu hâlâ bulamadım. Her şey fazla anlaşılmaz ve günlük hayattan birkaç adım uzak
Mutlaka karmaşık olduğundan değil; ortalama bir insanın aşina olmadığı çok fazla ayrıntı var ve gündelik benzetmeler de neredeyse hiç yok
Konveks şekiller tarafını pek bilmiyorum
Aşırı ayrıntılı görünen bir anlatım tarzı insanları uzaklaştıran toksik bir etki yaratabilir
“XYZ yapmak istiyorum ama çok zor olduğu için sinir bozucu; bu yüzden kolay bir tahminde bulunuyorum. Bu sorunu böyle kaba bir şekilde düşünmek daha yönetilebilir olduğu için ve ABC’yi bildiğimden ABC’yi kuruyorum. Sonra bunu kullanınca şimdiye kadar denediklerimden daha iyi çalışmaya yaklaştığını görmek heyecan veriyor” gibi bir bakış açısından anlatılabilir
Teknik olmayan insanlar için duygusal yönü olan açıklamalar da gayet işe yarar. Onlar duygusal düşünmeye daha alışkın olabilir; biz ise işin mantığına ve bazen matematiğine derinden gömülüyüz. Bu yüzden açıklamaya duyguyu tekrar katmak gerekiyor
Aileme böyle anlattığımda takip edebildiler ve gerçekten anladılar
Makalede “100 boyutlu uzayda onun yöntemi kabaca 100 kat daha fazla küre dolduruyor, bir milyon boyutlu uzayda ise kabaca 1 milyon kat daha fazla dolduruyor” deniyordu; bu, yüksek boyutlu uzayın ne kadar tuhaf olduğunu gösteren iyi bir örnek
Zeki insanların 100 boyutlu bir kutuya mümkün olduğunca çok 100 boyutlu portakal koymaya çalıştığında, şimdiye kadar uzayın %1’ini bile dolduramadıkları ve onlarca yıl aramalarına rağmen bir tane daha koyacak yer bulamadıkları anlamına geliyor gibi görünüyor
Birim hiperküpün içine alınmış birim n-küreyi düşünürsek, n büyüdükçe kürenin kapladığı oran yok olur. Ek olarak, tuhaf biçimde bu ilişki monoton değildir ve n=6’da maksimuma ulaşır
n=100’de birim 100-kürenin hacmi kabaca 10^-40’tır ve bu hiperküpün içine ikinci bir küre koymak elbette mümkün değildir. Bu yüzden doldurmadaki iyileştirmeden elde edilen kazancın bu kadar büyük olabilmesi şaşırtıcı değil
4 boyutu görselleştirebildiğini söyleyen çok kişi var ama gerçekten bunu yapabilen birini henüz görmedim. Buna pek çok matematikçi de dahil; zaten böyle iddialarda bulunanlar genelde matematikçiler olmuyor
Bu Math Overflow yazısındaki animasyonu[0] seviyorum, çünkü çoğu kişinin aklına gelmeyen pek çok gizli karmaşıklık barındırıyor. O animasyon aslında bir optik yanılsama ve biz bir “halüsinasyon” görüyoruz. Üstteki şekil bir küpü düzleme mi izdüşürüyor? Aslında o bir küp değil. Zaten küpün 2 boyuta izdüşürülmüş hâli. Teknik olarak 3 boyutlu, ama üçüncü boyut uzay boyutu değil, zaman boyutu. Bu başlı başına boyutların soyutlamasını öğrenmek için iyi bir ders
Bu yüzden dönen bir küpü halüsinasyon olarak algılıyoruz; düzlem üzerindeki izdüşümü gördükten sonra da onu bozulmamış bir kare değil, derinliği olan bir şeymiş gibi yeniden halüsinasyon ediyoruz. Bu bile başlı başına oldukça tuhaf
Aslında 2 boyutlu hayal kurmakta da zorlanıyoruz. Çoğu kişi 2 boyutu görselleştirebildiğini iddia eder ve bu iddia genelde çürütülmez
Flatland’i[1] okumadıysanız herkese öneririm. Pek çok kişi onu yanlış okur. Genellikle bir boyut aşağı çekilmiş bir benzetme olarak okurlar; yani 3 boyutlu varlıklar olan bizlerin 2 boyutlu varlıklara karşılık geldiğini, 4 boyutlu varlıkların da bize, 3 boyutlu varlıkların Flatlander’lara geldiği kadar şaşırtıcı geleceğini düşünürler. Bu doğru, ama işin içinde bir hile var. Biz 2 boyutu anlamanın çok kolay olduğunu sanıyoruz. Oysa şu anda zihninizde canlandırdığınız şeyin yanlış olduğuna bahse girerim. Açıkçası kitap da tamamen doğru değil
Gerçekten bir Flatlander’ın yerine geçmek gerekiyor. Kitaptaki değil, gerçek bir Flatlander’ın yerine. Kare bir Flatlander olup bir üçgen gördüğünüzü hayal edin; ne görürdünüz? Muhtemelen bir çizgi düşünürsünüz, ama bu yanlış. Ona kalınlık verdiniz, üçüncü boyutu eklediniz. Tekrar deneyin ve daha fazla derinlik ekleyerek gerçek Flatland’i hayal etmeye kendinizi zorlayın; yapamadığınızı fark edeceksiniz
Bunun yerine, 3 boyutun içine gömülü 2 boyutlu bir uzayı görselleştirip üzerinde akıl yürütebiliyoruz. Bunun laf cambazlığı olduğunu söyleyebilirsiniz, ama öyle değilse, şuna[2,3] 4 boyutlu hiperküpün bir temsili değil de doğrudan 4 boyutlu hiperküp demenin tamamen kabul edilebilir olması gerekirdi
Bunu anlamanın çok yüksek boyutları anlamaya büyük yardımı olduğunu düşünüyorum. Bir boyut artırmayı ya da azaltmayı doğru biçimde görselleştirmenin muazzam zorluğuyla yüzleşince, çok daha yüksek boyutlar üzerine akıl yürütürken kendinizi kandırma olasılığınız azalır
Feynman’ın dediği gibi, ilk ilke kendinizi kandırmamaktır; kandırılması en kolay kişi de sizsiniz
[0] https://math.stackexchange.com/a/2286226
[1] http://www.geom.uiuc.edu/~banchoff/Flatland/
[2] [https://en.wikipedia.org/wiki/Tesseract#/media/File:8-cell-s...](https://en.wikipedia.org/wiki/Tesseract#/media/File:8-cell-simple.gif)
[3] Carl Sagan’ın hiperküpün 3 boyutlu izdüşümünü, yani gölgesini eline alıp anlattığı iyi bir video. Ne gösterirse göstersin, 2 boyutun içine gömülmek zorunda. 6:20’den itibaren eline alıyor https://www.youtube.com/watch?v=UnURElCzGc0
İlginç. Daha iyi bir sıkıştırma algoritması yapmak için bir ay boyunca küre doldurma yaklaşımını denedim
Çok sayıda vektör vardı ve kümeleme ile gruplanmışlardı; vardığım sonuç, teorik yaklaşımın yalnızca uniform veride doğru düzgün çalıştığı, gerçek dünya verisine ise pek uymadığıydı
Örneğin veride yüksek boyutlu bir yapı olduğunu ama yerel olarak uniform olduğunu varsayalım. Bu yaygındır ve gürültü üreten süreçlerden kaynaklanır. Merkez noktaları hesaplayıp saklarsanız, ham veriden daha uniform olur ve sayıları da fazla olmadığı için zaten büyük bir sorun çıkarmaz
Her vektör, merkez noktası indeksi ve vektör ofseti olarak saklanır. Burada AoS değil SoA kullanılır. İndeksler, tercih ettiğiniz entropi tabanlı tamsayı yöntemiyle sıkıştırılabilir; sırayı korumak gerekmiyorsa daha da iyisi yapılabilir
Ofsetler varsayım gereği artık kabaca uniform olduğundan, literatürdeki tercih ettiğiniz küre stratejisini kullanabilirsiniz
Elbette gerçek kullanım örnekleri fazla heterojense ve genel bir teknik etkili olmuyorsa olmayabilir
Matematikçilerin, ilk doktoralarından birkaç yıl sonra, kendi alanlarıyla aynı olmasa da komşu bir alanda ikinci bir doktora düzeyi derece yapabilmesi gerektiğini düşünüyorum
Pek çok araştırmacı, doktora sonrası araştırmacı döneminde ya da sonrasında komşu alanlarda yeniden eğitim alır veya araştırma ilgi alanlarına yenilerini ekler. O noktadan itibaren bu artık sadece araştırmadır
Ancak modern akademik ortamda bunu denemek kolay olmayacaktır
Özellikle matematiğin farklı alanlarını birbirine bağlamak son derece güçlü olabilir
En azından Almanya’da, anlatılana oldukça benziyor
Verilen bir d boyutu için Klartag’ın, önceki sonuçların çoğundan d kat daha fazla küre yerleştirebildiği söyleniyor.
Yani 100 boyutta kabaca 100 kat, bir milyon boyutta kabaca 1 milyon kat daha fazla küre yerleştirmek demek; bu rakam kulağa muazzam geliyor. Bu, çeşitli iletişim sistemlerinde bant genişliğinin birkaç mertebe artması ya da güç tüketiminin azalması anlamına mı gelir?
Bu yüzden yalnızca doğası gereği yüksek boyutlu nesnelere yardımcı olur. Dijital nesnelerin doğal bir boyutu, yani bayt uzunluğu yoktur; bu nedenle küçük boyut seçilebilir.
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Sphere_packing
Klartag eğitim geçmişi bakımından küre paketleme uzmanı olmasa da, çevredeki en iyi problem çözücülerden biri.
Bu yılın başlarında Hyperplane Conjecture’ı çözdü; KLS Conjecture, Mahler Conjecture ve dışbükey cisimlere yönelik merkezi limit teoremi gibi dışbükeylik teorisiyle ilgili problemlerde ilerlemeye katkıda bulundu.
Öğrencisi Eldan’ın Stochastic Localization çalışmasının da log-konkav örnekleme algoritmalarında kilit önemde olduğu kanıtlandı; bu KLS Conjecture ile bağlantılı ve ICM’de de sunuldu.
Ayrıca dışbükey geometride kullanılan araçlar, özellikle bazı harmonik analiz araçları, küre paketleme çalışmalarında da oldukça yararlı.
Dolayısıyla buna “beklenmedik” demek zor
Klartag’ın dışbükey şekillerin değeri yeterince bilinmeyen matematiksel araçlar olduğu görüşüne katılıyorum. Matematikçi değilim ama convex hull algoritmalarının hiç beklemediğim yerlerde problemleri çözdüğünü gördüm.
Örneğin bir görüntünün otomatik palet ayrıştırmasıyla ilgili bir makalede convex hull algoritmalarının kullanılacağı aklıma gelmezdi.
https://www.rose-hulman.edu/class/cs/csse451/Papers/DILvGRB....
Acemi sorusu: en iyi küre paketleme, düzenli kafeslerle ilişkili mi? 2 ve 3 boyutta öyle değil mi? Öyleyse n boyuta da genişletilebilir mi?
Bunu 2017’de Maryna Viazovska kanıtladı; ikinci makalede ortak yazarlar da vardı. https://doi.org/10.4007/annals.2017.185.3.7 https://doi.org/10.4007/annals.2017.185.3.8
Bu da göz atmaya değer: https://www.ams.org/journals/notices/201702/rnoti-p102.pdf
Diğer boyutlarda açık bir problem ve genel olarak doğru olma ihtimali düşük görünüyor. Bazı boyutlarda, bilinen en yoğun düzensiz paketleme, bilinen en yoğun düzenli paketlemeden daha yoğundur
Ancak hepsi FCC kafesiyle aynı yoğunluğa sahip. Bu tür paketlemeler, FCC’nin yatay katmanlarını birbirine göre yatay yönde kaydırarak oluşturulabilir.
Yüksek boyutlarda en yoğun paketlemenin her zaman kafes olmayan bir paketleme olacağı yönünde bir varsayım var. Gerekçe de bu tür uzaylarda yeterli simetrinin bulunmaması
Bugün erken saatlerde Neandertallerin yağı rendering yaptığına dair bir yazı vardı.
Antropologların, çömlek icat edilmeden önce de kaynatmanın mümkün olduğunu bilmediği söylenmişti; fen öğretmenlerinin ise bunu derste denedikleri için bu olasılıktan haberdar oldukları da anlatılmıştı.
Son olarak, glikoz üzerine çalışan birinin integral için yamuk kuralını yeniden keşfetmesi gibi, farklı alanlarda aynı şeyin yeniden keşfedilebildiği yönünde bir akış vardı.
Bu da başka bir alandaki uzmanlığın işe yaradığına dair bir başka örnek.
Hayatta kalma durumlarında kullanılan yöntemi gösteren tek bir YouTube videosu izlemek bile yeterli. Benzerlerinden çok vardır: https://www.youtube.com/shorts/0zun_UxO2vU
Bağlamı bilmediğim doğru, ama böyle şaşırtıcı bir iddia için kaynak yoksa akla yatmaz. “Gülünçlük testi”ni bile geçemiyor.