Sonsuz direnç ızgarası

 (mathpages.com)
1 puan yazan GN⁺ 2025-06-16 | 1 yorum | WhatsApp'ta paylaş
  • Tüm komşu düğümlerin R direnciyle bağlandığı sonsuz kare bir ızgarada, iki komşu düğüm arasındaki eşdeğer direnç simetri ve süperpozisyonla R/2 olur
  • Bu hesaplama, bir düğüme akım verilen alan ile komşu düğümden akım çekilen alanı toplar ve her düğüm geriliminin çevresindeki dört düğümün ortalamasına uyduğu ayrık Laplace denklemini kullanır
  • Ancak “akımın sonsuza aktığı” açıklaması tam anlamıyla sıkı değildir; bir düğümden sonsuza kadar olan direnç, tek terimli harmonik seri gibi ıraksar
  • Bu yüzden çözümü belirlemek için büyük sonlu bir ızgaranın limiti gibi asimptotik sınır koşulları gerekir; koşulsuz gerçek bir sonsuz ızgarada çözüm keyfi olabilir
  • İki düğüm arasındaki genel direnç, fark denklemi ve Fourier serisi süperpozisyonuyla hesaplanır; birim direnç bazında çapraz komşu düğümlerin direnci 2/π olur

Komşu düğüm direncini bulmak için simetri hesabı

  • Kare ızgaradaki her komşu düğüm çifti arasında R direnci olduğunu ve ızgaranın her yönde sonsuza kadar uzandığını varsayalım
  • Temel soru, komşu iki düğüm arasında, daha genel olarak da herhangi iki ızgara düğümü arasında eşdeğer direncin nasıl bulunacağıdır
  • Komşu düğümler için standart çözüm, akım alanını ikiye ayırıp toplamaktır
    • Bir düğüme akım enjekte edilen ızgara
    • Komşu diğer düğümden aynı akımın çekildiği ızgara
  • Her düğüm gerilimi, çevresindeki dört düğüm geriliminin ortalamasını sağlayan ayrık Laplace denklemini izler ve doğrusallık nedeniyle çözümler süperpoze edilebilir
  • Örneğin bir düğüme 4A enjekte edilirse, simetri nedeniyle dört yöndeki dirençlerin her birinden 1A geçtiği düşünülebilir
  • Buna komşu düğümden 4A çekilen akım alanı eklendiğinde, iki düğümü doğrudan bağlayan bağlantıdan toplam 2A akar
  • Doğrudan bağlantı dışındaki kalan ızgara yolları da aynı akımı bölüşerek taşıdığı için, doğrudan bağlantının direnci ile ızgaranın geri kalanının eşdeğer direnci aynı olur
  • Doğrudan bağlantı ile ızgaranın geri kalanı paralel oluşturduğundan toplam eşdeğer direnç R/2’dir

Sonsuzdaki sınır koşullarının yarattığı tuzak

  • Simetri argümanı sezgiseldir ve başka yöntemlerle de aynı yanıtı verir; ancak bir düğüme verilen akımın sonsuz ızgarada nereye gittiğini açık biçimde ele almaz
  • “Sonsuzda topraklanır” açıklaması tek başına yeterli değildir
    • Merkez düğümü çevreleyen eşmerkezli kare yollar düşünülürse dışa gidildikçe bağlantı sayısı 4, 12, 20, 28, … şeklinde artar
    • Buna bağlı olarak sonsuza kadar olan toplam direnç yaklaşık tek terimli harmonik seri biçimini alır ve ıraksar
  • Bir düğümden sonsuza akım akıtmak için düğüm ile “sonsuz” arasında sonsuz gerilim gerekir
  • Daha sıkı yaklaşım, önce büyük sonlu bir ızgara alıp ızgara boyutu büyütülen limitte istenen sonuca yaklaşılıp yaklaşılmadığını kontrol etmektir
  • Pozitif akım düğümü merkezli sonlu ızgara ile negatif akım düğümü merkezli sonlu ızgaranın limitleri, birbiriyle uyumlu sınır koşullarına yakınsamalıdır; bu sırada sonsuza net akım 0 olmalıdır
  • İlgili tartışma başka bir notta yer alır; gerçek sonsuz ızgara, asimptotik sınır koşulları olmadan belirsiz kalır

Fiziksel idealleştirme ve çözümün belirlenemezliği

  • Sonsuz ızgaradaki akım alanının sonsuza kadar zaten tamamen oluşmuş olduğu varsayımı, gerçekçi bir fiziksel süreçle sonlu sürede oluşturulamaz
  • Bu problemdeki ızgaranın yalnızca ideal dirençler içerdiği, kapasitans veya endüktans içermediği varsayıldığından devrenin dinamikleri dikkate alınmaz
  • Bu idealleştirme aynen sürdürülürse akım alanının sonsuza kadar anında oluşabileceği gibi bir sonuca varılır; ancak bu, gerçek devrelerin sonlu yayılım hızı ile uyuşmaz
  • Tüm gerçek devrelerde kapasitans ve endüktans bulunduğundan yayılım hızı sonsuz olamaz
  • Yanıtın tekil olarak belirlendiğini hissetmemizin nedeni, büyük sonlu bir ızgaranın limiti gibi yerel kaynaklardan çıkan fiziksel açıdan makul asimptotik davranışı örtük olarak vermemizdir

Fark denklemleriyle genelleştirme

  • İki düğüm arasındaki daha genel direnç, temel fark denkleminin çözümleri süperpoze edilerek bulunur
  • Tek boyutlu birim direnç ızgarasında, orijinden 1A çekilip diğer düğümlerin net akımı 0 alınırsa, gerilim çözümü uzaklığın mutlak değerine orantılı olur
  • Bunun sonucunda tek boyutta k direnç kadar uzaktaki iki düğümün eşdeğer direnci beklendiği gibi kR olur
  • 2 boyutlu ızgarada (m,n) düğümünün net akımı, dört komşu gerilimle olan farklar üzerinden ifade edilir; net akımı 0 olan düğümler 2 boyutlu fark denklemini sağlar
  • Çözüm, μ^m ν^n biçimindeki bileşenler süperpoze edilerek oluşturulabilir ve μ ile ν arasında bir karakteristik denklem vardır
  • μ = exp(iα), ν = exp(iβ) alınırsa Fourier biçimindeki çözüm integralle süperpoze edilebilir
  • Orijinden 1A çekilen çözümü oluşturmak için indislerin mutlak değeri alınırsa, orijin yakınında V(1,0) = 1/4 olur ve bu komşu düğüm direnci 1/2Ω ile uyumludur
  • Eksen üzerindeki gereksiz akımı yok etmek için birden çok çözüm α’ya göre entegre edilir ve ağırlık fonksiyonu Fourier serisiyle belirlenir

Çapraz ve rastgele düğümlerin direnç formülü

  • Orijin ile (m,n) arasındaki direnç, orijine göre gerilim farkının iki katı olarak ifade edilir ve integral formuna düzenlenir
  • Çapraz yönde bir kare uzaktaki (1,1) düğümünün direnci, birim direnç bazında 2/π’dir
  • Bu sonuç Fourier serisi olmadan salt cebirsel olarak da türetilebilir; ilgili içerik ayrı bir notta bulunur
  • Komşu düğüm direnci 1/2 ve çapraz komşu düğüm direnci 2/π bilindiğinde, temel fark denklemiyle çevredeki birçok düğümün direnci hesaplanabilir
  • Genel formül, cos(mα) ifadesini s = cos(α) değişkeninin trigonometrik polinomu olarak gösteren bir biçime sadeleştirilebilir
  • Eksen yönündeki R(0,n) değerlerine odaklanılırsa integral daha da azaltılabilir ve değişken dönüşümüyle çeşitli değerler hesaplanabilir
  • Başka bir değişken dönüşümü yöntemi α = r+s, β = r-s alıp cos(r)cos(s)=1 ilişkisinden yararlanarak integrali yeniden ifade eder
  • Çapraz düğüm (m,m) için direnç, birim direnç bazında 2/π değerinin 1 + 1/3 + ... + 1/(2m-1) ile çarpımı olarak düzenlenir
  • Kalan düğümlerin direnci temel özyineleme ilişkisiyle hesaplanabilir

İlgili okumalar

1 yorum

 
GN⁺ 2025-06-16
Hacker News yorumları

  • Hem matematikçi hem de elektrik mühendisi gözüyle bakınca, elektrik mühendisi akım geçirmeden ölçüm yapılamayacağını söyler; akım geçirdikten sonra da dağılmış endüktans ve kapasitans ile alanın yayılma hızı nedeniyle “ne zaman ölçüyorsun?” diye sorar.
    Matematikçi bunu duyunca bara gidip sert bir içki içer.

    • Sonunda fizikçiyi de çağırmak gerekir; fizikçi de yeterince uzak mesafelerde kuantum etkilerinin baskın olacağını söyler.
      Çünkü yeterince uzağa gidildiğinde bazı düğümlerde saniyede hareket eden elektron sayısı, yani akım akışı 0 ya da 1 olur.
    • Elektrik teknisyeni, tezgâhın üzerindeki 10x10 ızgarayla bile %99’luk yanıtın elde edilebileceğini bilir.
      Sonra mühendis, araştırma bütçesi bitene ya da fizikçinin makale teslim tarihi yaklaşana kadar kenarlara direnç eklemeye devam edebilir.
      Asıl zor soru, her uzaklıkta ızgaradaki lehim hatalarının yüzde kaçına kadar izin verilirse merkezdeki karenin iki ucu arasına bağlanan Fluke ölçerin arızayı algılayabileceğidir.
      Karbon fiber denizaltı gövdesi gibi iletken yapılardaki uzaktaki çatlakların yerel direnç değişimleriyle algılanmasından söz edildiğini duymuştum; bu yüzden gerçekten anlamlı bir problem olabilir.
    • Devre şemalarının iki yorumu olduğunu düşünüyorum.
      Birincisinde şemadaki bileşenler fiziksel nesneleri temsil eder; dirençlerin biraz endüktansı, doğrusal olmayanlığı, toprak düzlemine göre kapasitansı vb. vardır. OrCad gibi araçlar kullanıldığında devre şeması genellikle bu anlama gelir.
      Diğer yorumda ise direnç, ideal bir Ohm yasası elemanıdır; kablolarda endüktans da yayılma gecikmesi de direnç de yoktur. Bir gerilim kaynağının iki ucunu kabloyla birleştirmek, sıfıra bölmeye benzer.
      Bazen birinci yorumu ikinci yoruma aktarırken gerçek kablo davranışını modellemek için dirençler, indüktörler vb. açıkça eklenir. Siz yapmazsanız SPICE bunu sizin yerinize de yapabilir.
      Sonsuz direnç ızgarası yalnızca ikinci yorumda vardır.
    • Tüm geçici tepkiler kaybolana kadar sonsuz süre beklemek yeterlidir.
      O zaman ızgara kararlı duruma geçer ve devre şemasına uygun gerçek hâlini alır.

  • Gerçek dünya sorunlarıyla ilgisi olmadığını düşünmek kolay, ama aslında ilgisi var. Yine de hesaplamanın kendisi bütünüyle yararlı değil.
    Bir entegre devrenin yerel bir noktasından bakıldığında silisyum substrat direnci, fiilen sonsuz büyüklükte bir birim direnç ızgarasına yakındır.
    Silisyum substrat çoğu zaman güçlü biçimde katkılanmış p tipidir; foundry’den alınan bilgi genellikle yalnızca özdirençtir ve çoğunlukla 1~100Ω·cm arasındadır. En ileri proses düğümlerinde çoğu kez 10Ω·cm olur.
    Substrat üzerinden gürültü bağlaşımı hakkında fikir edinmek için A ile B noktası arasındaki direnci hesaplamaktan ziyade bunu bir ızgara olarak düşünmek gerekir. Gürültü akımını toplamak için substrat temas ızgarası da dağıtılmış biçimde yerleştirilmelidir; sonuçta ızgara yine karşımıza çıkar.

    • Burada açıklanan durumun aksine bir süreklilik olduğunu, bu yüzden matematiksel olarak daha basit olduğunu düşünüyorum.
    • Özdirenç birimi ohm/cm değil, ohm * cm’dir. Uzun zaman önce Fairchild’de çalışmıştım.

  • Eğitim açısından 1Ω dirençlerden yapılmış bir küpün karşılıklı köşeleri arasındaki eşdeğer direnci sormak bence çok daha yararlı.
    Devre simetrisi ve Kirchhoff akım yasası gibi sezgileri geliştirmeye yardımcı olur.
    Sonsuz ızgara, giriş düzeyi devre dersinde çözülebilecekmiş gibi görünür ama gerçekte fazlasıyla çetrefilli bir matematik problemine daha yakındır.

  • Elektrik mühendisliği lisans programında sevmediğim problem tam da buydu.
    Profesörlerin sevdiği bir düşünce deneyiydi.

    • Elektrik mühendisliğine giriş dersinin finalindeki 4 sorudan ilki olarak yalnızca bir kez gördüm.
      Derste sonsuz merdiven direnç ağını işlemiştik ama o sırada bu bilgiyi bu probleme uygulamak bana epey büyük bir sıçrama gibi gelmişti.

  • Basit simetri temelli çözümde anlamadığım kısım, “pozitif düğüm ve negatif düğüm için akım alanlarını ayrı ayrı ele alabileceğimizi kabul edersek” öncülü.
    İki düğümlü çözümdeki akımın, yani simetrik olmayan çözümün neden iki tek düğümlü çözümün, yani simetrik çözümlerin basit toplamı olduğunu merak ediyorum.
    Elbette iki düğümlü çözümde de bazı simetriler var; ama tüm yönlerde akımın aynı olduğunu çıkarmamızı sağlayan başlangıçtaki simetri değil.

    • Maxwell denklemleri elektrik ve manyetik alanlar açısından lineer olduğu için alanlar ve potansiyeller toplanıp çıkarılabilir.
      Girişim ya da optik ızgaraların çalışmasının nedeni de aynı mantıktır.

  • Simetri ve süperpozisyon ilkesi açıklamasında anlamadığım bir şey var.
    Komşu düğümlerin neden alpha-beta-alpha olduğunu, alpha-alpha-alpha olmadığını bilmiyorum. Yani neden yalnızca bir yönün ayırt edildiğini, diğer iki yönün aynı kabul edildiğini merak ediyorum.

    • Başta hepsinin farklı olabileceğini varsayıp akımları i_1’den i_12’ye kadar işaretlemek yeterli.
      Ama problem dikey eksene göre simetrik olduğu için şekli ters çevirebilirsiniz; ters çevrilmiş yoldan geçen akım, çevirmeden öncekiyle aynı olmalıdır. Böylece hangi i’lerin birbirine eşit olduğunu not edebilirsiniz.
      Aynı işlemi yatay eksen için de, 90 derece dönme simetrisi için de yapabilirsiniz.
      Sonunda birbirine eşit birçok i ortaya çıkar ve bunlar iki ayrı grupta toplanabilir. Bu gruplara alpha ve beta diyebilirsiniz.
      Başka türlü söylersek, verilen simetri işlemleriyle herhangi bir alpha’dan beta’ya geçilemez. Alpha’lar arasında ya da beta’lar arasında geçilebilmesi farklı bir durumdur.

  • Fizik lisansında bir ekip projesi olarak perkolasyon teorisini denemiştik.
    İletken mürekkeple çeşitli ızgaralar yaptık; ancak belli sayıda bağlantı, yani grafın kenarları eksikti.
    Düzgün akan iletken mürekkep yapmak zordu; ben de XY plotter için tüm yazılımı yazıp dikdörtgen ve üçgen ızgaralar çizmesi için komutlar gönderdim.
    Sonra bir taraftan diğer tarafa kadar olan direnci ölçtük.

  • Yazının tamamını takip edecek kadar matematiğim güçlü değil; ama elektronik işi yapan biri olarak sezgim şu: kuantize bir sistem sonsuzlukla etkileşime girdiğinde, o sonsuzluk kuantize unsurun boyutuyla sınırlanır.
    Yük kuantizedir. Bir düğümden bir elektrondan daha azı geçemez; bu yüzden sonsuz direnç ızgarasının, sisteme verilen yük miktarına bağlı olarak boyutu değişen sonlu bir direnç ızgarası gibi davrandığını hissediyorum.

    • Başta ben de böyle düşünmüştüm, ama tekrar düşününce yanlış gibi geliyor.
      Elektron aynı zamanda bir dalgadır ve bu dalga tüm ızgaraya yayılabilir.
      Bir başka ilginç nokta da sonsuz ızgarada bir yerlerde her zaman kendiliğinden oluşan yüksek gerilimin bulunmasıdır. Muhtemelen çok uzaktadır, ama yine de tuhaf.
    • Bu, yalnızca tekil taşıyıcılardan kaynaklanan gürültüyü zaman alanında ölçerken önemlidir.
      Çoğu durumda yalnızca belirli zaman ve uzay üzerindeki ortalamalarla ilgilenirsiniz. Örneğin suyun makroskobik akışı, tek tek molekül hızlarından oldukça farklı davranır.
    • “Sezgi” ile “sonsuzluk” sözcüklerini aynı cümleye koymak eğlenceli.
      Sonsuzluk hakkında sezgi geliştirme olasılığı en azından tamamen düşük olmayan tek kişiler matematikçilerdir.

  • Bu, sheet resistance’ın ayrık hâlidir. [1]
    Bu durumda herhangi iki nokta, burada düğümler, arasındaki direnç aynıdır.
    Eskiden elektrik mühendisliği lisans müfredatında işlenirdi, ama artık çözümün türetilişini hatırlamıyorum.
    [1] https://en.m.wikipedia.org/wiki/Sheet_resistance

  • Konu dışı ama Veritasium’da ışığın izlediği yollarla ilgili buna benzer harika bir video vardı.
    Gördüğüm en iyi fizik gösterisini yaptığı bölüme bağlantı veriyorum.
    https://www.youtube.com/watch?v=qJZ1Ez28C-A&t=1500

    • Ne yazık ki o gösteri videoda söylendiği kadar etkileyici değil. Ek yol gibi görünen ışık, ışık kaynağının çıkış kırınımından kaynaklanıyor.
      Elbette aynı temel teori, sonlu sınırlarda her zaman kırınım oluştuğunu ve bunun sonucunda ışığın gerçekten tüm olası yollardan geçtiği bir dünyadan ayırt edilemeyen bir gerçeklik oluştuğunu da açıklar.
      Ama ışığın gerçekten bunu yaptığını iddia etmek, fizikten çok metafiziğe daha yakın sayılabilir.
      Üstelik lazerin kırınım performansı da fiziksel sınırlardan uzak olma ihtimali yüksek olduğundan gösterinin ikna ediciliği daha da zayıflıyor.
      Şüpheci bir gözlemci “Lazerden çıkan ışığın bir kısmı eksenden sapmış olmasın?” derdi; gerçekten de öyle. Fizik yasaları gereği ışığın bir kısmı her zaman eksenden sapar, ama o gösteri bu gerçeği kanıtlamıyor.