Emoji Problemi (2022)

• İnternette ünlenen emoji matematik problemi, yanıltıcı unsurlar nedeniyle birden fazla cevabın ortaya çıkmasıyla bilinir
• Matematik topluluğu, bu tür sorulara alternatif olarak gerçekten zor bir problem üretmek istedi
• Bu yazı, Pisagor üçlülerini bulma yöntemini ve ilgili tekniği (doğru çizme) açıklıyor
• Zor seviye emoji probleminin merkezinde eliptik eğriler ve rasyonel çözümlerin analizi yer alıyor
• Çözüm arama stratejisinde matematiksel araçlar ve Mathematica kullanımının önemi vurgulanıyor

---

Emoji matematik probleminin arka planı ve ortaya çıkışı

İnternette emoji (veya meyve görselleri vb.) ile ifade edilen matematik problemleri yaygınlaştı. Bu problemler, kafa karıştırabilecek unsurlar (örneğin muz sayısındaki ince farklar) yüzünden tek bir soru için birden fazla cevabın çıkmasına, dolayısıyla tartışma ve viral etkiye yol açtı. Gerçek matematikçiler ve matematik toplulukları bu tür sorulardan bıkmıştı; 2017'de reddit'in r/math topluluğunda “gerçekten zor bir görselli matematik sorusu yapalım” başlıklı bir tartışma açıldı. Burada sunulan problem, önceki örneklerden farklı olarak tam sayı çözümü bulmanın nispeten kolay olduğu bir düzeydeydi; ancak Sridhar Ramesh adlı biri onu biraz değiştirerek son derece zor bir probleme dönüştürdü. Değiştirilmiş problemin en küçük çözümü bile 80 basamaktan uzun sayılar içeriyor ve eliptik eğrilerle ilgili ileri düzey bilgi gerektirdiği değerlendiriliyor.

Pisagor üçlülerini bulmak için ısındıran bir örnek

Önce daha kolay bir problem olarak Pisagor üçlülerinin tam listesini elde etme yöntemi ele alınıyor. x² + y² = z² denklemini sağlayan tam sayı çözümlerini (Diophantine denklemi) doğrudan aramak yerine, x₁² + y₁² = 1 için rasyonel çözümleri (kesirli çözümler) bulma yaklaşımı kullanılıyor.

• Burada x₁ = x/z, y₁ = y/z dönüşümü yapılınca, problem birim çember üzerindeki tüm rasyonel noktaları bulma problemine dönüşüyor
• Başlangıç noktası olarak (0,1) gibi bir nokta seçilip, rasyonel eğime sahip doğrular çizildiği düşünülebilir
• Bu doğrunun çemberle kesiştiği ikinci nokta her zaman rasyonel bir nokta olur
• Bu durum Vieta formülleri vb. ile doğrulanabilir; eğim sabitlenerek tüm rasyonel noktalara ulaşmak mümkündür
• Özetlendiğinde, Pisagor üçlüleri (x, y, z) = (2mn, n²–m², n²+m²) yapısıyla karakterize edilebilir (pozitif tam sayılar m, n için)
• Temel fikir şudur: “bir doğru çizince yeni bir nokta elde edilir”

Asıl emoji problemi: zor denklemi eliptik eğriye dönüştürmek

Problemin ana denklemi x/(y+z) + y/(x+z) + z/(x+y) = 4 ile başlıyor. Bu ifade düzenlenince x³+y³+z³ = 3(x²(y+z)+y²(x+z)+z²(x+y)) + 8xyz biçimine dönüşüyor.

• x₁ = x/z, y₁ = y/z dönüşümü yapılıp tüm ifade z³'e bölünerek rasyonel çözümler üzerinden analiz sürdürülüyor
• Yerine koyma sonrasında elde edilen denklem şu oluyor: x₁³ + y₁³ + 1 = 3(x₁²(y₁+1)+y₁²(x₁+1)+x₁+y₁) + 8x₁y₁
• Görselleştirildiğinde bu denklemin grafiği simetrik; koordinat eksenleri uygun biçimde döndürülüp yeniden değişken dönüşümü (x₂, y₂) yapılarak daha sade bir forma indirgeniyor
• Sonunda şu eliptik eğri biçimindeki denklem elde ediliyor: 1 - 6x₂ - 11x₂² - 4x₂³ - y₂² + 12x₂y₂² = 0

Eliptik eğri üzerinde rasyonel nokta üretme ilkesi

Eliptik eğri üzerindeki iki rasyonel nokta (P, Q) seçilip bu iki noktadan geçen bir doğru çiziliyor ve bu doğrunun eğriyle üçüncü kesişim noktası R bulunuyor.

• Üç nokta da (P, Q, R) rasyonel koordinatlara sahip oluyor
• Vieta formülleri, doğrunun eğimi ve cebirsel dönüşümler kullanılarak, tutarlı bir denklem üzerinden üçüncü kesişim noktası hesaplanabiliyor
• Aynı noktada (P=Q) çizilen doğru bir teğet oluyor ve bu durumda da aynı ilke geçerli
• Buradaki önemli nokta şu: “iki rasyonel noktayı bağlarsanız bir başka rasyonel nokta daha elde edersiniz”

Rasyonel noktaları ‘çoğaltmanın’ sınırı ve sonsuz mertebeli noktanın keşfi

Eliptik eğri üzerinde kolayca bulunabilen apaçık rasyonel noktalar ((0,1), (-1,0), (0,-1) vb.) çözüme anlamlı katkı vermeyen sonuçlara götürüyor.

• Bu noktalarla yalnızca, artık yeni rasyonel nokta üretmeyen torsiyon noktaları (sonlu mertebeli noktalar) tekrar tekrar elde ediliyor
• Bu yüzden bilinmeyen, sonsuz mertebeli (sonsuz sayıda çözüm üreten) bir noktaya ihtiyaç var
• Mathematica gibi bilgisayarlı hesaplama araçları kullanılarak yeni bir rasyonel nokta bulundu; örneğin (-2, 1/5) biçiminde bir nokta (bu noktaya A adı veriliyor)
• Bu nokta kullanılarak, teğet veya başka noktalarla çizilen doğrular sayesinde giderek daha yeni ve daha karmaşık rasyonel çözümler üretilebiliyor

Gerçek pozitif çözümler için koşullar ve yinelemeli hesaplama

Problemin çözümünün anlamlı olması için x, y, z'nin tamamının pozitif olması gerekiyor. Denklem dönüşümlerine göre z > 0 varsayıldığında x₁ > 0 ve y₁ > 0 gerekli; dönüştürülmüş koordinatlar (x₂, y₂) içinse x₂ > |y₂| koşulu sağlanmalı.

• Bu koşulu sağlayan bölge (grafiğin belirli bir kısmı) ‘hedef bölge’ olarak alınıyor ve doğru çizme hilesi tekrarlanarak bu bölgedeki rasyonel çözümlere ulaşılıyor
• Hesaplama sürecinde rasyonel noktanın x ve y koordinatları, sırasıyla karmaşık cebirsel ifadeler (L, T ve Y fonksiyonları) kullanılarak bulunuyor
• Bu yöntemle teğet ve doğru eğimi hesapları tekrar tekrar uygulanınca onlarca basamaklı çok büyük çözümlere ulaşılıyor

Sonuç

Verilen emoji matematik problemi basit görünse de gerçekte eliptik eğrilerin özelliklerini ve rasyonel nokta üretme ilkesini aktif biçimde kullanmayı gerektiriyor; bazı durumlarda çözümün sayısal büyüklüğü geometrik olarak artıyor.

• “Doğru çiz, yeni nokta elde et” şeklindeki basit yapısal ilke, eliptik eğrilerde de dönüştürülmüş bir biçimde uygulanıyor
• Gerçek tam sayı veya pozitif çözüm bulma süreci oldukça karmaşık ve bilgisayarlı cebirsel hesaplama neredeyse vazgeçilmez
• Yazının devamında bu sürecin tamamlanışı, daha derin matematiksel arka plan ve çözümün ayrıntıları ele alınacak

[GN⁺]

Hacker News görüşleri

• Gerçekten harika bir Quora cevabını tanıtan bağlantı paylaşılmış

  • O Quora cevabının Alon Amit tarafından yazıldığı ve asıl makalede de Alon Amit’ten alıntılara yer verildiği bilgisi verilmiş

  • Bunun tam olarak Quora’nın gerçek zirvesi gibi hissettirdiği söylenmiş

• Geçmişte çocuklara matematik öğretirken formül ya da denklemlerdeki terimleri hayvan, bulut, yıldız gibi sevimli ve tanıdık sözcüklerle değiştirdiği deneyimi paylaşılmış; çocuklar başta bunu uğraştırıcı bulsa da bunun soyut kavramlara ilgi duymalarına vesile olduğu, daha sonra kendi arkadaşlarına öğretirken de aynı yöntemi kullandıklarına dair geri bildirim geldiği aktarılmış; x’in özel olmak zorunda olmadığı, “x yerine güneş ya da kedi sayı toplamı gibi herhangi bir isim kullanılabilir” mesajı vurgulanmış

  • kedi sayı toplamı gibi isimler üzerinden, matematik kültürünün geneline yerleşmiş minimalizm eğiliminden söz edilmiş; formüllerde değişken adlarının çok kısa ya da aşırı soyut olmasının, gerçek bir formülü yorumlarken “burada önemli rol oynayan bu sembol ne acaba, bunu kim φ diye yazdı...” türü zorluklar doğurduğu anlatılmış; programcıların değişken adı koymakta zorlandığına dair şakadan bile matematikçilerin daha kötü olduğu yönünde espri yapılmış; insanlığın binlerce yıldır dili ve etiketleri kullanabildiği halde gereksiz yere rho gibi şifreli semboller kullanmasının anlamsız olduğu görüşü paylaşılmış; en azından matematik makalelerinden türetilen programlarda değişken adlarının anlamı sezgisel olarak aktaran isimler olması gerektiği vurgulanmış

• OpenAI arayüzünü kullanarak problem görselini ChatGPT’ye yüklemeyi denediğine dair deneyim aktarılmış; başta modelin soruyu zaten bilip doğrudan doğru cevabı vereceğini, ya da rastgele bir şeyler uyduracağını veya çözmeyi tamamen reddedeceğini düşündüğü söylenmiş; ama gerçekte modelin önce doğruymuş gibi kendinden emin tahminler sunduğu, sonra bizzat hesap yapınca yanlış olduğunu fark ettiği ve aynı tahmini tekrarladığı gözlemlenmiş; simetriyi bile kavrayamadığı ve yapısız bir ajan gibi davrandığı belirtilmiş; sonunda cevabın olmadığı sonucuna güçlü şekilde inandığı yazılmış; bunun beklenmedik bir sonuç olduğu ve gelecekte başka bulmacalarda da bu kadar kötü performans gösterirse kendi inancını güncelleyeceği ifade edilmiş

  • Aynı sorunun Gemini’ye de sorulduğu sonucu paylaşılmış; ayrıca ChatGPT o3’ün de denendiği ve düşünmesi için 11,5 dakika harcadığı deneyimi aktarılmış; ilgili çalışma bağlantısı paylaşılmış

  • İnsan zihniyle anlaşılabilir “makul” bir cevabın hiç olmamasının bu durumu daha da etkileyici kıldığı söylenmiş; Wolfram Alpha’ya bağlı bir ChatGPT sürümü de olduğunun bilindiği, onun denenip denenmediğinin merak edildiği belirtilmiş

• Sridhar Ramesh’ten söz edilirken, hem matematik doktorası seviyesinde hem de internet meme’lerine dayalı şaka dili (shitposting) konusunda yetkin olan ender insanlardan biri olduğu vurgulanmış

• Bu tür bulmacaları çok sevdiği ve arkadaşlarına tanıtırken buna “Dantzig Sniping” adını verdiği paylaşılmış; kendi oluşturduğu sorulara ve ilgili bağlama dair bağlantı eklenmiş

  • İlk anda Gdańsk (Danzig) yer adını düşündürdüğü için neyin “sniping” edildiğini merak ettiğini söyleyen bir tepki paylaşılmış

  • Bu tür özelliklere sahip problemlerin nasıl keşfedildiğini merak eden bir soru yöneltilmiş

• 2025 yılına gelinmişken yazarın neden değişken adlarında gerçekten meyve emojileri kullanmadığına dair esprili bir soru sorulmuş

  • Karmaşık C kodlarını incelerken değişken adlarını emojiye çevirmeyi denediğinde, hangi değişkenin nerede kullanıldığının bir bakışta görülebildiği ve bunun kod yapısını anlamaya yardımcı olduğu deneyimi paylaşılmış; örnek görsel bağlantısı verilmiş; ne yazık ki Rust, JS gibi modern dillerin XID_Start/XID_Continue standardını izlediği için emoji tanımlayıcılarını engellediği sorunu dile getirilmiş

  • Gemini’nin meyve emojili değişken adları kullanarak brute force yöntemiyle problemi çözen bir C# kodu örneği bağlantısı paylaşılmış

  • Bu yıl 2025 olsa da ilgili dilin oluşturulduğu yılın 2025 olmadığına dair gerçekçi bir ek yapılmış

• 4 yerine başka bir sabit konulursa çok daha akıl almaz büyüklükte en küçük çözümlerin ortaya çıkabileceği söylenmiş; buna dair ilginç bir Diofant denklemi (tam sayı çözümlü denklem) örneği bağlantısı paylaşılmış

  • 120 milyon basamaklı gibi tuhaf ama harika dev sayıları gerçek zamanlı olarak getirebilme özelliğinin etkileyici derecede iyi olduğu vurgulanmış

• Bu problem ilk ortaya çıktığında bir sayı teorisi seminerinde herkesin birlikte kahkahaya boğulduğu anı paylaşılmış

• Sayı teorisi ve tuhaf grafikler üzerine derin incelemelerin ilginç olduğu kabul edilmekle birlikte, asıl verilen elma/muz bulmacasında tam olarak neyin kafa karıştırıcı ya da tuzaklı olduğunun merak edildiği söylenmiş; insanların kolayca karıştırdığı bir unsur veya tartışma çıkaran bir nokta olup olmadığı, yoksa çok kolay olduğu için herkesin bilgiçlik taslamaya mı koştuğu sorulmuş; kendisinin 10, 4, 2 cevabını verdiği, belki de aslında kafası karışanın kendisi olabileceği yorumu eklenmiş

  • Asıl “hile”nin, son demette 4 yerine 3 muz bulunması, diğer demetlerde ise 4 muz olması; ayrıca hindistan cevizinin de yalnızca son denklemde tek başına yer alması olduğu açıklanmış; bunun gerçekten 1 + 10 + 3 gibi yanlış anlaşılabileceği belirtilmiş

• Belirli bir problem bağlantısındaki sorgu parametresi olan srsltid değerinin gereksiz olduğuna dair bir ipucu paylaşılmış