n-Toplar Arasındaki n-Top

• Arnaldur, bu siteyi kendi internet meskeni olarak tanıtıyor ve kendisini bir Computer Scientist olarak ifade ediyor
• Şu anda yazılım geliştirme danışmanı olarak çalışıyor ve kendisine e-postayla ulaşılabiliyor
• Sitede Arnaldur’un yazdığı birkaç yazı okunabiliyor
• Web sitesini SolidStart ile bizzat oluşturmuş ve site statik olarak render ediliyor
• Dağıtım ve stil için AWS·SST·matcha.css kullanmış; sitenin bir yerinde gizli bir easter egg bulunuyor

---

Arnaldur ve iletişim bilgileri

• Arnaldur kendisini bir Computer Scientist olarak tanıtıyor
• Bu web sitesi, Arnaldur’un internet meskeni olarak işlev görüyor
• Sitede okunabilecek birkaç yazı bulunuyor
• Şu anda yazılım geliştirme danışmanı olarak çalışıyor
• İletişim için [e-mail] e-posta adresini veriyor

Web sitesinin nasıl geliştirildiği

• Web sitesini en baştan SolidStart kullanarak oluşturmuş
• Site statik render yöntemiyle sunuluyor
• Barındırma için AWS kullanıyor ve SST yardımcı oluyor
• Stil altyapısı olarak matcha.css kullanıyor
• Sitenin bir yerinde gizli bir easter egg bulunuyor

[GN⁺]

Hacker News yorumları

• Kürelerin yüksek boyutlarda “sivrileştiğini” düşünmektense, kutunun kendisinin sivrileştiğini düşünmek daha iyi
  Yazıda da söylendiği gibi, küre tanımı gereği her zaman tamamen simetriktir
  Buna karşılık kutu bir kaltrop gibi bir şekle dönüşür; köşeleri orijinden boyut sayısının karekökü kadar giderek uzaklaşır, her yüzün merkezi ise tam olarak ±1’de kalır
  Etraftaki 2^N küre de orijinden uzaklaşır ama yarıçapları 1/2 olarak aynı kalır; bu yüzden ortadaki kürenin giderek daha fazla alan kazandığını ve sonunda sivri kutunun dışına doğru büyüdüğünü hayal etmek kolaylaşır
  • Yüksek boyutlu bir küreyi düşünmenin başka bir yolunda sivrilik doğru görselleştirme olur
    Örneğin kürenin merkezinden sınırına olan mesafenin %90’ındaki noktaya bir düzlem koyup, o düzlemin “dışında” kalan hacmin toplamın yüzde kaçı olduğuna bakarsanız, yüksek boyutlarda bu hacim ihmal edilecek kadar küçülür
    Boyut gerçekten yükseldiğinde, merkeze oldukça yakın bir yerden kesseniz bile kesilip atılan hacim çok küçük olur; 3 boyutlu dünyada bu özelliğe en yakın şey dikenimsi bir formdur
    Yüksek boyutlu bir kürenin sivri olmaması simetri ve pürüzsüzlük anlamındadır
    Bu yüzden yüksek boyutlu kürelere dair sezgi geliştirmek için onu aynı anda simetrik, pürüzsüz ve sivri olarak düşünmek gerekir
    Sonra beş imkânsız şeyi daha düşünürseniz kahvaltı edebilirsiniz
  • Tam olarak mesele bu: Karenin köşeleri düzlemin ilgili kısmının 1/4’ünü kaplar, küpün köşeleri 1/8’ini kaplar, n boyutlu hiperküpün köşeleri ise uzayın yalnızca 1/(2^n)’ini kaplar
    Ama her kenar, yüz ve hiper-yüz; düzlemi, uzayı ve n boyutlu uzayı doğrudan ikiye böler
  • Bir anlamda, Öklidyen n boyutlu uzayda küre, küpten daha doğal bir nesnedir
    Mesafeyi devreye soktuğunuz anda küp yapay bir kurguya dönüşür
    Basit çarpım uzayında doğal bir unsur olsa da
  • Orijinal metin de Hamming dersinin hemen ardından bunu söylüyor
    “Bu yüzden n boyutlu küreyi sivri görmektense, etrafındaki uzayın küreden daha hızlı büyüdüğünü görmek daha iyidir”
• Bu, boyutluluğun lanetini gerçekten çok iyi gösteren bir örnek
  https://en.m.wikipedia.org/wiki/Curse_of_dimensionality
  • Bunun LLM ölçekleme yasalarıyla nasıl bağlantılı olduğu ilginç
• Neden bu yazının, topolojik olarak n-küre olan iki şekil hakkında olacağını hayal ettim bilmiyorum
  Her birinin, bir n-kürenin sınırındaki iki yarım (n-1)-küreden biriyle temas ettiği ve bunun dışında kesişmedikleri bir durumdan söz ediyorum
  3 boyutta düşünürsek, bir küre ve farklı renklerde iki kil parçası alıp her bir kili küre yüzeyinin yarısına bastırarak yapıştırmak; ama iki kil parçasının da topolojik olarak 3-küre olarak kalması gibi
  Aslında bununla ilgili ilginç bir hikâye olup olmadığından da pek emin değilim
• Etkileyici ve faydalıydı
  Şimdi o kırmızı n boyutlu küreyi yeni n boyutlu elimle yakalayabilmek için embeddingimi yeniden oluşturma zamanı
• Bu fenomen hakkında başka HN tartışmaları görmek için aynı konuyu ele alan eski gönderilere bakılabilir
  O yazıda harika animasyonlar yok ama 14 yıl öncesinden
  https://news.ycombinator.com/item?id=12998899
  https://news.ycombinator.com/item?id=3995615
  Ayrıca 29 Ekim 2010 tarihli bir yazı da var
  https://news.ycombinator.com/item?id=1846682
  • 2009’da bu konuda kısa bir blog yazısı da yazmıştım: https://mark.reid.name/blog/warning-high-dimensions.html
    Böyle ilginç matematik gerçeklerinin sürekli tartışılıp yeni biçimlerde sunulduğunu görmek güzel
• Küreleri kafamın içinde döndürmeye çalışmak zor
  Bu sezgiye ulaşmaya yardımcı olacak daha fazla ara aşama görselleştirme materyali var mı?
  Yazı çok güzel ama tamamen köşegenleştirilmiş 10 boyutlu bir yapıyı 3 boyutlu kesit olarak gördüğümüzde kırmızı kürenin yeşil kutusunun gizlendiği o gerçekleşmiş absürtlüğü hemen paylaşmak istiyorum
  • Garip olan kırmızı küre değil, hiperküp
    Mavi küreleri hiperküpe teğet olacak şekilde yerleştirmek yapay bir kurgu ve yalnızca düşük boyutlarda kırmızı küreyi “çevreliyormuş” gibi görünür
    Sezgimizin yanılmasının nedeni problemi yanlış düşünmemiz
    “Kırmızı küre kutunun içinde hapsolmalı” diye düşünüyoruz, ama n boyutta bunun için geometrik bir gerekçe yok
• Animasyon yüzünden beynim patladı desem yeridir
  • Trigonometri giren kısımlarda epey zorlayıcı anlar vardı
• Numberphile daha önce bu konuda bir video yayımlamıştı
  https://youtu.be/mceaM2_zQd8?si=0xcOAoF-Bn1Z8nrO