Gauss’un mezar taşında neden düzgün 17’gen istediği
(scientificamerican.com)- Johann Carl Friedrich Gauss, 18 yaşındayken düzgün 17’genin çizilebilirliğini kanıtlayarak, 2.000 yılı aşkın süredir süren antik geometri problemlerinden birine kesin bir yanıt verdi
- Bu problemin kökeni Euclid’in pergel ve cetvelle çizim anlayışına dayanıyordu; temel mesele, işaretsiz bir cetvel ve pergel kullanarak bir şeklin gerçekten kurulup kurulamayacağıydı
- Euclid, düzgün 3’gen, düzgün 4’gen, düzgün 5’gen ve bunların genişletilmiş biçimlerini kurmuştu; ancak düzgün 7’gen ve düzgün 11’gen gibi şekiller uzun süre çözümsüz kaldı
- Gauss, şekli doğrudan çizmek yerine, düzgün 17’gen için gerekli uzunluk olan cosine(2π/17) değerini izin verilen cebirsel işlemlerle ifade ederek çizilebilirliği kanıtladı
- Daha sonra Pierre Wantzel’in sıkı kanıtı da eklenince, hangi düzgün çokgenlerin çizilebilir olduğu ve hangilerinin olmadığı ayırt edilebilir hale geldi
Gauss’un mezar taşında bırakmak istediği şekil
- Johann Carl Friedrich Gauss (1777–1855), birçok matematiksel başarısı arasında düzgün 17’gen kanıtıyla özellikle gurur duyuyordu
- 18 yaşındaki Gauss, bu şekil sayesinde 2.000 yılı aşkın süredir matematikçileri uğraştıran klasik bir problemi çözdü
- Bu problem, şekilleri fiilen kurmaya çalışan antik geometriyle, bu şekilleri yöneten denklemleri analiz eden modern bakış açısını birbirine bağladı
Antik Yunan’ın pergel ve cetvelle çizimleri
- Antik Yunan geometrisinde çizim, yalnızca işaretsiz cetvel ve pergel kullanılarak şekil oluşturulan katı kurallı bir uğraşa yakındı
- Pergel, iki nokta verildiğinde birini merkez alıp diğerinden geçen bir çember çizer; cetvel ise iki noktayı birleştiren doğruyu çizmeye yarar
- Bu iki araçta da işaret bulunmadığı için uzunluklar ya da açılar doğrudan ölçülemez
- Bu kurallar, MÖ 3. yüzyılda Euclid’in Elements eserine dayanır
- Euclid, bir şeklin varlığını varsaymak yerine, doğru ve çember gibi basit öğelerle onu açıkça kurmaya çalışıyordu
Doğru parçasını ikiye bölmek ve düzgün üçgen
- A ve B diye iki nokta verildiğinde, A merkezli ve B’den geçen bir çemberle, B merkezli ve A’dan geçen bir çember çizilirse bu iki çember iki noktada kesişir
- Bu iki kesişim noktası cetvelle birleştirildiğinde, başlangıçtaki AB doğru parçasını tam olarak ikiye bölen bir doğru elde edilir
- Aynı çizim, iki doğru arasında dik açı da oluşturur; bu da böylesine sınırlı araçlarla önemsiz olmayan bir sonuçtur
- Birkaç nokta daha birleştirilerek, tüm kenar uzunlukları ve tüm açıları eşit olan bir düzgün üçgen oluşturulabilir
- Düzgün üçgenin her kenarı, aynı büyüklükteki çemberlerin yarıçapı olduğundan üç kenarın uzunluğu eşittir
- Bu, Euclid’in Elements kitabının I. cildindeki birinci önerme ile örtüşür
Düzgün çokgen çiziminde ortaya çıkan tıkanma
- Pergel ve cetvelle oluşturulabilen şekiller arasında düzgün çokgenler özel bir yere sahiptir
- Çokgen, doğru kenarlarla çevrili bir şekildir; düzgün çokgende ise tüm kenar uzunlukları ve tüm açılar eşittir
- Herhangi bir üçgen yapmak kolaydır, ancak düzgün üçgen gibi tam simetriye sahip düzgün çokgenler daha incelikli çizimler gerektirir
- Euclid, düzgün 3’gen, düzgün 4’gen ve düzgün 5’genin nasıl çizileceğini biliyordu
- Bir kez oluşturulmuş düzgün çokgenlerde kenar sayısı iki katına çıkarılabiliyordu
- Düzgün 3’gen, düzgün 6’gen, düzgün 12’gen vb. biçimlere genişletilebilirdi
- Düzgün 4’gen, düzgün 8’gen, düzgün 16’gen vb. biçimlere uzanıyordu
- Düzgün 5’gen, düzgün 10’gen, düzgün 20’gen vb. biçimlere çıkarılabiliyordu
- Euclid ayrıca düzgün 3’gen ile düzgün 5’geni “çarparak” düzgün 15’gen elde etmenin yolunu da göstermişti
- Ancak düzgün 7’gen ve düzgün 11’genin yalnızca pergel ve cetvelle yapılıp yapılamayacağı bilinmiyordu ve bu boşluk 2.000 yıl boyunca kaldı
Gauss’un cebirsel dönüşümü
- 1796 yılına kadar yeni çizilebilir düzgün çokgenler listesine bir ekleme yapılmamıştı; ancak matematikçiler pergel ve cetvelle çizimin kendisini daha derinlemesine anlamaya başlamıştı
- Gauss, düzgün çokgen çizimi probleminin belirli bir doğru parçası çizimi problemine indirgenebileceğini biliyordu
- Düzgün 17’gen oluşturmak için yarıçapı 1 olan birim çember üzerinde A noktası seçilir ve çember çevresi boyunca tam olarak 17’de 1 kadar ilerideki B noktası kurulur
- B noktası kurulabilirse, aynı işlem çemberin tamamı boyunca tekrarlanır ve noktalar cetvelle birleştirilerek düzgün 17’gen elde edilir
- Sonuçta asıl mesele, belirli bir x uzunluğundaki doğru parçasının çizilip çizilemeyeceğidir; formül olarak bu x = cosine(2π/17) şeklindedir
Çizilebilir uzunluklar ve beş işlem
- Gauss döneminde, hangi uzunlukların pergel ve cetvelle çizilebileceğine dair ölçüt biliniyordu
- Bir uzunluk, tam sayılar üzerinde yalnızca toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve karekök işlemleri uygulanarak ifade edilebiliyorsa tam olarak çizilebilir kabul edilirdi
- Örneğin √(99/5), 99 ve 5 üzerinde bölme ve karekök uygulanmış bir ifade olduğu için çizilebilirdir
- Buna karşılık π ve 2’nin küpkökü, yalnızca bu beş işlemle ifade edilemediğinden çizilemez
- Antik Yunan’ın çizim araçlarının izin verdiği eylemler, modern cebirin doğal işlemleriyle örtüşür
- Bunun nedeni, doğru ve çember denklemlerinin yalnızca bu beş işlemi kullanmasıdır; bu da cebir öncesi çağda yaşayan Euclid’in hayal etmesinin zor olduğu bir bakış açısıydı
Düzgün 17’genin kanıtı ve sınıflandırma
- Gauss gerçekte düzgün 17’geni çizmedi
- Bunun yerine, düzgün 17’gen için gereken cosine(2π/17) uzunluğunu pergel ve cetvelin izin verdiği beş cebirsel işlemle ifade ederek, bu şeklin ilke olarak çizilebilir olduğunu kanıtladı
- Söz konusu ifade karmaşıktır ve genç yaştaki Gauss’un bu probleme ciddi emek verdiğini gösterir
- Daha da önemlisi, Gauss hangi düzgün çokgenlerin çizilebilir olduğunu ve hangilerinin olmadığını da karakterize etti
- 1837’de Pierre Wantzel, Gauss’un sınıflandırmasının hiçbir durumu dışarıda bırakmadığını gösteren sıkı bir kanıt sundu
- Sonuç olarak düzgün 7’gen ve düzgün 11’gen yalnızca pergel ve cetvelle yapılamaz; aynı yöntemle imkânsız olduğu gösterilebilen sonsuz sayıda şekil vardır
Mezar taşında olmasa da anıtta kalan iz
- Biyografi yazarı G. Waldo Dunnington’a göre Gauss, binlerce yıllık bir problemi çözmüş olmaktan büyük gurur duyuyordu ve bir arkadaşına mezar taşında düzgün 17’gen görmek istediğini söylemişti
- Ancak gerçek mezar taşına düzgün 17’gen işlenmedi
- Bunun yerine, Gauss’un Almanya’daki doğum yeri Brunswick’te bulunan anıtın arka yüzüne 17 köşeli bir yıldız işlendi
- Taş ustası, insanların düzgün 17’gen ile çemberi ayırt edemeyeceğini düşündüğü için yıldız biçimini seçti
1 yorum
Hacker News yorumları
Gauss’tan bu yana 200 yıl geçti ve matematik büyük ölçüde ilerledi, ama Öklid yöntemiyle çizilebilir tek sayıda kenara sahip düzgün çokgenler arasında teorik olarak en büyüğünün ne olduğu hâlâ bilinmiyor.
Merak edenler için ekleyeyim: yanıt, Fermat asal sayılarının çarpan kombinasyonlarına indirgeniyor; çünkü 3, 5, 17, 257, 65537’den sonra Fermat asalı olup olmadığını kimse bilmiyor. Kaynak: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Constructible_polygon
Bu kanıt hakkında iki bölümlük harika bir YouTube video serisi var.
Çizilebilir düzgün çokgen problemi ve kanıtın özeti: https://www.youtube.com/watch?v=EX7U0DGBmbM
Kanıtın tam açıklaması: https://www.youtube.com/watch?v=Gdy1u4lsjDw
Son kısımda UC Berkeley, 17 Gauss Way’deki Mathematical Sciences Research Institute (MSRI) binasının cephesinde, bina numarası yerine kullanılan çizim gösteriliyor.
“Tam olarak çizilebilen uzunluklar, tam sayılara toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve karekök uygulanarak ifade edilebilen uzunluklardır” kısmı ilginç.
Antik Yunan’ın cetvel ve pergelinin, modern cebirin doğal işlemleri olan +, –, ×, /, √ ile tam olarak örtüşmesinin nedeni, doğru ve çember denklemlerinin yalnızca bu beş işlemi kullanmasıdır diye bakılıyor. İlgili: https://en.wikipedia.org/wiki/CORDIC
Herkese birkaç pergel ve cetvel çizimini bizzat denemesini öneririm. Oldukça tatmin edici ve meditatif bir uğraş olabilir.
Oliver Byrne, Euclid’in Elements’ini inanılmaz güzel bir renkli baskı hâline getirmiş; çevrimiçi görülebiliyor. Bir kalem, kâğıt, çember çizmek için bir ip ve doğru çizmek için bir kitabın kenarını hazırlayıp Proposition 1’den başlayarak istediğiniz kadar yapabilirsiniz: https://www.c82.net/euclid/book1/#prop1
Byrne’ün Elements’inin fiziksel tıpkıbasımı da var (ISBN:9783836577380). Kütüphaneme kattığım en iyi parçalardan biri ve gerçekten çok güzel.
Gauss’un mezar taşının arka yüzünde gerçekten 17 köşeli bir yıldız olup olmadığını merak ediyorum. İnternette fotoğraf bulamıyorum.
Tüm zamanların en büyük matematikçisi sayılabilecek birinin[2], genç yaşta elde ettiği ve 2000 yılı aşkın süredir çözülememiş bir problemin çözümünü anacak belirli bir ithaf istemiş olmasına rağmen, biri uğraşmaya üşenmiş gibi. Tüm hikâye, çizimin tamamıyla birlikte burada iyi anlatılıyor: https://www.youtube.com/watch?v=EX7U0DGBmbM
[1] Fotoğraf: https://www.atlasobscura.com/places/grave-of-carl-friedrich-...
[2] Benim oyum Euler’den yana, ama birçok kişi Gauss’u seçer.
Buna karşılık o yıldızı içeren bir heykel var: https://de.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gau%C3%9F#/medi...
Bu sonucu ilginç kılan şey, yüzlerce yıl içinde gelişen cebirin dönüp tekrar Öklid geometrisini geliştirmesini göstermesi.
Arka plan bilgim olmasaydı bu problemin neden ilginç olduğunu bile anlamazdım. Motivasyonu Langlands programıyla epey benzer.
Matematik yazılarının çoğunu okuyunca Orta Çağ matematikçileri hiç katkı yapmamış gibi hissedilebiliyor.
Garip biçimde yazarlar Euclid gibi Yunan matematikçilerin katkılarını atlamadan anarken, bu örnekte başroldeki Gauss gibi Rönesans sonrası matematikçilere doğrudan geçip neredeyse bin yılı rahatça ve bilgisizce atlıyorlar.
Aradaki yaklaşık bin yıl boyunca Hint ve Orta Doğulu matematikçiler öncülük etti; Āryabhaṭa, Brahmagupta, Al-Khwarizmi gibi isimler modern matematik anlayışına önemli katkılar yaptı.
Gerçekten ilginç; Gauss’un kanıtını daha iyi bilen birine sormak isterim. Neden 5-gen cetvel ve pergelle çizilebilirken 7-gen ya da 11-gen çizilemiyor? Bazı asal sayıların mümkün olup bazılarının olmamasının nedeni ne?
17 için Gauss, cos(360°/17)’nin yalnızca temel işlemlerle yazılabileceğini keşfetmişti: https://www.heise.de/imgs/18/2/1/2/3/3/6/4/siebzehneck-b95b5...
Daha sonra $n=2^k*p_1…*p_r$ olup p_i’lerin Fermat asalları (2^(2^m)+1 biçimindeki asallar; şu anda bilinenler yalnızca 3, 5, 17, 257, 65537) olduğu tüm n-genlerin inşa edilebilir olduğunu kanıtladı. Tersi, yani geri kalan tüm n’lerin inşa edilemez olduğu ise ancak birkaç yıl sonra kanıtlandı. “Gauss-Wantzel teoremi” diye arayabilirsiniz. Kanıta sadece göz gezdirdim ama açıların cos’unu inşa etme kavramını Galois teorisi ile genelleştiriyor gibi görünüyor. Düzenleme: ya da https://en.wikipedia.org/wiki/Constructible_polygon sayfasına bakın
Karmaşık sayılarda beşgenin köşeleri z^5-1=0’dır. Bunu (z^4+z^3+z^2+z+1)*(z-1)=0 şeklinde çarpanlara ayırabiliriz; zor kısım z^4+z^3+z^2+z+1=0’ı çözmektir
Bu denklem daha fazla çarpanlara ayrılmaz ve derecesi 4’tür. Köklerin, denklemin derecesiyle ilişkili bazı özellikleri vardır; bu özelliğin 4 olması önemlidir
Pergel ve cetvelle yalnızca derece 2 denklemler, yani karekök almak gibi işlemler çözülebilir. Bunu tekrarlayınca derece 4 denklemlerin bir kısmı çözülebilir. Bu yüzden birkaç hileyle denklemi çözüp beşgeni çizebilirsiniz
17 için denklem z^16+z^15+...+z+1=0’dır. Dolayısıyla özellik 16’dır ve karekökü birkaç kez kullanmak gerekir. Her seferinde kökün özelliği ikiye katlanır ve 1 -> 2 -> 4 -> 8 -> 16 gider. Yazının alt tarafındaki formülde iç içe geçmiş ve tekrarlanan çok sayıda karekök görülür
7 için denklem z^6+z^5+...+z+1=0’dır. Köklerin özelliği 6’dır. Karekökle özellik yalnızca ikiye katlanabildiğinden 1 -> 2 -> 4 -> 8 -> 16 -> 32 ... diye gider; ama özelliği 6 olan köklere asla ulaşılamaz
Teknik ayrıntılar daha fazladır. Örneğin 17-geni çizmek için derece 16 denklemlerin bir kısmını çözebilirsiniz ama tüm derece 16 denklemleri çözemezsiniz
Genel izleyicinin de temelleri görece anlayabilmesi için kolay konulara da zaman ayırdığından, videolar oldukça uzun diye şaşırmayın
[1]: https://youtube.com/@anotherroof
7-gen bana hiçbir zaman öyle büyük bir sorun gibi gelmemişti
Tam olarak yapamam ama istenen hassasiyete kadar yapabilirim. En azından pergel ve cetvelin hassasiyet sınırına çarpana kadar mümkün
1/7 = 1/8 + 1/64 + 1/512 + 1/4096 + 1/32768... olduğundan insan hassasiyetinin sınırına çok çabuk ulaşılıyor
Genel olarak 1/(2^n - 1), sonsuz toplam ya da sonsuza kadar yaklaşan bir seri olarak ifade edilebilir. 1/(2^n - 1), x 1’den sonsuza giderken 1/(2 ^ (x * n)) terimlerinin toplamıdır. Ayrıca yay uzunluğunu 2’nin kuvvetleri biçimindeki kesirlere bölmeyi herkes bilir
Tam bir çemberden başlayıp ilk parçayı alır, ikinci parçayı yeniden bölüp ilk parçayı alır ve böylece küçük parçaları eklemeye devam ederseniz 1/7’ye yeterince yaklaşırsınız. O uzunluğu pergelle ölçüp kalanı tekrar bölebilirsiniz; 6 tane daha işaretlediğinizde ilk noktayla neredeyse çakışacak kadar yeterince özyinelemeli yaparsanız çok endişelenmeye gerek kalmaz
Yine de pergel ve cetvelle 1/4096 hassasiyetine kadar gitmek bile şaşırtıcı olurdu; 1/32768’i ise kesinlikle kimse başaramaz
Hilbert eğrisinin tüm kareyi kapladığı iddiası; kare [gerçel, gerçel] biçimindeki tüm sınırlı noktaları içerir. Ama özyinelemeli köşe üretecinin rasyonel sayı yapısında her koordinat çiftindeki iki değerden biri mutlaka rasyonel olmalıdır. Yalnızca paydası 2’nin sonsuz tam sayı kuvveti biçimindedir
Diyelim ki [gerçel, rasyonel] + [rasyonel, gerçel] kümelerinin tamamını kaplıyor olsun — gerçekte öyle de değil — yine de [gerçel, gerçel] kümesinin tamamına ulaşamaz
Aslında düzlemin %100’ü eğrinin üzerinde değildir ve aynı zamanda düzlemin %100’ü eğriden sonsuz küçük bir mesafe içindedir
Bence bu, tamamının onun içinde olduğunu söylemekten daha ilginç. Çünkü gerçekte içinde değil
Sonsuz serilere izin verirseniz Taylor serisiyle her şeyi yaklaştırabilirsiniz
Uzunluğu yarıçapın 2*sin(π/7) katı olan bir doğru parçası bulmak gerekir. Değer 0.86777’dir; karesi 0.7530 olur, bu da 0.75’e, yani 1 - (1/2)^2’ye oldukça yakındır
Dolayısıyla yüksekliği yarıçapın yarısı, hipotenüsü yarıçap olan bir üçgen yaparsanız diğer kenar 0.8660 olur. Gerçek değerden farkı 0.001’den azdır; bu da benim cetvel ve pergelle çizebileceğimden çok daha hassastır