Galois Teorisi
(golem.ph.utexas.edu)- Tom Leinster, 2021–2023 yıllarında Edinburgh lisans derslerinde kullandığı Galois teorisi materyallerini arXiv ve web sitesi üzerinden yayımladı
- Materyaller ders notları, yaklaşık 40 kısa açıklama videosu, alıştırmalar ve neredeyse 500 çoktan seçmeli sorudan oluşuyor; kendi kendine çalışma için de kullanılabilir
- Bu notların, daha önce yayımlanan Fourier analysis, general topology, linear algebra ve category theory materyallerinden daha fazla ilgi gördüğü anlaşılıyor; category theory notları ise kitap olarak da yayımlanmış istisnai bir örnek
- İlk ders Covid tam kapanması sırasında yapıldığı için yüz yüze etkileşim zordu; bu nedenle normalden daha özenli yönlendirme ve yapılandırma gerekiyordu
- İçeriğin kapsamlılığının yanı sıra renkler ve küçük ikonlar gibi görsel düzenleme de erişilebilirliği artıran etkenlerden biri gibi görünüyor; notlar, videolar ve sorular öğrenenler için yararlı açık materyaller olarak kalıyor
Edinburgh Galois teorisi ders materyalleri yayımlandı
- Tom Leinster, Edinburgh lisans Galois theory dersi notlarını arXiv’e yükledi
- Ders 2021’den 2023’e kadar verildi
- Notlar daha önce web sitesinde paylaşılmıştı, ancak diğer ders materyallerinin çoğunu da birlikte yayımlamak istediği için arXiv kaydı gecikti
- Yayımlanan materyallere Galois theory course materials adresinden ulaşılabiliyor
- Tam ve kendi içinde bağımsız ders notları
- Yaklaşık 40 kısa açıklama videosu
- Çok sayıda alıştırma
- Neredeyse 500 çoktan seçmeli soru
Önceki yayımlanmış materyallerden farkı
- Leinster geçmişte de çeşitli ders notlarını yayımlamıştı
- Galois teorisi notları bunlardan daha fazla ilgi görmüş gibi görünüyor
- İstisnai olarak category theory notları kitap hâline de getirildi
Kapanma koşullarının getirdiği özenli yapı
- İlk ders Covid tam kapanması sırasında yapıldı
- Öğrenciler yüz yüze etkileşim fırsatlarını kaybetmiş durumdaydı
- Leinster, öğrencilerin normalden daha fazla yönlendirmeye ihtiyaç duyduğunu düşündü
- Notların dikkat çekmesinin nedenleri arasında yalnızca içeriğin özenli kurgusu değil, hoş görünen tasarımı da olabilir
- Renkler
- Küçük ikonlar
- Genel olarak daha okunabilir bir görsel düzen
Açık materyallerin amacı
- Leinster, yayımlanan notların, videoların ve soruların insanlara keyif vermesini umuyor
1 yorum
Hacker News yorumları
Elektrik mühendisliği okumuştum ama üniversitede Galois teorisi öğrendim; tesadüfen Edinburgh'da almıştım. 4. sınıfta Advanced Mathematics dersini bir tür çile gibi seçmiştim; sınıf mevcudu çok azdı ve matematik bölümünden her gün gelen “gerçek bir matematikçi” dersi veriyordu.
Epey matematik eğitimi almıştım ama yeni matematik üreten ve makale yazan birinin doğrudan ders vermesi sanırım yalnızca o zamandı. Galois teorisini kodlama teorisi uygulamalarını örnek alarak öğretti ve açıkçası bunun hayatımda bir dönüm noktası olduğunu düşünüyorum.
Düzgün onyedigen çizimini bir daha hiç düşünmedim; düellolardan ve Montparnasse'dan da kesinlikle uzak durdum. Şakayı bir yana bırakırsak, zihnimde bir ampul yanmış gibiydi; sonradan ECC veya ZKP bildiğini söyleyerek zeki görünmeye çalışan insanlarla karşılaştığımda kariyerimde çok işime yaradı. “Üniversitede öğrendiğim hiçbir şeyi kullanmadım” diyenlerin tam tersiydi.
Ian Stewart'ın kitabı kendi kendine çalışmak için harika; ilgi çekici tarihsel arka plan da içeriyor.
https://www.taylorfrancis.com/books/mono/10.1201/97810032139...
Bu yılın sonlarında, muhtemelen kış gibi, ilerleme iyi giderse bu kitap için bir kitap kulübü buluşması düzenlemeyi planlıyorum. Böyle bir kitabı birlikte okumak ve ilerlemeyi paylaşmak isteyen biri varsa IRC ve Matrix'teki #bitwise kanalına davet etmek isterim. İki kanal köprülenmiş durumda, yani hangisinden girerseniz olur.
Bu kanalda HN kullanıcıları ile ##math, ##physics, #cs gibi başka kanalların kullanıcıları var; okunan matematik ve hesaplama ile ilgili kitapların ilerlemesini ve içeriğini paylaştığımız çevrimiçi bir alan.
[1] https://web.libera.chat/#bitwise
[2] https://app.element.io/#/room/#bitwise:matrix.org
https://bookstore.ams.org/view?ProductCode=STML/95
Günümüzde teorinin öğretilme biçimi çoğu zaman matematiksel düşünce ve gösterimin gelişimi üzerinden yeniden yapılandırılmış oluyor; bunun öncesindeki özgün makaleleri okumak da çok ilginçti. Bu amaçla Peter Neumann'ın The mathematical writings of Evariste Galois kitabını şiddetle tavsiye ederim (https://ems.press/books/hem/102). Fransızca özgün metin ve birebir İngilizce çeviri yan yana yer alıyor; bağlamı ve olası düşünce sürecini açıklayan notlar da var. Fransızca öğrenmekte olduğum için Fransızca kısmı daha fazla okumak da keyifliydi.
Yıllardır matematik derslerinde daha fazla bağlama ihtiyaç olduğunu söylüyorum. X, Y, Z’yi kanıtlayabiliriz ve bu ders bunu öğretiyor; ama X, Y, Z’yi yapabilmemizi sağlayan motivasyon problemi yalnızca üstünkörü ele alınıyor.
Bir şeyi çözdükten sonra onu daha genel bir biçimde yeniden kurabiliyoruz ve bu yeniden kurma işleminin kendisi bir nesneye dönüşüyor. Gelişimin bu şekilde sürmesi harika; ancak eğitim açısından, yalnızca varış noktasını değil yolculuğu da öğrettiğinizde insanların zihninde çok daha iyi kalıyor. Calculus I öğretirken Newton’ın hangi problemi çözmeye çalıştığını ve bunu neden yaptığını dahil etmek öğrencileri çok daha fazla içine çekebilirdi. Çünkü takip edecekleri bir hikâye ve öğrenmek için bir neden oluşuyor.
Lisans döneminde bir matematik özel ders merkezinde çalışmıştım; calculus dersleri mühendislik-bilim için ve işletme-ekonomi için ayrıydı. Newton mekaniği ilginizi çekiyorsa ya da bölümünüzle ilgiliyse bu yaklaşım çok iyi, ama biyoloji veya endüstri mühendisliği gibi bölümlerdeki öğrencilerin, ders kitabındaki fizik uygulamaları yüzünden çoğu zaman daha da zorlandığını gördüm.
Öğrenciler “calculus zor” şeklinde tek bir sorunla geliyordu; ama birden calculus’u anlamak için fiziği de anlamaları gereken iki sorun ortaya çıkıyordu. Türev ve integrali kendi başına iyi yapıp fizik problemi işin içine girince takılan öğrenciler vardı. Gerçek dünya problemlerini matematiğe aktarma becerisi önemli, fakat ilgi duymadıkları belirli bir alan araya girince daha büyük bir engele dönüşüyor.
İşletme öğrencilerinde de benzerdi. Eğitmenlerin çoğu mühendislik kökenli olduğu için, temel finans bilgisi gerektiren örneklerle dolu kitaplar kullanan işletme öğrencilerine yardım etmekte zorlanıyordu. Finansal nicelikler çoğu zaman sürekli değil ayrık olduğundan eğitmenlerin kafası daha da karışıyordu.
Öğrencinin ilgilendiği bir uygulama bulunabiliyorsa elbette o yaklaşım kullanılmalı. Ancak genel amaçlı ders kitaplarında belirli bir uygulama seçimi, o uygulamaya ilgi duymayan birçok öğrencinin öğrenmesini engelliyor.
Matematiğin zaman içinde nasıl geliştiğini ve geçmişte insanların önemli problemleri nasıl çözdüğünü öğrenmek, bugün başka problemleri çözerken yardımcı olur mu? Birkaç yıl önce Mathematical Thought from Ancient to Modern Times adlı 3 ciltlik seti almıştım, ama ilk birkaç bölümden öteye geçecek vaktim olmadı. Bu tür büyük matematik tarihi eserleri için öneriler varsa ilgimi çeker.
Tuhaf biçimde, David Foster Wallace’ın Everything and More kitabını okuduktan sonra çok daha iyi anladım. Çünkü Cauchy ve diğerlerinin problemleri titiz hâle getirmesinden önce matematikçilerin karşılaştığı paradoksları ve çıkmazları açıklıyordu. Wallace postmodern bir romancıydı; sonsuzluğu neden bu kadar açık anlattığını bilmiyorum. Diğer eserlerinden keyif alamamıştım.
Programcı kafasıyla, ister t^3 = 2’yi çözeyim ister t^100 + t + 1 = 7’yi sayısal olarak çözeyim, ikisinde de Newton yöntemi gibi iteratif yöntemler kullanmam gerekiyor. “n’inci kök düğmesi var” demek bir gerekçe değil. Çünkü daha genel bir Newton düğmesi de koyulabilirdi.
İkisi temelde farklı görünmüyor. Kök ifadeleriyle çözülebilmesi neden önemli? Bana, 2 sayısını kullanmadan çözülüp çözülemeyeceğini sormak kadar keyfî geliyor. İteratif yöntemler, Newton yöntemi, ikinci dereceden yakınsama gibi başka anlamlardaki çözülebilirlikle daha çok ilgilenirdim.
Başka okullardan bazı öğrencilerle de konuşmuştum, benzer deneyimleri vardı. O zamanlar kimse bundan hoşlanmıyordu. Benim profesörüm en az iki ders saatini tahtaya yalnızca tarih yazmaya ayırmıştı ve biz epey sıkılmıştık. Gerçi matematik yüksek lisans/doktora öğrencileriydik, dolayısıyla motivasyona ihtiyacımız yoktu.
Galois teorisinin, matematiği sevmeyen insanlarla akşam yemeği masasında bile motivasyonunu ve içeriğini konuşabileceğiniz teorik matematiğin bir açıklaması ve zirvesi olduğunu düşünüyorum.
İkinci dereceden denklemin kök formülünden başlarsanız neredeyse herkes bir şeyler hatırlar. Polinomlarda x’i çözmekten söz eder, sonra x’i her zaman çözüp çözemeyeceğimize ve bunun ne anlama geldiğine geçersiniz. Bir polinomu grafiğe dökünce x eksenini keser, yani çözüm vardır; peki bu, katsayılardan oluşan bir formülle çözülebileceği anlamına mı gelir? Bu, tüm n’inci dereceden polinomların karmaşık sayılarda n tane kökü olduğunu söyleyen cebirin temel teoremine işaret eder.
Kök ifadeleriyle çözmenin, bunun polinom katsayıları cinsinden x için bir formüle sahip olmak anlamıyla nasıl bağlantılı olduğunu açıklamak biraz zor.
Sonuç şu: Genel 5. derece ve daha yüksek dereceli polinomlar için, katsayılarla ifade edilen ve yalnızca dört işlem ile kök alma kullanan bir x formülü yoktur. Galois teorisi bunu kanıtlar.
Galois’nın bu başarıyla anılmasının nedeni, “formül yok” ifadesini nasıl biçimselleştirip kanıtlayacağını düşünmenin muazzam bir hayal gücü gerektirmesidir. Bir formülün olmamasının ne anlama geldiği ve bunun nasıl düzgünce kurulup kanıtlanacağı işin özüdür.
Galois teorisi çok daha fazla içgörü sağlar ve bazı beşinci derece denklemlerin neden kök ifadeleriyle çözülebildiğini vb. anlamamızı sağlar. Ama Galois, beşinci derece formülün yokluğunun kanıtı için kredi almamalı. En azından bunu ilk yapan o değildi.
Üniversitedeki soyut cebir dersinde Galois teorisi hep final bölümü gibi aklımda kaldı. Galois olağanüstü bir matematiksel zekâydı; 20 yaşında bir düelloda ölmeseydi başka neler katkıda bulunurdu merak ediyorum.
https://en.wikipedia.org/wiki/%C3%89variste_Galois
Birkaç yıl önce Charles C. Pinter’ın A Book of Abstract Algebra kitabıyla bir çalışma grubuna liderlik etmiştim. Sonu Galois teorisine bağlanıyordu ve matematik çalışma gruplarında kullandığım kitaplar arasında en iyilerinden biriydi
Kitabın sonlarındaki Galois ile ilgili kısmı da hatırlıyorum. Polinom denklemlerinin köklerini çözmenin tarihi, özellikle de keyfi dereceden denklemleri çözmenin tarihi hakkında ilginç bir bölüm de vardı
Matematikçi olmayan biri olarak, bu Simple Wikipedia yazısının kabaca doğru olup olmadığını merak ediyorum. Mütevazı bir mühendis olarak matematik ders listelerinde Galois teorisini hep görürdüm ve ne olduğunu merak ederdim
https://simple.m.wikipedia.org/wiki/Galois_theory
Galois’nin keşfettiği parlak içgörü, cisimler ile gruplar arasındaki temel bağlantıydı; ama bu daha çok problemi çözmeye yönelik bir “teknik” gibi. “Neden buna gerek var” kısmı biraz daha karmaşık; kısaca söylersek Galois, hangi polinomun hangi cisimde çözülebilir ya da çözülemez olduğunu belirlemek için bir ölçüt kurmak istiyordu
Örneğin x^2 = -1’in karmaşık sayılar C’de x = i ile çözüldüğünü, ama gerçek sayılarda çözülemediğini biliyoruz. Soru, bu tür bir kanıtı keyfi bir cisim ve keyfi bir polinom için mekanik olarak yürütebilecek kadar genelleştirip genelleştiremeyeceğimiz
Daha gerçekçi biçimde, programcıların ve mühendislerin de yaklaşabileceği şekilde Galois teorisine götüren soruları https://news.ycombinator.com/item?id=41258726 adresinde motive etmeye çalışmıştım
Cebirin ikinci döneminde bir Galois teorisi ünitesi vardı; o zamanlar bana soyut saçmalık gibi gelmişti ve anlayamamıştım. Şimdi bakış açım değişmiş mi görmek için bu materyali takip etmek istiyorum
Galois teorisinin başlıca motivasyonu, 5. derece denklemin genel çözümünün imkânsızlığını kanıtlamaktı. İkinci derece denklem ax^2 + bx + c = 0’ı çözmek için genel formül binlerce yıldır biliniyordu; matematikçiler çabaları sonucunda 3. ve 4. derece polinomlar için formülleri de buldular. Ancak 5. derecenin kapalı biçimli çözümünü kimse bulamadı
Galois ve Abel sonunda 5. derece formülünün var olmadığını kanıtladı. En azından toplama, çıkarma, çarpma, bölme, üs alma ve kök işaretleriyle ifade edilemez. Örneğin x^5 - x + 1 gibi, kökleri bu biçimde ifade edilemeyen somut denklemler de belirlenebilir
Bu kanıtı ele alan bütün bir ders almıştım ve gerçekten çok ilginçti. Gruplar ile cisimler arasında derin bir karşılıklılık kuruyor; öyle ki gruplar hakkındaki teorileri cisimler hakkındaki teorilere, ters yönde de taşıyabiliyorsunuz. Simetrileri analiz etmek için de çok güçlü bir araç sağlıyor
Asıl kanıt ise neredeyse hayal kırıklığı yaratacak kadar kısa. Polinom denklemlerinin kök yapısına ilişkin bir sürü derin kanıtı üst üste koyduktan sonra, en sonda x^5 - x + 1 gibi belirli bir 5. derece polinomun simetri yapısının temel matematik işlemlerinin sahip olduğu simetriyle uyuşmadığını görüyorsunuz. Kelimenin tam anlamıyla, o polinomun çözümlerinin cismi bir çözülebilir gruba karşılık gelmiyor: https://en.wikipedia.org/wiki/Solvable_group
Neredeyse aynı akışla, yalnızca pergel ve cetvelle bir açıyı üçe bölmenin imkânsız olduğu da kanıtlanıyor. Bu, binlerce yıl boyunca matematikçilerin başını ağrıtan bir problemdi. Biraz hayal kırıklığı yaratacak şekilde, bütün bir dönem boyunca gruplar, cisimler, cisim genişlemeleri gibi “soyut saçmalıkları” tanımladıktan sonra 5. derece için genel çözümün imkânsızlığı kanıtı 10 dakika sürüyor; açıyı üçe bölmenin imkânsızlığı kanıtı da öyle
Galois teorisinin derleyiciler ve programlama ile temas ettiği birkaç ilginç nokta var
Soyut yorumlama, potansiyel olarak sonsuz program davranışları kümesini daha basit, çoğu zaman sonlu, sağlam biçimde yaklaştırılmış ve akıl yürütmesi daha kolay bir modele eşler. Burada Galois bağlantısı kullanılır; bu da sonsuz cisimlerle sonlu grupları ilişkilendiren Galois teorisiyle benzetilebilir. Değer numaralandırma üzerinde çalışırken bunu sık sık düşünürüm
Ayrıca biraz zorlama bir benzetme olabilir ama, tamsayılar gibi hesaplama alanlarına hata değerleri gibi ek değerler genişletmeyi de bir tür cisim genişlemesi gibi düşünmek ilginç. Cisim genişlemelerinde olduğu gibi bazen beklenmedik karmaşıklıklar ortaya çıkar. Örneğin benzersiz çarpanlara ayırmanın kaybı, LLVM’deki poison ve undef, NaN gibi şeyler
Özünde, programda ulaşılabilir durumlar kümesini sağlam biçimde yaklaşık olarak belirlemeyi sağlar; böylece kötü durumlara ulaşılıp ulaşılamayacağını kontrol etmeye veya hangi kontrollerin işe yaramaz olup kaldırılabileceğine karar vermeye yardımcı olur. Diğer bir uygulama da Rust’ın yeni borrow checker’ıdır; her program noktasında hangi değişkenlerin hayatta ve ödünç alınmış olduğunu belirleyen çeşitli veri akışı geçişlerine dayanır
“i ile -i’yi ayırt etmenin bir yolu yok” sözüyle ilgili olarak, bugün bile tamamen cebirsel olarak sol elli koordinat sistemi ile sağ elli koordinat sisteminin nasıl ayırt edildiğini bilmiyorum
Taban [(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)] sol elli mi, sağ elli mi? Çizim olmadan bilemiyorum. Bilen var mı merak ediyorum
“Sol” ve “sağ” bir dipoldür. Biri diğeri olmadan var olamaz ve birbirlerine simetriktirler. Galois teorisinde tartışılan eşlenikler ile aynı türden bir meseledir
Aslında cebirsel, yani sıralama·aritmetik·analiz dışı bir bakış açısından, sqrt2 veya i gibi cisim genişlemelerinin eşleniklerini + ve - ile göstermek başlı başına yanlış anlaşılmaya yol açabilir. Bu tür eşlenik çiftler için + ve - yerine Left ve Right daha iyi adlardır. + ve - kullanmak ancak aritmetik bir sıralama verildiğinde anlam kazanır. Örneğin x pozitif bir reel sayı olduğunda -sqrt(x) < 0 < +sqrt(x) denebilir
x negatif bir reel sayıysa sorun hemen ortaya çıkar. -i ile i, 0’a göre bir sıralamayla ayrılamaz
Karmaşık sayılar özünde 2 boyutlu uzayın teorisidir. Soru ise 3 boyutlu uzayla ilgilidir. Alıntılanan cümle, teorik olarak yukarı ile aşağıyı ayırt edemeyeceğimizi söyler
Her 3 boyutlu uzayın içinde 2 boyutlu bir uzay bulunur. Bunu görmenin birçok yolu var, ama en kolayı z koordinatını atmaktır
3 boyutlu uzayda sol ellilik ile sağ elliliği ayırt edebildiğimizi varsayarsak, onun içinde yer alan 2 boyutlu uzayda yukarı ile aşağıyı ayırt etmenin bir yolu doğar. Ancak 2 boyutlu uzayda bu ayrım yapılamadığı için, 3 boyutlu uzayda da sol ellilik ile sağ ellilik ayırt edilemez