Duplo tren rayı çok fazla gerilim altında mı?
(puzzling.stackexchange.com)- Çocuğun yaptığı Duplo tren rayı dışarıdan kapalı bir döngü gibi görünse de, parçaların zorlanarak mı birleştirildiğini açı ve konum koşullarıyla inceleyen bir bulmaca
- Matematiksel değerlendirme, eğri parçaların sağa ve sola dönüş sayısı farkının 12'nin katı olup olmadığını kontrol ettikten sonra, her parçanın yer değiştirme vektörlerinin toplamının 0 olup olmadığını hesaplama yöntemine dayanıyor
- En yüksek oy alan çözüm, açı koşulunun sağlandığını ancak yer değiştirme toplamının
4.5 -3 -2 0.5olduğu ve 0 olmadığı için bunun gerilimsiz bir döngü olmadığını hesaplıyor - Tam olarak uydurmak için bazı parçaların çıkarılıp eklenmesi gerekiyor; yalnızca tek bir parça eklenecekse, ilk gri eğriden sonra
2-2düz parçasını ekleme önerisi çıkıyor - Pratikte bunun aşırı gerilim olup olmadığına karar verirken rayın düz zemine oturması, bağlantı noktalarındaki eğilme ve aralıklar ile tren hareket ederken raydan çıkma ya da vagonların ayrılması birlikte değerlendirilebilir
Duplo rayının zorlanarak kapatılıp kapatılmadığını belirleme
- Soruyu soran kişi, çocukların yaptığı Duplo tren rayını beğenmiş ama parçaların aşırı gerilim altında kalıp hasar görebileceğini doğrulamak istiyor
- Ray, kavisli raylar ve düz raylardan oluşuyor
- Yol geçidi aslında 1 adet düz rayla aynı işlevi görüyor kabul ediliyor
- 12 kavisli ray doğal olarak bir çember oluşturuyor, ancak 13 kavisli rayı zorlayarak daireye uydurmak rayda gerilim oluşturabilir
- Sorunun odağında iki nokta var
- Gerilim olup olmadığını hızlı ve mantıksal biçimde anlamanın bir yolu var mı
- Gerilimi azaltmak için 1 parça çıkarılacak ya da eklenecekse hangi parça ve konum daha uygun olur
Açı koşulu: kavisli parçaların sağ-sol farkı
- İlk kontrol açı uyuşmazlığı olup olmadığıdır
- Duplo'da 12 kavisli parça tam bir çember oluşturduğundan, sola dönen kavisli parça sayısıyla sağa dönen kavisli parça sayısının farkı 12'nin katı olmalıdır
- En çok oy alan çözüm, kavşaktan başlayıp saat yönünün tersine açıları takip etmiş ve verilen düzenin bu koşulu sağladığını değerlendirmiştir
- Diğer bir yanıtta da yalnızca kavisli parçalar olduğunda “içe kıvrılan parça sayısı - dışa kıvrılan parça sayısı”nın 12 olması gerektiği özetleniyor
- Ancak bu koşul daha çok gerekli koşula yakındır; sağlansa bile bunun mutlaka gerilimsiz bir yerleşim olduğu anlamına gelmez
Konum koşulu: yer değiştirme vektörlerinin toplamı 0 olmalı
- İkinci kontrol konum uyuşmazlığı ile ilgilidir; her parçanın başlangıç noktasından bitiş noktasına olan yer değiştirme vektörleri toplanır ve sonucun 0 olup olmadığına bakılır
- Düz parça uzunluğu 1 alınırsa, yönüne göre düz parçaların vektörleri hesaplanabilir
- Açısı 0 olan
0-0düz parçası(1, 0)olur - Açı 1, yani 30 derecelik
1-1düz parçası(cos 30°, sin 30°) = (√3/2, 1/2)olur
- Açısı 0 olan
- Kavisli parçalar, düz parça uzunluğunun 2 katı yarıçapa sahip kabul edilir
0-1kavisi(2 sin 30°, 2(1 - cos 30°)) = (1, 2 - √3)olur
- Tüm parça yönlerinin koordinatları, rasyonel kısım ve
√3ile çarpılan rasyonel kısım olarak ayrılabildiği için çözüm bunları 4 sayılık bir liste olarak ifade edip topluyor - Döngünün gerilimsiz kapanması için her parçaya ait bu 4 sayının toplam sonucu dört tane 0 olmalıdır
Hesap sonucu: mevcut düzen tam kapanmıyor
- Verilen düzende tüm parçalar toplandığında sonuç
4.5 -3 -2 0.5çıkıyor - Bunu gerçek yer değiştirme olarak yazarsak
(4.5 - 3√3, -2 + 0.5√3)elde edilir - Bu değer 0 olmadığı için söz konusu düzen gerilimsiz durumda değil
- Hesaplanan ideal yol çizildiğinde kapalı bir döngü yerine uç noktaları kaymış bir şekil oluşuyor
- Yanıtta, 5'ten az parçalık bir birleşimle bu döngünün tamamlanamayacağı da belirtiliyor
Düzeltme önerileri: tam çözüm ve tek parça ekleme seçeneği
- Tam olarak gerilimsiz bir çözüm üretmek için belirli parçaların çıkarılıp başka parçaların eklenmesi gerekiyor
- Bir çözüm şu birleşimi kullanıyor
10-9,9-10,5-5çıkarılıyor1-1,8-8ekleniyor
- Çözüm,
3-4 3-4 1-1 8-8 11-11birleşiminin gerekli yer değiştirmeyi karşıladığını hesaplıyor- Aynı yer değiştirmeyi üreten 3 farklı 5'li birleşim daha var, ancak bunların kavisli parça sayısı tek olduğu için açı uyuşmazlığı oluşturduğu düşünülüyor
- Yalnızca tek parçalık daha gerçekçi bir değişiklik yapılacaksa
2-2parçası ekleme seçeneği var- Örnek konum olarak ilk gri kavisin arkası veriliyor
- Daha basit bir hizalama yaklaşımı olarak, düz parçaları birbirine paralel çiftler halinde tutup bunları net 6 kavis birimi kadar ötede karşı tarafa yeniden yerleştirme yöntemi de öneriliyor
Hızlı pratik kontrol: düz zemine oturma, bağlantılar, gerçek sürüş
- Matematiksel hesaptan önce bakılabilecek ilk işaret, rayın düz bir zemine düzgün oturup oturmadığıdır
- Zorlanarak kapatılmış bir döngü, 2 boyutlu düzlemde kalmak yerine hafifçe 3 boyutlu biçimde bükülebilir
- “Fazla gerilim” öznel bir ifadedir; bağlantı noktaları belli ölçüde yanal uyumsuzluğu tolere edebilir ve bunu tüm döngüye yayabilir
- Aşırı gerilim bağlantı noktalarında görülebilir
- Bazı bağlantılar düz durmaz, eğilmiş görünür
- Raylar arasındaki boşluk fazla olabilir ya da basamak gibi hizasız olabilir
- Elle dokunarak da kontrol edilebilir
- Son pratik test, üzerinde gerçekten tren çalıştırmaktır
- Hareket oldukça yumuşak ve dengeliyse ray, en azından şu anda bu yükü taşıyabiliyor demektir
- Başka bir yanıtta, 2 ila 4 vagon bağlandığında vagonlar ayrılıyor ya da raydan çıkıyorsa bunun rayın fazla gergin olduğuna dair eğlenceli ama pratik bir ölçüt olduğu söyleniyor
1 yorum
Hacker News yorumları
Bir Duplo/Lego sorum var: N adet 1×M Lego ile yapılabilecek yapı sayısını sayan kombinatorik problemin bir adı var mı merak ediyorum.
Serbestçe döndürülebilen parçalar aynı yapı sayılıyor. Örneğin iki adet 1×2 Lego için düzen sayısı 2 kabul ediliyor: üst üste iki çıkıntıyla bağlandıkları durum ve tek çıkıntıyla bağlandıkları durum. Tek çıkıntılı bağlantı 270 derece ya da daha fazla serbest dönebildiğinden, sol/sağ çıkıntı farkı dönel simetri hesaba katıldığında aynı yapı oluyor.
Üretim toleransı 0 olan “ideal” Lego varsayıyorum ve yasa dışı yapım tekniklerine izin vermiyorum. Bu problemin iyi tanımlanmış olup olmadığını, kapalı biçimli bir çözümü bulunup bulunmadığını ya da bir üretici program olup olmadığını da merak ediyorum.
N yeterince büyüdüğünde, dönme serbestlik dereceleri başka dönme yönlerinde gizli kalmış ek yapılar oluşturabileceği için üreticinin çok karmaşık hâle geleceğini sanıyorum.
https://arxiv.org/abs/math/0504039
https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.4169/amer.math.monthl...
İkincisi için sci-hub kullanılabilir. 2 boyutlu durum için Tricia Muldoon Brown’ın çalışmaları da var.
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012365X1...
https://arxiv.org/abs/1608.01562
Alexander M. Haupt’un çalışması da var.
https://arxiv.org/abs/1810.10428
Dizinin ilk birkaç terimini elle hesaplayıp veritabanında zaten olup olmadığına bakabilirsiniz.
Arka plan için https://en.wikipedia.org/wiki/Lattice_protein bakılabilir; döndürme sonrası aynı olan çözümleri ve kendiyle kesişmeleri elemek için çok zaman harcıyorduk. Yerel açılarla tanımlanmış bir zincirin mutlak 3 boyutlu uzayda kendi kendisiyle kesişip kesişmediğini belirlemekte de şaşırtıcı derecede ilginç matematik var.
Sınırlı bağlanma noktaları ve 3 boyutlu mükerrer sayımı açısından benzer bir problem.
Örnek: https://math.stackexchange.com/questions/237998/p%C3%B3lya-s...
Bir arkadaşımla sık sık benzer bir soruyu konuşurduk: Sabit bir kavisli Duplo tren rayı seti olduğunda kaç farklı kapalı eğri ray düzeni yapılabilir?
Düz parçalar genelde göz ardı edilebilir; çünkü paralel döngülerin iki yanına çiftler hâlinde eklenebilirler. Yine de bu kalıbı bozan ilginç üçgen biçimler de var.
Arkadaşım gerçekten çözümleri bulan bir program bile yazdı; çoğunlukla iyi çalışıyor ve ilginç düzenler üretiyordu. Makasları ise sonunda ekleyemedi.
İki ray düzeninin aynı olup olmadığını ayırt etmek çoğu zaman zor olduğundan konu sonunda kolye problemi matematiğine bağlandı: https://en.wikipedia.org/wiki/Necklace_problem
Lisanslı bir makine mühendisi olarak söyleyeyim: teknik olarak ray “çekme” altında değil. Bükülme altında; yani çekme ve basmanın birleşimi.
Daha fazla açıklama gerekirse devamını anlatabilirim.
Bağlantısı verilen sitedeki Duplo raylarına derinlemesine giriş daha ilginçti.
https://www.cailliau.org/Alphabetical/L/Lego/Duplo/Train/Rai...
Çocukken “yeni” ve “eski” siyah Duplo rayların ikisine de sahiptim. Dört yaşındayken bile eski siyah rayları kullanışsız bulduğumu ve yenilerini çok daha fazla sevdiğimi hatırlıyorum.
“gjryir frpgvbaf qb abg znxr na rknpg pvepyr, gurer vf n fznyy bireync, naq fb znxr n pv” gibi.
Beş yaşında bir çocuğum var, bu yüzden BRIO ahşap tren raylarını sık sık çeşitli düzenlerde kuruyoruz.
Çocuk rayı uzattıkça ben genelde birkaç adım geriden sessizce düzeni elden geçirip aşırı kısıtlanmış hâle gelmemesini sağlıyorum. Basit ama epey eğlenceli bir problem çözmeye dönüşüyor; çocukla vakit geçirmek de güzel.
Güzel görünüyor, elde hissi de iyi. Tren yavaş ama torku yüksek olduğu için deneyime bir tür “ağırlık hissi” katıyor. Boyutuna göre fazla hızlı gidip halıda ya da eşiklerde takılan birçok uzaktan kumandalı oyuncaktan farklı.
Ben de seviyorum ama çocuklara göre nerede çekme gerilimi oluştuğunu biraz daha iyi görebildiğim için o kısımları düzeltmeye çalışıyorum.
Bu, tüm sistemde gereken düz ray uzunluğu türlerinin küçük bir tam sayı adediyle sınırlı olduğu anlamına geliyor. Buna karşılık TrackMaster’da çok daha fazlası gerekiyor.
BRIO raylarını kendi frezeleyen biri var mı merak ediyorum. Standart parçalarla yapılamayan sıra dışı şekiller yapmak için olabilir.
BRIO raylarıyla uyumlu bir muz vagon yaptım, ama ray üretmeyi henüz denemedim.
Matematiksel analiz daha da basit olabilir. Her ray parçasını 2 boyutlu bir vektör olarak görüp hepsini toplamak yeterli. Gerilimsiz bir düzende toplam (0, 0) olur.
Gerilimin bir ölçüsü olarak, konum uyuşmazlığının eşit dağıldığını varsayıp bunu tüm vektörlerin ortalamasıyla modelleyebiliriz. Dolayısıyla aynı yer değiştirme, parça sayısı azaldıkça daha anlamlı hâle gelir.
Dönmeyi göz ardı ediyormuş gibi görünebilir ama aslında dahil. Çünkü bir ray parçasının etkin vektörü hem mevcut yönü hem de o parçanın eklediği yer değiştirmeyi temsil eder. Kodla modellendiğinde imlecin bir yön açısı ve (x, y) konumu olur.
İlgili matematik olarak, bir çokgenin dış açıları toplamının 360 derece olduğu gerçeği var; 360 dereceden ne kadar sapıldığı da başka bir ölçü olarak kullanılabilir. Bu durumda pek işe yaramaz ama karmaşık analizdeki dolanma sayısı da akla geliyor. Bir eğri boyunca yerel olarak yürüyerek hangi tarafın “içerisi” olduğunu ve eğrinin belirli bir noktanın etrafını kaç kez sardığını anlamanın bir yolu.
Hafifçe kendiyle kesişen bir şekil oluşturup o bölümü gerilimli hâle itebilir; tamamlayıcı bölüm ilk bölümün negatifi olarak toplanır ama kendiyle kesişmez olabilir.
Bu yüzden sağa dönen rayların soldakilerden 360/30 = 12 tane fazla olması ya da bunun tersi gerekiyor. Saymak lazım elbette, ama ray boyunca ilerlerken +1 veya -1 eklemeye hızlıca alışılabilir. Sonda 12 çıkarsa mükemmel; 12’den uzaklık da gerilim tahmini olur.
Diğer StackExchange forumları güzel. Böyle sorular ve orada çıkan yanıtlar harika.
Yıllar içinde havacılık, kullanıcı deneyimi ve matematik tarafında çok iyi tartışmalar gördüm; uzun ve ayrıntılı yanıtlarda ilginç içgörüler vardı. Birkaç saat önce de Latince tarafındaki bir yazı HN’ye çıktı.
Ama en azından benim için Stack Overflow artık öyle değil. Eskiden soru da sorar, yanıt da verirdim ama bir şeyler değişti. Aşırı titiz moderatörlerin eline geçmiş gibi hissettirdi ve artık neredeyse hiç katılmıyorum.
Tehlikeli zayıf noktanın, bağlı raylardan birindeki bağlantı piminin boyun kısmı olduğunu anlıyorum.
Duplo’da iki bağlantı tarafında da anahtar pim ve delik var. Ciddi hizasızlık durumunda anahtarın bir tarafı ek yanal basınç alıp şekil değiştirebilir ya da kırılabilir.
Ancak böyle ciddi gerilim büyük olasılıkla son bağlantıyı zorla birleştirmeye ya da kilitlemeye çalışırken oluşur. Ebeveyn yanında bunun mümkün bir montaj olup olmadığını denetlemediğinde çocuk bunu deneyebilir. Ebeveyn fark ettiğinde ya zaten geç kalınmıştır ya da çocuk başarmıştır ve artık düzeltmeye gerek kalmamıştır.
Anahtarın boynu kırılırsa, demek ki kaderinde bu varmış. Büyük mesele değil. İkinci anahtar hâlâ bağlantıyı tutar. Yalnız ders alınmazsa o bölüm daha zayıf halka hâline gelir.
Bir şekilde döngüye zorla sokulduysa ne güzel; lokomotifi çalıştırın. Tren vagonları zorla açılmış boşlukta ya da burulmuş bölümde devrilmiyorsa devam etsin; devrilirse ayarlayın veya yeniden yapın.
Çocukken ray boyunca ilerleyerek sayardım. 0’dan başlar, ray sola kıvrılırsa 1 ekler, sağa kıvrılırsa 1 çıkarırdım.
Yanıtın ±12, ±24 gibi değerler olması gerekirdi. Çünkü 12 parça bir çember oluşturur.
Döngüyü kesip başlangıç parçasıyla bitiş parçası arasındaki ofsete bakarak gerilimi kontrol edebiliriz gibi geliyor. Parçaların hareket edebilmesi için yüzey sürtünmesinin yeterince düşük olduğu varsayımıyla.
Bulmaca çözümü olarak her parça türüne bir uç ofseti ve sonraki parçanın bağlantı açısı atanır; (0, 0) koordinatından başlanıp parçalar dolaşılarak son parçanın konumu güncellenir, ardından başlangıç ve bitiş parçası arasındaki ofset kontrol edilir.
Sonuç yanıttaki görsel gibi görünür. Ancak ofseti en aza indirecek şekilde rayı güncellemek daha zor.
O noktada ilgili parçayı ayarlayıp, çoğu zaman daha da büyümüş olan boşluğu kapatabiliyorsunuz. Wallace and Gromit’in The Wrong Trousers filmindeki tren kovalamacası sahnesi gibi bir düzendi.
Gerilim varsa kesilen kısmın yakınındaki ray uçları açılır, ama tüm düzenin hareket edeceğini hayal etmek zor.
“Bir parçayı çıkarıp tekrar takarak bunu doğrudan hissedebileceğimi biliyorum”
Pürüzsüz, düz bir zeminde kurup üzerine shuffleboard tozu serpmek de bir yöntem olabilir.