Tüm temel fonksiyonlar tek bir ikili işlemden üretilebiliyor

 (arxiv.org)
7 puan yazan GN⁺ 16 일 전 | 2 yorum | WhatsApp'ta paylaş
  • exp(x) − ln(y) biçimindeki tek bir ikili işlem EML'nin tüm temel fonksiyonları ve sabitleri üretebildiği ortaya kondu
  • Bu işlem ve yalnızca 1 sabitiyle aritmetik işlemler, aşkın fonksiyonlar (sin, cos, log, √ vb.), karmaşık sabitler (e, π, i) bütünüyle ifade edilebiliyor
  • Tüm EML ifadeleri aynı düğüm yapısına sahip ikili ağaçlardan oluştuğu için sembolik regresyon ve gradyan tabanlı öğrenmede kullanılabiliyor
  • EML, NAND kapısının matematikteki karşılığı olarak, sürekli matematikte tek evrensel işlemci rolü üstleniyor
  • Bu keşif, tüm temel fonksiyonların tek bir üretim kuralına indirgenebildiğini gösterirken, denklem arama ve sembolik yapay zeka için yeni olasılıklar sunuyor

Tek ikili işlem EML'nin tanımı

  • eml(x, y) = exp(x) − ln(y) biçimindeki tek bir ikili işlemin tüm temel fonksiyonları üretebildiği gösterildi
    • Bu işlem ve 1 sabitiyle aritmetik işlemler (+, −, ×, /, üs alma), aşkın fonksiyonlar (sin, cos, log, √ vb.), sabitler (e, π, i) bütünüyle ifade edilebiliyor
    • Örneğin e^x = eml(x, 1), ln x = eml(1, eml(eml(1, x), 1)) biçiminde ifade edilebiliyor
  • EML (Exp–Minus–Log) işlemi, hesaplamayı karmaşık sayılar alanında (C) yürütüyor
    • 1 sabiti, ln(1)=0 sayesinde log terimini etkisizleştirme işlevi görüyor
    • ln(−1) hesabı üzerinden i ve π gibi karmaşık sabitler üretilebiliyor
  • Bu işlem, dijital mantıktaki NAND kapısına karşılık gelen, sürekli matematiğin tek temel işlemi olarak sunuluyor
    • NAND nasıl tüm Boole mantığını kuruyorsa, EML de tüm temel fonksiyonları kuruyor

Tek işlem tabanlı hesap makinesi fikri

  • “İki düğmeli hesap makinesi” fikri ortaya atılıyor
    • Tek bir ikili işlemci (EML) ve tek bir sabit (1) ile bilimsel hesap makinesinin tüm işlevleri yerine getirilebiliyor
    • Ek işlemciler olmadan da tüm reel ve karmaşık temel fonksiyonlar hesaplanabiliyor
  • İşlem sayısını daha da azaltmak mümkün değil
    • En az bir ikili işlemci ve bir terminal sembolü (sabit) gerekli

EML gösteriminin yapısal özellikleri

  • Tüm EML ifadeleri, aynı düğümlerden oluşan bir ikili ağaç yapısına sahip
    • Dilbilgisi biçimi: S → 1 | eml(S, S)
    • Bu, Catalan yapısı ve tam ikili ağaçlar ile izomorfik bir bağlamdan bağımsız dil olarak yorumlanabiliyor
  • Bu tür tekdüze yapı, sembolik regresyonda (symbolic regression) gradyan tabanlı optimizasyonun (Adam vb.) uygulanmasını mümkün kılıyor
    • EML ağaçları, öğrenilebilir devreler olarak kullanılarak sığ ağaç derinliğinde (en fazla 4) doğru kapalı biçimli temel fonksiyonlar geri kazanılabiliyor
    • Üretim kuralı bir temel fonksiyon olduğunda, öğrenilen ağırlıklar tam denklem biçimine yakınsayabiliyor

Keşif süreci ve matematiksel anlamı

  • EML işlemi, sistematik exhaustive search ile keşfedildi
    • Arama sonucunda, EML'nin bilimsel hesap makinesinin tam bir işlem temeli oluşturduğu doğrulandı
  • İşlem sayısını kademeli olarak azaltan “bozuk hesap makinesi (broken calculator)” yaklaşımı kullanıldı
    • 4 → 3 → 2 → 1 işleme düşürülürken tam işlevsellik korundu
  • EML, beklenmedik bir sadeliğe sahip ve temel fonksiyonların kendisiyle tanımlanan bir ikili işlem
  • EML'nin varlığı, temel fonksiyonların çok daha basit bir üretici hiyerarşiye ait olduğunu gösteriyor
    • Çeşitli fonksiyonların exp ve ln birleşimi ile indirgenebileceği fikrini genişletiyor
  • Tüm matematiksel ifadeler tek bir tekrar edilebilir bileşenle temsil edilebildiği için,
    • Elektronik devrelerin transistör tabanlı kurulumuna benzer bir matematiksel ifade-devre gösterimi mümkün oluyor
  • Bu tür tekdüze devre gösterimi, denklem arama, değerlendirme ve öğrenme için yeni olanaklar sunuyor

İlgili kavramlar ve tarihsel bağlam

  • Tek temel bileşenin evrenselliği, matematik, mühendislik ve biyoloji genelinde önemli bir kavram olarak ele alınıyor
    • Örnekler: NAND/NOR kapıları, ReLU aktivasyon fonksiyonu, K,S kombinatorleri, OISC(SUBLEQ), Rule 110 hücresel otomatı vb.
  • Sheffer tipi öğeler nadirdir; bulunmaları zaman, hesaplama gücü ve biraz da şans gerektirir
    • EML, bu tür Sheffer tipi sürekli işlemlere bir örnek olarak sunuluyor
  • Logaritma ve üstel fonksiyonların karşılıklı ifade edilebilirliği (x×y = e^{ln x + ln y}, x+y = ln(e^x × e^y)) ile Euler formülü (e^{iφ} = cos φ + i sin φ) gibi mevcut indirgeme ilişkilerine dayanıyor

Temel fonksiyon kümesi ve gelecekteki genişlemeler

  • Çalışma, çıkış noktası olarak bilimsel hesap makinesi düzeyindeki temel fonksiyon kümesini alıyor
    • Sabitler: π, e, i, −1, 1, 2, x, y
    • Tek değişkenli fonksiyonlar: exp, ln, inv(1/x), minus(−x), √, sqr(x²), σ(1/(1+e^−x)), sin, cos, tan, arcsin, arccos, arctan, sinh, cosh, tanh vb.
    • İkili işlemler: +, −, ×, /, log, pow(x^y), avg((x+y)/2), hypot(√(x²+y²))
  • Bu kümenin tamamının tek işlemci EML ve 1 sabitiyle eksiksiz biçimde değiştirilebildiği kanıtlandı
  • İlk aramada, daha güçlü özelliklere sahip benzer işlemler de bulundu
    • Örneğin: sabit gerektirmeyen üçlü (ternary) varyant işlemci
  • EML, sürekli matematikte tek bir üretici işlemin var olabileceğini gösteren bir başlangıç noktası olarak sunuluyor
    • Gelecekte otomatik denklem keşfi, sembolik yapay zeka, matematiksel ifade optimizasyonu gibi çeşitli uygulama alanları bulunuyor

İlgili okumalar

2 yorum

 
carnoxen 14 일 전

Formülle ifade edecek olursak, $eml(x, y) = e^x - ln(x)$ oluyor galiba.

Ama sanırım bunun gerçekten parlaması için $e^x$ ya da $ln(x)$'i tek seferde hesaplayabilen bir işlemcinin çıkması gerekir.
 
GN⁺ 16 일 전
Hacker News yorumları

  • Bu yaklaşım özel ya da hesaplama açısından en az maliyetli yöntem değil
    Örneğin f(x, y) = 1/(x - y) olarak tanımlanırsa bu da evrensel bir operatör olur
    x#y = 1/(x - y) dersek, x#0 = 1/x ile tersi elde ederiz ve (x#y)#0 = x - y ile çıkarma ifade edilebilir
    Bu şekilde yalnızca ters alma ve çıkarma ile dört temel işlemin kurulabilmesi yaygın bir problemdir
    Bununla ilgili kısa bir ispat bu notta yer alıyor

    • İlginç olan kısım, bu yaklaşımın e, π, i sabitlerini de içermesi. Toplama, çarpma, üstel alma, logaritma gibi aşkın fonksiyonları da kapsıyor
    • Senin sözünü ettiğin f(x, y) yöntemi, bir kavramı ifade etmek için limit gerektiriyor; EML yaklaşımı ise sistem modelini ifade eden bir hesaplama ağacı yapısı kullanıyor
    • Güzel bir bulgu. 1935 tarihli makaleye (PNAS makalesi) atıf yapıyor ve ilgili tartışma MathOverflow üzerinde de sürüyor
    • O zaman bu tür tekil bir ifadeden trigonometrik fonksiyonların da türetilip türetilemeyeceğini merak ediyorum
    • Ama bu yöntemle e, π, exp, log gibi standart sabitler ya da kapalı biçim ifadeleri ele almak zor görünüyor

  • FRACTRAN benzeri bir fikrin ana sayfaya çıkmasını görmek sevindirici
    1 bitlik yığınları ikili sayı olarak kodlama fikrini hatırlattı.
    0 push etmek sayıyı ikiyle çarpmak, 1 push etmek ise ikiyle çarpıp 1 eklemek demek. pop ise 2'ye bölmeye eşdeğer
    Ben bu tür bir fikirden yola çıkan Rejoice adlı bir concatenative dil kullanıyorum. Veri, çarpma ile bileştirilen çoklu kümeler olarak ifade ediliyor
    Rejoice wiki

    • Başta gelen 0'ların olup olmadığını anlamak için yığının boyutunu takip etmek gerekmez mi?
    • Şu anki açıklama bana sadece ikili sayı sisteminin temel ilkesinin yeniden anlatılması gibi geldi

  • Bu, LLM performansını test etmek için iyi bir benchmark

    논문: https://arxiv.org/pdf/2603.21852
"2x + y"를 EML 조합으로 표현하시오

    Opus (paid), “2”nin döngüsel olduğunu söyleyerek başarısız oldu; ama ChatGPT'nin bunu zaten yaptığını görünce başarılı oldu
    ChatGPT (free) tek seferde başardı, Grok derinlik tahmini yaptı, Gemini başardı, Deepseek PDF'yi yükleyemedi, Kimi ortada durdu, GLM ise fena değildi

    • Bugün LLM'leri kışkırtmanın (taunt) onları daha iyi hale getirdiğini öğrendim. Galiba rekabet duyguları var
    • DeepSeek'e sadece özeti kopyalayıp yapıştırdım ve sonuç verdi. PDF'yi tanımıyor diye puan kırmak adil değil
    • Böyle deneyleri seviyorsan Terminal Bench Science projesine katkı yapmanı öneririm
    • Prompt'u şöyle değiştirdim: 
      eml(x,y)=exp(x)−ln(y)
sin(x)/x를 EML과 상수 1로 표현하시오
    • meta.ai instant modu da tek seferde başardı 
      2x + y = \operatorname{eml}\Big(1,\; \operatorname{eml}\big(\operatorname{eml}(1,\; \operatorname{eml}(\operatorname{eml}(1,\; \operatorname{eml}(\operatorname{eml}(L_2 + L_x, 1), 1) \cdot \operatorname{eml}(y,1)),1)\big),1\big)\Big)
      Gemini, EML'yi “elementary mathematical layers” sanıyor

  • Tek değişkenli 36 farklı iki aşamalı EML fonksiyonu görselleştirilmiş
    İlk 18'i gerçek sayı çıktısı veriyor, geri kalanlar ise ara adımlarda karmaşık sayılar içeriyor
    Görsel bağlantısı

    • Bu şekilde sabit derinlikli ikili ağaç fonksiyonlarının tamamını sınıflandırmak ve ağaçları ikili sayılarla kodlamak eğlenceli olabilir
      Eski matematik kitaplarındaki fonksiyon tabloları, basit bir hash araması olarak yeniden yorumlanabilir

  • “EML ve sadece 1 sayısıyla her türlü hesaplama yapılabilir” iddiası bana Iota combinator'ü hatırlatıyor
    En az biçimsel sistemle Turing tamlığına ulaşma fikrine benziyor

  • Şu an makale bağlantısı v1 olduğu için şekiller eksik. v2 ile değiştirilmesi gerekiyor
    Hâlâ okuyorum ama doğruysa bu, yıllardır görülen en büyük keşiflerden biri olabilir
    Eğer spline ya da polinomlar yerine EML ağaçlarıyla veri veya dalga fonksiyonları uydurulabilirse,
    çok değişkenli fonksiyonlar da gradient descent ile öğrenilip EML yaklaşım ağaçlarına dönüştürülebilir
    Schrödinger denkleminin türev koşullarını sağlayacak şekilde de eğitilebilir
    Gerçek olamayacak kadar iyi görünüyor ama tarihte bunun gerçekten olduğu durumlar da vardı

    • Bu alanda 1 yıllık araştırma deneyimime göre EML güçlü, ama sorun ifade patlaması
      Tek bir çarpmayı ifade etmek için derinliği 8 olan bir ağaç ve 41'den fazla yaprak gerekebiliyor
      En küçük işlem kümesinin zarafeti ile ifade uzunluğu arasında bir ödünleşim var
      Ben Operad teorisi ve Category Theory kullanarak spektral sinir ağlarını symbolic regression ile birleştiren bir yaklaşım üzerinde çalıştım
    • Tüm Boole mantığını neden yalnızca NAND ile kurmadığımızın sebebiyle aynı: hesaplama verimliliği
      Polinomlar, sundukları ifade gücüne kıyasla hızlı hesaplanıyor
    • Makale ilginç ve zarif, ama regresyon ya da optimizasyon için rekabetçi bir alternatif değil
      Senin söylediğin şey mevcut symbolic regression yaklaşımlarına benziyor. Zaten olgunlaşmış bir alan
    • EML tabanlı yaklaşım havalı ama + gibi basit fonksiyonları bile ifade etmek zor
      Yine de son derece ilginç bir bulgu
    • Güzel bir numara ama buna büyük bir keşif demek biraz abartılı gibi

  • -x'in türetilme süreci hatalı görünüyor
    Yığın makinesi çalışma izine bakınca, eml(z, eml(x,1)) = e^z - x biçimi çıkıyor,
    bunun -x olması için e^z = 0 olması gerekir. Ama böyle bir karmaşık sayı z yok
    Gerçekte z açıldığında ln(0) benzeri bir sorun çıkıyor. x^-1 için de benzer durum var
    ln(0)=∞ ve x/∞=0 gibi varsayımlar yapılırsa “makulmüş gibi” çalışıyor

    • Yazar RPN gösteriminden söz ediyor ama formüller sadece görsel olarak verilmiş, bu da rahatsız edici
      Hesaplama sırasına bakınca ln(1)=0 → e-ln(0)=+∞ → e-ln(+∞)=-∞ akışı ortaya çıkıyor
    • Makale de bu sorunu kabul ediyor. Ben fazla hızlı hüküm vermişim

  • Aklıma birkaç ilginç fikir geliyor

    1. Mutlak değeri sqrt(x*x) ile eklersek min, max ve signum da türetilebilir
    2. Eğer f(x) ve f⁻¹(x), eml() ile ifade edilebilen bire bir ve örten fonksiyonlar ise, eml(f(x), f(y)) ve f⁻¹(1) kullanılarak başka bir evrensel temel kurulabilir
    3. Doğal logaritma yerine 2^x - log₂(y) biçiminde bir temel kullanmak hesaplama açısından daha verimli olabilir. Bu, Elias omega coding fikrini çağrıştırıyor
    4. Eğer eml() ağaçları için bir türev hesaplama algoritması varsa, hangi fonksiyonların sembolik belirsiz integralinin olamayacağı daha net biçimde kanıtlanabilir
    5. Karmaşık sayı alanına genişletme, karmaşık doğruluk değerli bulanık mantık ile de bağlantılı olabilir. Lukasiewicz mantığı ile çarpımsal mantığı birleştirme ihtimali var

  • Eğlencesine dün emlvm projesini yaptım

  • “Derinliği 4 veya daha az olan EML ağaçlarıyla kapalı biçimli fonksiyon geri kazanımı yapılabiliyor” kısmı gerçekten çok etkileyici
    Bunun mümkün olup olmadığını hep merak etmiştim